resumo aulas prova 2

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RESUMO DE AULAS: CALCULO II 
 
 
Volume de um Sólido de Revolução 
 
 Fazendo-se uma região plana girar em torno de uma reta do plano, o sólido resultante é 
chamado sólido de revolução. A reta em torno da qual se processa a revolução é chamado 
eixo de revolução. 
 
 Por exemplo, fazendo a região limitada pelas retas y = 0, y = x e y = 4 girar em torno do 
eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cone. 
 
 
 
 Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo 
dos y, obtemos um cilindro. 
 
 
 Consideremos agora, o problema de definir o volume do sólido T, gerado pela rotação 
em torno do eixo dos x, da região plana R. 
 
 
 
 Seja f contínua em [a,b]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da 
região delimitada pelos gráficos de f, de x = a, x = b e do eixo x é dado por: 
 
  
b
a
2
dxxf.V
. (*) 
 
 A fórmula (*) pode ser generalizada para outras situações: 
 2 
I – A região R está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b. 
 
 
 Supondo f(x)  g(x),  x  [a,b], o volume do sólido T, gerado pela rotação de R em 
torno do eixo dos x, é dado por: 
 
       
b
a
22
dxxgxf.V
. 
 
 
II – Ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região R gira em torno do eixo dos y. 
 
 
 
 Neste caso, temos: 
  
d
c
2
dyyg.V
. 
 
 
 3 
III – A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. 
 
 
 Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos: 
 
   
b
a
2
dxLxf.V
. 
 
 
 
Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos: 
 
   
d
c
2
dyMyg.V
. 
 
Exercícios 
 
1) A região R, limitada pela curva y = 
2x
4
1
, o eixo dos x e as retas x = 1 e x = 4, gira em torno 
do eixo dos x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado. (Resp. V = 1023 /80 u.v.) 
 
 
 Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x. 
 
 4 
 
2) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada 
pela parábola y =
 2x13
4
1

 e pela reta y =
)5x(
2
1

.(Resp. V = 64 /5 u. v.) 
 
 Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x. 
 
 
3) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região entre o 
gráfico da função y = senx e o eixo dos x, de 
2


 e até 
2
3
. (Resp. V = ² u.v.) 
 
 Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x. 
 
4) A região R, delimitada pela parábola x = 
1y
2
1 2 
 e pelas retas x = -1, y = -2 e y = 2 gira em 
torno da reta x = -1. Desenhe e determinar o volume do sólido de revolução obtido. 
 5 
 
(Resp. V = 448 /15 u.v.) 
 
 
 
 
Área de uma Superfície de Revolução 
 
 
 Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma superfície 
de revolução. 
 
 Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de revolução S, obtida 
quando uma curva C, de equação y = f (x), x  [a,b], gira em torno do eixo dos x (ver Figura a 
seguir). 
 
 
 
Definição: Seja C uma curva de equação y = f (x), onde f e f ’ são funções contínuas em [a,b] e 
f (x)  0,  x  [a,b]. A área da superfície de revolução S, gerada pela rotação da curva C 
ao redor do eixo dos x, é definida por 
 
 
   
b
a
2
dxx'f1).x(f.2A
. 
 
 
OBS: Se a curva girar em torno do eixo dos y, a área será dada por: 
 
 
   
d
c
2
dyy'g1).y(g.2A
 
 
Exercícios 
 
1) Ache a área do parabolóide, obtido pela revolução do arco de parábola y = x², 0  x  2, em 
torno do eixo do x. 
 
(Resp. A = 13 / 3 u.a.) 
 
2) Ache a área da superfície gerada pela revolução da curva 3x = y³, 0  x  9, em torno do 
eixo do y. 
 
(Resp. A  258,8468 u.a.) 
 6 
Coordenadas Polares 
 
 
 No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da 
medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta fixa. 
 
 A Figura a seguir ilustra um ponto P num sistema de coordenadas polares. 
 
 
 
 
 O ponto fixo, denotado por O, é chamado pólo ou origem. 
 
 
 O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r,), onde r representa a 
distância entre a origem e o ponto P, e  representa a medida, em radianos do ângulo 
orientado AÔP. 
 
 
OBS: (i)  > 0  o ângulo AÔP está descrito no sentido anti-horário. 
 
 (ii)  < 0  o ângulo AÔP está descrito no sentido horário. 
 
 (iii) (0, ), , representa o pólo ou origem. 
 
 
As coordenadas polares (r,) estabelecem a posição do ponto P em relação a uma 
grade formada por círculos concêntricos com centro em O e semi-retas partindo de O: 
 
 
 
 
 
 7 
Exercício Marque o ponto tendo o conjunto dado de coordenadas polares: 
 
(a) 







3
2
,3
 (b) 







6
5
,4
 (c) 







4
5
,4
 (d) 







3
4
,2
 
 
 
Conversão de coordenadas polares 
 
 y 
 
 x 
 
 Ás vezes pode ser necessário converter a representação cartesiana para a polar; ou 
vice-versa. Para visualizar isto, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o pólo do 
segundo sistema, o eixo polar com o eixo positivo dos x e o raio para o qual 
2


com o eixo 
positivo y. 
 
 Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas 
polares (r, ), vamos analisar o caso em que o ponto P está no primeiro quadrante. 
 
 
 Observemos que: 
 
 
1) r > 0  cos  = 
r
x
h
ca

 e sen  = 
r
y
h
co

 
  
(*)
sen.ry
cos.rx




 
2) r < 0  cos  = 
r
x
r
x
h
ca




 e sen  = 
r
y
r
y
h
co




 
 Elevando (*) ao quadrado e somando ambos temos: 
(x,y) : coordenadas cartesianas 
 
(r,) : coordenadas polares 
 
 8 
 
 
x² + y² = r².cos² + r².sen² = r².(cos² + sen²) = r². 
 
 
 r =  
22 yx 
. 
 
 
OBS : tg  = y / x   = arct (y/x). 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exercícios 
 
 
1) Encontre as coordenadas cartesianas retangulares de cada um dos seguintes pontos cujas 
coordenadas polares são dadas: 
 
(a) (4, 

6
1
) (b) (2, 

4
3
) (c) (- 4, 

3
2
) (d) (- 2, 

4
7
 ) 
 
 
Resp. (23, 2) Resp. (-1,-1) Resp. (2, -23) Resp. (- 2, 22) 
 
 
2) Encontre um conjunto de coordenadas polares para cada um dos seguintes pontos cujas 
coordenadas cartesianas retangulares são dadas. Tome r > 0 e 0   < 2. 
 
(a) (1, - 1) (b) (- 3, 1) (c) (2,2) (d) (- 2,- 23 ) 
 
 
Resp. (2, 315º) Resp. (2, 150º) Resp. (22, 45º) Resp. (4, 240º) 
 
 
3) Marque o ponto (2, 

2
1
) tendo o conjunto dado de coordenadas polares; depois encontre 
outro conjunto de coordenadas polares para o mesmo ponto, tal que: 
 
(a) r < 0 e 0  < 2 (b) r > 0 e - 2 <   0 (c) r < 0 e - 2 <   0 
 
 
Resp. (-2, 

2
3
) Resp. (2, 

2
3
) Resp. (-2, 

2
1
) 
 
 
 4) Obtenha uma equação cartesiana do gráfico tendo a equação polar r² = 2.sen2. 
 
 (Resp. (x² + y²)² = 4xy) 
 
 
5) Encontre a equação polar do gráfico tendo a equação cartesiana (x² + y²)² = 4.( x² - y²). 
 
(Resp. r² = 4.cos2) 
 
 
 9 
Gráficos de Equações com Coordenadas Polares 
 
 
 O gráfico de F(r, ) = 0 é formada por todos os pontos cujas coordenadas polares 
satisfazem a equação. É comum apresentarmos a equação numa forma explícita; isto é, 
r = f (). 
 
 Os seguintes procedimentos poderão nos auxiliar no esboço do gráfico: 
 
 
(i) Construir uma tabela a partir de valores de  (0, 
6

 , 
4

, 
3

, 
2

, ... ) selecionados; 
 
 
(ii) Encontrar os valores de  para os quais a curva passa pelo pólo; 
 
 
(iii) Verificar simetria. A simetria do gráfico de uma equação polar pode ser freqüentemente 
constatada fazendo-se substituições convenientes na equação e testando para ver se a nova 
equação é equivalente à original. A tabela seguinte mostra algumas substituições que 
acarretam a simetria indicada. 
 
 
Substituições Simetria 
(r, ) por (r, - ) Eixo - x 
(r, ) por (- r, ) Origem 
(r, ) por (r,  - ) Eixo - y 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exercícios Esboçar o gráfico das seguintes funções: 
 
 
1) r = 2 4) r = 1- 2.cos 
2) r = 1 + 


6
 5) r = 4.cos2 
3) r = 3 + 2.sen 
 
 
 
Comprimento de arco em coordenadas polares 
 
 
 O comprimento de arco da curva por r = f () entre  =  e  =  é dado por 
 
 
    


 df)('fL
22
 
 
 
desde que f ’ exista e seja contínua no intervalo [,]. 
 10 
 
 
Exercícios 
 
1) Encontre o comprimento de arco de  = 0 a  =  da cardióide r = 2.(1 - cos ). 
 
(Resp. L = 16 u.c.) 
 
 
2) Determine o comprimento da espiral de equação r = e/2, de  = 1 a  = 2. 
 
(Resp. L  2,4 u.c.) 
 
 
Áreas em Coordenadas Polares 
 
 
 Queremos encontrar a área A, da Figura delimitada pelas retas  =  e  =  e ela 
curva r = f (), que é dada por: 
 
  


 df.
2
1
A
2
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exercícios 
 
1) Encontre a área da região limitada pela cardióide r = 2 + 2 cos. 
 
(Resp. A = 6 u.a.) 
 
2) Encontre a área de uma pétala da rosácea dada por r = 3.cos3. 
 
(Resp. A  3 /4 u.a.) 
 
3) Encontrar a área da região entre os laços interno e externo da limaçon r = 1 - 2.sen. 
 
(Resp. A  8,34 u.a.) 
 
4) Encontre a área da região comum limitadas pelo círculo r = - 6.cos e pela cardióide 
r = 2- 2.cos. 
 
(Resp. A = 5 u.a.) 
 
 11 
 
Comprimento de arco em coordenadas cartesianas 
 
 
 Seja f uma função suave (f e sua derivada f ’ são contínuas) em [a,b]. O comprimento de 
arco do gráfico de f de A(a,f(a)) à B(b,f(b)) é dado por: 
 
 
   
b
a
2
dxx'f1L
 
 
 
 
 
 
Obs: Podem ocorrer situações em que a curva é dada por x = g(y) em vez de y = f(x). Neste 
caso, o comprimento do arco da curva de A(g(c),c) até B(g(d),d) é dado por: 
 
 
   
d
c
2
dyy'g1L
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Encontre o comprimento de arco do gráfico de (y – 1)³ = x² no intervalo [0,8]. 
 (Resp. L  9,0734 u.c.) 
 
2) Encontre o comprimento de arco da curva y = x2/3 do ponto (1,1) a (8,4). 
 (Resp. L  7,6 u.c.) 
 
3) Encontre o comprimento do arco da curva 8y = x 4 + 2x -2 do ponto onde x = 1 ao ponto x = 2. 
 (Resp. L = 33/16 u.c) 
 12 
 
 
 
Comprimento de arco uma curva plana dada por suas Equações Paramétricas 
 
 
 Vamos calcular o comprimento de arco de uma curva C, dada na forma paramétrica 
pelas equações. 
 
 




10 t,tt),t(yy
)t(xx 
 
 
onde x = x(t) e y = y(t) são contínuas com derivadas contínuas e x’(t)  0 para todo 
 10 t,tt
 
 
 
 
 Neste caso, conforme vimos, estas equações definem uma função y = f(x), cuja 
derivada é dada por 
.
)t('x
)t('y
dx
dy
)x('f 
 Segue então, através de uma substituição, que: 
 
 
     






1
0
t
t
2
b
a
2
dt)t('x
)t('x
t'y
1dxx'f1L
, 
 
onde t0 = a e t1 = b. 
 
 
 Portanto, 
     
1
0
t
t
22
dtt'y)t('xL
. 
 
Exercícios 
 
 
1) Ache o comprimento de arco da curva paramétrica x = t³/3 e y = t²/2 no intervalo [0,1]. 
 
(Resp. L = (2.2 – 1)/3  0,61 u.c.) 
 
 
2) Calcular o comprimento de arco da hipociclóide x = 2.sen³t e y = 2.cos³t. 
 
(Resp. L = 12 u.c.)