Geometria Analítica

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Geometria Analítica 
Abscissa de um ponto de um eixo 
⤷ Um Eixo representa uma reta orientada o qual 
contém um ponto chamado de origem e infinitos 
pontos; 
⤷ Os números dispostos sobre essa reta são 
abscissas dos pontos e a reta é chamada de eixo 
das abscissas; 
⤷ Entre os pontos há uma correspondência 
biunívoca, ou seja, para cada ponto da reta existe 
um único número real e vice-versa; 
 
Medida algébrica de um segmento 
⤷ A medida algébrica corresponde à diferença entre a abscissa da extremidade e a abscissa da origem; 
𝐴𝐵
↔ = 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 
Plano Cartesiano 
⤷ O eixo horizontal chama-se eixo das abscissas, eixo dos x ou eixo x’x 
⤷ O eixo vertical chama-se eixo das ordenadas, eixo dos y ou eixo y’y 
⤷ O ponto de intersecção chama-se ponto de origem, designado por O 
⤷ O plano é dividido em 4 quadrantes no sentido anti-horário 
 
Coordenadas cartesianas de um ponto 
⤷ As coordenadas de P são xp e yp, que são representadas por um par ordenado P(xp, yp). 
⤷ O(0, 0) é o ponto de origem 
⤷ (x, 0) é ponto abscisso e (0, y) é ponto ordenado; 
 
 
Distância entre dois pontos na reta orientada 
⤷ Considerando apenas pontos no eixo dos x, no qual a abscissa de A é xa e a de B é xb, a distância 
entre A e B é determinada por: 
𝑑𝐴𝐵 = | 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴| 
 
⤷ Da mesma forma, no eixo dos y, a distância dPR entre os pontos P e R é dada por: 
𝑑𝑃𝑅 = | 𝑦𝑅 − 𝑦𝑃| 
 
 
Distância entre dois pontos no plano cartesiano 
⤷ Para retas paralelas aos eixos do plano utiliza-se as mesmas fórmulas da reta orientada. 
⤷ Para retas não paralelas ao eixo utiliza-se 
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)
2 + (𝑦2 − 𝑦1)
2 
 
 
 
Ponto que divide um segmento numa razão dada 
 
⤷ Consideremos 
𝑃𝐴
𝑃𝐵
= 𝐾 em que k é a razão 
 
⤷ O ponto P é (xp, yp) sendo que 
𝑥𝑃 = 
𝑥𝐴−𝑘𝑥𝐵
1−𝑘
 e 𝑦𝑃 = 
𝑦𝐴−𝑘𝑦𝐵
1−𝑘
 
 
⤷ k < 0 = ponto interno 
⤷ k > 0 = ponto externo 
⤷ k = -1 então k é o ponto médio
Ponto Médio de um segmento 
⤷ O ponto médio de um segmento é o ponto que o divide ao meio, então dAM = dMB (equidistantes) 
⤷ Sejam A e B dois pontos quaisquer do plano e M(x, y) seu ponto médio 
𝑥 = 
𝑥1+𝑥2
2
 e 𝑦 = 
𝑦1+𝑦2
2
 
 
Mediatriz de um segmento de reta 
⤷ A reta que é perpendicular ao segmento de 
reta e passa pelo seu ponto médio é a mediatriz 
 
 
 
Coordenadas do circuncentro de um triângulo 
⤷ A intersecção das mediatrizes de um triângulo 
qualquer determina o circuncentro, que é 
equidistante dos vértices do triângulo e contém 
as coordenadas do centro da circunferência que 
o circunscreve. 
⤷ Consideremos o circuncentro o ponto M (x, y) 
sendo ele equidistante dos vértices, então dMA = 
dMB = Dmc 
{
𝑑𝑀𝐴 = 𝑑𝑀𝐵
𝑑𝑀𝐴 = 𝑑𝑀𝐶
 
 
Coordenadas do baricentro de um triângulo 
⤷ O baricentro de um triângulo é seu centro de 
gravidade, que está no ponto de intersecção das 
medianas e estas se interceptam a 1/3 da base 
desse triângulo; 
⤷ A mediana de um triângulo é o segmento de 
reta que tem uma de suas extremidades no 
vértice e a outra no ponto médio do lado oposto 
a esse vértice. 
 
𝐸 (
𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶
3
) , (
𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶
3
) 
Coordenadas do ortocentro de um triângulo 
⤷ A intersecção das alturas ou do prolongamento das alturas de um triângulo qualquer determina um 
ponto chamado ortocentro. 
⤷ Para calculá-lo, temos de usar o baricentro e o circuncentro, como num ponto de razão dada. 
⤷ Sabemos que os pontos que representam o circuncentro, o baricentro e o ortocentro estão alinhados 
e que o segmento determinado pelo circuncentro e o baricentro é 1/3 do compreendido entre o 
circuncentro e o ortocentro. 
⤷ Considerando os pontos P(-1, 2), Q(1, 3) e R(x, y), temos respectivamente o circuncentro, o baricentro e 
o ortocentro, que estão alinhados dessa forma: 
 
 
⤷ As coordenadas do ponto R serão calculadas a partir das expressões: 
 𝑥𝑅 = 
𝑥𝑃−𝑘𝑥𝑄
1−𝑘
 e 𝑦𝑅 = 
𝑦𝑃−𝑘𝑦𝑄
1−𝑘
 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 
𝑅𝑃
𝑅𝑄
= 𝐾 
 
Área de um triângulo 
⤷ Uma das maneiras de calcular é usando a fórmula base x altura sobre 2, mas no caso do plano 
cartesiano, ela só pode ser usada 
• Se um dos lados for paralelo ao eixo dos x 
A(-4, -3), B(5, -3) e C(1, 4), então = 𝐴 =
[5−(−4)].[4−(−3)]
2
 
• Se um dos lados for paralelo ao eixo dos y 
⤷ Quando nenhum dos lados é paralelo usa-se um dispositivo: 
 A = 
1
2
 |
𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥1
𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦1
| 
Condição de alinhamentos de pontos 
⤷ Para verificar se n pontos pertencem a uma 
mesma reta, usamos o mesmo dispositivo da 
área do triângulo, mas igualado a 0. 
 |
𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥1
𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦1
| = 0 
Então |
1 0 −2 2 1
5 2 −4 8 5
| = 0 
e | 2 – 16 + 10 – 8 + 8 + 4 | = 0
 
 
Estudo da reta 
Inclinação de uma reta 
⤷ Definição 1: A inclinação de uma reta r é o menor ângulo α, positivo, que ela forma com o eixo 
dos x, medido no sentido anti-horário, partindo do eixo dos x até a reta dada. 
 
 
 
 
 m > 0, ângulo agudo m < 0, ângulo obtuso 
 
Declividade 
⤷ Definição: chama-se declividade ou coeficiente angular de uma reta r, ao número real m, que 
representa a tangente trigonométrica do ângulo de inclinação desta reta: 
 
 
 
⤷ Quando a reta é crescente o ângulo de inclinação está entre 0º e 90º e a declividade de r é positiva, 
pois m = tgα > 0 
⤷ Quando a reta é decrescente o ângulo de inclinação está entre 90º e 180º e a declividade de r é 
negativa, pois m = tgα < 0 
⤷ Quando a reta é paralela ao eixo dos x ela tem posição horizontal o ângulo de inclinação é 0º e a 
declividade é nula, pois m = tgα = tg0º = 0 
⤷ Quando a reta é perpendicular ao eixo dos x (vertical) o ângulo de inclinação é 90º e a declividade 
não existe, pois, m = tg α = tg90º = não existe 
 
Cálculo da declividade de uma reta 
 
 
Equação da reta 
⤷ A equação de uma reta expressa a relação existente entre a ordenada e a abscissa de qualquer 
ponto pertencente à reta 
⤷ Para que um ponto pertença à reta é necessário que ordenada = abscissa ou y = x 
⤷ Para que a ordenada seja igual ao dobro da abscissa, y = 2x 
⤷ Para que a ordenada seja igual ao triplo da abscissa e mais 2 unidades, y = 3x + 2 
 
⤷ Ponto que pertence à uma reta é o ponto cujas coordenadas satisfazem à equação dessa reta. 
 
 
 
⤷ Os pontos (-2, -4), (-1, -1), (0, 2) e (1, 5) são pontos que pertencem à reta y = 3x + 2 
 
⤷ Equação de uma reta que passa por um ponto P(x1, y1) e cujo coeficiente angular é m: 
y y1 = m (x x1) 
 
Equação geral da reta 
⤷ Dados dois pontos distintos A(x1, y1) e B(x2, y2) no plano cartesiano e P(x, y) 
⤷ Seja r a reta que passa em A e B 
⤷ Temos: (y1 y2)x + (x2 x1)y + (x1y2 x2y1) = 0 e obtemos ax + by + c = 0. 
 a b c 
 
Equação reduzida da reta 
⤷ Seja ax + by + c = 0 a equação geral da reta não paralela ao eixo y. 
⤷ y = mx + n é a equação reduzida da reta 
⤷ O coeficiente angular mede a declividade da reta (m) e o coeficiente linear define onde a reta 
corta o eixo y (n). 
⤷ As retas interceptam o eixo dos y em pontos onde a ordenada é igual ao termo independente 
da equação dessa reta. (y = c) 
⤷ m = -a /b n = -c /b 
⤷ 𝑚 = 
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 𝑛 = 
𝑥2𝑦1−𝑥1𝑦2
𝑥2−𝑥1
 
⤷ Resumindo, a forma reduzida isola o y, enquanto a geral contém o y e é igualada a 0. 
 
Caso especial da equação da reta 
⤷ Quando a reta tem um ângulo de 90º, sua posição é perpendicular ao eixo x. Isso quer dizer 
que a equação desta reta não pode ser escrita na forma reduzida. 
⤷ 
⤷ Escreve-se x = constante e x = 4 (por ex) 
 
Determinação dos pontos onde uma reta corta os eixos 
⤷ Consideramos uma reta r qualquer: no ponto B onde a reta corta o eixo dos y, temos x = 0 e 
no ponto A onde a reta corta o eixo dos x temos y = 0. 
⤷ Portanto, quando queremos saber onde uma reta corta o eixo dos y, atribuímos ao x o valor 
0 e calculamos o y; e quando queremos saberonde uma reta corta o eixo dos x, damos ao y o 
valor 0 e calculamos o valor do x. 
 
Formas de determinação da equação de uma reta 
Quando são conhecidos um ponto da reta e a sua declividade 
⤷ Seja A (xa, ya) um ponto conhecido da reta r cuja declividade m também é conhecida. 
Consideremos P(x, y) um ponto qualquer da reta. 
⤷ Sabemos que m = 
 
 
⤷ Sendo assim, y ya = m (x xa), que pode ser usada para definir a forma reduzida, a forma 
geral e a forma segmentária da reta. 
Quando são conhecidos dois pontos da reta 
⤷ Sendo A(xa, ya) e B(xb,. yb) dois pontos conhecidos da reta e P(x, y) um ponto qualquer dela. 
⤷ Primeira forma: pode-se usar a fórmula y ya = m (x xa). Calcula-se m e usa um dos 
pontos. 
⤷ Segunda forma: usa-se o dispositivo com os três pontos considerados colineares. 
 
Equação segmentária da reta 
Coordenadas à origem 
⤷ Denominam-se coordenadas à origem os segmentos determinados por uma curva sobre os 
eixos coordenados, entre a origem e os pontos de intersecção desses. 
⤷ Fazendo y = 0, determinam-se os valores reais de x, obtendo as abscissas à origem. 
⤷ Fazendo x = 0, determinam-se os valores reais de y, obtendo as ordenadas a origem. 
 
⤷ Aplicando o esquema para determinar a equação da reta que passa por dois pontos: 
|
𝑥 𝑎 0 𝑥
𝑦 0 𝑏 𝑦
| = 0 ⇒ 
𝑥
𝑎
+ 
𝑦
𝑏
= 1 
 
Equações paramétricas da reta 
⤷ Às vezes, é necessário usar uma terceira variável para aplicar a equação da reta. Essa nova 
variável é chamada de parâmetro. 
⤷ As equações paramétricas x = f(t) e y = f(t) de uma reta r são obtidas levando em 
consideração que essa reta passa por um ponto A(xa, ya) e tem a direção de um vetor v(c, d). 
 
⤷ AP = tv, então: (x, y) = (xa, ya) + t (c, d) e {
𝑥 = 𝑥𝐴 + 𝑐𝑡
𝑦 = 𝑦𝐴 + 𝑑𝑡
 e também 𝑚 = 
∆𝑦
∆𝑥
= 
𝑑
𝑐
 
 
⤷ Se atribuirmos valores ao parâmetro t, determinam-se valores para x e y, que formam pares 
ordenados, que estabelecem o lugar geométrico das equações paramétricas. 
 
⤷ Podemos encontrar a equação (reduzida, geral ou segmentária) da reta isolando a variável t 
na função x = f(t) deixando t em função de x. Substitui-se o valor algébrico encontrado para t 
na y = f(t) faz-se a redução dos termos semelhantes obtendo assim a equação reduzida da reta 
(resolver o sistema). 
⤷ Com os pontos (x, y), obtidos pelas equações paramétricas, pode-se determinar a declividade 
da reta e com um desses pontos podemos escrever a equação da reta correspondente às 
equações paramétricas conhecidas (equação reduzida da reta). 
 
Ângulos entre duas retas 
Generalidades sobre ângulos entre duas retas 
⤷ A medida do ângulo é chamada de inclinação da reta 
⤷ Duas retas r e s que se interseccionam, formam dois pares de ângulos opostos. 
⤷ Formam: ângulos agudos (< 90º) ou obtusos (>90º) 
⤷ Qualquer ângulo agudo e seu adjacente obtuso são suplementares (= 180º) 
⤷ Os ângulos são medidos no sentido anti-horário 
 
Cálculo do ângulo agudo formado entre duas retas 
⤷ Quando r é paralela ao eixo dos x e s é 
paralela ao eixo dos y, ou elas tem mr . ms = 
-1, α =90º 
 
 
⤷ Quando uma das retas é paralela ao eixo 
dos x e a outra tem coeficiente angular m = 
tgα, a tgθ = |tgα | ⇒ tgθ = | ms | ⇒ θ = tg-1 | 
ms | 
 
 
 
 
⤷ Quando uma das retas é paralela ao eixo 
dos y e a outra tem coeficiente angular m = 
tgα então tgθ = | 1 / ms | 
 
 
 
⤷ Quando nenhuma das retas é vertical e 
elas não formam 90º entre si, então 
𝑡𝑔 𝜃 |
𝑚𝑠− 𝑚𝑟
1+ 𝑚𝑠 . 𝑚𝑟
| 
 
Posições relativas entre duas retas 
 
Condição para que duas retas sejam 
paralelas 
⤷ Se duas retas r e s são paralelas, então 
seus ângulos de inclinação (m) têm a 
mesma medida. 
⤷ med (as) = med (ar) então tg (as) = tg (ar) 
então ms = mr 
 
 
Condição para que duas retas sejam 
perpendiculares 
⤷ Duas retas perpendiculares formam entre 
si ângulos de 90º, então ms . mr = -1 
 
 
 
Pontos de intersecção entre retas 
⤷ Sejam r e s dadas respectivamente pelas equações A1x + B1y e C1 = 0 e A2x + B2y + C2 = 0 
montadas em sistema. 
⤷ O ponto de interseção entre duas retas, r e s, possui um par ordenado (x, y), que satisfaz as 
duas equações. Assim, os valores de x e y são a solução do sistema. 
 
Discussão da intersecção de retas 
⤷ Se as retas possuem um único ponto em comum, elas são concorrentes. 
⤷ Se as retas possuem todos os pontos em comum, elas são coincidentes. 
⤷ Se as retas não possuem nenhum ponto em comum, elas são paralelas. 
 
Distância de um ponto a uma reta 
⤷ A menor distância entre r e P é a medida do segmento (PQ) perpendicular a r. 
⤷ Sejam r e s dadas respectivamente pelas equações Ax + By e C1 = 0 e Ax + By + C2 = 0 
𝑑 =
|𝐴𝑥𝑃 + 𝐵𝑦𝑃 + 𝐶|
√𝐴2 + 𝐵2
 
 
⤷ Retas paralelas caracterizam-se por terem coeficientes angulares iguais e suas equações 
diferenciam-se apenas pelo termo independente. Temos, assim um ponto P (0, -C1/B) e 
𝑑 =
|𝐶2 − 𝐶1|
√𝐴2 + 𝐵2
 
 
⤷ Podemos determinar pela equação reduzida da reta. 𝑦 = −
𝐴
𝐵
𝑥 − 
𝐶
𝐵
, então sabemos que a 
declividade m é A = -mB e o coeficiente linear b é C = -bB. Então, 
𝑑 =
|𝑚𝑥𝑃 − 𝑦𝑃 + 𝑏|
√𝑚2 + 1
 
 
⤷ Se o ponto é a origem do sistema, então a distância da origem à qualquer reta pode ser 
determinada por: 
𝑑 =
|𝐶|
√𝐴2 + 𝐵2
 
 
Bissetrizes dos ângulos de duas retas 
Equações das bissetrizes 
⤷ A bissetriz de um ângulo formado entre 
as retas é a reta que passa pelo ponto de 
intersecção dessas retas dividindo o ângulo 
formado por elas em dois ângulos iguais 
⤷ Consideramos duas retas concorrentes r: 
A1x + B1x + C1 = 0 e s: A2x + B2x + C2 = 0 
⤷ b1 e b2 são retas perpendiculares e representam as bissetrizes das retas r e s. 
⤷ d1 = d2 são as distâncias das retas r e s até o ponto P (x, y) 
𝑏1 ∶ 
𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1
√𝐴1
2+ 𝐵1
2
= 
𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2
√𝐴2
2+ 𝐵2
2
 e 𝑏2 ∶ 
𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1
√𝐴1
2+ 𝐵1
2
= −
𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2
√𝐴2
2+ 𝐵2
2
 
⤷ Substitui-se os valores nas fórmulas e retiram-se os módulos. 
⤷ Sabe-se que são duas retas concorrentes e que se formam, então, um ângulo agudo e um 
obtuso. 
⤷ Para saber qual é a bissetriz do ângulo agudo ou obtuso, observa-se a distância de um ponto 
qualquer de r ou s às bissetrizes. A menor é do ângulo agudo e a maior do obtuso. 
⤷ Agora, só usar a fórmula da distância de um ponto para as duas bissetrizes b1 e b2 (preferência 
p origem 𝑑 =
|𝐶|
√𝐴2+𝐵2
 ). 
 
Bissetrizes de um triângulo 
⤷ Em um triângulo de vértices ABC o ponto 
de intersecção das bissetrizes dos ângulos 
internos determinam um ponto 
equidistante às retas suporte. Esse ponto, 
chamado de encentro, contém as 
coordenadas do centro da circunferência 
inscrita no triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circunferência 
⤷A circunferência é a curva plana fechada cujos pontos são equidistantes de um ponto fixo, 
chamado centro; é a curva plana fechada descrita por um ponto que se desloca mantendo-se 
equidistante de um ponto fixo chamado centro; é o lugar geométrico dos pontos equidistantes 
de um ponto fixo chamado centro. 
 
Elementos de uma circunferência 
⤷ Centro (C): é o ponto fixo; 
⤷ Raio (R): é a distância do centro a qualquer ponto P da curva; 
⤷ Corda (MN): é o segmento que liga dois pontos quaisquer; 
⤷ Diâmetro (AB): segmento que liga dois pontos e passa pelo centro; 
⤷ Secante: reta s que intersecciona em dois pontos distintos; 
⤷ Tangente: reta t que tem um ponto comum e é perpendicular; 
 
Equações da circunferência 
⤷ A equação da circunferência apresenta como incógnitas as coordenadas do centro e o raio. 
⤷ Consideremos uma circunferência na qual o centro é C (h, k) e P (x, y) é um ponto. 
 
(x h)2 + (y k)2 = r2 é a equação reduzida 
x² + y² - 2hx 2ky + h² + k² - r² = 0 é a equação normal 
x² + y² = r² se o centro for a origem 
 
Observações sobre equações 
⤷ Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 representa uma circunferência e seu gráfico é um ponto de 
circunferênciaquando: A e B são iguais e não nulos; O coeficiente C do termo misto deve ser 
igual a 0; D² + E² - 4AF > 0. Então, ela pode ser escrita como Ax² + Ay² + Dx + Ey + F = 0. 
⤷ Se D² + E² - 4AF < 0 o gráfico é um conjunto vazio; 
⤷ Comparando com a equação normal da circunferência, temos que: 
D/A = -2h (coeficiente do termo linear x) 
E/A = -2k (coeficiente do termo linear y) 
F/A = h² + k² - r² (termo independente da equação) 
 
⤷ Isolando h e k encontramos as coordenadas do centro C (-D / 2A; -E / 2A ) 
⤷ Isolando r obtemos a equação do comprimento do raio R = √ℎ2 + 𝑘2 − 𝐹/𝐴 
 
⤷ Se a equação estiver na forma normal, então os coeficientes dos termos quadráticos são iguais 
a um. Então, C (D / -2; E / -2 ) e R = √ℎ2 + 𝑘2 − 𝐹 . Como R é um número real positivo, h² + k² - 
F/A > 0. 
⤷ O comprimento do raio também pode ser obtido da seguinte forma: R = 
√𝐷2+𝐸2−4𝐴𝐹
2|𝐴|
. 
 
Posições relativas entre um ponto e uma circunferência 
⤷ P é um ponto interno à circunferência: nesse caso a distância entre C e P é menor que o 
comprimento do raio. dCP < R ----- P é um ponto interno 
 
⤷ P é um ponto que pertence à circunferência: nesse caso a distância entre C e P é igual ao 
comprimento do raio. dCP = R ----- P é um ponto da circunferência 
 
⤷ P é um ponto externo à circunferência: nesse caso a distância entre C e P é maior que o 
comprimento do raio. dCP > R ----- P é um ponto externo 
 
⤷ A partir da circunferência de equação x² + y² - 2hx 2ky + h² + k² - r² = 0 e do ponto f (x, y) 
F (x, y) = x² + y² - 2hx 2ky + h² + k² - r² pode-se determinar a posição de um ponto P(x1, y1), 
substituindo P em f. 
- Se f (x1, y1) > 0, P é exterior 
- Se f (x1, y1) < 0, P pertence à circunferência 
- Se f (x1, y1) < 0, P é interior 
 
Posições relativas entre uma reta e uma circunferência 
⤷ Sejam as retas s, t e r e a circunferência β: 
 
⤷ A reta s e a circunferência são secantes se 
a reta s intercepta a circunferência em dois 
pontos distintos. A distância entre o centro 
C e a reta s é menor que a medida do raio 
dCs < R 
 
 
 
⤷ A reta t é tangente à circunferência se a 
reta t intercepta a circunferência em um 
único ponto. O raio é perpendicular ao ponto 
de tangência. A distância entre o centro e a 
reta é igual ao comprimento do raio. dCt = R 
 
 
 
⤷ A reta r é externa à circunferência se a reta 
r não tem pontos comuns com a 
circunferência. A distância entre o centro e 
a reta t é maior que a medida do raio. dCr > 
R 
 
 
 
⤷ As posições relativas entre uma reta Ax + By + C = 0 e uma circunferência x² + y² - 2hx 2ky 
+ h² + k² - R² = 0 podem ser determinadas a partir de um sistema 
➝ Isolando uma das incógnitas da equação da reta e substituindo na da circunferência, 
obtemos uma equação de 2º grau, e seu número de soluções é dada pelo Delta 
➝ Se  > 0, então tem-se uma reta secante à circunferência 
➝ Se  = 0, então tem-se uma reta tangente à circunferência 
➝ Se  < 0, então tem-se uma reta exterior à circunferência 
 
Problemas clássicos de tangência 
⤷ Determinar as equações das retas tangentes a uma circunferência, que são paralelas a uma 
reta qualquer. 
⤷ Determinar as equações das retas tangentes a uma circunferência, que são perpendiculares a 
uma reta qualquer. 
⤷ Retas tangentes à circunferência que formam um ângulo com uma reta qualquer. 
⤷ Como se determinam as equações das retas tangentes a uma circunferência tiradas por um 
ponto externo a essa. 
⤷ Caminhos para calcular o comprimento de uma tangente tirada de um ponto externo a uma 
circunferência, desde esse ponto até o ponto de tangência 
 
Pontos de intersecção entre uma reta e uma circunferência 
⤷ Os pontos de intersecção de duas curvas devem satisfazer as equações. Dadas duas curvas f 
(x, y) = 0 e g (x, y) = 0, a intersecção dessas é o conjunto de pontos que satisfazem o sistema. 
{
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
 
 
⤷ Determina-se as raízes reais da equação do 2º grau a uma incógnita, gerada pela substituição 
dos valores de x ou y da reta na equação da circunferência, substitui-se os valores na equação 
da reta para determinar os pares ordenados que representam os pontos de intersecção entre a 
reta e a circunferência. 
➝ Se a reta é secante à circunferência a equação do 2º grau tem duas raízes reais e 
distintas, o que determina dois pontos comuns entre a reta e a circunferência 
➝ Se a reta é tangente à circunferência a equação do 2º grau tem duas raízes reais e 
iguais, o que determina apenas um ponto em comum entre a reta e a circunferência 
➝ Se a reta é externa à circunferência a equação do 2º grau não tem solução real, ou seja, 
reta e circunferência não possuem pontos comuns. 
 
Posições relativas entre duas circunferências 
⤷ As circunferências B1 e B2 são tangentes: 
 
➝ Externamente: para que duas 
circunferências sejam tangentes 
externamente, a distância entre as 
coordenadas dos centros das circunferências 
deve ser igual a soma das medidas de seus 
raios. 
 
 
 
 
➝ Internamente: para que duas 
circunferências sejam tangentes 
internamente, a distancia entre as 
coordenadas dos centros das circunferências 
deve ser igual ao modulo da diferença entre 
as medidas de seus raios. 
 
 
 
⤷ As circunferências B1 e B2 são secantes se 
a distancia entre as coordenadas dos centros 
estão compreendidas entre o modulo da 
diferença entre as medidas dos raios e a 
soma dos mesmos. 
 
 
 
 
 
⤷ As circunferências B1 e B2 não se 
interceptam: 
 
➝ Externamente: as posições relativas de 
duas circunferências são consideradas 
externamente quando a distancia entre os 
centros das circunferências é maior que a 
soma das medidas dos raios das mesmas 
 
 
➝ Internamente: as posições relativas de 
duas circunferências são consideradas 
internamente quando a distancia entre os 
centros das circunferências é menor que o 
modulo das diferenças das medidas dos 
raios. 
 
 
➝ Concêntricas: são consideradas 
concêntricas as circunferências que 
possuem o mesmo centro. 
 
 
Eixo radical 
⤷ Pelos pontos de intersecção de duas 
circunferências passa uma reta chamada 
eixo radical. A equação do eixo radical pode 
ser determinada comparando as equações 
dessas circunferências e cancelando os 
termos quadráticos, determinando assim, 
uma equação do primeiro grau. 
 
 
 
 
 
⤷ Obs.: Nem sempre a equação do primeiro grau representa a equação do eixo radical. Se 
compararmos duas circunferências que não possuem pontos comuns, encontra-se, também, 
uma equação do primeiro grau. Porém, neste caso, esta equação representa uma reta que 
obrigatoriamente é externa a pelo menos uma das circunferências, o que não caracteriza a 
existência de um eixo radical, pois este deve ter pelo menos um ponto comum à circunferência. 
 
Pontos de intersecção entre duas circunferências 
⤷ O eixo radical pode ter um ou dois pontos comuns com as circunferências. Assim, os pontos 
de intersecção entre duas circunferências podem ser obtidos a partir da resolução do sistema 
que envolve a equação do eixo radical e uma entre as duas equações das circunferências, que 
pode ser escolhida aleatoriamente. 
⤷ O processo a ser utilizado para o calculo dos pontos de intersecção entre o eixo radical e a 
circunferência escolhida, pode ser feito seguindo a metodologia já proposta, uma vez que 
existindo pontos comuns entre duas circunferências também existirá um eixo radical. 
 
Parábola 
⤷ A parábola é a curva plana aberta cujos pontos são equidistantes de um ponto fixo chamado 
foco e de uma reta chamada diretriz. 
 
 
 
 
 
⤷ Para as parábolas, a excentricidade (desvio ou distanciamento do centro) é determinada pela 
razão | PF / PD | 
⤷ Os ponto -2p, p) e a corda 
 
 
 
Equação reduzida da parábola com vértice na origem 
 
⤷ Parábola com vértice na origem do sistema e eixo de simetria sobre o eixo das ordenadas:⤷ Qualquer ponto situado sobre uma 
parábola é equidistante do foco F e da 
diretriz, então: 
d (P, F) = d  
2222 )()()()0( pyxxpyx ++−=−+− 
então x² = 4py 
⤷ A equação da diretriz é da forma y = -p e o 
foco é dado por F (0, p)
➝ Para encontrar as coordenadas do foco e a equação da diretriz, usando x² = 2y: 
 ➝ Para determinarmos o foco compara-se as equações, já que F (0, p) → 4py = 2y 
 ➝ Como a diretriz é y = -p, então a equação da diretriz será y + p = 0 
 
⤷ Parábola com vértice na origem do sistema e eixo de simetria sobre o eixo das abscissas.
 
⤷ a equação é y² = 4px 
⤷ a equação da diretriz é paralela ao eixo dos 
y, então é da forma x = -p e o foco é (p, 0) 
 
➝ Para determinar a equação da parábola que passa por um ponto, tem vértice (0, 0) e eixo em 
 
 ➝ É necessário, descobrir o valor do parâmetro, então substitui-se em x e y os pontos. 
 ➝ Assim, volta-se para a equação solicitada, apenas substituindo o p. 
 
 
⤷ O parâmetro (2p) de uma parábola é positivo quando essa é côncava para cima ou para a 
direita e negativo quando ela for côncava para baixo ou para a esquerda. 
 
 
 
⤷ A excentricidade é determinada pela razão | PF / Pd |, então e = 1. 
 
⤷ O raio r pode ser determinado em função do ângulo cos θ θ, então 


cos1
2
)(
−
=
p
r ➝ Serve para determinar o ângulo agudo que o raio vetor de uma parábola faz 
com seu eixo de simetria, etc. 
 
 
Equação reduzida da parábola com vértice deslocado da origem 
 
⤷ A diretriz é perpendicular ao eixo das ordenadas, o eixo da parábola é paralelo a esse eixo ou 
está sobre e o vértice localiza-se no ponto V (xv, yv), deslocado da origem. 
 
 
➝ xv)² = 4p (y yv) 
➝ A equação da diretriz é da forma y = yv p e as coordenadas do foco em F (xv, yv + p) 
 
➝ Para encontrar as coordenadas do foco e a equação da diretriz tendo a equação: 
 ➝ Para determinar as coordenadas do foco é necessário conhecer as coordenadas do 
vértice e o parâmetro 2p. 
 ➝ Primeiro, isola-se os termos em x da equação, completando o quadrado perfeito. 
 ➝ Então, é só comparar com a equação original, e os pontos do vértice e o p serão 
encontrados, tornando possível encontrar o foco e a equação da diretriz. 
 
⤷ O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x e o vértice localiza-se no ponto V (xv, yv) 
 
 
➝ A equação é dada por (y yv)² = 4p (x xv) 
➝ A equação da diretriz é da forma x = xv p e as coordenadas do foco em F (xv + p, yv). 
 
⤷ Para determinar as coordenadas do vértice e a equação de uma parábola tendo seu foco (1, 3) 
e a diretriz x = -2, então o ponto é (-2, 3): 
 ➝ O vértice é o ponto médio do foco e da diretriz. 
 ➝ Usa-se a fórmula da equação, com o p determinado a partir da distância da diretriz ao 
vértice ou do vértice ao foco. 
 ➝ Então, é só substituir na fórmula. 
 
⤷ Problemas de velocidade: 
 ➝ Considere o parâmetro 2p = -v² / g, onde v é a velocidade e g a gravidade. 
 ➝ A trajetória descreve um ramo de parábola, então o vértice está no ponto V (0, yv) e o 
alcance horizontal é x quando y = 0 
 ➝ A equação também pode assumir a seguinte forma: x² = 2 yv v²/g 
 
Equações da parábola sobre a forma explícita 
 
⤷ Quando a parábola é côncava para cima ou 
para baixo tem sua equação como 
y = ax² + bx + c, onde a, b, c são números reais 
e a não pode ser 0. 
 
 
⤷ Quando a parábola é côncava para a direita 
ou para a esquerda tem sua equação como 
x = ay² + by + c, onde a, b, c são números reais 
e a não pode ser 0. 
 
 
 
 
Pontos de intersecção da parábola com os eixos 
 
⤷ Para cima ou para baixo, já que corta o eixo dos x, y = 0, então a equação fica como uma 
equação de 2º grau ponto que 
intercepta o eixo dos y, x = 0, então C tem y igual ao termo independente da equação. 
 
⤷ Para a direita ou esquerda a equação é x = ay² + by + c, então no intercepto com o eixo dos x, 
y = 0 e o ponto será (c, 0). Com o eixo das ordenadas onde x = 0 obtém-se a equação ay² + by + c 
 
 
➝ Sempre que a equação for da forma ax² + bx = 0 ou ay² + by = 0, uma das raízes será zero e a 
outra poderá ser determinada pela equação x = -b / a ou y = -b / a 
➝ As parábolas da forma y = ax² ou x = ay² são tangentes à origem do sistema, ou seja, (0, 0) 
 
Localização das coordenadas do vértice 
 
⤷ Considerando uma parábola ax² + bx + c = y que corte o eixo dos x em dois pontos distintos: 
 ➝ Assim, a abscissa do vértice é a média aritmética entre x1 e x2 
 ➝ Utiliza-se báskara para encontrar as raízes x1 e x2 
 ➝ Então xv = -b / 2a 
 ➝ O valor de yv obtém-se substituindo o xv na equação dada. 
 ➝ Assim, o yv = -delta / 4a 
 
⤷ Se a equação for da forma ay² + by + c = x, então xv = -b / 2a e yv = -delta / 4ª 
 
Gráfico de uma parábola 
 
⤷ Para representar graficamente uma parábola é importante saber que valores são convenientes 
atribuir à variável independente, para que sejam conhecidos os valores da variável dependente 
e os pares que são os pontos da curva. 
⤷ O primeiro passo é determinar as coordenadas do vértice. 
⤷ Assim, conhecendo a concavidade é possível verificar se existem raízes reais. 
⤷ É importante lembrar que pelo vértice passa um eixo de simetria e cada ponto pertencente à 
parábola situado a direita ou a esquerda desse eixo sempre terá um simétrico. 
⤷ Um ponto qualquer pertencente à parábola tem em relação ao eixo de simetria a mesma 
distância em módulo do seu simétrico. 
⤷ Se a parábola apresenta raízes reais e diferentes, essas são simétricas em relação ao eixo da 
parábola. 
⤷ Se somarmos essas raízes encontramos a abscissa do ponto simétrico ao de intersecção da 
parábola com o eixo das ordenadas. 
⤷ Se o coeficiente b for nulo, indica que a parábola tem as coordenadas do vértice sobre um dos 
eixos. Se for y = f(x), o eixo das ordenadas será o eixo de simetria e se x = f(y) então o eixo de 
simetria será o eixo das abscissas. 
⤷ Se o termo independente c for nulo, a parábola irá passar na origem do sistema, uma raiz da 
equação é zero e a outra está no lado oposto do eixo de simetria. A distância dessa outra raiz ao 
eixo de simetria é igual em módulo à distancia da origem ao eixo de simetria. 
⤷ O coeficiente b e o termo independente c ambos nulos indicam o vértice sobre a origem e o 
eixo de simetria sempre será um dos eixos coordenados. 
 
Pontos de máximo e mínimo e valor máximo e mínimo para y = f(x) 
 
⤷ Quando a < 0, à esquerda do vértice ela é crescente e à direita decrescente, então as coordenadas 
do vértice serão xv = ponto de máximo e yv = valor máximo da função 
 
⤷ Quando a > 0, à esquerda do vértice ela é decrescente e à direita crescente, então as coordenadas 
do vértice serão xv = ponto de mínimo e yv = valor mínimo da função 
 
A equação da parábola quando são conhecidos pelo menos três de seus pontos 
 
⤷ Para determinar a equação de uma parábola a partir de três pontos que pertencem à curva, 
basta substituir as incógnitas x e y dessa equação pelas coordenadas desses pontos. O resultado 
deste processo é um sistema de três equações com as incógnitas a, b e c, que resolvido nos 
permite escrever a equação dessa parábola. 
⤷ Então, monta-se um sistema, encontra-se a, b e c e substitui-se na original. 
 
Posições relativas entre retas e parábolas 
 
⤷ A posição relativa da reta em relação à uma parábola pode ser determinada a partir da 
resolução do sistema entre as duas equações. 
⤷ Isola-se uma incógnita na equação da reta e substitui na da parábola, obtendo uma equação 
polinomial do 2º grau. 
a) A reta é secante se tem duas raízes reais e distintas, com dois pontos em comum e 
delta > 0 
b) A reta é tangente se tem duas raízes reais e coincidentes, um ponto em comum e 
delta = 0 
c) A reta é externa se não tem solução real, não existem pontos em comum e delta < 0 
Elipse 
 
⤷ A elipse é a curva plana fechada descrita por um ponto que se desloca de forma tal que a 
soma de suas distancias a dois pontos fixos (focos) do plano, permanece constante. 
⤷ PF1 +PF2 = constante; PF1 + PF2 = RF1 + RF2 = SF1 + SF2 = TF1 + TF2 
 
 
 
 
 
Relações notáveis na elipse 
⤷ Quando P se desloca até coincidir com o 
vértice V1 teremos que PF1 + PF2 = 2a = eixo 
maior 
 
 
 
⤷ Quando P se desloca até coincidir com o 
ponto A teremos que AF1 = AF2 = a = 
semieixo maior 
 
 
 
⤷ Na elipse há o triângulo AOF1, que segue 
o teorema de Pitágoras a² = b² + c², onde a, b e 
c são parâmetros geométricos 
 
 
 
⤷ Se a elipse tem centro na origem e eixo maior sobre o eixo dos x, V (±a, 0), F (±c, 0), A (0, b) e 
B (0, -b) 
⤷ Se o centro estiver na origem e o eixo maior sobre o eixo dos y, V (0, ±a), F (0, ±c), A (b, 0) e 
B (-b, 0) 
 
⤷ O raio vetor de uma elipse (PF1 e PF2) é um vetor cujo módulo é determinado pela distância 
estabelecida entre um ponto P (x, y) pertencente à elipse e um dos focos F (c, 0) ou F (-c, 0). 
 ⤷ Assim, PF2 = a + 
c
a
x e PF1 = a − 
c
a
x, onde x é a abscissa do 
ponto P nas duas expressões 
 ⤷ Se a elipse tem centro na origem e eixo maior sobre as ordenadas, o módulo do raio 
vetor é dado pelas expressões , PF2 = a + 
c
a
y e PF1 = a − 
c
a
y onde y é a ordenada do ponto P 
 
⤷ 
 
 
 
 
⤷ p = b² / a 
⤷ A corda focal mínima 2p, definida como o 
dobro do parâmetro, é 2p = 2 b² / a 
 
 
 
⤷ A circunferência que tem centro 
coincidindo com o centro da elipse e raio 
igual ao semieixo maior a é chamada de 
circunferência principal da elipse 
 
 
 
 
 
 
 
 
⤷ As circunferências cujos centros estão nos 
focos da elipse e têm raio igual ao eixo maior 
2a são chamadas de circunferências 
diretoras 
 
 
 
 
A excentricidade da elipse 
 
⤷ É a quantidade que determina o quanto essa elipse está próxima do lugar geométrico de uma 
circunferência. Ela mede quantos focos estão fora do centro. 
⤷ A excentricidade é a razão entre a semidistância focal c e o semieixo maior a. 
e = c / a 
 
⤷ Sabendo que c é menor do que a, sabe-se que e está entre 0 e 1 
 - Quanto mais próxima de 0, mais redonda; quanto mais perto de 1, mais alongada. 
 
⤷ O quociente entre o semieixo menor b e o semieixo maior a determina a centralidade da 
elipse. 
- Quanto mais próximo de 1 estiver a centralidade, mais arredondada ela será, e quanto 
mais próxima de 0, mais alongada. 
 
⤷ Também pode ser determinada por 𝑒 = 
√𝑎2−𝑏2
𝑎
 
⤷ Com a excentricidade, também pode-se determinar o raio vetor: PF1 = a ex e PF2 = a + ex. 
 
 
Equações da elipse com centro na origem 
 
Eixo maior horizontal: 
⤷ Seja P (x, y) um ponto qualquer da elipse, 
𝑥2
𝑎2
+ 
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
Eixo maior vertical: 
⤷ Seja P (x, y) um ponto qualquer da elipse, 
𝑦2
𝑎2
+ 
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
 
 
 
 
Equações da elipse com centro deslocado da origem 
 
Eixo maior horizontal 
⤷ Considere que tenha centro em C (h, k) e o eixo maior é paralelo ao eixo das abscissas. 
⤷ As coordenadas do eixo menor são V (h ±a, k), F (h ±c, k), A (h, k + b) e B (h, k b) 
 
 
 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+ 
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 
 
 
Eixo maior vertical 
⤷ Considere que tenha centro em C (h, k) e o eixo maior é paralelo ao eixo das ordenadas. 
⤷ As coordenadas do eixo menor são V (h, k ±a), F (h, k ±c), A (h +b, k) e B (h-b, k) 
 
 
 
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
+ 
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
= 1 
 
 
 
 
Equações das diretrizes da elipse 
 
⤷ Centro na origem, eixo principal sobre o eixo das abscissas e as retas x = ± d. 
 - As diretrizes podem ser expressas por x = ± a² / c 
⤷ Centro em C (h, k) e eixo maior paralelo às abscissas, x = (h ± a² / c) 
 
⤷ Centro na origem e eixo maior sobre as ordenadas: y = ± a² / c 
⤷ Centro em C (h, k) com eixo paralelo ao eixo das ordenadas y = (k ± a² / c) 
 
 
 
 
Teorema das tangentes para elipses 
 
⤷ Se P é ponto de tangencia de uma reta t 
com uma elipse de focos F1 e F2 então t é 
bissetriz externa em P do ângulo formado 
entre os segmentos PF1 e PF2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⤷ Tratando-se de elipses, o simétrico de um 
foco em relação a uma reta tangente está na 
circunferência diretora cujo centro e o outro 
foco. 
 
 
 
Hipérbole 
⤷ A hipérbole é o conjunto dos pontos P de um plano, tais que a diferença de suas distâncias a 
entre esses pontos fixos. 
⤷ A hipérbole é o lugar geométrico constituído por um ponto que se desloca de tal forma que 
a diferença entre as distâncias deste até os focos determina uma constante. 
 
⤷ Duas hipérboles são chamadas de hipérboles conjugadas quando uma tem o eixo real igual ao 
eixo imaginário da outra e vice-versa. As hipérboles conjugadas tem equações das assíntotas 
iguais. 
 
 
 
 
 
 
⤷ Relações notáveis da hipérbole: 
 
 
 
 
⤷ Quando P coincidir com o ponto A, tem-
 PF = 2ª 
⤷ A distância entre as extremidades dos 
= c 
⤷ Conforme a relação de Pitágoras, tem-se 
c² = a² + b² 
 
⤷ O parâmetro p da hipérbole é definido como a metade da corda focal mínima 
P = b² / a 
⤷ Portanto, a corda focal mínima, que é o dobro do parâmetro, é 
2P = 2b² / a 
 
⤷ A excentricidade da hipérbole é a razão existente entre a semidistância focal c e o semieixo 
real a. 
E = c / a 
⤷ Também pode calcular a excentricidade por 𝑒 = 
√𝑎2+𝑏2
𝑎
 
 - A excentricidade da hipérbole é sempre maior que 1. 
 - Quanto mais próxima de 1, mais b/a é próximo de 0 
 - Quanto mais longe de 1, mais b/a de distância de 0 
 
⤷ O raio vetor de uma hipérbole, definido como o módulo da distancia de qualquer ponto 
pertencente ao lugar geométrico da curva até um dos focos, pode ser determinado partindo de 
 PF = 2ª 
 - Para o ramo direito da hipérbole, PF = ex 
 - Para o ramo esquerdo da hipérbole, PF = - -ex a 
 
 
Equações da hipérbole com centro na origem 
 
⤷ Centro na origem e focos no eixo dos x 
𝑥2
𝑎2
− 
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
 
 
 
 
⤷ Centro na origem e focos no eixo dos y 
𝑥2
𝑎2
− 
𝑦2
𝑏2
= 1 
 
 
 
 
 
 
Equações da hipérbole com centro deslocado da origem 
 
⤷ Centro deslocado da origem e focos num 
eixo paralelo ao eixo dos x 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
− 
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 
 
 
 
⤷ Centro deslocado da origem e focos num 
eixo paralelo ao eixo dos y 
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
− 
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
= 1 
 
Equações das diretrizes da hipérbole 
 
 
⤷ Para as com centro na origem e eixo real 
sobre o eixo das abscissas (a da figura) 
𝑥 = ±
𝑎2
𝑐
 
⤷ Se o centro for deslocado e o eixo real for 
paralelo ao das abscissas 
𝑥 = ℎ ±
𝑎2
𝑐
 
 
⤷ Para as com centro na origem e eixo real 
sobre o eixo das ordenadas 
𝑦 = ±
𝑎2
𝑐
 
 
⤷ Se o centro for deslocado e o eixo real for 
paralelo ao das ordenadas 
𝑦 = 𝑘 ±
𝑎2
𝑐
 
 
 
Assíntotas da hipérbole 
 
⤷ Assíntota da hipérbole é o limite das posições de uma tangente geométrica cujo ponto de 
tangência tende para o infinito 
⤷ Assíntotas são retas que passam pelo centro da hipérbole e são simétricas em relação aos seus 
eixos. 
 
 
⤷ Hipérboles com centro na origem e eixo real sobre o eixo das abscissas tem a equação das 
assíntotas com a seguinte forma algébrica: 
Como: m = 
a
b
tg =  , logo: x
a
b
y = 
⤷ Hipérboles com centro em C (h, k) e eixo real sobre ou paralelo ao eixo das abscissas tem 
assíntotas dadas por )( hx
a
b
ky −=− 
⤷ Hipérboles com centro na origem e eixo real sobre o eixo das ordenadas tem 
m = 
b
a
tg =  e x
b
a
y = 
⤷ Hipérboles com centro em C (h, k) e eixo real sobre ou paralelo ao eixo das ordenadas tem 
assíntotas dadas por )( hx
b
a
ky −=− 
 
Hipérbole equilátera ou retangular 
 
⤷ A hipérbole cujos semieixos a e b são iguais e as assíntotas são perpendiculares é denominada 
hipérbole equilátera ou retangular. 
 
 
⤷ A equação da hipérbole equilátera é, assim: 
222 ayx =− → com centro na origem e focos sobre o eixo dos x. 
222 axy =− → com centro na origem e focos sobre o eixo dos y. 
 
222 )()( akyhx =−−− →f ocos sobre um eixo paralelo ao eixo dos x. 
222 )()( ahxky =−−− →focos sobre um eixo paralelo ao eixo dos y. 
 
⤷ A semidistânciafocal c para hipérboles equiláteras pode ser determinada pela seguinte 
expressão 2ac =