RESUMO AULAS primitivas das funcoes

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RESUMO DAS AULAS DE CALCULO II 
 
Primitiva de uma função 
 
Dada a função f, definida num intervalo real, chamamos de primitiva de f à função g, 
tal que g’(x) = f(x). 
Assim, se f(x) = 2x então as funções: 
 g(x) = x²; g(x) = 2x + 4; g(x) = 2x – 10, são algumas das primitivas de f. 
Devemos considerar que as diversas primitivas de uma função f, diferenciam-se por uma 
constante real. Assim, podemos estabelecer a família de primitivas de f como sendo g(x) = 
x² + c, onde c é um número real. 
Exemplo 
Calcule a primitiva das funções abaixo: 
 
 a) f(x) = 3x² 

 g(x) = x³ + c 
 
 b) f(x) = senx 

 g(x ) = cosx + c 
 
 c) f(x) = 
x
1
 

 g(x) = 
n
x + c 
Integral Indefinida 
 
O processo pelo qual se determina a primitiva de uma função dada denominamos de 
Integral, assim, dada à primitiva f(x) + c de uma função F(x) a relação entre f e F é expressa 
por: 
 
 
  CxfdxxF )()(
 , que se lê na parte esquerda, integral de F(x) com relação à x, igual a 
integral definida que é f(x) + C. 
Fórmulas de Integração; 
 
 
INTEGRAL IMEDIATA 
As principais funções têm suas integrais diretamente obtidas por meio das regras de 
derivação. Assim: 
 
1. 
 duu
m
 = 
1
1


m
um
 + C 
 
2. 
 uducos
 = senx + C 
 
3. 
 xdxsen
 = - cosx + C 
 
4. 
 u
du
 = 
n
 u + C 
 
5. 
 dua
u
 = 
na
au

 + C 
 
Exemplos: 
 
Questão 1. 
 dxx
3
 = 
13
13

x
 = 
4
4x
 + C 
 
Questão 2. 
 xdcos
 = senx + c 
 
Questão 3. 
 dx
x2
 = 
2
2
n
x

 + C 
 
 
Propriedades da integral definida 
 
 Se f e g são funções contínuas e K um número real então: 
 
1. 
 dxxfk )(.
 = K. 
 dxxf )(
 
 
2. 
  dxxgf ))((
 = 
  dxxgdxxf )()(
 
 
3. 
   dxxgf ))((
 = 
  dxxgdxxf )()(
 
 
Exemplos: 
 
Questão 1. 
  dxxx )13(
2
 = 
   dxxdxdxx 23
2
 = 
Cx
xx
 2
2
3
3
23 
 
Questão 2. 


dx
x
xx
2
23 35
 = 

 )35( 2xx
 = 
C
x
x
x

3
5
2
2 
 
Questão 3. 
  dxx
x )
4
5(
 = 
  x
dx
dxx 45
 = 
Cnx
n
x
 

4
5
5
 
 
Questão 4. 
  dxxe
x )cos35(
 = 5
  xdxdxe
x cos3
 = 5e x + 3 senx + C 
 
Questão 5. 
  dxxx )(
2
 = 
 dxx
2
 - 
 dxx 2
1 = 
C
xx

3
2
3
2
3
3 
 
Questão 6. 
 dxn
x )5.3( 
 = 
 dxn
x35
 = 3 x . 
Cn 5
 
 
Questão 7. 
  dxx
2)43(
 = 
  dxxx )16249(
2
 = 3x³ + 12x² + 16x + C 
 
Questão 8. 


dx
x
x 2)1(
 = 


dx
x
xx
2
1
221
 = 
 

dxxxx )2( 2
3
2
1
2
1
 = 
Logo substituindo os valores: 
 


dx
x
x 2)1(
 = 2x 21 + 
2
3
3
4
x
 + 
Cx 2
5
5
2 
 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO: VARÁVEIS AUXILIARES 
 
Em alguns casos para se encontrar a integral do tipo 
 dxxf )(
, torna-se conveniente, fazer 
uma substituição de variável. Por exemplo: seja calcular 
  .)1(2
42 dxxx
 Fazendo u = (x² + 1), teremos 
x
dx
du
2
, onde du = 2xdx e. 
dx =
x
du
2
 , substituindo-se na integral acima: 
 x
du
ux
2
..2 4
 = 
 duu
4
 = 
5
5u
 , fazendo a volta 
temos: 
  dxxx )1(2
2 C
x


5
)1( 52
. 
 
Exemplos: 
 
Questão 1. Calcular integral indefinida: 
  dxx
9)5(
 
Solução: fazendo u = x – 5 temos 
1
dx
du
 ou du = dx, substituindo-se: 
 
 
  10
10
9 uduu
 , então; 
 

 C
x
dxx
10
)5(
)5(
10
9
 
 
Questão 2. Calcular integral indefinida: 
  dxxx 32
2
 
 
 Solução: fazendo u = x² - 3, temos du = 2x dx 

 dx = 
x
du
2
 então 
 
 
  32
2xx
dx = 
 x
du
ux
2
.2
 = 
3
.2
2
3
2
1 u
duu 
 = 
C
x


3
)1(2 32 
 
Questão 3. Calcular integral indefinida: 
 
dx
x
x
13
2 
 
 Solução : u = x³ - 1 

 du = 3x² dx 

 dx = 
23x
du
 
 
 
 2
2
3
.
x
du
u
x
 = 
 u
du
3
1
 = 
nu
3
1
 = 
Cxn  )1(
3
1 3
 
 
Questão 4. Calcular integral indefinida: 
  dxx
x
tgxdx
cos
sen
 
 
 Solução: u = cosx 

 du = -senx dx 

 dx = - 
x
du
sen
 
 
 
  )sen
(
sen
x
du
u
x
 = - 
 u
du
 = - 
nu
 = - 
Cxn )(cos
 
 
Questão 5. Calcular integral indefinida: 
  dxxx 4
2
 
 
 Solução : u = x² + 4 

 du = 2x dx 

 dx = 
x
du
2
 
 
 
 x
du
ux
2
.
 = 
 duu 2
1
2
1 = 
2
3
.
2
1 2
3
u = 
3
3u = 
C
x


3
42 
 
Questão 6. Calcular integral indefinida: 
 dxx
e x
2
1
 
 
 Solução : u = 
x
1
 

 du = - 
dx
x2
1
 

 dx = - x² du 
 
 
  )(
2
2
dux
x
eu
 = - 
 due
u
 = - e u = - e x1 + C 
 
Questão 7. Calcular integral indefinida: 
 
dx
e
e
x
x
3)1(
 
 
 Solução : u = e
1x
 

 du = 
xe
 dx 

dx = 
xe
du
 
 
 
 x
x
e
du
u
e
.
3
 = 

 duu 3
 = - 
22
1
u
 = - 
C
ex

 2)1(2
1
 
 
 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
Por definição , sabemos que se duas funções u e v são diferenciáveis então: 
d (uv) = u dv + v du ou u dv = d (uv) – v (du), onde : 
 
 
udv
 = u v - 
vdu
 
 
Como foi mostrada a integração por partes se aplica no geral em funções expressas como 
produto de duas funções dadas. Assim, torna-se necessário à escolha minuciosa das partes 
u e dv, de modo a tornar a integral dada mais simples possível.Em geral podemos usar a 
regra L I A T E, indicando a ordem de escolha, sendo temos, Logaritmica, Inversa 
Trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica e Exponencial 
 
Exemplos: 
 Questão 1. 
 dxxx .sen.
 
 
 Solução: 
 Fazendo u = x, temos du = dx e 
 
 dv = senx dx têm-se v = 
 xdxsen

 v = - cosx 
 
 Substituindo na fórmula 
udv
 = uv - 
vdu
 , temos : 
 
 
 dxxx .sen
 = x.(-cosx) - 
  dxx)cos(
 = -x cosx + 
 xdxcos
 então: 
 
 
 dxxx .sen.
 = -x cosx + senx + C 
 
 Vale salientar que as escolhas de u e v foi bastante feliz, visto que recaímos em uma 
integral de solução simples. 
 Para comprovar o fato, vejamos o caso em que a escolha fosse feita de outra forma: 
Fazendo u = senx temos du = cosx dx 
 
dv = x dx 

 v = 
 dxx.
 

 v = 
2
2x
 
 
 
Substituindo na fórmula 
udv
 = uv - 
vdu
, temos: 
 
 dxxx .sen.
 = senx. (
2
2x
) - 
 dx
x
x )
2
.(cos
2 o que torna o cálculo da integral muito mais 
complexo. 
 
Questão 2. 
 dxex
x..
 
 
 Solução: 
 
 Fazendo u = x 

 du = dx 
 
 dv = e x dx 

 v = 
 dxe
x
 

 v = e x , substituindo na fórmula: 
 
 
 dxex
x..
 = x.e x - 
 dxe
x.
 =
x.e x - e x = e x ( x – 1) + C 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
 
Se f(x) é uma função tal que g(x) é uma primitiva então: 
  Cxgdxxf )()(
. 
A integral definida de f(x) num intervalo de limites a e b é a diferença 
g(b) – g(a) a qual indicamos por: 
 
 

b
a
dxxf )(
 = g(b) – g(a) 
 
Propriedades da integral definida 
 
 Se f(x) e g(x) são funções contínuas no intervalo de integração [a , b] e c é uma 
constante qualquer, então: 
 
P1. 
 
b
a
b
a
dxxfcdxxcf )()(
 
 
P2. 
  
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
 
 
P3. 
  
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
 para a < c < b 
 
P4. 
 
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
 
 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO 
 
 Se f(x) é uma função contínua no intervalo de integração [a, b] e se g(x) é uma primitiva 
dessa função, então: 
 
 
b
a
b
a agbgxgdxxf )()()]()(
 
Exemplos: 
 
Questão 1.Calcular a integral definida: 


1
1
2.dxx
 
 
 Solução: 
 
 


1
1
2dxx
 = 
3
3x
]
1
1
 = 
33 )
3
1
()
3
1
(


 = 
27
2
 
 
 
Questão 2. Calcular a integral definida: 
 
1
0
2 1
2
dx
x
x
 
 
 Solução: 
 
 Calculando a integral: 
 
 Fazendo u = x² + 1 

 du = 2x dx 

 dx = 
x
du
2
 
 
 

1
0
2
2
x
du
u
x
 = 

1
0
u
du
 = 
nu
 = 
)1( 2 xn
]
1
0
 = 
1)2( nn  
 = 
2n
 
 
 
 
 
Questão 3. 



1
1
32 )2( dxxx
 
 
 Solução: 
 
 



1
1
32 )2( dxxx
 = [
43
2 43 xx

]
1
1
 = 















4
1
3
2
4
1
3
2
 = 
3
4
 
 
 
APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA: CALCULO DE ÁREAS 
 
 
Dada à função f contínua em [ a , b ] e não negativa, a área A da figura abaixo é dada por A 
= 

b
a
dxxf )(
 f(x) 
 
 
 a b 
 
 
A área A pode ser interpretada como a área limitada pela curva contínua y = f(x) , pelo eixo X 
e pelas retas x = a e x = b . 
 
Exemplos: 
 
Questão 1. Achar a área limitada pela curva y = x³ + 3x², pelo eixo X e pelas retas 
 x = 0 e x = 2. 
 
 Solução: A = 
 
2
0
23 )3( dxxx
 
 
 A = [ 
3
4
4
x
x

 ]
2
0
 = 12 u.a. 
0 2 
 
Questão 2. Achar a área limitada pela curva y = 6x + x² - x³, pelo eixo X no primeiro 
quadrante. 
 
 
 
Solução: A = 
 
3
0
32 )6( dxxxx
 = 3
0
43
2
43
3 






xx
x
 0 3 
A = 







4
4
3
3
33
43
2
- 







4
0
3
0
03
43
2
 
Finalmente temos: 
 
A = 
4
63
u.a. 
 
 
 Questão 3. Calcular a área limitada pela curva y = - x² + 3x - 6, pelo eixo X, 
no intervalo [ 1 , 3 ]. 
 1 3 
Solução: A = 
 
3
1
2 )63( dxxx
= 3
1
23
6
2
3
3








x
xx 
 
Substituindo os valores, obtemos 
 A = - 
3
26
u.a. 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
 
Na definição de área ficou estabelecido, na aula e por definição, que f(x) era uma função 
contínua e não negativa em [a, b]. Se f(x) é negativa em [a , b] , ou seja , se a curva está 
abaixo do eixo X, então, o valor de A = 

b
a
dxxf )(
 é negativo. Essas áreas são denominadas 
de áreas negativas. De um modo geral, se f(x) < 0 em [a , b] Então, 
 
b
a
Axf .)(
. 
Dessa forma, no exemplo anterior o resultado da área será: A = - ( - 
3
26
 ) = 
3
26
.u.a. 
É muito importante lembra que para o cálculo de áreas sob curvas é necessário o 
conhecimento do comportamento gráfico das funções, pois existem como nos exemplos 1 e 
2, funções cujos gráficos situam-se abaixo e acima do eixo X. 
Assim, a área total absoluta entre uma curva, o eixo X em um intervalo [a, b] é: 
Área total = 
  )()( ivasáreasnegativasáreasposit
 
De um modo geral se f(x) 
0
 em [ a , c] e f(x)
0
em [c , b], 
Então, a área total absoluta é A = 

b
a
dxxf )(
 =
 
c
a
b
c
dxxfdxxf )()(
 = A
1
- A
2
 
 
 
 
 A
1
 
 a c b 
 
 A
2
 
 
A figura esquemática a ideia de um Área 1, Positiva e um Área 2, Negativas, 
 
Questão 4. Achar a área limitada pela curva y = senx , o eixo X em [0 , 2

] 
 
Solução: 
 
Tomando como base o gráfico da função: 
 
 
 0 

 2

 
 
 
 
 
Temos: A = 

2
0
sen xdx
 = 
 
 
0
2
sensen xdxxdx
= 
    
 2
0 coscos xx 
 
 
 A = - (cos

- cos0) +(cos 2

 - cos 

) = 2 + 2 = 4 u.a. 
 
 
 
Questão 5. Achar a área limitada pela curva y = 2x + x² - x³ , pelo eixo X e pela retas 
 x = - 1 e x = 1. 
Solução: 
Gráfico ao lado mostra a forma da curva f(x): 
 -1 0 1 
A = -



0
1
32 )2( dxxxx
 + 
 
1
0
32 )2( dxxxx
 
Integrando temos 
 
A = - 0
1
43
2
43








xx
x
 + 1
0
43
2
43







xx
x
 
Substituindo os limites de Integração temos: 
A = 
)
12
5
(
12
13

 = 
2
3
 u.a. 
Observação: Repare que a primeira Área está sob a curva logo, por definição colocamos (-) 
antes da integral visando garantir o valor positivo da área a ser calculada. 
 
AREA ENTRE CURVAS: APLICAÇÃO 
 
 
Sejam f(x) e g(x) duas funções contínuas no intervalo [a , b], tais que 
 0
)()( xfxg 
 para todo x do intervalo, então a área A da região compreendida entre os 
gráficos de f(x) e g(x) de x = a até x = b é dada por: 
 A = 
 
b
a
dxxgxf )]()([
 
Exemplo: 
Questão 6. Achar a área limitada pelas curvas: y = x² e y = x. 
 
 
 
 Solução: 
Achando os pontos de interseção das curvas: 
 x² = x 

 x² - x = 0 

 x’= 1 ou x’’ = 0 
 .......................................................................................... 0 1 
 
Então a área entre as curvas fica definida pela integral 
 A = 
 
1
0
2)( dxxx
 = 1
0
32
32







xx = 
6
1