Aula 01 - Teoria do Risco Individual

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Matemática Atuarial III– Período 2014/01 
 
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Professora: Tayana Rigueira 
 
MODELO DE RISCO INDIVIDUAL 
 
Em um modelo de precificação é importante conhecer a distribuição do valor total dos 
sinistros de uma carteira em um determinado período. Aqui será desenvolvido o modelo 
de risco individual anual para determinar o valor total dos sinistros de uma carteira de 
1 ano. Nesse modelo serão utilizadas distribuições do valor do sinistro e da ocorrência 
do sinistro individualmente. 
As hipóteses desse modelo são: 
a) probabilidade de ocorrência de sinistros em 1 ano de cada apólice ���� é 
conhecida; 
b) distribuição da variável aleatória “valor do sinistro de cada apólice”	���� é 
conhecida; 
c) probabilidade de ocorrência de mais de 1 sinistro por apólice é desprezível; 
d) número de apólices ��� é conhecido, e não são consideradas novas entradas ou 
saídas; 
e) riscos assumidos de cada apólice são independentes. 
Seja ��	
 � �
 � �� �⋯� �	, onde �
 � �� � ⋯ � �	 e �� � �� ∗ ��, sendo: 
��	
 – variável aleatória “valor total das indenizações na carteira em 1 ano” ou “valor do 
sinistro agregado da carteira em 1 ano”; 
�� – variável aleatória associada ao sinistro da apólice � em 1 ano; 
�� – variável aleatória “valor do sinistro da apólice � dado que o sinistro ocorreu em 1 
ano”; 
�� – variável aleatória “ocorrência de sinistro da apólice � em 1 ano”, com ��~���������	���� 
�� � � 1, ���	 ��!"!���#"#�	��0, ���	 ��!"!���#"#�	 � � 1 %	�� 
�� é melhor definida por ��|�� � 1, ou seja, �� só faz sentido uma vez que o sinistro 
ocorreu. 
1- Cálculo da Função de Distribuição de '( 
)*+�,� � -��� . ,� � /-��� . ,, �� � 0�
123
 
� -��� . ,|�� � 0� ∗ -��� � 0� � -��� . ,|�� � 1� ∗ -��� � 1� 
� ��,� ∗ � � )4+�,� ∗ 	�� 
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��,� � 51, , ≥ 00, , < 0 
2- Distribuição de 8(9: 
Existem duas possibilidades de obter tal distribuição: 
2.1- Convolução a partir da Distribuição de �� 
);+<=�,� � -���	
 . ,� � )*>⨂)*@⨂. . . )*< 
Este é um processo recursivo, onde primeiro se calcula a distribuição de �
, e a partir 
da distribuição de �
 se calcula a distribuição de �
 � �� e, assim sucessivamente, até se 
calcular a distribuição de ��	
 � �
 � �� �⋯+ �	. 
2.2- Função Geratriz de Momentos 
B;+<=�C� = D E�F∗;+<=G = DH�F∗�*>I*@I⋯I*<�J 
= DK�F∗*>L ∗ DK�F∗*@L ∗ … ∗ DK�F∗*<L = B*>�C� ∗ B*@�C� ∗ … ∗ B*<�C� 
Logo, se B*+�C� é conhecido, obtém-se B;+<=�C�. 
3- Cálculo de N�8(9:� e OPQ�8(9:� 
Supondo que o valor do sinistro em cada apólice independe da sua ocorrência e a 
variável aleatória “ocorrência de sinistro em cada apólice” são independentes e 
identicamente distribuídas, tem-se que: 
DK��	
L = /DK��L
	
�2
=/DK��L ∗ DK��L
	
�2
=/�� ∗ DK��L
	
�2
 
R"�K��	
L =/R"�K��L
	
�2
=/DKR"����|���L
	
�2
+/R"�KD���|���L
	
�2
 
onde: 
DKR"����|���L = R"�K��|�� = 0L ∗ -K�� = 0L + R"�K��|�� = 1L ∗ -K�� = 1L = R"����� ∗ �� 
R"�KD���|���L = R"�KD��� ∗ ��|���L =∗ R"�K�� ∗ D���|���L = D����� ∗ R"�K��L = D����� ∗ �� ∗ � 
Logo, 
R"�K��	
L = R"����� ∗ �� + D����� ∗ �� ∗ � 
Exemplo 1: Seja um seguro que cobre morte por qualquer causa com indenização fixa de 
$10.000 e invalidez total e permanente com indenização fixa de $5.000. As probabilidades 
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anuais de sinistros de cada apólice são de 0,001 e 0,0002. Determine as distribuições de 
�� , �� e ��. 
4- Aproximação Normal 
Esse modelo é aplicado quando não se conhece a distribuição de ��	
, ou quando sua 
obtenção é muito trabalhosa. Além disso, não basta atender somente as condições do 
Teorema Central do Limite, pois os ��′W devem ser independentes e identicamente 
distribuídos e o número de sinistros tem que ser grande e não somente o número de 
apólices, �. 
Sob essas condições, ��	
~X�DK��	
L, R"�K��	
L�. 
A partir disso, é possível calcular o prêmio e o carregamento de segurança, como a 
seguir: 
-�	��	
 6 -� � Y ∴ -�	��	
 . -� � 1 % Y 
- [	��	
 % DK��	
L\K��	
L .
- % DK��	
L
\K��	
L ] � 1 % Y 
- [^ . - % DK��	
L\K��	
L ] � 1 % Y 
Ou seja, 
- % DK��	
L
\K��	
L � _
`a ∴ - � DK��	
L � _
`a ∗ \K��	
L 
Para calcular o carregamento de segurança basta levar em consideração que 
- � DK��	
L ∗ �1 � b�. Sendo assim, 
DK��	
L ∗ �1 � b� � DK��	
L � _
`a ∗ \K��	
L ∴ b � _
`a ∗ \K�
�	
L
DK��	
L 
Sendo assim, quanto menor a probabilidade do sinistro agregado superar o prêmio puro 
total da carteira, maior terá que ser o carregamento de segurança. Desta forma, quanto 
maior o desvio padrão do sinistro agregado em relação à média do sinistro, maior será o 
carregamento de segurança. 
Exemplo 2: Uma carteira de seguro de vida possui 3 faixas de importâncias seguradas, 
quais sejam: $10.000, $30.000 e $50.000. O número de apólices em cada faixa é de 200.000, 
300.000 e 100.000, respectivamente. Em cada uma das faixas a probabilidade de morte 
em 1 ano é de 0,01; 0,005 e 0,02 respectivamente. Calcular o carregamento de segurança 
e o prêmio puro total de modo que a probabilidade do sinistro agregado superar o 
prêmio puro total anual não exceda 5%, utilizando a aproximação normal.