EXERCÍCIOS - ESTADOS LIMITES

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(QUESTÃO 00) Qual é o objetivo das normas ao padronizar os níveis de segurança das estruturas? 
A segurança deve ser quantificada, ou seja, possui valor ou medida para facilitar a execução desta. 
Ela deve pré-estabelecida e não pode ser introduzida diferentemente para cada projeto, por 
critérios dos projetistas, fabricantes das estruturas, dos construtores ou mesmo dos proprietários. 
Para proteger e garantir os direitos do consumidor final existem normas (uma geral e outras 
específicas) capazes de quantificar e padronizar os níveis de segurança utilizados na construção 
civil. A norma geral, responsável pela segurança é a NBR 8681/1984 – Ações e Segurança nas 
estruturas. E um exemplo para uma norma específica é a NBR 8800/1986 – Projeto e execução de 
estruturas de aço em edifícios. 
 
(QUESTÃO 01) Explique por que as ações, as resistências e também as configurações de ruína são 
variáveis aleatórias? 
O conceito básico de variáveis aleatórias é o fato de não ser possível se prever o valor da variável 
antes da ocorrência do evento gerador. As ações são classificadas como tal pelo fato de seus valores 
expressos em norma, nem sempre sejam aqueles mesmos, ou seja, pode ocorrer que o valor 
utilizado em projeto seja maior ou menor que o estabelecido em norma. O fato de estes valores 
serem característicos, também implica que estes tem a probabilidade, de serem ultrapassados ou 
não, de 5% ou seja, o valor fornecido por norma funciona de acordo com uma probabilidade de 
ocorrência, o que também implica em um resultado capaz de sofrer alterações no valor pré-
estabelecido. Já para a resistência, como o valor esta relacionado com a probabilidade de 
ocorrência, um concreto especificado na norma como um concreto de 20MPa, certamente não 
apresentará este valor de resistência em toda a sua execução, podendo variar em certos casos. Estes 
valores fornecidos em projeto são valores característicos, e podem ser superados, com 
probabilidade que isto ocorra de 95%. Pode-se notar que para os valores característicos, as ações 
tem risco de 5% de serem superadas, enquanto as resistências têm 95%, isto ocorre por que o 
sentido desfavorável da ação é para cima, enquanto o da resistência é para baixo. Por fim, as 
configurações de ruínas, na prática, podem ser consideradas variáveis aleatórias. Um exemplo 
simples é uma viga bi apoiada, com uma carga pontual bem no meio de sua extensão. Vimos 
durante muito tempo na faculdade, que a região mais solicitada desta peça seria a seção central 
(onde a carga esta exercendo força), porém, outros fatores, podem alterar o local de fragilidade da 
peça, como por exemplo, uma região menos resistente em outra parte da viga, fazendo assim com 
que o risco de ruína seja superior nesta região do que na região central, que teoricamente, seria a 
região mais suscetível à ruína. 
 
(QUESTÃO 02)Qual a definição genérica de valor característico de uma variável? Como se obtém o 
valor característico de uma ação? E de uma resistência? 
Como definição básica, pode-se dizer que o valor característico é aquele que possui a chance de ser 
superado em 5% no sentido mais desfavorável de sua natureza. Denominado como Sk, o valor 
característico de uma ação é dado pela seguinte expressão: 
Sk = μ(S) + 1,645σ(S) 
Onde μ(S) é a média de todos os valores da ação S e σ(S) é o desvio padrão gerado por estes 
valores. 
Já para os valores característicos da resistência, denominados fk, tem-se a seguinte expressão: 
fk = μ(f) − 1,645σ(f) 
Onde μ(f) é a média de todos os valores da resistência f e o σ(f) é o desvio padrão gerado por estes 
valores. 
(QUESTÃO 03) Quais as diferenças entre os métodos determinístico, probabilístico puro e semi-
probabilístico? 
Utilizado até a década de 60, o método determinístico considera as ações, as resistências e 
configurações de ruínas como variáveis determinísticas. É o mais simples de ser utilizado dentre os 
três. Não leva em consideração as alterações que as variáveis podem sofrem por certos motivos, por 
isso se mostra menos eficaz aos resultados reais encontrados na prática. O probabilístico puro 
considera as ações, as resistências e configurações de ruína como variáveis aleatórias. Por se 
mostrar muito complexa quando aplicada na prática, esse método é utilizado apenas em casos 
extremos, não convencionais, onde a avaliação incorreta do nível de segurança é capaz de gerar 
grandes problemas socioeconômicos (a avaliação correta do nível de segurança da edificação se 
mostra essencial), como grandes barragens e usinas nucleares. O mais utilizado dentre os três, o 
método semi-probabilístico, é o que tem determinado a elaboração das normas atuais. Seu ideal 
consideram as ações e as resistências como variáveis aleatórias, porém considera a configuração de 
ruína como uma variável determinística. Por se apresentar mais flexível que os outros dois 
métodos, este apresenta resultados considerados bons, quando comparados ao que se obtém na 
prática e se mostra também de mais fácil execução que o método probabilístico puro. Utilizando 
como exemplo uma viga bi apoiada com carga concentrada no meio de seu vão, este método 
consideraria a ação da carga e resistência da peça como variáveis aleatórias, porém a configuração 
de ruína seria pré-determinada, ou seja, a ruína ocorrerá com a ruptura no meio de sua extensão. 
 
(QUESTÃO 04) Quais as diferenças entre os métodos dos estados limites e método das tensões 
admissíveis? 
A diferenciação se mostra mais simples quando cada método é explicado separadamente. 
 
MÉTODO DE TENSÕES ADMISSÍVEIS: Sucedido pelo método dos estados limites, foi o método 
adotado nas primeiras normas de engenharia estrutural. Este método trata as variáveis como 
determinísticas. O dimensionamento feito por este método é feito comparando-se a tensão atuante 
na seção com a tensão admissível, e esta é calculada dividindo-se a tensão limite de escoamento por 
um coeficiente de segurança interno: 
σ̅ =
fy
si
; σ ≤ σ̅ 
Para os carregamentos, também se aplica o coeficiente de segurança, este agora denominado 
coeficiente de segurança externo. Isso se dá, comparando-se as tensões geradas pelo carregamento 
majorado com a tensão limite, sem coeficiente de segurança: 
Pmax = Pse; σmax = f(Pmax); σmax ≤ fy 
 
MÉTODOS DOS ESTADOS LIMITES: Apresenta uma melhor clareza quando comparado ao método 
citado anteriormente. É um método semi-probabilístico, por que considera as ações e resistências 
variáveis aleatórias e a configuração de ruína uma variável determinística. O dimensionamento 
deste consiste em se verificar alguns estados limites para a estrutura. Dessa forma, se adota 
coeficientes de majoração e minoração para as ações e resistências, respectivamente. Estes 
coeficientes variam de acordo com inúmeros fatores, como o estado limite, as ações, e o tipo de 
material, por exemplo. O método das tensões admissíveis os consideravam coeficientes de 
segurança, porém estes não estão diretamente ligados a segurança e sim à alteração de valores das 
variáveis. Os estados limites últimos são aqueles que quando atingidos levam a estrutura ao colapso 
e podem ser denominados 4: Estado limite de ruptura do concreto, Estado limite de escoamento do 
aço, Estado limite de ruptura do aço e Estado limite de perda da estabilidade do equilíbrio. Outros 
estados que também são levados em consideração são os Estados limites de utilização – quando 
atingidos não implicam em ruína da estrutura, porém comprometem a utilização desta – e estes são 
divididos em Estado limite de deformação excessiva e Estado limite de vibrações excessivas. 
Algumas normas específicas de certos materiais e sistemas estruturais definem outros estados 
limites. 
 
(QUESTÃO05) Por que o método das tensões admissíveis está sendo abandonado em favor do 
método dos estados limites? 
O método das tensões admissíveis considerava todas as variáveis de forma determinística e isto não 
é o que realmente ocorre na prática. Os valores utilizados neste método, eram teóricos, porém 
diversas situações podem influenciar e alterar estes valores, o que traria uma maior imprecisão dos 
cálculos. Podemos também citar como principais problemas do método das tensões admissíveis, 
que a adoção de um coeficiente de segurança externo leva a resultados diferentes da adoção de um 
coeficiente de segurança interno em estruturas com comportamento não linear e o fato do 
coeficiente de segurança não ser uma medida direta de segurança pois as variáveis envolvidas são 
aleatórias. Já o método dos estados limites possui uma base semi-probabilística, ou seja, considera 
ações e resistências variáveis aleatórias e apenas a configuração de ruína de forma determinística. 
Isso se mostra mais eficaz quando comparamos os resultados teóricos e práticos. Dessa forma, 
buscando sempre uma maior precisão, afim de evitar colapsos e problemas à estrutura, as normas 
tem sido atualizadas, agora baseadas no segundo método. 
 
(QUESTÃO 06) O que são estados limites de utilização e estados limites últimos? Qual a diferença 
fundamental entre um e outro? 
A principal diferença entre estes é o fato do segundo, embora comprometa a utilização da estrutura, 
não indica o colapso da mesma. O primeiro, quando atingido, leva a estrutura à ruína. Os estados 
limites últimos são aqueles que quando atingidos levam a estrutura ao colapso e podem ser 
denominados 4: Estado limite de ruptura do concreto, Estado limite de escoamento do aço, Estado 
limite de ruptura do aço e Estado limite de perda da estabilidade do equilíbrio. Outros estados que 
também são levados em consideração são os Estados limites de utilização – quando atingidos não 
implicam em ruína da estrutura, porém comprometem a utilização desta – e estes são divididos em 
Estado limite de deformação excessiva e Estado limite de vibrações excessivas. Vale lembrar que 
algumas normas específicas de certos materiais e sistemas estruturais definem outros estados 
limites. 
 
(QUESTÃO 07) Cite exemplos, e comente, de estados limites últimos e estados limites de utilização. 
Os estados limites últimos são aqueles que quando atingidos levam a estrutura ao colapso e podem 
ser denominados 4: Estado limite de ruptura do concreto, Estado limite de escoamento do aço, 
Estado limite de ruptura do aço e Estado limite de perda da estabilidade do equilíbrio. Outros 
estados que também são levados em consideração são os Estados limites de utilização – quando 
atingidos não implicam em ruína da estrutura, porém comprometem a utilização desta – e estes são 
divididos em Estado limite de deformação excessiva e Estado limite de vibrações excessivas. Vale 
lembrar que algumas normas específicas de certos materiais e sistemas estruturais definem outros 
estados limites. 
 
(QUESTÃO 08) O que são valores de cálculo das ações e das resistências? Como se chamam os 
coeficientes envolvidos na transformação? Dê exemplos de valores para estes coeficientes. 
São os valores característicos das ações e resistência, multiplicados por coeficientes de majoração e 
divididos por coeficientes de minoração, respectivamente. O valor de cálculo da ação pode ser 
descrito pela seguinte equação: 
Sd = Sk ∗ γf 
Já a seguinte esquação, descreve os valores de cálculo da resistência: 
Rd =
Rk
γm
 
Para o coeficiente de majoração γfum valor bastante utilizado é 1,4, podendo ser até 1,3 e 1,2. Estes 
valores são fornecidos por norma (NBR8681). Para o coeficiente de minoração γm, ests são 
fornecidos por normas específicas de cada material. Para o aço, utiliza-se, 1,1 e para o concreto, 1,4. 
 
(QUESTÃO 09) Como é verificada a segurança contra um estado limite último e contra um estado 
limite de utilização? 
Para os estados limites de utilização utilizam-se geralmente os valores caracteristicos sem 
majoração. Para os estados limites ultimos as ações são majoradas e as resistências minoradas. 
 
(QUESTÃO 10) O que são probabilidade de ruína e nível de segurança de uma estrutura? 
Probabilidade de ruína é a probabilidade de uma ação apresentar valores superiores à resistência. 
Este é o motivo de adotarem-se coeficientes de majoração das ações e minoração das resistências, 
isso acarreta uma diminuição da probabilidade de ruína. Ao se considerar as naturezas 
probabilísticas das ações e resistências, é possível afirmar que toda estrutura possui uma 
probabilidade de ruína e consequentemente um nível de segurança. Na prática os valores da 
probabilidade de ruína se apresentam muito baixos, na ordem de 10−6. Dessa forma, para se 
facilitar o entendimento deste assunto, assumiu-se o valor de nível de segurança, que nada mais é 
que o cologarítimo da probabilidade de ruína, exemplificado pela seguinte fórmula: 
S = colog(p(r)) 
Assim, uma estrutura que apresente uma probabilidade de ruína da ordem 10−7, possui um nível de 
segurança de 7. 
 
(QUESTÃO 11) Dada uma viga de aço dimensionada para uma carga característica Pk aplicada no 
centro do vão, considerando o estado limite último de início de escoamento da peça, proponha um 
roteiro de cálculo para obtenção do nível de segurança, S, para uma carga de serviço PS. 
Com o valor de Pk em mãos é possível encontrar o valor da tensão interna, e este é descrito pela 
seguinte equação: 
σ =
PL
4Wz
 
A probabilidade de ruína pode ser entendida como a probabilidade de se encontrar valores de 
limite de escoamento inferiores a tensão interna σ, encontrada pela equação acima descrita. Agora 
para saber a probabilidade do valor de limite de escoamento for menor que a tensão interna, basta 
calcular o valor da variável reduzida z e consultar seu valor na tabela de Gauss. O valor de z é obtido 
por meio da seguinte equação: 
z(σ) =
σ − μ(fy)
σ(fy)
 
Considerando que a tensão de trabalho é igual ao valor característico da tensão de escoamento, 
você encontra um valor para a variável z, e então a probabilidade de ruína seria 5%. Assim, com a 
minoração da resistência e majoração da ação, a tensão de trabalho deve ser comparada com o 
valor característico da tensão de escoamento. 
 
(QUESTÃO 12) O que são Combinações Últimas Normais, Combinações Últimas de Construção e 
Combinações Últimas Excepcionais? Quais as diferenças entre os coeficientes de majoração das 
cargas nos dois casos? Em qual delas eles são maiores e porque? Cite exemplos. 
O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações na estrutura, de modo a verificar 
os estados limites últimos e de utilização. Essa análise permite estabelecer as distribuições de 
esforços internos, de tensões, de deformações e os deslocamentos, em parte ou em toda a estrutura. 
Para isso, as solicitações de cálculo devem ser determinadas a partir de combinações das ações 
consideradas, de acordo com a análise estrutural. 1) Combinações últimas normais: Em cada 
combinação devem figurar: as ações permanentes; a ação variável principal, admitindo-se que ela 
atue com seu valor característico e as demais ações variáveis secundárias, admitindo-se que elas 
atuem com seus valores reduzidos de combinação e é descrita pela seguinte equação: 
Fd = ∑ γgiFGi,k + γq [FQ1,k + ∑ ψ0jFQj,k
n
j=2
]
m
i=1
 
2) Combinações últimas de Construção: Em cada combinação devem figurar: as ações permanentes; 
a ação variável especial, admitindo-se que ela atue com seu valor característico e as demais ações 
variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidosde combinação. Entende-se por ação variável especial uma ação transitória e de duração muito 
pequena em relação à vida da estrutura. O vento é um exemplo de ação especial. Pode-se aplicar a 
mesma expressão da combinação última normal (Equação 6). A diferença é que ψ0 pode ser 
substituído por ψ2 quando a atuação da ação principal Fqk,1 tiver duração muito curta. 3) 
Combinações últimas excepcionais: Levam em consideração eventos extremamente incomuns, que 
podem gerar algum tipo de interferência na relação final. 
 
(QUESTÃO 13) Por que os coeficientes de majoração das ações permanentes possuem valores 
diferentes para cada tipo de ação? Indique valores desses coeficientes e explique os motivos das 
diferenças. 
Podemos citar o exemplo de ação permanente: combinação normal e peso próprio de estruturas 
metálicas com em caso desfavorável = 1,25, pré moldadas = 1,30 e moldadas no local = 1,35. Esta 
diferença se dá, devido à precisão que se tem na construção de estruturas metálicas em relação às 
pré moldadas de concreto, e as pré moldadas serem superiores em relação às moldadas no local. 
 
(QUESTÃO 15) O que são combinações de serviço quase permanentes, frequentes e raras? Qual a 
diferença fundamental, do ponto de vista de verificação da segurança estrutural, entre combinações 
de serviço e combinações últimas? 
As combinações de serviço são necessárias para as verificações da estrutura nos estados limites de 
utilização, e são classificadas de acordo com a ordem de grandeza da permanência na estrutura em: 
Combinações raras; Combinações freqüentes; Combinações quase-permanentes. 1) Combinações 
raras: Podem atuar no máximo algumas vezes durante o período de vida da estrutura. São 
normalmente utilizadas para a verificação dos estados limites de formação de fissuras e de 
descompressão. 2) Combinações frequentes: São aquelas que se repetem muitas vezes durante o 
período de vida da estrutura (ou atuam por mais de 5% da vida da construção). São normalmente 
utilizadas para a verificação dos estados limites de compressão excessiva, abertura de fissuras e 
vibrações excessivas. Também são usadas para verificações de estados limites de deformações 
excessivas decorrentes de vento ou temperatura que podem compromet er as vedações. 3) 
Combinações quase permanentes: Podem atuar durante grande parte do período de vida da 
estrutura (pelo menos metade da vida da construção). Normalmente são utilizadas para a 
verificação do estado limite de deformações excessivas. As combinações de serviço são necessárias 
para as verificações da estrutura nos estados limites de utilização, já as combinações últimas são 
necessárias para as verificações da estrutura nos estados limites últimos e são subdivididas em 
normais, especiais ou de construção e excepcionais. 
 
(QUESTÃO 16) Qual o significado dos coeficientes de utilização Y0 empregado na formulação das 
combinações últimas? Por que eles são utilizados? Cite exemplos desses coeficientes. 
É o fator de combinação efetivo de cada uma das demais variáveis que podem agir concomitamente 
com a ação principal FQ1, durante a situação transitória.