Limites no Infinito e Derivadas - Cálculo I

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Aula 6
Limites no Infinito. Assíntota
Horizontal. Derivadas.
MA111 - Cálculo I
Turmas O, P e Q
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Limite no Infinito
Definição (Limite no Infinito)
Seja f uma função definida num intervalo (a,+∞). Escrevemos
lim
x→+∞ f (x) = L,
se os valores de f (x) ficam arbitrariamente próximos de L
quando x é suficientemente grande. Formalmente, dado � > 0,
existe N > 0 tal que
x > N ⇒ |f (x)− L| < �.
Limite no Menos Infinito
Definição (Limite no Menos Infinito)
Seja f uma função definida num intervalo (−∞,a). Escrevemos
lim
x→+∞ f (x) = L,
se, dado � > 0, existe N > 0 tal que
x < −N ⇒ |f (x)− L| < �.
Assíntota Horizontal
Exemplo
lim
x→+∞
x2 − 1
x2 + 1
= 1 e lim
x→−∞
x2 − 1
x2 + 1
= 1
Definição (Assíntota Horizontal)
A reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f (x) se
lim
x→+∞ f (x) = L ou limx→−∞ f (x) = L
Cálculo de limites usando suas propriedades
Seja c uma constante e suponha que existam os limites
lim
x→+∞ f (x)e limx→+∞g(x).
Então, valem as equações:
I. lim
x→+∞ [f (x) + g(x)] = limx→+∞ f (x) + limx→+∞g(x).
II. lim
x→+∞ [f (x)− g(x)] = limx→+∞ f (x)− limx→+∞g(x).
III. lim
x→+∞ [cf (x)] = c limx→+∞ f (x).
IV. lim
x→+∞ [f (x)g(x)] = limx→+∞ f (x) limx→+∞g(x).
V. lim
x→+∞
[
f (x)
g(x)
]
=
limx→+∞ f (x)
limx→+∞ g(x)
, se lim
x→+∞g(x) 6= 0.
Propriedades análogas valem substituindo +∞ por −∞.
Cálculo de limites usando suas propriedades
Para todo r > 0 racional, tem-se
lim
x→+∞
1
x r
= 0.
Similarmente, para todo r > 0 racional, vale
lim
x→−∞
1
x r
= 0,
se x r está definido para qualquer x .
Exemplos
Exemplo
Calcule, se existir, os limites:
a) lim
x→+∞
x2 − 1
x2 + 1
b) lim
x→+∞
3x2 − x − 2
5x2 + 4x + 1
c) lim
x→+∞
(√
x2 + 1− x
)
d) lim
x→+∞ sin(x)
e) lim
x→+∞
(
x2 − x
)
Exemplos
Exemplo
Calcule, se existir, os limites:
a) lim
x→+∞
x2 − 1
x2 + 1
= 1
b) lim
x→+∞
3x2 − x − 2
5x2 + 4x + 1
=
3
5
c) lim
x→+∞
(√
x2 + 1− x
)
= 0
d) lim
x→+∞ sin(x) não existe!
e) lim
x→+∞
(
x2 − x
)
= +∞
Limites Infinitos no Infinito
Definição (Limites Infinitos no Infinito)
Escrevemos
lim
x→+∞ f (x) = +∞,
se, dado M > 0, existe N > 0, tal que
x > N ⇒ f (x) > M.
Definições análogas podem ser formuladas substituindo +∞
por −∞.
Exemplo
Calcule
lim
x→+∞
x2 + x
3− x
Limites Infinitos no Infinito
Definição (Limites Infinitos no Infinito)
Escrevemos
lim
x→+∞ f (x) = +∞,
se, dado M > 0, existe N > 0, tal que
x > N ⇒ f (x) > M.
Definições análogas podem ser formuladas substituindo +∞
por −∞.
Exemplo
Calcule
lim
x→+∞
x2 + x
3− x = −∞.
Derivadas e Taxas de Variação
Tangente
A reta tangente à uma curva y = f (x) em um ponto P(a, f (a)) é
a reta que passa por P e tem inclinação
m = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a ,
se o limite existir.
Alternativamente, podemos escrever
m = lim
h→0
f (a + h)− f (a)
h
.
Derivada
Definição (Derivada)
A derivada de f em a, denotada por f ′(a), é
f ′(a) = lim
h→0
f (a + h)− f (a)
h
,
se o limite existir.
Alternativamente, podemos escrever:
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a .
Derivada e a reta tangente:
A reta tangente a curva y = f (x) em P(a, f (a)) é dada pela
equação:
y − f (a) = f ′(a)(x − a).
Taxa de Variação:
Suponha que y depende de x .
Se x variar de x1 para x2, então y deve variar de y1 para y2.
Escrevendo ∆x = x2 − x1 e ∆y = y2 − y1, o quociente
∆y
∆x
é a taxa média de variação de y em relação à x em [x1, x2].
A taxa instantânea de variação em x = x1 é
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
x2→x1
y2 − y1
x2 − x1 .
Taxa de Variação:
Se y = f (x), então f ′(a) é a taxa instantânea de variação de y
em x = a.
Exemplo
Encontre a derivada de
f (x) = x2 − 8x + 9,
em um ponto x = a.
Exemplo
Encontre a reta tangente a hipérbole y = 3/x em (3,1).
Exemplo
Encontre a derivada de
f (x) = x2 − 8x + 9,
em um ponto x = a.
Resposta: f’(a)=2a-8.
Exemplo
Encontre a reta tangente a hipérbole y = 3/x em (3,1).
Resposta: x + 3y − 6 = 0.