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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 0 TEORIA DAS ESTRUTURAS 2 Método da Força Virtual Unitária: cálculo dos deslocamentos em Estruturas isostáticas E Método das Forças: cálculo das reações de apoio em Estruturas hiperestáticas O conteúdo desta apostila foi elaborado utilizando os textos bases: - ANÁLISE DE ESTRUTURAS Método das Forças e Método dos deslocamentos; Autores: Humberto Lima Soriano Silvio de Souza Lima Ed. Ciência Moderna - ANÁLISE DE ESTRUTURAS Conceitos e Métodos Básicos Autor: Luiz Fernando Martha Ed. Elsevier Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 1 1 - Introdução 1.1 - Princípio da conservação da energia Para estruturas deformáveis em equilíbrio estático, com o material da estrutura trabalhando em um regime linear elástico e apresentando pequenos deslocamentos, o princípio da conservação da energia estabelece: 𝑼𝒆= 𝑼𝒊 → 𝒐𝒖 𝒔𝒆𝒋𝒂 → 𝑾𝒆 = 𝑾𝒊 → ∑(𝑭𝒆 . 𝑫𝒆) = ∑(𝒇𝒊 . 𝒅𝒊) (1) “trabalho das forças externas = trabalho das forças internas” Para estruturas compostas por elementos (peças do tipo barra: reta ou curva); Exemplo: VIGAS, PÓRTICOS OU QUADROS, GRELHAS. Nas estruturas de barras, conforme mostra a figura 1 a seguir. As forças externas geram forças internas (esforços internos solicitantes: N, V, M, T) nas estruturas que por sua provocam deslocamentos nas estruturas. Fig. 1: Estrutura sujeita a deformações Considerando um elemento infinitesimal de comprimento dx da barra, o mesmo estará sujeito, a deslocamentos relativos gerados pelos esforços internos da barra (N, V, M, T ) conforme ilustra a figura 2 a seguir. Fig. 2: Esforços internos num elemento infinitesimal da barra Estes deslocamentos relativos estão relacionados às deformações e as tensões que surgem nas estruturas, tais relações são apresentadas a seguir nesta apostila. q = força externa genérica Esforços internos: N = força normal; V = esforço cortante; M = momento fletor; T = momento torçor; V V Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 2 2 - Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) 2.1 - Considerações iniciais Antes de desenvolver o princípio dos trabalhos virtuais, é necessário apresentar alguns conceitos gerais relativos ao Trabalho Virtual; Trabalho Virtual: O trabalho virtual pode ser gerado de duas formas: - Quando aplica-se deslocamento virtual a estruturas sujeitas a forças reais; - Quando aplica-se força virtual a estruturas sujeitas a deslocamentos reais; Conforme já mencionado, o princípio da conservação da energia estabelece: 𝑼𝒆= 𝑼𝒊 → 𝒐𝒖 𝒔𝒆𝒋𝒂 → 𝑾𝒆 = 𝑾𝒊 → ∑(𝑭𝒆 . 𝑫𝒆) = ∑(𝒇𝒊 . 𝒅𝒊) “trabalho das forças externas = trabalho das forças internas” Do conceito de trabalho virtual e conservação de energia é obtido o Princípio dos trabalhos Virtuais, que pode ser enunciado como: “O trabalho virtual externo é igual ao trabalho virtual interno”. �̅̅̅�𝒆 = �̅̅̅�𝒊 (𝟐) O princípio dos trabalhos virtuais pode ser aplicado por meio de dois métodos: I - Princípio dos deslocamentos virtuais: ∑(𝑭𝒆 . �̅�𝒆) = ∑(𝒇𝒊 . �̅�𝒊) Aplicam-se deslocamentos virtuais externos em uma estrutura sujeita a forças reais; II - Princípio das forças virtuais: ∑(�̅�𝒆 . 𝜹𝒆) = ∑(�̅�𝒊 . 𝒅𝒊) Aplicam-se forças virtuais externas em uma estrutura sujeita a deslocamentos reais; O Princípio das forças virtuais é uma das principais ferramentas para determinação dos deslocamentos em estruturas isostáticas. O Princípio das forças virtuais as vezes é referido como Método da força virtual unitária. Com base nos conceitos já mencionada, o princípio dos trabalhos virtuais será desenvolvido a seguir, por meio do Princípio das forças virtuais ou Método da força virtual unitária. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 3 2.2 - Princípio das Forças Virtuais = Método da Força Virtual Unitária (MFVU) Considerando por exemplo uma viga bi-apoiada, sujeita a forças externas reais que geram deslocamentos reais, conforme ilustra a figura 3a. Fig. 3a: Estrutura com deslocamentos reais e forças reais externas; Em que: F1, F2, F3, Fi : forças reais externas; 𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏 : deslocamentos reais provocados pelas forças reais externas; Ao analisar a figura 3a percebe-se que o ponto A apresenta um deslocamento vertical real devido as forças externas reais. O deslocamento vertical real do ponto A determinado por meio deste Princípio dos Trabalhos Virtuais, adota as seguintes considerações: 1ª consideração: Aplica-se inicialmente apenas uma única força virtual unitária externa (imaginária) 𝑭 ̅ sobre o ponto A e na direção do deslocamento a ser determinado, no caso, deslocamento vertical, por conta disto, aplica-se uma força virtual unitária externa na vertical, conforme ilustrado na figura 3b. Fig. 3b: A estrutura permanece na forma original (deslocamentos desprezíveis) A aplicação da força virtual unitária externa �̅� gera reações de apoios virtuais 𝑹j̅ e forças virtuais internas ( �̅�𝒊 = �̅� ; �̅� ; �̅� ; �̅� ) atuantes nestas seções. Entretanto, os deslocamentos que surgem podem ser considerados desprezíveis, ou seja, nulo, a estrutura permanece na forma original. F1 F2 F3 Fi 1 2 3 A A’ 1 2 3 𝑭 ̅ = 𝟏 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 4A consideração de deslocamentos desprezíveis (nulos), por conta da ação exclusiva da força virtual unitária externa �̅�, pode ser entendida melhor, tomando como base a mesma estrutura ilustrada na figura 3a. A estrutura 3a é um exemplo típico de estrutura sob a ação de forças reais externas, que em geral assumem a magnitude em kilo-Newton, como por exemplo: F1 = 10 kN = 10 000 N; F2 = 5 kN = 5 000 N; ...... Fi = 12 kN = 12 000 N; Estas forças reais externas produzem pequenos deslocamentos reais, ou seja, os deslocamentos reais 1, 2, 3, incluído o do ponto A ( A ) tendo estes deslocamentos uma magnitude (valor) em milimétricos, ou seja, pequenos deslocamentos. Assim, ao considerar a força virtual unitária externa �̅�, como uma força de magnitude unitária (𝑭 ̅ = 𝟏 𝑵 = 𝟏 ), permite chegar ao entendimento de que, a ação exclusiva desta força virtual unitária externa �̅�, sobre a estrutura produz deslocamentos desprezíveis (nulos), ou seja, a estrutura permanece na forma original, conforme ilustra a figura 3b. Fig. 3b: A estrutura permanece na forma original (deslocamentos desprezíveis) 1 2 3 𝑭 ̅ = 𝟏 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 5 2ª consideração - Imediatamente a aplicação força virtual unitária externa �̅�, as forças reais externas são aplicadas, conforme ilustra a figura 3c; Fig. 3c: Estrutura com deslocamentos reais provocados exclusivamente pelas forças reais externas Em que: F1, F2, F3, Fi : forças reais externas; �̅� : força externa virtual; 𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏 1, 2, 3, incluído o do ponto A ( A ) deslocamentos reais provocados pelas forças reais externas. Feitas estas considerações Princípio das Forças Virtuais = Método da Força Virtual Unitária (MFVU) estabelece: �̅̅̅�𝒆 = �̅̅̅�𝒊 (2) ∑(�̅�𝒆 . 𝜹𝒆) = ∑(�̅�𝒊 . 𝒅𝒊) Aplicam-se forças virtuais externas em uma estrutura sujeita a deslocamentos reais; Conforme, já mencionado, a aplicação exclusiva da força virtual unitária externa �̅� gera reações de apoios virtuais 𝑹j̅ e forças virtuais internas ( �̅�𝒊 = �̅� ; �̅� ; �̅� ; �̅� ) atuantes nestas seções. As reações de apoios virtuais 𝑹j̅ geradas pela força virtual unitária externa �̅� devem ser entendidas também como forças externas. Desta forma, o trabalho das forças virtuais externas durante os deslocamentos reais 𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏 é dado por: �̅̅̅�𝒆 = ∑(�̅�𝒆 . 𝜹𝒆) = �̅� . 𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝒑_ 𝒋) (3) Onde: �̅�𝒆 forças virtuais externas: �̅� (força virtual unitária externa) �̅�𝒋 (reações de apoio virtuais) 𝜹𝒑_ 𝒋 deslocamentos prescritos, ou seja, recalque de apoios F1 F2 F3 Fi 1 2 3 �̅� Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 6 Já, o trabalho das forças virtuais internas ( �̅�; �̅� ; �̅� ; �̅� ) durante os deslocamentos reais 𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏 é dado pelo somatório do trabalho de cada força virtual interna ao longo de cada elemento (peça, barra) da estrutura em análise, sendo este somatório obtido com o processo de integração e que resulta na seguinte equação: �̅̅̅�𝒊 = ∑(�̅�𝒊 . 𝒅𝒊) = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀 𝟎 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂_𝒊 + �̅� . 𝒅𝜽 ] 0 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎_𝑖=1,2,𝑛 (4) Conforme apresentado anteriormente, o Princípio das Forças Virtuais = Método da Força Virtual Unitária (MFVU) estabelece: �̅̅̅�𝒆 = �̅̅̅�𝒊 �̅� . 𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀 𝟎 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 + �̅� . 𝒅𝜽 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (5) Visto que a força virtual unitária externa: 𝐹 ̅ = 1 𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀 𝟎 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 + �̅� . 𝒅𝜽 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (6) A equação (6) é a expressão geral do MFVU para estruturas compostas por vários elementos ((peças do tipo barra: reta ou curva ex: vigas, treliças, pórticos e grelhas)) sujeita a um sistema qualquer solicitação externas. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 7 3 - Método da Força Virtual Unitária (MFVU) O método da força virtual unitária tem como objetivo determinar os deslocamentos de uma seção s qualquer de uma estrutura isostática. Porém, antes de apresentar o MFVU, faz-se necessário esclarecer que as estruturas em geral estão sob a ação de 3 tipos solicitações reais externas (Fe): Fe1 - Peso próprio, cargas concentradas e ou distribuídas, momentos aplicados; Fe2 - Variação da temperatura; Fe3 - Deslocamento prescrito (conhecido): - Movimentos dos apoios da estrutura, ou seja, recalques dos apoios; - modificação na posição original da estrutura que ocorre durante a montagem da mesma (um alongamento, um encurtamento); Forças externas: solicitações externas e reações de apoio Forças internas: N, V, M, T, geradas pelas forças externas; Estas forças externas (solicitações externas e reações dos apoios) geram forças internas (esforços solicitantes: N, V, M, T) nas estruturas que por sua provocam deslocamentos, ou seja, deformações nas estruturas. No dia a dia as estruturas estão sob a ação simultânea destas solicitações externas reais. Para determinar o deslocamento de uma determinada seção s qualquer de uma estrutura é necessário calcular o deslocamento provocado por cada agente separadamente e em seguida realizar o somatório dos deslocamentos produzidos pelos agentes a fim de determinar o deslocamento final sofrido por esta seção s da estrutura. A seguir o Método da força virtual unitário é particularizado de modo a determinar os deslocamentos devido a ação de cada tipo de solicitação externa já mencionado. N T V M Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 28 3.1 - Método da Força Virtual Unitária (MFVU): Efeito de forças reais externas Inicialmente será apresentada a formulação para determinar o deslocamento de uma seção s qualquer de uma estrutura devido à ação solicitação externa: forças reais externas (Peso próprio, cargas concentradas, etc), posteriormente, as formulações para determinar os deslocamentos provocados pelos demais solicitações externas (variação da temperatura, deslocamentos prescritos = recalque de apoios) serão apresentadas, visto que suas formulações são análogas ao das forças reais externas. Para calcular um determinado deslocamento , por exemplo o deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita a um sistema de forças externas qualquer. Fig. 4: Estrutura deformada devido a ação de forças externas reais 1º Passo: considera-se a mesma estrutura submetida apenas à ação da força virtual unitária externa �̅� = 𝟏 atuando sobre o ponto C da estrutura e na direção do correspondente deslocamento a ser determinado, no caso deslocamento vertical . Fig. 5: Estrutura sujeita à ação da força virtual unitária externa Em seguida determina-se os diagramas das forças virtuais internas da estrutura ( �̅�𝒊 = �̅� ; �̅� ; �̅� ; �̅� ). = deslocamento vertical do ponto C (REAL) �̅� = 𝟏 : força virtual unitária correspondente ao tipo de deslocamento que deseja determinar �̅� = 𝟏 Esboçar os diagramas das forças virtuais internas ( �̅�, �̅�, �̅�, �̅� ) devido EXCLUSIVAMENTE a força virtual unitária Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 9 2º Passo: considera-se a mesma estrutura submetida apenas à ação das forças reais externas; Fig. 6: Estrutura sujeita à ação de cargas reais externas Em seguida determina-se os diagramas de forças reais internas da estrutura (fi = N, V, M, T). 3º Passo: Substituem-se os valores das forças obtidas PASSOS 1 e 2 na expressão geral MFVU (equação 6), em seguida, soma-se os valores obtidos pela integração cada para uma das forças internas ao longo do comprimento de cada elemento (peça do tipo barra: reta ou curva) da estrutura em análise, de modo a obter o valor do deslocamento procurando . Considerando que a estrutura esteja apenas sob a ação de forças reais externas e que os apoios da estrutura não apresentam deslocamentos prescritos, ou seja, os apoios não apresentam recalques (deslocamentos prescritos = conhecidos), a equação (6), pode ser escrita da seguinte forma: 𝜹𝑹_ 𝒋 = 𝟎 → 𝒐𝒔 𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐𝒔 𝒏ã𝒐 𝒂𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒎 𝒓𝒆𝒄𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐; 𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀 𝟎 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 + �̅� . 𝒅𝜽 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (6) 𝜹 = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀 𝟎 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 + �̅� . 𝒅𝜽 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (7) A equação (7) é a expressão geral do MFVU para estruturas compostas por vários elementos ((peça do tipo barra: reta ou curva ex: vigas, treliças, pórticos e grelhas)) sujeitas ao Efeito de forças reais externas; Esboçar os diagramas das forças internas reais (N, M, V, T) devido ao sistema de forças reais externas; Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 10 A resistência dos materiais fornece relações, ou seja, leis que relacionam forças reais internas de uma estrutura e os respectivos deslocamentos reais; Leis: 𝑵 → 𝒅𝜹; 𝑴 → 𝒅𝝋; 𝑽 → 𝒅𝝀; 𝑻 → 𝒅𝜽; Para um material trabalhando em um regime linear elástico, pode-se aplicar a lei de Hooke ( = E . ) para obter a relação entre as forças reais internas e os respectivos deslocamentos nas seções transversais do elemento infinitesimal de comprimento dx. Tais relações são apresentadas a seguir; Relação entre deslocamento axial x esforço Normal (N) 𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙 𝑵 → 𝜀𝑥 𝑁 = 𝜎 . 1 𝐸 → 𝜀𝑥 𝑁 = 𝑁 𝐴 . 1 𝐸 → 𝜀𝑥 𝑁 = 𝑁 𝐴𝐸 → 𝑑𝛿 𝑑𝑥 = 𝑁 𝐴𝐸 → 𝒅𝜹 = 𝑵 𝑨𝑬 . 𝒅𝒙 (8) 𝜺𝒙 𝑵 = 𝒅𝜹 𝒅𝒙 𝜺𝒙 𝑵 = 𝒅𝜹 𝒅𝒙 Fig. 7: deformação axial de um elemento infinitesimal de barra Em que: dx = comprimento original do elemento infinitesimal; d = deslocamento axial relativo do elemento infinitesimal; 𝜺𝒙 𝑵 = deformação axial ou normal na direção longitudinal devida a força Normal ou esforço axial (N). dx+d d N d Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 11 Relação entre rotação relativa por flexão x Momento fletor (M) 𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙 𝑴 → 𝜀𝑥 𝑀 = 𝜎 . 1 𝐸 → 𝜀𝑥 𝑀 = 𝑀 .𝑦 𝐸.𝐼 → 𝑑𝜑 𝑑𝑥 . 𝑦 = 𝑀 .𝑦 𝐸.𝐼 → 𝒅𝝋 = 𝑴 𝑬.𝑰 . 𝒅𝒙 (9) 𝝈 = 𝑴 . 𝒚 𝑰 → 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑖𝑠: 𝐼 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜; 𝜺𝒙 𝑴 = 𝒅𝝋 𝒅𝒙 . 𝑦 Fig. 8: deformação axial de um elemento infinitesimal de barra Em que: dx = comprimento original do elemento infinitesimal; d = rotação relativa por flexão do elemento infinitesimal; 𝜺𝒙 𝑴 = deformação axial ou normal na direção longitudinal devido ao momento real (M). Relação entre distorção de cisalhamento x esforço cortante (V) 𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙 𝑴 𝝉 = 𝑮 . 𝜸𝑽 → 𝛾𝑉 = 𝜏 . 1 𝐺 → 𝛾𝑉 = 𝑉 𝐴𝑉 .𝐺 → 𝑑𝜆 𝑑𝑥 = 𝑉 𝐴𝑉 .𝐺 → 𝒅𝝀 = 𝑽 𝑨𝑽 .𝑮 . 𝒅𝒙 (10) 𝝉 = 𝑽 𝑨𝑽 𝐺 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝜸𝑽 = 𝒅𝝀 𝒅𝒙 𝐴𝑉 = á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝐴 𝑓 ∗∗∗ 𝒐𝒃𝒔𝟏 𝑓 = 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙; Fig. 9: deformaçãode cisalhamento de um elemento infinitesimal de barra Onde: dx = comprimento original do elemento infinitesimal de barra; d = deslocamento transversal relativo por cisalhamento do elemento infinitesimal; 𝜸𝑽 = distorção de cisalhamento por efeito de esforço cortante (V). V V ***Obs1: O esforço cortante gera uma tensão de cisalhamento não uniforme ao longo da seção transversal. Porém, o efeito do cortante (deformações) é considerado de forma aproximada, ou seja, considera uma tensão cisalhante média ao longo da seção transversal de área efetiva de cisalhamento. O fator de forma f considera a distribuição não uniforme de tensão cisalhante que ocorre não seção; Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 12 Relação entre distorção de cisalhamento x momento torçor (T) 𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙 𝑴 𝝉 = 𝑮 . 𝜸𝑻 → 𝛾𝑇 = 𝜏 . 1 𝐺 → 𝛾𝑉 = 𝑇 .𝑟 𝐽 .𝐺 → 𝑑𝜃 𝑑𝑥 . 𝑟 = 𝑇 .𝑟 𝐽 .𝐺 → 𝒅𝜽 = 𝑻 𝑮 .𝑱 . 𝒅𝒙 (11) 𝝉 = 𝑻 . 𝒓 𝑱 𝐺 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝐽 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑎𝑙 𝜸𝑻 = 𝒅𝜽 𝒅𝒙 . 𝒓 Fig. 10: deformação de torção de um elemento infinitesimal de barra Em que: dx = comprimento original de um elemento infinitesimal; d = rotação relativa por torção de um elemento infinitesimal; 𝜸𝑻 = distorção de cisalhamento por efeito de torção (T). Inserido na equação (7) as relações entre deslocamentos e forças internas obtidas da resistência dos materiais: 𝒅𝜹 = 𝑵 𝑨𝑬 . 𝒅𝒙 ; 𝒅𝝋 = 𝑴 𝑬. 𝑰 . 𝒅𝒙 ; 𝒅𝝀 = 𝑽 𝑨𝑸 . 𝑮 . 𝒅𝒙 ; 𝒅𝜽 = 𝑻 𝑮 . 𝑱 . 𝒅𝒙 𝜹 = ∑ [ ∫�̅� . 𝑵 𝑨𝑬 . 𝒅𝒙 + �̅� . 𝑴 𝑬. 𝑰 . 𝒅𝒙 + �̅� . 𝑽 𝑨𝑸 . 𝑮 . 𝒅𝒙 𝟎 𝑳_𝒊 + �̅� . 𝑻 𝑮 . 𝑱 . 𝒅𝒙 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Onde: L_i = comprimento da barra_i 𝜹 = ∑ [ ∫ �̅� 𝑵 𝑨𝑬 𝒅𝒙 + �̅�𝑴 𝑬. 𝑰 𝒅𝒙 + �̅�𝑽 𝑨𝑸 . 𝑮 𝒅𝒙 𝟎 𝑳_𝒊 + �̅�𝑻 𝑮 . 𝑱 𝒅𝒙 ] (12) 0 𝑖=1,2,𝑛 Onde: L_i = comprimento da barra_i A equação (12) é a expressão geral do MFVU para estruturas compostas por vários elementos ((peças do tipo barra: reta ou curva ex: vigas; pórticos e grelhas)) de com comportamento linear elástico, cuja solicitação externa real é um sistema de forças reais externas; Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 13 A tabela 1 apresenta as propriedades de seção A, Iy, Iz, fy, fz e J para as seções transversais mais usuais. tabela 1: propriedades para as seções transversais mais usuais. b h h>b 𝐼𝑧 = 𝑏ℎ3 12 𝐼𝑦 = ℎ𝑏3 12 𝐽 = 𝑏ℎ3 12 + ℎ𝑏3 12 = 𝑏ℎ3 + ℎ𝑏3 12 𝐴 = 𝑏 . ℎ 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 1,2 z y z y r 𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 = 𝜋𝑟4 4 𝐽 = 𝜋𝑟4 4 + 𝜋𝑟4 4 = 𝜋𝑟4 2 𝐴 = 𝜋𝑟2 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 1,11 z y r t 𝐼𝑧 = 𝐼𝑦 ≅ 𝜋𝑟 3𝑡 𝐽 = 𝜋𝑟3𝑡 + 𝜋𝑟3𝑡 ≅ 2𝜋𝑟3𝑡 𝐴 ≅ 2𝜋𝑟𝑡 𝑓𝑧 = 𝑓𝑦 = 2,0 z y b h>b h th th tb tb 𝐼𝑧 ≅ ℎ2 6 (ℎ𝑡ℎ + 3 𝑏𝑡𝑏) 𝐽 ≅ 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 𝑓𝑧 = 𝐴 2𝑏𝑡𝑏 𝑓𝑦 = 𝐴 2ℎ𝑡ℎ 𝐼𝑦 ≅ 𝑏2 6 (𝑏𝑡𝑏 + 3 ℎ𝑡ℎ) 𝐴 ≅ 2( 𝑏𝑡𝑏 + ℎ𝑡ℎ) z y b h tb tb th 𝐼𝑧 ≅ ℎ2 12 (ℎ𝑡ℎ + 6 𝑏𝑡𝑏) 𝐽 ≅ 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 𝑓𝑧 = 𝐴 2𝑏𝑡𝑏 𝑓𝑦 = 𝐴 ℎ𝑡ℎ 𝐼𝑦 ≅ 𝑏3𝑡𝑏 6 𝐴 ≅ ( ℎ𝑡ℎ + 2𝑏𝑡𝑏 ) Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 14 Cada tipo de deslocamento a ser determinado exige a aplicação de uma força virtual unitária externa compatível com o deslocamento a ser calculado, conforme apresentado na tabela 2 a seguir. Tabela 2: Escolha do Modelo de força virtual unitária Deslocamento ( ) a calcular da seção s Força virtual unitária 1 - translação vertical, ou seja, deslocamento linear vertical de uma seção s 2 - translação horizontal, ou seja, deslocamento linear horizontal de uma seção s 3 - rotação, ou seja, deslocamento angular de uma seção s 4 - rotação relativa entre duas barras i e j que concorrem para a mesma rótula 5 - rotação relativa entre duas seções s e s’ de uma mesma barra 6 - rotação absoluta de uma corda AB 7 - rotação relativa de 2 cordas AB e CD 8 - variação do comprimento de uma corda que une 2 pontos A e B �̅�𝒖 = 𝟏 s s s s s s s s s s �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 s s �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 i i j j �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 s s s’ s’ �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 �̅�𝒖 = 𝟏 �̅� = 𝟏 A B �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 (AB = L) A B C D C (AB = L1) (CD = L2) �̅�𝒖𝟏 A B �̅�𝒖 = 𝟏 �̅�𝒖𝟏 = 𝟏/𝑳𝟏 �̅�𝒖𝟐 = 𝟏/𝑳𝟐 �̅�𝒖𝟐 �̅�𝒖 = 𝟏 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 15 Demonstração: Calcule o deslocamento horizontal do ponto C. Seção transversal das barras Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 GPa Coeficiente de Poisson: υ = 0,3 Resolução: Expressando tudo em: kN e m OBS: b = 2,5 cm; h = 54 cm; Área da seção: A = 0,54 x 0,025 = 135 . 10- 4 m2 Momento de inércia daseção: I = Iz = b.h3/12 = 0,025 . 0,543/12 = 3,2805 . 10- 4 m4 Área efetiva de cisalhamento: Av = A/f (tabela1: f = 6/5) Av = 135 . 10- 4 / (6/5) Av = 112,5 . 10- 4 m2 Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 . 109 N/m2 = 205 . 106 kN/m2 Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 78,85 . 106 kN/m2 E I = (205 .106 kN/m2 ) . (3,2805 . 10-4 m4) = 672,5025 . 102 kN.m2 EA = (205 . 106 kN/m2) . (135 . 10-4 m2) = 27 675 . 102 kN AvG = (112,5 . 10-4 m2 ) . (78,85 . 106 kN/m2) = 8870,625 . 102 kN 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto C. B =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária horizontal em b Caso 2 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas de esforços devido à ação da Força virtual unitária. Mc_p/inferior= 0 + - N . 4,0 + 0 = 0 N = 0 + Fx = 0 Ha + N – N + 1 = 0 Ha = -1 Ha = 1 + Fy = 0 Va + Vd = 0 Mc_p/esquerdo = 0 + - Va . 6,0 - 1 . 4,0 = 0 Va = - 0,67 Va = 0,67 Corrigindo a equação: - Va + Vd = 0 Va = 0,67 d Ha = 1 50 kN 4,0 m a 6,0 m b c Fu = 1 4,0 m a 6,0 m b c d va = 0,67 Vd = 0,67 1ª 2ª 3ª 1ª 2ª 3ª 54 cm 2,5 cm 54 cm 54 cm 54 cm 54 cm 4ª N = ? 80 kN Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 16 3 - Esboçar os diagramas de esforços devido à ação da solicitação real: carregamento exterior. Mc_p/inferior= 0 + - N . 4,0 + 0 = 0 N= 0 kN + Fx = 0 Ha + N - N + 50 = 0 Ha = - 50 Ha = 50 kN + Fy = 0 Va + Vd = 80 kN Mc_p/esquerdo = 0 + - Va . 6,0 - 50 . 4 + 80 . 6,0 = 0 Va = 46,67 kN Vd = 33,33 kN Ha = 50 kN 4,0 m a 6,0 m b c d va = 46,67 kN Vd = 33,33 kN 1ª 2ª 3ª N = ? 50 kN 80 kN Diagramas virtuais: �̅�; �̅�; �̅� - devido à ação força virtual unitária Diagramas reais: M; N; V - devido à ação das forças reais externas Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 17 4 - Cálculo da rotação relativa entre as barras em C (C = ?) 𝛿 = ∑ [ ∫ �̅�𝑁 𝐴. 𝐸 . 𝑑𝑥 + �̅�𝑀 𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥 + �̅�𝑉 𝐴𝑉 . 𝐺 . 𝑑𝑥 0 𝑥 0 0 + �̅�𝑇 𝐽 . 𝐺 . 𝑑𝑥 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 Parcela do Momento fletor de todas as barras: 𝛿𝑀 = ∫ �̅�1𝑀1 𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥 0 𝑙1 + ∫ �̅�2𝑀2 𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥 0 𝑙2 + ∫ �̅�3𝑀3 𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥 0 𝑙3 + ∫ �̅�4𝑀4 𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥 0 𝑙4 E e I de todas as barras são constantes e iguais; 𝛿𝑀 = 1 𝐸 . 𝐼 [∫ �̅�1𝑀1. 𝑑𝑥 0 𝑙1 + ∫�̅�2𝑀2. 𝑑𝑥 0 𝑙2 + ∫ �̅�3𝑀3. 𝑑𝑥 + ∫ �̅�4𝑀4. 𝑑𝑥 0 𝑙4 0 0 𝑙3 ] Neste caso, apenas as barras 1 e 2 contribuem em termo de momento; 𝛿𝑀 = 1 𝐸 . 𝐼 [∫ (1,0 . 𝑥). ( 50,0 𝑘𝑁 . 𝑥 ). 𝑑𝑥 4 𝑚 0 + ∫ (0,667 . 𝑥)(33,33 𝑘𝑁 . 𝑥). 𝑑𝑥 6 𝑚 0 0 + 0] *** Se os momentos estiverem tracionando lados opostos negativo 𝛿𝑀 = 1 𝐸 . 𝐼 [∫ ( 50,0 𝑘𝑁 . 𝑥2) . 𝑑𝑥 4 𝑚 0 + ∫ (22,23 𝑘𝑁 . 𝑥2) . 𝑑𝑥 6 𝑚 0 0 ] 𝛿𝑀 = 1 𝐸 . 𝐼 [ 50,0 𝑘𝑁 . ∫ 𝑥2 . 𝑑𝑥 + 22,23 𝑘𝑁 . ∫ 𝑥2 . 𝑑𝑥 6 𝑚 0 0 4 𝑚 0 ] 𝛿𝑀 = 1 𝐸 . 𝐼 [ 50,0 𝑘𝑁 . [ 𝑥3 3 ] 0 4 𝑚 + 22,23 𝑘𝑁 [ 𝑥3 3 ] 0 6 𝑚 ] 𝛿𝑀 = 1 672,5025 . 102𝑘𝑁.𝑚2 [50,0 𝑘𝑁 . 21,33 𝑚3 + 22,23 𝑘𝑁 . 72,0 𝑚3 ] 𝛿𝑀 = 2667,06 𝑘𝑁.𝑚3 672,5025 . 102𝑘𝑁.𝑚2 = 3,966 .10−2 𝑚 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 18 Parcela do Normal de todas as barras: 𝛿𝑁 = ∫ �̅�1𝑁1 𝐸. 𝐴 . 𝑑𝑥 0 𝑙1 + ∫ �̅�2𝑁2 𝐸. 𝐴 . 𝑑𝑥 0 𝑙2 + ∫ �̅�3𝑁3 𝐸. 𝐴 . 𝑑𝑥 + ∫ �̅�4𝑁4 𝐸. 𝐴 . 𝑑𝑥 0 𝑙4 0 𝑙3 E e A de todas as barras são constantes e iguais; 𝛿𝑁 = 1 𝐸 . 𝐴 [∫ �̅�1𝑁1. 𝑑𝑥 0 𝑙1 0 + ∫ �̅�2𝑁2. 𝑑𝑥 + ∫ �̅�3𝑁3. 𝑑𝑥 0 𝑙3 + ∫ �̅�4𝑁4. 𝑑𝑥 0 𝑙4 0 𝑙2 ] Neste caso, apenas as barras 1 e 3 contribuem em termo de normal; 𝛿𝑁 = 1 𝐸 . 𝐴 [∫ 0,67 . (−46,67) 𝑘𝑁 . 𝑑𝑥 4 𝑚 0 0 + ∫ −0,67 . (−33,33 𝑘𝑁) . 𝑑𝑥 4 𝑚 0 + 0] 𝛿𝑁 = 1 𝐸 . 𝐴 [−31,27 𝑘𝑁 ∫ 𝑑𝑥 4 𝑚 0 0 + 22,33 𝑘𝑁 ∫ 𝑑𝑥 4 𝑚 0 ] 𝛿𝑁 = 1 𝐸 . 𝐴 [ −31,27 𝑘𝑁 . [𝑥]0 0 4 𝑚 0 + 22,33 𝑘𝑁 . [𝑥]0 0 0 4 𝑚 0 ] 𝛿𝑁 = 1 27675 . 102 𝑘𝑁 [ −31,27 𝑘𝑁 . 4 𝑚 + 22,33 𝑘𝑁 . 4 𝑚 ] 𝛿𝑁 = −35,76 𝑘𝑁 . 𝑚 27675 . 102 𝑘𝑁 = − 1,292 . 10−5 𝑚 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 219 Parcela do Cortante de todas as barras: 𝛿𝑉 = ∫ �̅�1𝑉1 𝐴𝑉 . 𝐺 . 𝑑𝑥 0 𝑙1 + ∫ �̅�2𝑉2 𝐴𝑉 . 𝐺 . 𝑑𝑥 0 𝑙2 + ∫ �̅�3𝑉3 𝐴𝑉 . 𝐺 . 𝑑𝑥 0 𝑙3 AV e G de todas as barras são constantes e iguais; 𝛿𝑉 = 1 𝐴𝑉 . 𝐺 [∫ �̅�1𝑉1. 𝑑𝑥 0 𝑙1 0 + ∫�̅�2𝑉2. 𝑑𝑥 0 𝑙2 + ∫ �̅�3𝑉3. 𝑑𝑥 0 𝑙3 + ∫ �̅�4𝑉4. 𝑑𝑥 0 𝑙4 ] Neste caso, apenas as barras 1 e 2 contribuem em termo de cortante; 𝛿𝑉 = 1 𝐴𝑉 . 𝐺 [∫ 1 . 50 𝑘𝑁 . 𝑑𝑥 4 𝑚 0 0 + ∫ (−0,67). (−33,33 𝑘𝑁). 𝑑𝑥 6 𝑚 0 + 0 ] 𝛿𝑉 = 1 𝐴𝑉 . 𝐺 [50 𝑘𝑁 ∫ 𝑑𝑥 4 𝑚 0 0 + 22,33 𝑘𝑁 ∫ 𝑑𝑥 6 𝑚 0 ] 𝛿𝑉 = 1 𝐴𝑉 0 . 𝐺 [ 50 𝑘𝑁 . [𝑥]0 0 4 𝑚 0 + 22,33 𝑘𝑁 . [𝑥]0 0 6 𝑚 0 ] 𝛿𝑉 = 1 8870,625 . 102 𝑘𝑁 [50 𝑘𝑁 . 4 𝑚 + 22,33 𝑘𝑁 . 6 𝑚 ] 𝛿𝑉 = 333,98 𝑘𝑁 . 𝑚 8870,625 . 102 𝑘𝑁 = 3,765 . 10−4 𝑚 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 20 Assim, tem-se o valor do deslocamento horizontal do ponto c: c = M + N + V 3,966 . 10 - 2 + (-1,292 . 10 - 5) + 3,765 . 10 - 4 c = 4,00 . 10 - 2 m = 4,0 cm O valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força virtual unitária está correto, ou seja, o ponto c desloca de fato 4,0 cm para a direita. Analisando a parcela de contribuição de cada esforço no deslocamento total do ponto c tem-se: M = M / c = 3,966 cm / 4,0 cm = 99,15 % do deslocamento total de c. N = N / c = 0,001292 cm / 4,0 cm = 0,323 % v = v / c = 0,03765 cm / 4,0 cm = 0,94125 % Este resultado demonstra que a contribuição do esforço Normal e do esforço cortante pode ser desprezada para as estruturas reticuladas usuais: vigas, pórticos e grelhas; Assim, o deslocamento de c considerando apenas a contribuição do momento fletor vale: c = 3,966 cm 4,0 cm Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 21 A partir da demonstração 1, verifica-se: 1 - Para estruturas usuais (comuns) na prática as parcelas devido ao esforço Normal, ao esforço Cortante podem ser desprezadas, tal consideração permite simplificar a equação (12) da seguinte forma: VIGAS E PÓRTICOS PLANOS USUAIS com ausência de momento torçor, a equação (12) pode ser escrita da seguinte forma: 𝜹 = ∑ [ ∫ �̅�𝑴 𝑬. 𝑰 𝟎 𝑳_𝒊 . 𝒅𝒙 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (estruturas usuais: vigas, pórticos) (13) Onde: L_i = comprimento da barra_i Caso existam momentos torçores, esta contribuição deve ser inserida na eq. (13) GRELHAS USUAIS a contribuição do momento torçor não pode ser desprezada, desta forma a equação (12) pode ser escrita da seguinte forma: 𝜹 = ∑ [ ∫( �̅�𝑴 𝑬. 𝑰 𝟎 𝑳_𝒊 + �̅�𝑻 𝑮 . 𝑱 ) . 𝒅𝒙] 0 𝑖=1,2,𝑛 (estruturas usuais: grelhas) (14) Onde: L_i = comprimento da barra_i TRELIÇAS PLANAS USUAIS As barras deste tipo de estrutura ficam submetidas fundamentalmente ao esforço normal, ou seja, a contribuição do esforço cortante e do momento fletor pode ser desprezada, considerando ainda a ausência de momento torçor, a equação (12) pode ser escrita da seguinte forma: 𝜹 = ∑ [ ∫( �̅�𝑵 𝑬. 𝑨 𝟎 𝑳_𝒊 ) . 𝒅𝒙] 0 𝑖=1,2,𝑛 (estruturas usuais: treliças) (15) Onde: L_i = comprimento da barra_i Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 22 2 - A Parcela do esforço normal não pode ser desprezada nas estruturas que trabalhem fundamentalmente ao esforço normal PEÇAS PROTENDIDAS, ARCOS considerar a parcela do esforço normal; 3 - A Parcela do esforço cortante não pode ser desprezada nas estruturas com vãos muito curtos e esforços cortantes muito elevados; 4 - Em caso de dúvida, todas as parcelas devem ser consideradas, a fim de se evitar erros grosseiros. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 23 Quando se trabalha com estruturas compostas por barras retas de seção transversal constante e de propriedades constantes, pode-se evitar o desenvolvimento analítico da integral que ocorre na equação (13) utilizadas para vigas e pórticos planos usuais , bem como na equação (14) adotada para as grelhas usuais; Para evitar o processo de integração o pesquisador A. N. Vereshchagin desenvolveu uma tabela de integração, a qual fornece equações que geram resultados numericamente iguais aos obtidos no processo de integração. Esta tabela é apresentada nesta apostila como tabelas 3a e 3b. A utilização das tabelas de integração permite escrever as equações (13) e (14) da seguinte forma respectivamente: VIGAS E PÓRTICOS PLANOS USUAIS 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (16) Onde: i = Número da barra_i da estrutura EI em kN.m2 GRELHAS USUAIS No caso de grelhas usuais, quando as propriedades da seção são constantes e como em grelhas usuais o momento torçor ao longo do comprimento de cada barra da grelha também é constante, estes podem sair da integral, o que permite escrever: 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] + ∫ �̅�𝑻 𝑮 . 𝑱 𝟎 𝒙 𝟎 . 𝒅𝒙 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +�̅�𝑻 𝑮 . 𝑱 . ∫ 𝒅𝒙 𝟎 𝒙=𝑳 𝟎 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 𝜹 = ∑ [ 𝟏 𝑬. 𝑰 [∑𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] + �̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑮 . 𝑱 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (17) Onde: i = Número da barra_i da estrutura EI e GJ em kN.m2 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 24 Conforme já mencionado, as equações apresentadas nas tabelas 3a e 3b fornecem equações que geram resultados numericamente iguais aos obtidos no processo de integração, bastando para isto, inserir nas equações: o valor do MOMENTO REAL 𝑴 em kN.m de cada barra da estrutura; o valor do MOMENTO VIRTUAL �̅� de cada barra da estrutura. o valor do comprimento L em metros de cada barra da estrutura. Inserindo o momento real em kN.m e o comprimento da barra em metros nas equações das tabelas 3a e 3b obtém-se valores expressos kN.m3 Caso 𝑴 𝒆 �̅� de uma mesma barra estejam tracionando lados opostos, deve ser colocado o sinal de negativo na frente da equação retirada da tabela 3a ou 3b. A seguir as tabelas 3a e 3b são apresentadas. TRELIÇAS PLANAS USUAIS No caso de treliças planas usuais, quando as propriedades da seção são constantes e como geralmente o esforço normal ao longo do comprimento de cada barra da treliça também é constante, estes podem sair da integral, o que permite escrever a equação (15) da seguinte forma: 𝜹 = ∑ [ ∫ �̅�𝑵 𝑬 . 𝑨 𝟎 𝒙 𝟎 . 𝒅𝒙 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 𝜹 = ∑ [ �̅�𝑵 𝑬 . 𝑨 . ∫ 𝒅𝒙 𝟎 𝒙=𝑳 𝟎 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 𝜹 = ∑ [ �̅�𝑵 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑬 . 𝑨 ] 0 𝑖=1,2,𝑛 (18) Onde: i = Número da barra_i da estrutura EA em kN.m2
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