METODOLOGIA DO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS, FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO _R2

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CENTRO UNIVERSITÁRIO LUTERANO DE SANTARÉM 
 CURSO BACHAREL EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 JOÃO PAULO CAMPOS DE ANDRADE 
 
 
 
 
METODOLOGIA DO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 
Princípio de D’Alembert e Mohr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SANTARÉM-PA 
 2020 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
JOÃO PAULO CAMPOS DE ANDRADE 
 
 
 
 
METODOLOGIA DO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 
Princípio de D’Alembert e Mohr 
 
 
 
Trabalho avaliativo de R2 
(Resistência dos Materiais II), do 
Curso de Engenharia Civil do Centro 
Universitário Luterano de Santarém – 
CEULS/ULBRA- Grau 2. 
 Prof. Nadir Pires Martins 
 
 
 
 
SANTARÉM-PA 
2020 
 
 
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LISTA DE FIGURAS 
 
 
Figura 1: Energia de deformação e energia complementar 8 
Figura 2: Barra sujeita `a deformação axial 9 
Figura 3: trabalho virtual realizado por forças reais 11 
Figura 4: Descrição de Formula. 11 
Figura 5 — Viga Isostática biapoiada de 4 metros de comprimento com 
carregamento distribuído de 20 kN/m 13 
Figura 6 — Diagrama de Momento Fletor. Sistema Real M=q l28=20× 
428=40 kNm 13 
 Figura 7 — Diagrama de Momento Fletor. Sistema virtual 14 
Figura 8 — Tabela de Kurt Beyer (4ª coluna com a 10ª linha) 15 
 
 
 
 
 
4 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO 5 
1 PRINCIPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 6 
2 MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA PARA CÁLCULO DOS 
DESLOCAMENTOS 7 
3 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO E ENERGIA COMPLEMENTAR 8 
4 FORÇAS 9 
4.1 Forças internas 9 
4.2 Forças externas 10 
4.3 Deslocamento 10 
5 CORPO RÍGIDO 10 
6 PRINCIPIO DE L'ALEMBERT 11 
7 FORMULA DE MOHR 12 
8 TABELA DE KURT BEYER 
 
9 EXERCICIOS 13 
9.1 Exercício 01 13 
9.2 Exercício 02 16 
10 CONCLUSÃO 17 
11 REFERÊNCIAS 18 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
INTRODUÇÃO 
 
O princípio dos trabalhos virtuais estabelece que o trabalho virtual das 
forças externas equivale ao trabalho virtual das forças internas. Neste contexto, 
a palavra virtual significa que as forças e os deslocamentos envolvidos podem 
não corresponder um ao outro, somente é necessário que as forças estejam 
estaticamente admissíveis e os deslocamentos cinematicamente admissíveis. A 
análise estrutural se reveste de fundamental importância na construção civil, 
uma vez que ela compreende a idealização do comportamento das estruturas, 
sendo este definido em função de diversos parâmetros. De uma forma geral, o 
objetivo da análise estrutural é determinar esforços internos e externos (cargas 
e reações de apoio) e as correspondentes tensões resultantes, bem como a 
determinação dos deslocamentos e deformações da estrutura, especialmente as 
que são estaticamente indeterminadas. Dentro desta definição, também é 
importante compreender os conceitos de trabalho e energia, para que então o 
estudo possa ser aprofundado no trabalho virtual, na energia de deformação, na 
energia potencial e na energia complementar, visto que esses conceitos 
permitem que o comportamento das estruturas seja mais bem compreendido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
1. PRINCIPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 
 
A palavra virtual significa que as quantidades são imaginárias e que não 
existem no sentido real ou físico. Logo, deslocamento virtual é imaginário e 
arbitrariamente imposto sobre o sistema estrutural. Já o trabalho realizado por 
forças reais durante um deslocamento virtual é chamado de trabalho virtual. 
Se sistema de cargas em equilíbrio atua sobre um corpo rígido, pode-se 
dar a ele um deslocamento virtual consistindo numa translação, rotação ou uma 
combinação de ambas. Durante esse deslocamento virtual, o trabalho realizado 
pelas forças deve ser igual a zero porque as forças estão em equilíbrio. Esta 
afirmação consiste no princípio dos deslocamentos virtuais. 
Também é possível aplicar o princípio dos deslocamentos virtuais aos 
casos de estruturas deformáveis. Para isto, deve-se levar em consideração o 
trabalho virtual das forças externas e internas. 
Para esta situação, pode-se imaginar uma estrutura em equilíbrio, sob a 
ação de forças, momentos fletores, torques e carga distribuída. Admite-se que a 
estrutura é submetida a uma deformação virtual que consiste em uma pequena 
mudança na sua forma. 
Durante a deformação virtual, cada elemento da estrutura será deslocado 
para uma nova posição, acarretando a deformação da própria estrutura. 
Consequentemente, as forças exercidas num elemento (tensões resultantes e 
cargas externas) realizarão trabalho virtual. Este trabalho virtual é dado por, dWe 
e pode ser subdividido em: 
 dWr (trabalho causado pelo deslocamento do elemento como corpo 
rígido – translação e rotação) 
 dWd (trabalho associado à deformação do elemento). 
Logo: dWe = dWr + dWd 
Fazendo a integração para toda a estrutura: ∫ dWe ∫ dWd 
 
 
7 
 
A integral do primeiro membro da equação é igual ao trabalho virtual das 
forças externas atuantes sobre a estrutura, sendo chamado de trabalho externo, 
Wext, já a integral do segundo corresponde ao trabalho virtual associado à 
deformação do elemento. A quantidade total deste trabalho virtual obtido 
pelo somatório de todos os elementos é chamada de trabalho interno, Wint . 
Assim, obtém-se a seguinte equação: Wext Wint 
2. MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA PARA CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS 
 
 O método da carga unitária pode ser utilizado para determinação de 
deslocamentos das estruturas estaticamente determinada (estruturas que 
podem ter seus esforços internos e externos determinados apenas por 
condições de equilíbrio) e indeterminada, a partir do princípio do trabalho virtual. 
Para a aplicação desse método, devem ser considerados dois sistemas de 
carregamento: 
• 1º sistema: consiste na estrutura submetida a cargas reais, mudanças de 
temperatura ou outras causas que provoquem deslocamento. 
• 2º sistema: consiste em uma carga unitária que age sozinha na estrutura. 
Por carga unitária entende-se uma carga fictícia ou substituta, introduzida 
para se calcular o deslocamento ∆ da estrutura causado por forças reais, 
podendo este ser uma translação, rotação, um deslocamento relativo ou uma 
rotação relativa. 
 Quando a carga unitária atua na estrutura, ela produz reações nos apoios 
e tensões nos membros que combinadas com a carga unitária e as reações, 
formam um sistema de forças em equilíbrio. 
De acordo com o princípio do trabalho virtual, ao impor uma pequena 
deformação virtual, o trabalho virtual das forças externas será igual ao trabalho 
virtual das forças internas. O método da carga unitária correlaciona-se com o 
princípio do trabalho virtual na medida em que é preciso escolher 
adequadamente a deformação virtual. Neste caso, tomam-se as deformações 
reais da estrutura causada pelo primeiro sistema de carregamento, como as 
 
 
8 
 
deformações virtuais a serem impostas sobre o segundo sistema (a estrutura 
com carga unitária). O trabalho virtual externo que ocorre durante essa 
deformação virtual, é realizado pela carga unitária, pois está é a única carga 
externa atuando na estrutura. Temos assim: 
Wext = 1*A 
 
3. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO E ENERGIA COMPLEMENTAR 
 
Para demonstrar os conceitos de energia, considera-se uma barra sujeita 
a uma força axial P que produz uma tensão σ=P/A e deformação ε = δ/L. O 
material da barra é considerado elástico, com curva tensão-deformação não-
linear, mostrada na Fig. 1b. Então, a relação carga-deflexão (Fig. 1c) terá a 
mesma forma da curva tensão deformação. 
 
Figura 1: Energia de deformação e energia complementar 
O trabalho realizado pela carga P é: 
W ∫0δ1 P dδ 
E pode ser interpretado como sendo a área abaixo da curva carga-deflexão (Fig. 1c). 
Como a barra se comporta elasticamente e as perdas de energia durante o 
carregamento e descarregamento são desprezadas (o sistema é conservativo), todoo trabalho realizado pela carga será armazenado na barra em forma de energia de 
deformação elástica, que poderá ser recuperado durante o descarregamento. Logo, a 
energia de deformação é igual ao trabalho: 
 
 
9 
 
U W ∫0δ1 P dδ ou ainda U ∫u dV 
4 FORÇAS 
 
Para um corpo elástico, que atingiu uma configuração de equilíbrio, o 
trabalho virtual total das forças externas que sobre ele atuam é igual ao trabalho 
virtual das forças internas (esforços simples) nele atuantes, para todos os 
deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos externos) que 
lhe impomos. 
 
4.1 Forças internas 
As forças internas correspondem neste contexto às reações das ligações 
internas. Sabe-se da Estática que a cada corpo adjacente atua uma força (ou 
momento) e que essas forças (momentos) têm as mesmas intensidades, 
mesmas direções, mas sentidos opostos. 
Considere uma barra sujeita `a uma deformação especifica ε, como 
ilustrado na Figura 2. Um incremento de tensão σ em um dado ponto da barra 
requer um incremento de trabalho realizado e dado por: 
Wint = ∫ 𝑀⏞
−
𝑑𝜑 + ∫ 𝑁⏞
−
𝑑𝜎 + ∫ 𝑄⏞
−
𝑑ℎ 
Assumindo um comportamento elástico linear σ = Eε, sendo 
E ∈ R
+
o modulo de elasticidade do material, temos então: 
dW= 1/E σdσ 
 
Figura 2: Barra sujeita `a deformação axial 
 
 
 
 
 
 
10 
 
4.2 Forças externas 
As forças externas correspondem neste contexto às forças (distribuídas 
ou concentradas) e aos momentos (distribuídos ou concentrados) de 
carregamento externo e às reações nos apoios externos. 
Wext = 𝑃⏞ 𝛿
−
 
Sendo 𝑃⏞
−
 Força Virtual unitária aplicada no ponto e direção em que se 
deseja calcular o deslocamento. 
 
4.3 Deslocamento 
 
O deslocamento de uma partícula ou de um ponto que pertence a um corpo 
rígido, é uma grandeza física vectorial que representa a alteração de posição. 
 
5. CORPO RÍGIDO 
Um corpo rígido mantém a sua forma e o tamanho (volume) em qualquer 
instante de tempo e não desenvolve os esforços internos nem as tensões (o 
termo “tensão” será explicado na disciplina MMC). A sua posição no plano (no 
espaço), está descrita via 3 (6) parâmetros independentes, assim diz que tem 3 
(6) graus de liberdade cinemática. Nesta disciplina os corpos rígidos serão 
principalmente representados pelas barras, e apenas em alguns casos, também 
pelas placas, discos, cilindros ou esferas. 
Seja um corpo rígido sujeito a um sistema de forças reais P, constantes e 
integralmente aplicadas a um corpo rígido conforme mostrado da figura 3. Se ele 
é submetido a um deslocamento virtual δv, sendo δv, os componentes do 
deslocamento virtual correspondentes aos Pi. 
 
 
11 
 
 
Figura 3: trabalho virtual realizado por forças reais 
 
Todas as grandezas virtuais são denotadas pela letra δ procedendo a 
grandeza, por exemplo δv significa força virtual. Na figura 3 considerando-se Vi 
deslocamentos reais (provocados por um sistema de forças reais) e δP, um 
sistema de forças virtuais (não são elas que provocam Vi), tem-se uma 
expressão análoga para o trabalho virtual. 
δW= ∑ δPi Vi 
 
6. PRINCIPIO DE L’ALEMBERT 
Jean d’Alembert introduziu na Mecânica Racional os conceitos de deslocamento 
e trabalho virtual. O princípio do trabalho virtual afirma que a soma dos trabalhos 
virtuais incrementais realizados por todas as forças externas atuando em conjunto 
com deslocamentos virtuais do ponto em qual a força associada está agindo é zero: 
∑(𝐹𝑖 − 𝑚𝑖𝑎𝑖) ∗ 𝛿𝑖 = 0 
Conforme descrições da figura 4, abaixo: 
 
 
 
 
Figura 4 – Descrição da formula. 
 
 
12 
 
7. FÓRMULA DE MOHR 
Igualando Wint com Wext temos: 𝑃⏞ 𝛿
−
= ∫ 
𝑀⏞
−
𝑀𝑑𝑠
𝐸𝐼
+ ∫ 
𝑁⏞
−
𝑁𝑑𝑠
𝐸𝐴
+ ∫ 
𝑄⏞
−
𝑁𝑄𝑑𝑠
𝐺𝐴
. 
Para a maioria das situações práticas, a Fórmula de Mohr pode ser simplificada. 
A parcela relativa ao esforço cortante ∫ 
𝑄⏞
−
𝑁𝑄𝑑𝑠
𝐺𝐴
 , somente não deve ser desprezada 
em caso de vãos muito curtos e cargas muito elevadas. (Ex.: Estruturas em console) 
A parcela relativa ao esforço normal ∫ 
𝑁⏞𝑁𝑑𝑠
−
𝐸𝐴
, somente não deve ser desprezada 
em caso de estruturas que trabalhem predominantemente solicitadas pelo esforço 
normal. (Ex.: Treliças, Tirantes, Escoras, Pilares Esbeltos, Arcos, Peças Protendidas 
em geral, etc) 
Assim temos a versão simplificada: 𝑃⏞ 𝛿
−
= ∫ 
𝑀⏞
−
𝑀𝑑𝑠
𝐸𝐼
 
8. TABELA DE KURT BEYER 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
9. EXERCICIOS 
9.1 Exercício 01 
Como determinar a deformação em uma viga isostática em qualquer trecho da 
viga. Figura 5. 
 
Dados: Seção da viga: 40 cm x 80 cm (b x h) 
E= 3*107𝑘𝑁/𝑚² 
 
 
 
 
 
 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoios da viga: Como a viga é simples não 
precisamos determinar as reações de apoio para desenhar o diagrama de momento 
fletor (a viga é simétrica). 
2º Passo: Após achar as reações de apoio, desenhar o diagrama de momento 
fletor: Sabemos que nos apoios o momento é zero e com uma carga distribuída de 20 
kN/m, temos um momento fletor de ql2/8 no meio da viga. Como pode ser visto na 
Figura 6. 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
3º Passo: calcular pelo Princípios dos Trabalhos Virtuais: Para calcular pelo 
Princípios dos Trabalhos Virtuais, na mesma viga (tirando a carga real) colocando uma 
força (virtual) de valor de P = 1 kN (método da carga unitária), no ponto onde queremos 
saber a deformação linear (no exemplo será no meio da viga) e desenhar o diagrama 
de momento fletor da viga (Figura 7) 
 
 
 
 
 
 
 
4º Passo: Equações da Deformação: Para estruturas compostas por barras retas 
de inércias constantes, a fórmula da deformação: 𝛿 = ∫ 
𝑀𝑀⏞
−
𝐸𝐼
𝑑𝑥 
5º Passo: Calcular a σ: A multiplicação dos dois momentos fletores, o de carga 
distribuída com o de carga concentrada, lembrando-se de que os dois momentos são 
positivos. 
Na quarta coluna com a décima linha encontraremos a equação (Figura 8): 
 
 
 
 
Ao usar a Tabela de Kurt Beyer, vemos a equação da multiplicação dos dois 
momentos. 
 
 
15 
 
 
Onde: 
 
L' = 4m (comprimento da viga) 
a = 2m (comprimento do lado esquerdo da carga pontual) 
b = 2m (comprimento do lado direito da carga pontual) 
M = 40kNm 
M = 1kNm 
E I = Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia (produto de rigidez à flexão). 
 
 
 
Onde: 
I = bh3/12 = 0,0170667m4 
 
 
16 
 
E = 3 x 107kN/m2 
E I = 512000kNm2 
Temos a deformação no meio da viga de: 𝛿 = 0001302 𝑚 ↓ 
O resultado da deformação deu positivo, logo significa dizer que a deformação é 
para baixo, conforme está aplicada a força de 1kN. Na Figura 9 temos o resultado da 
deformação dessa viga pelo programa Ftool (no meia da viga). Observa-se que o 
resultado deu Dy = -1,302 e-4m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.2 Exercício 02 
 
Calcule o resto da divisão (x²+ 3x – 10) : (x – 3). 
Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a: 
P(3) = R 
3² + 3 * 3 – 10 = R 
9 + 9 – 10 = R 
18 – 10 = R 
R = 8 
Portanto, o resto dessa divisão será 8. 
 
 
17 
 
10. CONCLUSÃO 
 
Este breve trabalho apresenta os fundamentos do Princípio dos 
Trabalhos Virtuais. Métodos podem ser aplicados para estruturas lineares e não-
lineares, como é o caso do princípio do trabalho virtual e o método da carga 
unitária. Assim como o princípio de L’Alembert e método de Mohr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 REFERÊNCIAS 
 
SCHIEL, F. Introdução à Resistência dos Materiais. Harper & Row do Brasil. 1984. 
2. 
R.C Hibbeler. Estática Mecânica. Decima edição, Pearson, 2008. 
BEER, F.P. e JOHNSTON Jr., E.R. Resistência dos Materiais. Editora McGraw-Hill 
Ltda. 1982.