Matemática para Negócios A13

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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
Aula 13: MODELO DE DIVIDENDOS E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
Conteúdo desta Aula 
AULA 13: MODELO DE DIVIDENDOS E ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
1. Modelo de Dividendos 
2. Análise de Investimentos 
3. VPL 
4. TIR 
5. Payback 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
Modelos de Dividendos 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
 
Como é conhecido em finanças, um investimento é avaliado pela quantidade de dinheiro que se 
espera conseguir com ele, durante o período que o possuirmos. Dessa forma, um apartamento seria 
avaliado pelo que se conseguiria com seu aluguel, uma loja pela quantidade de renda que ela 
proporcionaria ao seu dono, e assim por diante. Com ações não poderia ser diferente. O valor de uma 
ação (que normalmente é diferente de seu preço) é medido pela quantidade de dividendos que se 
espera receber com ela com o passar dos anos. 
 
A única receita que um investidor pode esperar receber de uma empresa da qual ele possuí ações são 
os dividendos. 
 
Retorno Total do Acionista é medido pela soma da valorização das ações pelo Mercado mais o valor 
recebido de dividendos pela Empresa. 
 
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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
Modelo geral 
 
Quando os investidores compram ações, geralmente esperam obter dois tipos de fluxo de caixa: os 
dividendos durante o período em que conservam as ações e o preço esperado ao final deste período. 
Como o preço esperado é dado pelos dividendos futuros, o valor de uma ação é o valor presente dos 
dividendos até o infinito. 
 
Fórmula: 
 
Valor esperado da ação: 
 
 
Modelos de Dividendos 


 
t
t
tr
DPS
1 )1(
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Modelo de crescimento zero 
 
Se DPS1 representa o montante de dividendos anuais com crescimento zero, 
então a equação poderia se reduzir a: 
 
Fórmula: 
 
 
 
 
 
A equação mostra que, com crescimento zero, o valor da ação poderia igualar-se ao valor 
presente de uma perpetuidade DPS1 unidades monetárias, descontada a taxa r. 
 
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  rDPSFJVPADPSrDPSP nr
t
t
t /)()1/(1 1,1
1
10  


Modelos de Dividendos 
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Exercício 1: Uso da fórmula 
 
Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações 
Espera-se que os dividendos da Denham Company permaneçam constantes a $ 
3 por ação indefinidamente. Se o retorno exigido sobre suas ações for de 15%, 
o valor das ações será: 
 
Resolução:$ 20 = ($ 3/0, 15) 
 
Modelo de crescimento constante 
Suponha que os dividendos crescerão a uma taxa constante, g, menor que o 
retorno exigido r; onde DPS0 representa o dividendo mais recente. 
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Modelos de Dividendos 
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Fórmula: 
 
 
 
 
 
Se simplificarmos, a equação poderá ser escrita da forma a seguir, que é o modelo simplificado de 
Gordon. 
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  )1/(])1([.......)1/(])1([)1/(])1([ 0
22
0
11
00 rgDPSrgDPSrgDPSP
Fórmula: 
)1(
/
01
10
gDPSDPS
grDPSP

Sendo: 
Modelos de Dividendos 
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DPS = dividendos esperados daqui a um ano = DPS0 (1 + g) 
r = taxa exigida de retorno para investidores em patrimônio líquido 
g = taxa de crescimento perpétua dos dividendos 
 
Exercício 2: Aplicação de operações aritméticas e expressões – Frações 
 
A Lomar Company pagou dividendos por ação cujo crescimento determinado pela série de 2009 
a 2014 foi de 7%. A empresa estima que seus dividendos em 2015, DPS1, serão iguais a $ 1,50. 
Suponha que o retorno exigido, r, seja de 15 %. O valor da ação será: 
 
Resolução 
 
P0 = $ 1,50 / 0,15 – 0,07 = $ 18,75 por ação 
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Modelos de Dividendos 
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Exercício 3: A Alfa Ltda. possui uma taxa de capital próprio de 14%. A taxa de crescimento é de 8% e o 
valor do último dividendo pago foi de $ 4,50. Calcular o preço atual da ação. 
 
Resolução 
DPS0 (1+g) / r – g = P0 
$ 4,50 (1+0,08) / 0,14 – 0,08 = $ 81 
 
Exercício 4: A empresa XZK possui ações ordinárias cotadas em $ 10; ela pagou dividendos de $ 0,50 
por ação e estima crescimento dos dividendos de 3%; então, o custo da ação será: 
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Modelos de Dividendos 
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Resolução: 
 
 
Embora o modelo de crescimento de Gordon seja uma abordagem simples e poderosa para avaliar o 
patrimônio líquido, seu uso é limitado a empresas que estejam crescendo a uma taxa de crescimento 
estável. 
 
Como se espera que a taxa de crescimento dos dividendos de uma empresa dure para sempre, 
também se pode esperar que as outras medições de desempenho da empresa (inclusive os lucros) 
cresçam à mesma taxa. Qual taxa de crescimento é razoável como uma taxa de crescimento 
“estável”? 
 
Não há limites inferiores, lógicos ou matemáticos. 
 
Uma taxa de crescimento estável tem que ser constante ao longo do tempo? 
 
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%15,80815,010
03,0
)03,01.(5,0
0 our
r
P 



Modelos de Dividendos 
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Exercício 5: Para o caso Pepsi, calcule o valor das ações hoje, supondo que o dividendo por ação para 
os próximos 4 anos será: 
 
1º ano = $ 21,00 3º ano = $ 23,00 
2º ano = $ 27,00 4º ano = $ 25,00 
 
Resolução: 
Valor esperado da ação: 
 
[$ 21 / (1+10,15%)1 ] + [ $ 27 / (1+10,15%)2 ] + [ $ 23 / (1+10,15%)3] + [$ 25 
/ (1+10,15%)4] = $ 19,06 + $ 22,25 + $ 17,21 + $ 16,98 = $ 75,5 
Modelos de Dividendos 
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Valor da Empresa 
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Enterprise Value (EV), Total Enterprise Value (TEV) ou Valor da Empresa é a medida, dada pelo 
mercado, do valor de uma empresa, considerando-se o agregado de todas suas fontes de 
financiamento: credores, acionistas preferenciais, acionistas minoritários, empresas subsidiárias 
e acionistas ordinários. Uma vez que o EV é neutro em termos de estrutura de capital, ele é útil 
para comparar empresas com estruturas de capital diversas. 
 
Fórmula: 
 

 t
WACC
aCFdaEmpres
resaValordaEmp
t)1(
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Onde: t varia de 1 até ∞ 
CF da empresa= fluxo de caixa da empresa esperado no período t 
 WACC = custo de capital médio ponderado 
 
Exercício 6: A Abaeté tinha, em 2007, um patrimônio líquido contábil de R$ 6,4 milhões e o seu valor 
de mercado era R$ 30 milhões. O valor contábil das dívidas era R$ 9 milhões, enquanto seu valor de 
mercado era R$ 8,9 milhões. Suponha que o custo de capital do patrimônio líquido era de 18,83% a.a. 
e o custo das dívidas antes do pagamento de impostos era de 12,28% a.a. Calcule o custo de capital 
ponderado considerando a ponderação pelo valor de mercado e pelo valor contábil. 
(A alíquota de imposto de renda é 40%) 
Valor da Empresa 
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Ponderação pelo Valor de MERCADO 
Valor da Empresa 
FONTE DE 
FINANCIAMENTO 
VALOR DE 
MERCADO 
EM MIL 
PESO A 
VALOR DE 
MERCADO 
CUSTO DE 
CAPITAL 
CUSTO DE 
CAPITAL 
APÓS OS 
IMPOSTOS 
PRODUTO 
DÍVIDA 8.900 22,90% 12,28% 
12,28% (1 – 
0, 40) = 
7,37% 
1,69% 
PATRIMÔNIO 
LÍQUIDO 30.000 77,10% 18,83% 18,83% 14,52% 
TOTAL 38.900 
CUSTO DE 
CAPITAL 
PONDERADO 
 
16,21% 
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Valor da Empresa 
FONTE DE 
FINANCIAMENTO 
VALOR DE 
MERCADO 
EM MIL 
PESO A 
VALOR DE 
MERCADO 
CUSTO DE 
CAPITAL 
CUSTO DE 
CAPITAL 
APÓS OS 
IMPOSTOS 
PRODUTO 
DÍVIDA 9.000 58,40% 12,28% 
12,28% (1 – 
0, 40) = 
7,37% 
4,30% 
PATRIMÔNIO 
LÍQUIDO 6.400 41,60% 18,83% 18,83% 7,83% 
TOTAL 15.400 
CUSTO DE 
CAPITAL 
PONDERADO 
 
12,13% 
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Ponderação pelo Valor CONTÁBIL 
Análise de Investimentos 
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Valor Presente Líquido – VPL 
 
O valor presente líquido (VPL), também conhecido como valor atual líquido (VAL) ou método do 
valor atual, é a fórmula matemático-financeira capaz de determinar o valor presente de pagamentos 
futuros descontados a uma taxa de juros apropriada, menos o custo do investimento inicial. 
Basicamente, é o calculo de quanto os futuros pagamentos somados a um custo inicial estariam 
valendo atualmente. Temos que considerar o conceito de valor do dinheiro no tempo, pois, 
exemplificando, R$ 1 milhão hoje não valeriam R$ 1 milhão daqui a um ano, devido ao custo de 
oportunidade de se colocar, por exemplo, tal montante de dinheiro na poupança para render juros. 
É um método padrão em: ... 
 
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 contabilidade gerencial: para a conversão de balanços para a chamada demonstrações em moeda 
constante, quando então se tenta expurgar dos valores os efeitos da inflação e das oscilações do 
câmbio. Também é um dos métodos para o cálculo do goodwill, quando, então, se usa o 
demonstrativo conhecido como fluxo de caixa descontado. 
 
 finanças: para a análise do orçamento de capitais – planejamento de investimentos a longo prazo. 
Análise de Investimentos 
O VPL é obtido subtraindo-se o investimento inicial (II) do valor presente das entradas 
de caixa (FCt), descontadas a uma taxa igual ao custo de capital da empresa (K). 
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Análise de Investimentos 
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Fórmula: 





n
j
j
j
CF
i
CF
VPL
1
0
)1(
CF é o fluxo de caixa no tempo j e no tempo 0 e i é igual à taxa de juros utilizada. 
 
Se o VPL for POSITIVO => valor financeiro do ativo do investidor aumentará, ou seja, o 
investimento será atrativo em termos financeiros; 
 
Se o VPL for ZERO => o valor financeiro do ativo não mudará; 
 
Se o VPL for NEGATIVO => valor financeiro do ativo do investidor será reduzido, ou seja, o 
investimento não será atrativo em termos financeiros. 
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Análise de Investimentos 
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• Antes de aplicar o método do VPL, vamos indicar o processo da capitalização e descapitalização. 
• Capitalizar – a partir de um valor presente (PV) obter um valor futuro (FV). 
PV (conhecido) 
FV (desconhecido) 
0 1 2... n períodos 
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• Descapitalizar – a partir de um valor futuro (FV) obter um valor presente (PV). 
1 2 n períodos 
FV (conhecido) 
PV (desconhecido) 
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Análise de Investimentos 
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Exercício 7: 
 
Considere que você tomou um empréstimo de $ 1.000,00, no dia 10 de janeiro para pagar após 6 
meses, ou seja, no dia 10 de julho, de uma só vez, à taxa de 5% ao mês (capitalizados mensalmente). 
 
a) encontre o valor a ser pago no vencimento (10/7). 
 
b) caso você deseje liquidar antecipadamente a dívida, em 10 de abril, que valor deverá ser pago? 
 
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PV 1.000,00 
0 
10/Jan 
Fev Mar Abr Mai Jun Jul 
5% a.m. 
PV 1.000,00 
0 
10/Jan 
VF 1.340,10 
Fev Mar Abr Mai Jun Jul 
PV 1.157,63 
5% a.m. 
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0 
VPL 
D1 
47du 
D2 
98du 
D3 150du 
F1 = 500 
F2 = 700 
F3 = 200 
i = 15,80% 
i = 16,05% 
i = 17,20% 
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Análise de Investimentos 
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A Taxa Interna de Retorno (TIR) 
 
Em inglês, IRR (Internal Rate of Return), é uma taxa de desconto hipotética que, quando aplicada a 
um fluxo de caixa, faz com que os valores das despesas, trazidos ao valor presente, seja igual aos 
valores dos retornos dos investimentos, também trazidos ao valor presente. 
O conceito foi proposto por John Maynard Keynes, de forma a classificar diversos projetos de 
investimento: os projetos cujos fluxos de caixa tivessem uma taxa interna de retorno maior do que 
a taxa mínima de atratividade deveriam ser escolhidos. O valor presente de oportunidade deve ser 
calculado com plano de comunicação, vendas, marketing e potencial de mercado. Sendo assim, 
efetuamos o potencial de vendas. 
 
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Análise de Investimentos 
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TIR é a taxa de retorno que, aplicada aos fluxos de caixa futuros descontados, os iguala à saída de 
capital inicial, ou seja, é a taxa de desconto para a qual o VPL é ZERO. 
 
IRR > taxa de retorno desejada = investimento é atrativo em termos financeiros. 
 
IRR = taxa de retorno desejada = investidor é indiferente ao investimento. 
 
IRR < taxa de retorno desejada = investimento não é atrativo em termos financeiros. 
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Análise de Investimentos 
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Tal que: FJVPA(TIR,n) = II/FCt 





n
t
t
II
TIR
FC
VPL
1
1
)1(
0$
Período de Payback 
(Simplificação para Unidade) 
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Exercício 8: 
 
Baseando-se na empresa que tem o custo de capital de 10%, entrada de caixa anual de $ 
14.000 e investimento inicial de $ 42.000, qual é taxa interna de retorno do investimento? 
Resolução: 
O passo a passo para encontrar a TIR (método de tentativa e erro) é: 
Passo 1: dividindo-se o II de $ 42.000 pelo FCt de $ 14.000, obtém-se um período de payback 
de 3 anos. 
Passo 2: na tabela de FJVPA (TIR, n), os fatores mais próximos de 3 para 5 anos são: 3,058 para 
19% e 2,991 para 20%. 
Portanto, a TIR com a aproximação de 1% (aceitável) está entre 19% e 20%, estando bastante 
acima do custo de capital de 10% da empresa. 
 
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Portanto, a TIR com a aproximação de 1% (aceitável) está entre 19% e 20%, estando 
bastante acima do custo de capital de 10% da empresa. 
Concluindo: Se a TIR for maior do que o custo de capital. aceita-se o projeto; se for 
menor, rejeita-se o projeto. 
Pela HP 12 C 
42.0000 CHS g CFo 
14.0000 g CFj 
5 g Nj 
fIRR 
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Exercício 9: Considerando-se que o fluxo de caixa é composto apenas de uma saída no período 0 de 
R$ 100,00 e uma entrada no período 1 de R$ 120,00, onde i corresponde à taxa de juros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para VPL = 0 temos i = TIR = 0.2 = 20% 
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Payback 
 
É o tempo decorrido entre o investimento inicial e o momento no qual o lucro líquido acumuladose 
iguala ao valor desse investimento. O payback pode ser: 
 
 nominal, se calculado com base no fluxo de caixa com valores nominais. 
 
 presente líquido, se calculado com base no fluxo de caixa com valores trazidos ao valor presente 
líquido. 
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Período de payback 
 
A sua principal deficiência é não se basear em fluxos de caixa descontados para verificar se eles 
adicionam valor à empresa. 
É, simplesmente, um período de tempo máximo aceitável quando o projeto alcança seu “ponto de 
equilíbrio”. 
Falha ao deixar de considerar o valor de dinheiro no tempo. 
 
Fórmula: odoaixadoPeríEntradadeC
tosInvestimenojetoCustosdo
PB
/Pr

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Exercício 10: Considerando os projetos X e Y da tabela a seguir, qual deles deve ser aceito 
pela empresa XZT, levando em conta somente o período de payback. 
 
Cálculo dos períodos de payback para dois projetos x e y que são alternativos. 
 PROJETO X PROJETO Y 
INVESTIMENTO INICIAL $ 10.000 $ 10.000 
ANO ENTRADAS DE CAIXA 
1 $ 5.000 $ 3.000 
2 5.000 4.000 
3 1.000 3.000 
4 100 4.000 
5 100 3.000 
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Resolução: 
 
O projeto X tem investimento de $ 10.000, sendo que as entradas de caixa dos anos 1 e 2, cada uma 
de $ 5.000, fazem com que o payback (período em que retorna o investimento) seja de exatos dois 
anos. 
 
O projeto Y, com o mesmo investimento de $ 10.000, somente terá o retorno do investimento em três 
anos (a soma de: $ 3.000 do ano 1, $ 4.000 do ano 2 e $ 3.000 do ano 3). 
 
O projeto X seria preferível ao Y, embora a abordagem ignore as entradas de caixa de, apenas $ 1.200 
de X, nos anos 3, 4 e 5, contra $ 7.000 de Y nos anos 4 e 5. 
 
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VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
Situação de Liquidez; 
 
Rentabilidade; 
 
Capital de Giro.