EXERCÍCIOS - ESTRUTURAS DE SUPERFÍCIE ATIVA

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01)Defina o que são sistemas estruturais de superfície ativa e cite exemplos de estruturas que 
se enquadram neste sistema. 
São sistemas estruturais onde a transmissão de esforços se dá por tensões distribuídas na 
superfície estrutural. Neles, a superfície da edificação é a própria estrutura. com isso as 
espessuras da estrutura são muito pequenas e prevalecem os esforços de membrama. 
Enquadram-se nese sistema, por exemplo, cascas cilíndricas (abóbodas), cúpulas e 
parabolóides hiperbólicos. 
 
02)Quais as principais características dos sistemas estruturais de superfície ativa? 
Denominações: cascas, cascas delgadas e Shell structures. A superfície da edificação é a 
própria estrutura; as espessuras são pequenas se comparadas com as dimensões em plantas, 
o que justifica a existência apenas de esforços de membrana; a forma da superfície é quem 
garante a rigidez; não se distingue a estrutura de seu invólucro (pele). Um exemplo é a folha 
de papel dobrada. 
 
03)Como se dava o equilíbrio das cúpulas construídas com pedras na antiguidade? Qual foi a 
novidade introduzida na Cúpula do Panteon em Roma? 
As pedras talhadas eram estruturadas em forma de arcos no plano vertical e anéis no plano 
horizontal, o que garantia o equilíbrio da estrutura. A novidade introduzida pelo Panteon em 
Roma foi a não utilização de pedra-chave, deixando uma abertura central de 10m em uma 
cúpula de diâmetro de 42m. 
 
04)O que são tensões de membrana? Quais as condições que uma casca deve satisfazer para 
que ocorram somente este tipo de tensões? 
Tensões de membrana são aquelas em que as tensões ao longo da estrutura são muito 
pequenas e constantes, e também a apresenta uma espessura pequena. Não surge o efeito de 
flexão na estrutura, a não ser que uma carga concentrada esteja sobre a estrutura. 
Tensões de Membrana são as tensões que agem tangencialmente à superfície curvada da 
casca, tendo somente tensões normais ao longo dos meridianos e ao longo dos paralelos. Para 
que uma casca se comporte como uma membrana os seguintes requisitos de projeto e 
condições de carregamento devem ser atendidos: 
A casca deverá ser delgada, de espessura constante, ou então a mesma deverá variar 
gradativamente, evitando-se variações bruscas; Deverá ter uma forma adequada, isto é, a 
superfície da mesma deve ser contínua e a curvatura deverá variar gradativamente; Deverá 
estar submetida a forças distribuídas que variam contínua e suavemente, isto é, sem variações 
bruscas nas suas intensidades; Deverá estar corretamente apoiada, de tal maneira que os 
esforços que atuam na borda da mesma devam ser tangentes à superfície média; as 
deformações na borda devem acomodar-se ou acompanhar as deformações dos elementos 
contíguos. 
 
05)Qual foi a primeira cúpula construída em concreto armado? Quem foi o autor do projeto? 
Compare esse projeto com o da cúpula de São Pedro em Roma. 
A primeira cupula de concreto armado construida foi a de Jena (alemanha), do projetista Carl 
Zeiss. A cúpula de São Pedro em Roma foi criada por Michelangelo e foi feito com pedras e 
tijolos muito grandes que tinham um desvio continuo de uma aduela para outra, esse desvio 
gerava somente esforços de compressão nas pedras. Já a cúpula de Jena foi feita toda em 
concreto armado e com o mesmo vão da cúpula de São Pedro. A de Michelangelo pesava 4000 
toneladas enquanto que a de Carl Zeiss pesava 330 toneladas. Essa diminuição de peso na 
estrutura se deve ao fato de as pedras na primeira serem muito pesadas em comparação com 
o concreto armado. 
 
06) Qual a grande dificuldade na construção de cascas em concreto armado nos dias de hoje? 
Como esta dificuldade pode ser contornada? 
A grande dificuldade é em relação ao alto custo das fôrmas e dos escoramentos(uma mão de 
obra muito especializada). Essa situação pode ser contornada através de cascas de concreto 
armado infladas ou mesmo sistemas de fôrmas em argamassa armada incorporada à seção. 
 
07)Dada uma superfície espacial defina as seguintes propriedades: Seção Normal, Raio de 
curvatura, Curvatura, Curvaturas principais e Curvatura Gaussiana. 
Seção normal: é a seção de uma estrutura por onde passa o plano normal, que é um plano 
contido em uma reta normal a superfície; 
-Curva resultante da seção normal com a superfície; 
-Por um ponto da superfície existem infinitas seções normais; 
 
Raio de curvatura: é o raio de um circulo osculador que passa por uma seção normal á 
superficie do ponto. Rx raio do circulo que contém o plano XZ, Ry raio do circulo que contem o 
plano YZ -Raio do círculo osculador à seção normal à superfície no ponto; 
-Para cada plano normal, tem-se uma seção normal e um raio de curvatura diferente no ponto; 
-Rx: Raio do círculo osculador que contém o plano XZ; 
-Ry: Raio do círculo osculador que contém o plano YZ; 
 
Curvatura: é o inverso do raio de curvatura do círculo osculador; 
-Cx = 1/Rx; Cy = 1/Ry; 
-Curvatura positiva; Curvatura negativa; 
 
Curvaturas principais: em um determinado ponto existem dois planos normais que definem 
seções normais, cujas curvaturas naquele ponto são máxima e mínima; 
-C1: Curvatura máxima; C2: Curvatura mínima; 
 
Curvatura gaussiana: é o produto da curvatura máxima pela curvatura mínima; 
-K = C1.C2 
 
08)Como as superfícies espaciais podem ser classificadas quanto às curvaturas principais? Dê 
exemplos de cada uma. Como esta classificação influi na rigidez das estruturas destas 
superfícies espaciais? 
Superfícies sinclásticas: A curvatura gaussiana é positiva, ou seja, a curvatura máxima e 
minima estão no mesmo sentido. Cúpulas, parabolídes elípticos; 
-Superfícies de dupla curvatura com curvatura gaussiana positiva; 
-K = C1.C2 > 0; 
-Exemplos: Cúpulas, parabolóides elípticos; 
 
Superfícies anticlásticas: A curvatura Gaussiana é negativa, ou seja, a curvatura máxima e 
mínima tem sentido opostos. Paraboloides hiperbolicos, conoides, hiperboloides, sela de 
cavalo; 
-Superfícies de dupla curvatura com curvatura gaussiana negativa; 
-K = C1.C2 < 0; 
-Exemplos: Parabolóides Hiperbólicos, Conóides, Hiperbolóides; 
 
Superfícies desenvolvidas: A curva gaussiana é zero, ou seja, ou a curvatura máxima ou a 
minima são nulas. Abóbodas, Cascas cilindricas; 
-Superfícies de curvatura simples; 
-K = 0; C1 ou C2 = 0; 
 
Rigidez 
-As superfícies anticlásticas geram estruturas mais rígidas que as superfícies sinclásticas, que 
por sua vez geram estruturas mais rígidas que as superfícies desenvolvidas; 
-Vãos (superfícies anticlásticas) > Vãos (superfícies sinclásticas); 
-Vãoes (superfícies sinclásticas) > Vãos (superfícies desenvolvidas); 
 
09)Como as superfícies espaciais podem ser classificadas quanto à forma de geração? Dê 
exemplos. 
Superfícies de revolução: São aquelas onde uma curva que é denominada de meridiano, é 
rotacionada em torno de um eixo central. Também pode ser obtida através de retas reversas 
em torno do eixo de revolução. 
Obtidas pela rotação de uma curva em torno de um eixo. 
A curva que define a superfície é denomidade Meridiano. 
Exemplos: 
Cúpulas esféricas: Meridiano é um círculo. 
Cúpulas parabólicas: Meridiano é uma parábola. 
Hiperbolóide de revolução: Meridiano é uma hipérbole 
(Pode ser gerado também com um meridiano constituído de uma reta reversa em relação ao 
eixo de revolução. Por isso é classificado também como superfície regrada). 
 
Superfícies de translação: Obtidas através da translação de uma curva (geratriz) apoiadas em 
outras duas curvas (diretriz). 
Obtidas pela translação de uma curva (geratriz) apoiada sobre uma ou duas curvas 
(diretrizes). 
Exemplos: 
Casca cilíndrica: Geratriz é um círculo 
Parabolóidehiperbólico: Geratriz é uma parábola, diretriz é uma parábola com curvatura 
oposta. 
Parabolóide hiperbólico: Geratriz é uma reta, diretrizes são duas retas reversas. (Pelo fato de 
possibilitar a geração somente com retas a superfícies é denomidade de regrada). 
 
10)O que são cascas cilíndricas? Como podem ser geradas? 
Cascas cilíndricas são superfícies desenvolvidas, geradas por translação. A geratriz pode ser 
uma reta e a diretriz uma curva (círculo, parábola, elipse). Podem ser entendidas também 
como geradas pela translação de uma curva geratriz (círculo, parábola ou elipse) apoiada 
sobre uma diretriz reta. 
 
11)O que são cúpulas? Como podem ser geradas? Quais são seus elementos principais? 
São superfícies anticlásticas de revolução formadas pela revolução de uma hipérbole ou um 
semi-circulo em torno de um eixo. As principais características são que atuam tensões de 
membrana, ou seja, só existem tensões normais ao longo do meridiano. O angulo de 52 graus 
define o limite entre compressão e tração dos anéis da cúpula. 
 
Cúpulas são superfícies sinclásticas, cujos paralelos são sempre círculos. O meridiano pode 
ser: 
Círculo: Cúpula esférica; Parábola: Cúpula parabólica; Elipse: Cúpula elíptica. 
 
12)Defina o que é um parabolóide? Um parabolóide hiperbólico? Um parabolóide elíptico? 
Como estas superfícies podem ser geradas? 
Parabólides são superfícies geradas pela translação de uma parábola apoiada em outra 
parábola, onde geratriz e a diretriz são parábolas. 
Se duas têm curvaturas de mesmo sentido, a superfície é sinclástica e se denomina 
parabolóide elíptico. 
Se as duas têm curvaturas de sentidos opostos, a superfície é anticlástica e se denomina 
parabolóide hiperbólico (pode ser também uma superfície regrada). 
 
 
 
 
 
13)Defina o que é um hiperbolóide de revolução e as formas como ele pode ser gerado. 
Hiperbolóide de revolução é uma superfície obtida pela rotação de uma hipérbole (meridiano 
ou geratriz) em torno de um eixo. Pode ser gerado também com um meridiano constituído de 
uma reta reversa em relação ao eixo de revolução, por isso é classificado também como 
superfície regrada. 
 
14) Defina o que é um conóide e como ele pode ser gerado. Em relação à curvatura gaussiana, 
como pode ser classificado o conóide? Explique porque. "Cone distorcido" 
É uma superfície de translação. Pode ser gerado pela translação de uma reta (geratriz) 
apoiada em uma diretriz reta e outra curva (círculo, elipse). È uma superfície anticlástica. 
Embora uma das curvaturas seja nula, a da geratriz, a direção da mesma não é direção 
principal. Nas direções principais as duas curvaturas têm sentidos opostos. Exemplo de 
associação de conóides em uma cobertura tipo shed: Essa coberturas permitem iluminação 
zenital. 
 
 
 
15)Quais sãos os elementos que compõem uma casca cilíndrica? 
Elementos principais: 
Casca: Seção Circular, Parabólica ou Eliptica. 
Viga ou tensor de bordo: Absorve os esforços de tração, Altura (h) ≈ 15 cm; 
Vão: L > Flecha: f > f + h = L/30 
Tímpano: 
Pode ser em formato de: Arco, Maciço ou Diafragma 
 
16)Como se dá a ação portante de uma casca cilíndrica? No que difere o comportamento 
estrutural da casca cilíndrica de um conjunto de arcos apoiados em duas vigas? 
Na direção longitudinal, o comportamento é semelhante a uma viga, pois há compressão em 
cima e tração em baixo. A diferença é que na casca cilíndrica as tensões são distribuídas em 
todas as direções, em quando nos arcos apoiados em vigas os arcos são responsáveis por 
transferir as forças na direção transversal e a viga na direção longitudinal. 
 
Caso a curvatura do arco obedeça a linha de pressão do carregamento, desaparece o 
funcionamento longitudinal do conjunto. A resistência longitudinal recai sobre o tensor, que 
passa a funcionar como viga. E o conjunto passa a funcionar como uma série de arcos 
paralelos apoiados sobre vigas de bordo. 
Numa série de arcos apoiados em duas vigas as forças são transmitidas para a viga que 
trabalha a tração e compressão. Já na cascas cilíndricas as cargas são transportadas pelo arco 
que responde as trações de compressão e tração geradas pelo carregamento. 
 
17)Quais são as condições para que ocorram somente tensões de membrana em uma cúpula? 
As tensões de membrana correspondem à ocorrência somente tensões normais ao longo dos 
meridianos e ao longo dos paralelos da estrutura. Para a sua ocorrência deve-se ter um 
carregamento simétrico, apoios tangentes a cúpula (apoios não tangentes geram distúrbios de 
borda, já que não pode surgir uma componente horizontal das forças no apoio da estrutura, 
ou se faz um anel de confinamento protendido) e apoios contínuos (apoios discretos, 
pontuais, geram distorções nos esforços na região de aplicação) 
 
18) Como se dá a ação portante de uma cúpula esférica sob a ação de uma carga 
uniformemente distribuída? Que tipo de tensões são desenvolvidas ao longo dos meridianos e 
dos paralelos? 
Sob a ação de uma carga uniformemente distribuída, a ação portante de uma cúpula esférica 
se dá da seguinte forma: 
- Acima do paralelo de 52°, o carregamento comprime os anéis paralelos; 
- Abaixo do paralelo de 52°, o carregamento traciona os anéis paralelos. 
Ao longo dos meridianos (círculos) são desenvolvidas tensões de compressão, sendo maiores 
as compressões perto dos apoios. Já com relação os paralelos, são desenvolvidas tensões de 
tração abaixo do paralelo de 52° e de compressão acima do paralelo de 52°. Vale ressaltar que 
perto dos apoios, apesar de ser uma região de tração, ocorre tensões de compressão. 
 
19) Como se dá a ação portante de uma cúpula parabólica sob a ação de uma carga 
uniformemente distribuída? Que tipo de tensões são desenvolvidas ao longo dos meridianos e 
dos paralelos? 
Sob a ação de uma carga uniformemente distribuída, a ação portante de uma cúpula 
parabólica se dá da seguinte forma: 
Por ser uma superfície anticlástica o parabolóide hiperbólico reúne o comportamento de arco 
em uma direção com o de cabo em outra. Os arcos e cabos se apóiam nos bordos do 
parabolóide onde ocorrem somente esforços normais de tração e compressão, dependendo de 
como estejam apoiados. 
 
20)Quais são as perturbações que podem ocorrer nos bordos de uma cúpula esférica e como 
elas podem ser evitadas ou minimizadas? 
Quando o apoio não é tangente à cúpula, pode gerar uma reação horizontal a qual introduz 
flexão na extremidade da placa. Para que não ocorra, é necessário que o apoio permita a 
translação do meridiano. Além disso, caso ocorra uma força horizontal os bordos devem ser 
enrijecidos à flexão. Outra possibilidade é a execução de um anel de bordo (protendido ou 
não) para que as forças horizontais possam de confinadas. 
Posicionar o apoio de forma a ser tengente à cúpula é outra solução e esta elimina o problema. 
 
21)Quais são as principais características dos parabolóides hiperbólicos? Explique através de 
croquis as duas formas com que eles podem ser gerados. 
Os parabolóides hiperbólicos são formados por superfícies anticlásticas (possuem curvaturas 
de sentidos opostos), por isso, como algumas de suas principais características, são muito 
rígidos e vencem grandes vãos. Podem ser utilizados em sapatas de fundações e em 
coberturas isoladas. Como suas superfícies podem ser formadas por retas (superfícies 
regradas), são facilmente moldáveis em concreto armado. Além disso, superfícies regradas 
apresentam vantagens de associação possibilitando a origem de fôrmas criativas. 
 
 
 
Formas de serem gerados: 
Considerações iniciais: 
A giratriz é a curva que translada sobre uma ou duas curvas as quais são denomindasdiretrizes. 
 
1ª) Translação de uma parábola apoiada em 
outra parábola. Neste caso, a geratriz e a 
diretriz são parábolas. 
 
2ª) Uma reta caminhando entre duas retas 
reversas. Neste caso a geratriz é uma reta e as 
diretrizes são duas retas reversas. 
 
 
22)Como se dá a ação portante de um parabolóide hiperbólico sob a ação de carga 
uniformemente distribuída? 
Pelo fato de ser uma superfície anticlástica, o parabolóide hiperbólico reúne o comportamento 
de arco em uma direção com o de cabo em outra direção. Os arcos e cabos se apóiam nos 
bordos do parabolóide onde ocorrem somente esforços normais de tração e compressão 
(dependendo de como estão apoiados). 
 
23)Desenhe uma superfície espacial formada por 4 folhas de parabolóides hiperbólicos, com 
apenas um vértice comum às quatro folhas rebaixado em relação aos outros vértices, e 
apoiada em um pilar nesse vértice. Indique as direções dos esforços de tração e compressão 
máximos. Explique que tipo de esforços atuam nos bordos e como eles variam ao longo dos 
mesmos. 
 
 
 
O esforço que ocorre nos bandos é de tração e nos vértices de compressão. 
 
 
Tensões Máximas Tensões Mínimas