COC Resistência dos Materiais para Engenharia Civil

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS PARA 
ENGENHARIA CIVIL 
Henrique Furia Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
1 TENSÕES E EQUILÍBRIO ............................................................................ 3 
2 ESTRUTURAS EM BARRAS ...................................................................... 23 
3 VIGAS E PÓRTICOS ................................................................................. 51 
4 FLEXÃO GERAL ....................................................................................... 80 
5 ELASTICIDADE LINEAR ......................................................................... 102 
6 TEOREMAS DE ENERGIA ...................................................................... 125 
 
 
 
 
 
3 
 
 
1 TENSÕES E EQUILÍBRIO 
Neste bloco serão tratados os conceitos de equilíbrio das estruturas, tensões e 
deformações. Inicia-se o estudo dos vínculos estruturais e reações de apoio que ocorrem 
nestas estruturas em consequência das ações sobre elas aplicadas. 
As estruturas são projetadas para suportar cargas, mantendo o equilíbrio e com 
deformações controladas, mantendo-se a estética e a funcionalidade do sistema. Neste 
sentido, torna-se necessário criar modelos matemáticos para resolver estas estruturas 
simples, utilizando conceitos físicos relacionados ao equilíbrio, às tensões e às 
deformações. 
 
1.1 Vínculos e Reações. Modelagem Matemática. 
O equilíbrio das estruturas é a primeira verificação de qualquer projeto estrutural: é 
necessário que a estrutura mantenha a sua estabilidade durante toda a vida útil, ou seja, 
enquanto a estrutura for utilizada, não poderão ocorrer movimentações das suas partes 
como corpos rígidos. 
Cada um destes movimentos pode ser considerado como a combinação de uma 
translação com uma rotação. Por isto, para garantir este comportamento de 
estabilidade, a resultante de todas as forças externas da estrutura é nula e o momento 
destas forças em relação a qualquer ponto da estrutura é nulo. 
A estrutura deve ser construída para suportar os esforços externos ativos a ela, que são 
gerados pelos carregamentos que surgem devido ao uso da estrutura. Tomam-se como 
exemplos: o peso da estrutura, o peso de pessoas e de objetos sobre a estrutura, além 
de pressões externas ao sistema. 
Um modelo matemático precisa ser construído para avaliar o efeito das ações e das 
reações sobre a estrutura. Uma viga pode ser representada por uma estrutura de barra 
 
 
 
4 
 
que esteja adequadamente vinculada para garantir o equilíbrio. Cada vínculo 
corresponde a uma restrição ao movimento de parte da estrutura que é imposta por um 
tipo de apoio. Os apoios são dispositivos que ligam os pontos do sistema a outros pontos 
a fim de impedir determinados movimentos. 
O apoio simples ou articulação móvel impede o deslocamento na direção perpendicular 
à reta de vinculação. Articulação fixa impede todos os deslocamentos de translação. O 
primeiro modelo para estudo é o de uma viga simplesmente apoiada sob as duas 
extremidades: 
 
Desenho 1.1 – Viga sobre um apoio fixo à esquerda e um apoio móvel à direita 
 
 
Fonte: O autor. 
Assim, qualquer carregamento que nela for colocado será equilibrado pelos apoios 
colocados nas extremidades. Se um carregamento uniformemente distribuído de 
intensidade 𝑝 for colocado sobre a viga de comprimento ℓ, a representação do modelo 
da estrutura passa a ser o seguinte: 
 
Desenho 1.2 – Viga duplamente apoiada com carregamento uniformemente 
distribuído 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
𝒑 
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
 
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
 
𝓵 
 
 
 
5 
 
Os esforços sobre a viga migração em direção às extremidades, onde estão os apoios 
que absorverão estes carregamentos e manterão a estrutura em equilíbrio. Assim, 
metade do carregamento será absorvida por cada um dos apoios. Um sistema de forças 
mecanicamente equivalentes é mostrado abaixo: 
 
Desenho 1.3 – Sistema mecanicamente equivalente ao Desenho 1.2, com as reações 
de apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
 
As reações de apoio, uma em cada lado, garantem o equilíbrio da estrutura, de modo 
que a soma vetorial de forças é nula, e o momento de rotação, em relação a qualquer 
ponto da estrutura, também será nulo. É importante observar que, apesar de serem 
estaticamente equivalentes, as estruturas acima deformam-se de maneiras diferentes. 
Um vínculo de engastamento impede todas as translações e também todos os 
movimentos de rotação em torno do ponto vinculado, como apresentado abaixo. 
 
𝓵 
𝒑 ∙ 𝓵 
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
 
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
 
 
 
 
6 
 
Desenho 1.4 – Viga engastada com carregamento uniformemente distribuído 
 
 
 
Fonte: O autor. 
Os esforços sobre a viga migração em direção à extremidade engastada, onde está o 
único apoio, que absorverá estes carregamentos, mantendo a estrutura em equilíbrio. 
No Desenho 1.5 é apresentado um sistema mecânico estaticamente equivalente ao 
sistema acima, incluindo as respectivas reações de apoio. 
 
Desenho 1.5 – Sistema mecanicamente equivalente ao Desenho 1.4, com as reações 
de apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
O apoio de engaste, na extremidade esquerda da barra, absorverá a resultante do 
carregamento distribuído e também o momento resultante destes carregamentos. 
 
𝒑 
𝓵 
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟐
 
𝓵 
𝒑 ∙ 𝓵 
𝒑 ∙ 𝓵 
 
 
 
7 
 
1.2 Tensões 
Naturalmente, além do equilíbrio estrutural é também necessário avaliar os efeitos das 
ações nos sólidos deformáveis, em especial as estruturas de barras. O conceito de 
tensão em um sólido é apresentado na sequência. 
Quando o sólido da Imagem 1.1 é submetido a um conjunto de forças e momentos, estes 
esforços ativos, aplicados na região 𝑆𝑓 do sólido, migram na estrutura até as regiões 𝑆𝑢 
dos vínculos, e, então, são equilibradas pelas reações de apoio, assim como fora 
mostrado no Desenho 1.2 para uma estrutura de barras. 
 
Imagem 1.1 – Esforços ativos e reativos 
 
Fonte: SILVA (2005). 
Efetuando-se cortes como o plano 𝜋 representado, é possível determinar a distribuição 
de esforços no interior do sólido, ao dividi-lo em duas partes {𝑉𝐼; 𝑉𝐼𝐼}, conforme a 
Imagem 1.2. 
 
 
 
8 
 
Imagem 1.2 – Partes do sólido em equilíbrio 
 
Fonte: SILVA (2005). 
Para preservar o equilíbrio, esforços internos impedem que estas partes se separem. 
Assim, as ações que agem de uma parte sobre a outra deverão ser de mesma 
intensidade e sentidos opostos, conforme a lei da ação e reação. 
 
Imagem 1.3 – Representação das tensões 
 
Fonte: SILVA (2005). 
 
 
 
9 
 
As resultantes ∆�⃗� das forças de superfície que agem na parte esquerda do sólido, devida 
a ação da parte direita sobre ele, são apresentada na Imagem 1.3, que contém a 
representação da normal unitária �⃗⃗�, externa à parte esquerda, em relação ao plano de 
corte: 
‖�⃗⃗�‖ = 1 
Assim, a tensão atuante no ponto 𝑃 é definida como sendo a razão entre cada resultante 
∆�⃗� e as respectivas áreas de influência ∆𝐴, tornadas tão pequenas quanto se queira: 
�⃗� = lim
∆𝐴→0
∆�⃗�
∆𝐴
 
 
1.2.1 Tensões normais e tensões de cisalhamento 
Considerando a parcela da tensão �⃗⃗⃗� relativa à direção perpendicular ao plano 𝝅, 
caracteriza-se a tensão normal �⃗⃗⃗�. A outra componente atua no plano 𝝅, estando 
associada ao corte; esta é a tensão de cisalhamento �⃗⃗�, como mostrado na Imagem 1.3. 
Imagem 1.3 – Tensão normal e tensão de cisalhamento 
 
Fonte: SILVA (2005). 
As relações vetoriais entre as tensões total �⃗⃗⃗�, normal �⃗⃗⃗� e de cisalhamento �⃗⃗� são 
apresentadas no quadro abaixo: 
 
 
 
10 
 
Quadro 1.1 – Relação entre as tensões (�⃗⃗⃗�; �⃗⃗⃗�; �⃗⃗�) 
Tensão normal Tensão de cisalhamento 
�⃗� = (�⃗� ∙ �⃗⃗�) ∙ �⃗⃗� 𝜏 = �⃗⃗� × (�⃗� × �⃗⃗�) 
Fonte: O autor. 
1.2.2 Tensões em estruturas de barras 
Em uma barra de comprimento inicial 𝓵 com seção transversal maciça de área 𝑨, como 
representada na Imagem 1.4, o modelo de cálculoé mais simples. 
Imagem 1.4 – Barra de madeira 
 
 
Considerando 𝑵 a força aplicada longitudinalmente à barra, provocando tendência de 
deslocamentos axiais, a tensão normal (uniforme) na respectiva seção vale: 
𝝈 =
𝑵
𝑨
 
No caso em que uma força 𝑽 é aplicada transversalmente à barra, produzindo tendência 
de corte em relação ao plano da seção transversal, a tensão (média) de cisalhamento 
vale: 
𝝉 =
𝑽
𝑨
 
 
 
 
11 
 
1.3 Deformações 
Uma vez submetido a esforços ativos, o sólido, devido às tensões internas que absorve, 
sofre deformações. Conforme o tipo de material, a duração e a intensidade do 
carregamento, elas podem ser significativamente importantes para, eventualmente, 
comprometer a integridade e a estabilidade da estrutura. 
 
1.3.1 Deformação normal 
No caso de esforços de tração, a barra sofre alongamento, aumentando o seu 
comprimento em uma medida ∆ℓ, resultando em um comprimento final ℓ + ∆ℓ. No 
caso de compressão, a barra sobre encurtamento, que a deixa com comprimento final 
ℓ − ∆ℓ. A deformação específica é taxa de alongamento da barra, estabelecida 
conforme a relação: 
𝜀 =
∆ℓ
ℓ
 
Consequentemente, quando submetida à tração, a deformação da barra é 
algebricamente positiva; no caso de compressão, o valor é negativo. 
 
1.3.2 Deformação por cisalhamento 
Ao ser submetida a um conjugado de forças com pontos de aplicação distintos, ângulos 
entre faces do material da Imagem 1.5, que antes eram retos, deixam de ser; essa 
mudança de configuração é chamada de cisalhamento, pois está associada à tendência 
de corte do corpo. 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Imagem 1.5 – Distorção em bloco de borracha 
 
 
A distorção é definida como a diferença entre o ângulo reto (original) e o novo ângulo 𝜃 
na configuração final: 
𝛾 =
𝜋
2
− 𝜃 
Para avaliar a relação entre as tensões e as respectivas deformações, é necessário 
estabelecer modelos matemáticos, realizar ensaios e validar a teoria. 
 
1.4 Comportamento elástico linear 
No modelo físico-matemático elástico-linear, as tensões (𝜌) variam proporcionalmente 
com as deformações (𝜖) sofridas pelo corpo, como uma função linear: 
𝜌 = 𝐻 ∙ 𝜖 
Neste caso, ao construir um diagrama relacionando as grandezas de tensão por 
deformação obtém-se, no regime elástico linear, o gráfico de uma reta passando pela 
origem: 
𝜽 
 
 
 
13 
 
Gráfico 1.1 – Regime elástico linear 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
Neste regime, o coeficiente angular da reta inclinada com ângulo 𝜑 é o parâmetro de 
elasticidade (𝐻), relacionado pela relação trigonométrica: 
𝐻 = tan𝜑 
Com relação ao modelo do Gráfico 1.1, observa-se que o comportamento linear é 
restrito somente a um intervalo correspondente aos limites de proporcionalidade, no 
qual a relação de linearidade permanece válida, com a nomenclatura do Quadro 1.2. 
 
Quadro 1.2 – Regime elástico linear 
SÍMBOLO SIGNIFICADO 
𝑓𝑝,𝑐 < 0 Tensão-limite de proporcionalidade 
inferior 
𝑓𝑝,𝑡 > 0 Tensão-limite de proporcionalidade 
superior 
𝜖𝑝,𝑐 < 0 Deformação-limite de 
proporcionalidade inferior 
𝜖𝑝,𝑡 > 0 Deformação-limite de 
proporcionalidade superior 
Fonte: O Autor. 
𝝆 
𝒇𝒑,𝒕 
𝝐𝒑,𝒄 
𝝐 
𝝐𝒑,𝒕 
𝒇𝒑,𝒄 
𝝋 
 
 
 
14 
 
Neste exemplo do Gráfico 1.1, o comportamento elástico linear é limitado ao intervalo 
fechado [𝜖𝑝,𝑡; 𝜖𝑝,𝑐], cujo extremo inferior é um número negativo e o extremo superior, 
um número positivo, como ratificado no Quadro 1.2. 
Os valores dos parâmetros do Quadro 1.2 para cada material são estabelecidos a partir 
de ensaios, apresentados nas respectivas normas técnicas e variam conforme o tipo de 
solicitação a qual a estrutura é submetida, seja de tração, compressão ou cisalhamento. 
 
1.4.1 Elasticidade longitudinal 
Com relação aos esforços longitudinais de um material elástico-linear, os valores 
algebricamente positivos do Gráfico 1.1 correspondem a tensões e deformações em um 
ensaio de tração, e os valores algebricamente negativos, a ensaio de compressão. 
 
Gráfico 1.2 – Regimes de trabalho para solicitações normais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
 
 
𝝈 
𝒇𝒑,𝒕 
𝜺𝒑,𝒄 
𝜺 
𝜺𝒑,𝒕 
𝒇𝒑,𝒄 
𝜶 
𝒇𝒚,𝒕 
𝒇𝒚,𝒄 
𝜺𝒚,𝒕 
𝜺𝒚,𝒄 
𝜺𝒖,𝒕 
𝜺𝒖,𝒄 
 
 
 
15 
 
Nestes casos, outra simbologia é utilizada, sendo (𝜎) para as tensões e (𝜀) para as 
deformações, como representado no Gráfico 1.2, em que os valores algebricamente 
positivos correspondem aos esforços e deslocamentos de tração, e os negativos, da 
compressão. 
Neste caso, trata-se de um material cujo comportamento elástico linear é limitado ao 
intervalo fechado [𝜀𝑝,𝑡; 𝜀𝑝,𝑐], trecho em que as tensões normais (𝜎) variam 
proporcionalmente com as deformações longitudinais (𝜀) sofridas pelo corpo, como 
uma função linear: 
𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀 
A constante física (𝐸) que faz o papel matemático de coeficiente angular da reta 
inclinada com ângulo 𝛼 que aparece no do Gráfico 1.2, é o módulo de elasticidade 
longitudinal, devido a Thomas Young1: 
𝐸 = tan𝛼 
Um material pode ter comportamentos diferentes quando submetido à tração ou à 
compressão. O concreto simples é um material não resistente à tração, e o seu 
diagrama, apresentado na respectiva norma brasileira, possui apenas o ramo negativo 
do Gráfico 1.2. O solo é um material (obviamente) não resistente à tração, e os ensaios 
produzem somente o ramo positivo do gráfico. 
O aço é um material que possui a mesma resistência e a mesma rigidez tanto na tração 
quanto na compressão. A madeira (Imagem 1.4), por outro lado, diferentes 
propriedades de resistência e de rigidez na compressão e na tração, variando conforme 
a direção das fibras de crescimento da árvore viva. 
 
 
 
1 Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_Young>. Acesso em: 28 set. 2020. 
 
 
 
16 
 
1.4.2 Ensaios de tração 
Em um ensaio progressivo de tração, realizado com deformações controladas, após 
ultrapassado o regime elástico linear, as tensões (𝜎) deixam de variar linearmente com 
as deformações (𝜀); é o regime elasto-plástico, que ocorre no intervalo aberto ]𝜀𝑝,𝑡; 𝜀𝑦,𝑡[ 
conforme o Gráfico 1.2. 
Após este intervalo, as deformações continuam a aumentar mesmo sem o aumento da 
carga de tração no corpo de prova; é o regime plástico, que ocorre no intervalo fechado 
[𝜀𝑦,𝑡; 𝜀𝑢,𝑡], até o limite de alongamento excessivo, que produz a ruptura. 
A progressão de alongamentos e tensões na tração é apresentada no Quadro 1.3, e os 
regimes de trabalho no Quadro 1.4. 
Quadro 1.3 – Ensaio progressivo de tração 
SÍMBOLO SIGNIFICADO 
𝜀𝑝,𝑡 > 0 Alongamento-limite de 
proporcionalidade 
𝑓𝑝,𝑡 > 0 Tensão limite de 
proporcionalidade 
𝜀𝑦,𝑡 Alongamento de escoamento 
𝑓𝑦,𝑡 > 0 Tensão de escoamento 
𝜀𝑢,𝑡 Limite último de ruptura por 
estiramento excessivo 
Fonte: O autor. 
 
Quadro 1.4 – Regimes de trabalho ensaio progressivo de tração 
INTERVALO SENTIDO DE 
PROGRESSÃO 
DESCRIÇÃO 
𝜀 ∈ [0; 𝜀𝑝,𝑡] 0 ⟶ 𝜀𝑝,𝑡 Regime elástico linear na tração 
𝜀 ∈ ]𝜀𝑝,𝑡; 𝜀𝑦,𝑡[ 𝜀𝑝,𝑡 ⟶ 𝜀𝑦,𝑡 Regime elasto-plástico na tração 
𝜀 ∈ [𝜀𝑦,𝑡; 𝜀𝑢,𝑡] 𝜀𝑦,𝑡 ⟶ 𝜀𝑢,𝑡 Regime plástico na tração 
Fonte: O autor. 
 
 
 
 
17 
 
1.4.3 Ensaios de compressão 
Em um ensaio progressivo de compressão, realizado com deformações controladas, o 
caminho das deformações é no sentido oposto da variável (𝜀) do Gráfico 1.2. O regime 
elasto-plástico ocorre no intervalo aberto ]𝜀𝑦,𝑐; 𝜀𝑝,𝑐[, e o regime plástico ocorre no 
intervalo fechado [𝜀𝑢,𝑐; 𝜀𝑦,𝑐]. 
A progressão de encurtamentos e compressões é apresentada no Quadro 1.5, na 
sequência de ocorrência: as deformações e tensões aumentam em valor absoluto, mas 
diminuem algebricamente. Isto fica mais claro no Quadro 1.6. 
Quadro 1.5 – Ensaio progressivo de compressão 
SÍMBOLO SIGNIFICADO 
𝜀𝑝,𝑐 < 0 Encurtamento-limite de 
proporcionalidade 
𝑓𝑝,𝑐 < 0 Limite de proporcionalidade na 
compressão𝜀𝑦,𝑐 < 0 Encurtamento de escoamento 
𝑓𝑦,𝑐 < 0 Tensão de escoamento na 
compressão 
𝜀𝑢,𝑐 < 0 Limite último de ruptura por 
esmagamento excessivo 
Fonte: O autor. 
 
Quadro 1.6 – Regimes de trabalho em ensaio progressivo de compressão 
INTERVALO SENTIDO DE 
PROGRESSÃO 
DESCRIÇÃO 
𝜀 ∈ [𝜀𝑝,𝑐; 0] 0 ⟶ |𝜀𝑝,𝑐| Regime elástico linear na 
compressão 
𝜀 ∈ ]𝜀𝑦,𝑐; 𝜀𝑝,𝑐[ |𝜀𝑝,𝑐| ⟶ |𝜀𝑦,𝑐| Regime elasto-plástico na 
compressão 
𝜀 ∈ [𝜀𝑢,𝑐; 𝜀𝑦,𝑐] |𝜀𝑦,𝑐| ⟶ |𝜀𝑢,𝑐| Regime plástico na compressão 
Fonte: O autor. 
 
 
 
 
 
18 
 
1.4.4 Efeito de Poisson 
Quando um sólido sofre alongamento em uma direção, naturalmente sofre contração 
nas outras duas direções. Este efeito é devido a Siméon Denis Poisson (1781-1840). 
 
Desenho 1.6 – Deformações laterais e longitudinais 
 
 
 
Considerando-se o desenho acima, fica claro o efeito. Nestas condições, o coeficiente 
de Poisson é a razão entre as deformações laterais (𝜀𝑦 < 0) e as deformações 
longitudinais (𝜀𝑥 > 0): 
𝜐 =
|𝜀𝑦|
|𝜀𝑥|
 
 
1.4.5 Elasticidade transversal 
Ao submeter uma barra a um ensaio de cisalhamento puro, a evolução das tensões de 
cisalhamento 𝜏 aplicadas com as respectivas distorções 𝛾 sofridas em um diagrama 
semelhante ao do Gráfico 1.3 deve ocorrer como resultado. As constantes físicas 
indicadas têm as suas descrições apresentadas no Quadro 1.7. 
𝒙 
𝒚 
 
 
 
19 
 
No modelo apresentado no Gráfico 1.3, o comportamento elástico linear é limitado ao 
intervalo [0, 𝛾𝑝]. O coeficiente angular que representa este efeito é o módulo de 
elasticidade transversal 𝐺, que está relacionado ao módulo de elasticidade longitudinal 
𝐸 e ao coeficiente de Poisson 𝜐 por: 
𝐺 =
𝐸
2 ∙ (1 + 𝜐)
 
 
Gráfico 1.3 – Regimes elástico e elasto-plástico para cisalhamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
 
Durante o regime elástico-linear, a relação entre distorção e tensão de cisalhamento 
que ocorre no ensaio é matematicamente representada por: 
𝜏 = 𝐺 ∙ 𝛾 
Após este regime, o material continua sofrendo deformações elasto-plásticas, atinge 
ainda um valor máximo, e sofre queda das tensões até a ruptura. 
�̅� 
𝝉 
𝝉𝒑 
𝜸 
𝜸𝒓 𝜸𝒑 
𝝉𝒓 
𝝉𝒎𝒂𝒙 
 
 
 
20 
 
Quadro 1.7 – Tensões e deformações transversais 
SÍMBOLO SIGNIFICADO 
𝜏 Tensão de cisalhamento na barra 
𝜏𝑝 Tensão de proporcionalidade 
𝜏𝑚𝑎𝑥 Tensão máxima 
𝜏𝑟 Tensão de ruptura 
𝛾 Distorção transversal sofrida na seção da 
barra 
𝛾𝑝 Limite de proporcionalidade 
�̅� Ponto de máximo da função 
𝛾𝑟 Limite último de ruptura 
𝐺 Módulo de elasticidade transversal 
Fonte: O autor. 
A relação linear entre deformação e tensão que ocorre no regime elástico-linear foi 
descoberta por Robert Hooke (1635-1703). 
 
1.5 Cálculo de deslocamentos axiais 
Barras como as da Ilustração 1.4, quando carregadas axialmente, sofrem alongamentos 
conforme os carregamentos aplicados. Considerando o regime elástico-linear de 
trabalho do Gráfico 1.2, vale a lei de Hooke, apresentada com a nomenclatura do 
Quadro 1.8. 
Quadro 1.8 – Tensões e deformações normais 
SÍMBOLO SIGNIFICADO 
𝑁 Força axial aplicada na barra 
𝐴 Área da seção transversal da 
barra 
𝜎 Tensão normal na barra 
ℓ Comprimento inicial da barra 
∆ℓ Alongamento ou encurtamento 
na barra 
𝜀 Deformação longitudinal sofrida 
pela barra 
𝐸 Módulo de elasticidade 
longitudinal 
Fonte: O autor. 
 
 
 
21 
 
Nos ensaios de tração, os valores para a força (𝑵) aplicada pela máquina, a tensão de 
tração (𝝉) correspondente, os deslocamentos (∆𝓵) medidos pelo computador e as 
respectivas deformações (𝜺) são todos algebricamente positivos, como mostrado no 
Gráfico 1.2; nos ensaios de compressão, todos estes valores são algebricamente 
negativos. 
Em uma situação de trabalho da estrutura, supõe-se, naturalmente, válido o regime 
elástico linear; caso contrário, a estrutura já estaria se preparando para a ruptura, o que 
está fora do objetivo da construção. 
 
Quadro 1.9 – Cálculo de deslocamentos para barras com esforços axiais 
Tensão normal Deformação longitudinal Lei de Hooke 
𝜎 =
𝑁
𝐴
 𝜀 =
∆ℓ
ℓ
 
𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀 
Fonte: O autor. 
 
Tanto em barras tracionadas quanto em barras comprimidas, valem as mesmas fórmulas 
apresentadas no Quadro 1.9 para obter os respectivos deslocamentos. A conexão destas 
fórmulas permite relacionar o deslocamento longitudinal (∆𝓵) diretamente com a força 
normal (𝑵) atuante na barra: 
∆𝓵 =
𝑵 ∙ 𝓵
𝑬 ∙ 𝑨
 
 
Conclusão 
O equilíbrio das estruturas é a primeira verificação de qualquer projeto estrutural, para 
garantir a sua estabilidade durante toda a vida útil. Para isto, vínculos devem ser 
construídos a fim de restringir deslocamentos e rotações, e receber os esforços que, 
aplicados sobre as estruturas, migram para as regiões dos apoios. 
 
 
 
22 
 
A estrutura do Desenho 1.2, submetida a um carregamento uniforme, sofre 
deslocamentos proporcionais ao carregamento nela aplicado. O apoio fixo da esquerda 
restringe qualquer translação. O apoio móvel da direita restringe apenas deslocamentos 
verticais. Ou seja, as reações de apoio, uma em cada lado, garantem o equilíbrio da 
estrutura, de modo que a soma vetorial de forças é nula, e o momento de rotação, em 
relação a qualquer ponto da estrutura, também será nulo. 
É importante avaliar se a estrutura que está sob carregamento sofre com deslocamentos 
excessivos que podem, por um lado, apenas causar desconforto ao usuário, mas, por 
outro lado, prejudicar a estabilidade global e inviabilizar a utilização da estrutura. 
O cálculo de deslocamentos precisa ser realizado para estabelecer os limites admissíveis 
para a estrutura. O modelo matemático de deformações em regime elástico linear, 
apresentado no Gráfico 1.1, é fundamental para estabelecer as relações entre forças e 
deslocamentos em barras carregadas axialmente com uma força normal 𝑵. 
 
REFERÊNCIAS 
SILVA, H. F. Formulação do problema da torção uniforme em barras de seção 
transversal maciça. 2005. Dissertação de mestrado. Escola Politécnica, Universidade de 
São Paulo, 2005. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
2 ESTRUTURAS EM BARRAS 
Neste bloco serão estudadas as estruturas em barras, com relação ao equilíbrio, 
esforços solicitantes e distorções. As estruturas de treliça são muito utilizadas em 
coberturas de galpões industriais ou nas estruturas de telhados, sendo construídas com 
aço ou madeira. 
 
2.1 Treliças Planas 
As treliças são estruturas formadas por barras construtivamente articuladas nos nós, 
concebidas para trabalharem apenas a esforços axiais. Assim, matematicamente, valem 
os modelos apresentados no Bloco 1 para o cálculo de tensões e deformações em barras 
tracionadas ou comprimidas. 
Na Imagem 2.1 é mostrada uma treliça espacial metálica construída com conexões 
estruturalmente articuladas entre as barras de aço. Ela está apoiada em vigas de 
concreto, pois foi construída para suportar uma cobertura. Na Imagem 2.2 é mostrada 
uma treliça plana de madeira com conexões por peças metálicas. 
 
 
 
24 
 
Imagem 2.1 – Treliça de aço galvanizado 
 
 
Imagem 2.2 – Treliça plana de madeira 
 
 
Diretrizes de projeto para esses tipos de estruturas, para dimensionamento e 
detalhamento das ligações mistas entre peças estruturais são apresentadas nas normas 
brasileiras do Quadro 2.1. 
 
 
 
 
 
25 
 
Quadro 2.1 – Normas brasileiras de referência para o projeto de estruturas 
ABNT TÍTULO ANO PÁGINAS 
NBR7190 Projeto de estruturas de madeira 1997 107 
NBR6118 Projeto de estruturas de concreto 2014 256 
NBR8800 Projeto de estruturas de aço e de estruturas 
mistas de aço e concreto de edifícios 
2008 247 
Fonte: O autor. 
Com relação à treliça plana da Imagem 2.1, um modelo matemático é construído 
utilizando barras articuladas nas extremidades, permitindo rotação relativa entre barras 
sucessivas, como apresentado no Desenho 2.1, produzido com a versão3.01 do 
software gratuito Ftool2. Mais detalhes sobre estes softwares são apresentados no 
Bloco 3. 
 
Desenho 2.1 – Carregamento, forças normais e reações de apio em treliça plana 
simétrica 
 
Fonte: O autor. 
 
2 Disponível em: <https://www.ftool.com.br/Ftool/>. Acesso em: 29 set. 2020. 
 
 
 
26 
 
Um apoio fixo, que restrinja todas as translações, deve ser colocado em um dos nós; no 
outro nó basta um apoio móvel, que restrinja apenas deslocamentos horizontais, para 
garantir o equilíbrio da estrutura. Ao colocar o apoio fixo à esquerda, constrói-se um 
modelo de uma estrutura isostática com um ponto fixo à esquerda, sendo conveniente 
estabelecer a origem do sistema de coordenadas neste ponto fixo. 
Neste exemplo, foram colocadas cargas concentradas verticais de 6 𝑘𝑁 simulando a 
ação de uma cobertura apoiada nestes nós. As reações de apoio, de 3 𝑘𝑁 cada, 
equilibram a estrutura. Uma vez que não há forças horizontais, nenhuma componente 
nesta direção aparece na reação de apoio da esquerda. 
Em vermelho, no centro de cada barra, aparecem os valores, em 𝑘𝑁, das forças normais 
as quais as barras estão submetidas. Neste caso, como se trata de uma estrutura 
simétrica com carregamento simétrico, as barras simétricas possuem solicitações iguais. 
Para as barras horizontais: 
𝑁 = 3 𝑘𝑁 
Esta força normal algebricamente positiva confirma que a barra está tracionada. A barra 
vertical está tracionada com 𝑁 = 2 𝑘𝑁. Portanto, para efeito de verificação da 
segurança estrutural, toma-se a força interna de maior valor absoluto para o estudo da 
tração. 
As outras barras estão comprimidas, com forças normais algebricamente negativas. 
Toma-se a de maior valor absoluto para efetuar a verificação da segurança estrutural: 
𝑁 = −4,2 𝑘𝑁 
Em barras comprimidas, além de verificar a segurança quanto à resistência do material, 
é necessário verificar a estabilidade à flambagem. 
Fica mais fácil perceber quais barras estão tracionadas e quais barras estão comprimidas 
ao observar os deslocamentos que ocorrem na estrutura devidos às solicitações 
aplicadas, como no Desenho 2.2. 
Em escala amplificada, mostram-se os deslocamentos que as barras sofrem em 
decorrência do carregamento aplicado. O apoio da direita permite deslocamentos 
horizontais deste nó da estrutura. 
 
 
 
27 
 
Observa-se também que todas as barras se mantêm retas na configuração deformada. 
Isto ocorre porque, neste tipo de estrutura, não há cargas aplicadas no corpo da barra, 
mas somente nos seus respectivos nós; além disto, todos os vínculos permitem 
rotações, o que elimina a possibilidade de haver flexão nas barras deste modelo. 
 
Desenho 2.2 – Deslocamentos em treliça sobre um apoio fixo à esquerda e um apoio 
móvel à direita 
 
 
Fonte: O autor. 
 
 
 
 
28 
 
Desenho 2.3 – Carregamento, forças normais e reações de apoio em treliça plana 
assimétrica 
 
 
Fonte: O autor. 
 
Na treliça do Desenho 2.3 foi acrescentado o carregamento lateral, como simulação de 
vento. Na análise do equilíbrio global da estrutura, o equilíbrio de momentos, 
estabelecido em relação a cada um dos dois apoios, resolve a determinação das reações 
de apoio. Observa-se que somente o apoio da esquerda possui vínculo horizontal e, 
naturalmente, absorverá todos os esforços nesta direção. 
O equilíbrio dos nós e das seções efetuadas na direção de cada uma das barras permite 
determinar as forças normais em cada barra, estabelecendo as barras comprimidas e as 
barras tracionadas. O maior nível de compressão estabelecido é: 
𝑁 = −6,4 𝑘𝑁 
Este valor é absolutamente superior ao encontrado na treliça do Desenho 2.1. Por outro 
lado, o maior nível de tração na treliça acima é: 
𝑁 = 2,0 𝑘𝑁 
 
 
 
29 
 
Este valor é inferior ao da outra estrutura. Observa-se que os tipos de vínculos e os 
carregamentos aplicados na estrutura eliminam as propriedades de simetria 
inicialmente concebidas no modelo do Desenho 2.1. 
 
Desenho 2.4 – Deslocamentos em treliça com carregamento lateral 
 
Fonte: O autor. 
 
No Desenho 2.4 é apresentada a configuração deformada (em escala exagerada), na 
qual observa-se que, mesmo tendo à direita um apoio móvel, não há deslocamento na 
direção deste grau de liberdade. Isto ocorre porque os carregamentos laterais vão em 
direção ao apoio fixo. 
 
 
 
30 
 
Desenho 2.5 – Carregamento, forças normais e reações de apoio em treliça plana 
assimétrica 
 
Fonte: O autor. 
 
No entanto, quando o sentido do carregamento lateral é invertido, o comportamento 
muda significativamente. As reações verticais permanecem iguais no Desenho 2.5 se 
comparado com o Desenho 2.3, mas a mudança de sentido na reação horizontal do 
apoio fixo gera alterações nas forças normais das barras: 
 
𝑁𝑚𝑖𝑛 = −6,4 𝑘𝑁 𝑁𝑚𝑎𝑥 = 7,5 𝑘𝑁 
 
 
 
 
31 
 
Desenho 2.6 – Deslocamentos em treliça com carregamento lateral 
 
 
Fonte: O autor. 
 
Além disto, aparecem deslocamentos no apoio móvel que não ocorriam no modelo 
anterior. 
As treliças são estruturas isostáticas construídas com barras articuladas nas 
extremidades e concebidas para receberem apenas carregamentos nos nós. Com isto, o 
modelo matemático permite obter como resultado a ausência de flexão e de cortante 
nas barras, que estão sujeitas apenas a esforços axiais. 
Isto simplifica a análise do problema, uma vez que, na ausência de solicitações 
transversais, as deformações axiais das barras dependem apenas das forças normais 
atuantes nas barras. 
 
 
 
 
 
 
32 
 
2.2 Efeitos térmicos 
Barras de alumínio como as da Imagem 2.3, ou de aço e outros materiais, sofrem 
consideráveis deformações provocadas pelo efeito da temperatura. 
Imagem 2.3 – Trilho de alumínio 
 
Sendo 𝛼 o coeficiente de dilatação térmica do material, e Δ𝑇 a variação de temperatura, 
uma barra de comprimento inicial ℓ sofre expansão de acordo com a relação: 
(Δℓ)𝑇 = ℓ ∙ 𝛼 ∙ Δ𝑇 
A deformação específica devido à temperatura vale: 
𝜀𝑇 =
(Δℓ)𝑇
ℓ
 ⟹ 𝜀𝑇 = 𝛼 ∙ ΔT 
No caso de redução de temperatura, ou de congelamento, a variação de temperatura é 
negativa (ΔT < 0), e a barra sofrerá contração conforme a mesma relação, produzindo 
uma deformação algebricamente negativa. 
O efeito da temperatura soma-se às deformações devidas a esforços aplicados, e deve 
ser considerado especialmente em estruturas de precisão milimétrica, como o trilho 
representado na Imagem 2.3. 
 
 
 
33 
 
𝜀 = 𝜀𝑇 + 𝜀𝑁 ⟹ 𝜀 = 𝛼 ∙ Δ𝑇 +
𝑁 ∙ ℓ
𝐸 ∙ 𝐴
 
 
2.3 Tensões de cisalhamento 
Os esforços de cisalhamento estão associados à tendência de corte da peça estrutural. 
Na Imagem 2.4 é mostrada a intenção de cortar o fio elétrico com um alicate. Neste 
caso, ao realizar a operação, o corte total é feito quase simultaneamente. 
 
Imagem 2.4 – Corte de fio elétrico 
 
 
Se o corte do fio for perpendicular ao eixo, a região de corte será um círculo de diâmetro 
𝐷; caso o corte seja oblíquo, como sugere a imagem, a região de corte será uma elipse 
de eixo maior 2𝑎 e eixo menor 2𝑏, conforme o Desenho 2.13. 
Considerando a área 𝐴 de corte e o esforço 𝑉 de corte ou cisalhamento, a tensão de 
cisalhamento média é a relação entre esta força e a área da seção, calculada conforme 
o Quadro 2.2. 
 
 
 
 
 
34 
 
Quadro 2.2. – Cálculo de tensão de cisalhamento 
Tensão de 
cisalhamento 
Área do círculo Área da região elíptica 
𝜏 =
𝑉
𝐴
 𝐴 =
𝜋
4
∙ 𝐷2 𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 
Fonte: O autor. 
 
Na Imagem 2.5 é mostrada a execução de corte em folha de alumínio, usando um alicate 
para corte de aço. Mecanicamente, a folha à esquerda da tesoura fica por cima dela e a 
folha à direita, por baixo. 
Imagem 2.5 – Corte de folhas de alumínio 
 
 
Esquematicamente, a Imagem 2.6 representa o fenômeno físico, da tensão de 
cisalhamento 𝜏 calculada considerando a área 𝐴 correspondente à espessura da folha, 
ao comprimento de corte e à distorção angular 𝛾 que ocorre localmente nalâmina de 
alumínio. 
 
 
 
35 
 
Imagem 2.6 – Modelo de movimento de fluido viscoso 
 
 
2.3.1 Fórmula do cisalhamento em seções parciais 
Na Imagem 2.7 é mostrada uma máquina de serra industrial para corte de barras de aço 
sendo preparada e, posteriormente, em operação com fluido refrigerante, colocado 
para evitar o aumento excessivo da temperatura das barras e também da serra da 
máquina, protegendo o equipamento. 
Imagem 2.7 – Corte de haste de metal com máquina automática 
 
(a) Preparação (b) Execução 
 
Neste caso, o corte da barra não é instantâneo, e as tensões de cisalhamento variam 
conforme o corte é executado, considerando a seção parcial de aço que resta, 
descontando a calota circular distante 𝑐 do eixo neutro 𝑧. 
 
 
 
 
36 
 
Quadro 2.3 – Simbologia para cálculo de cisalhamento parcial 
SÍMBOLO SIGNIFICADOS 
𝑉 Força cortante interna 
𝑡 Largura do elemento de corte 
𝑐 Posição do corte 
𝐼𝑧 Momento de inércia da seção cheia, em 
torno do eixo 𝒛 
�̅� Área da calota cortada 
�̅� Coordenada do centroide da calota 
𝜏 Tensão de cisalhamento na linha de corte 
da calota 
Fonte: O autor. 
Desenho 2.7 – Corte parcial da seção 
 
Fonte: O Autor. 
A fórmula que permite calcular a tensão de cisalhamento é apresentada no Quadro 2.4. 
 
 
 
 
𝒛 
�̅� 
𝑹 
𝒕 
𝑷 
𝒄 
 
 
 
37 
 
2.4 Torção em barras de seção maciça 
Na escavação do solo apresentada na Imagem 2.8 a tensão de cisalhamento devida à 
torção e o ângulo de torção da broca variam conforme o torque aplicado no motor e de 
acordo com a resistência do solo em contato com o eixo. 
 
Imagem 2.8 – Execução de estaca escavada 
 
 
2.4.1 Torção de eixos cilíndricos 
Na Imagem 2.9 é representado um eixo de metal, de seção circular maciça, muito 
utilizado em motores, sujeito a altas rotações. O comportamento estrutural à torção é 
o melhor com relação às tensões de cisalhamento e à ausência de empenamento da 
seção transversal. 
 
 
 
38 
 
Imagem 2.9 – Eixo cilíndrico maciço 
 
No tubo sanfonado da Imagem 2.10 foi desenhada uma faixa amarela antes de submetê-
lo à torção. Após o ensaio virtual, a faixa longitudinal se deformou como uma hélice, 
mas os círculos nervurados permanecem com a mesma configuração visual. 
Imagem 2.10 – Torção em eixo circular 
 
 
Neste caso, as seções transversais permanecem planas após a deformação por torção, 
o que significa a ausência de empenamento. Em rotações de pequenas magnitudes, 
como é o caso de estruturas estáticas civis, o comprimento do eixo e o raio da seção 
permanecem inalterados. 
 
 
 
39 
 
Desenho 2.8 – Viga engastada com extremidade livre 
 
 
 
Fonte: O autor. 
No Desenho 2.8 está representado o eixo de uma barra engastada em um dos apoios e 
livre na extremidade. Na torção de barras de seção circular, fibras radiais sofrem rotação 
de um ângulo 𝜑 conforme indicado no Desenho 2.9, mas permanecem retas durante a 
deformação da barra. 
Desenho 2.9 – Viga circular sob torção 
 
 
Cada uma das seções (de coordenada 𝑥) terá seu respectivo ângulo de torção 𝜑(𝑥), o 
que significa que 𝜑 é uma função constante a cada ponto (𝑧, 𝑦) da seção transversal. 
Com a notação do Desenho 2.10, sendo 𝑅 o raio da seção, 𝜌 um raio interno, (0 ≤ 𝜌 ≤
𝑅), a equação do círculo é: 
𝑧2 + 𝑦2 = 𝜌2 ≤ 𝑅2 
𝓵 
 
 
 
40 
 
A distorção por cisalhamento varia proporcionalmente com o raio interno 𝜌 da seção: 
𝛾 = 𝜌 ∙
𝜕𝜑
𝜕𝑥
 
Ao aplicar um torque em uma estrutura de barra, tensões de cisalhamento surgem no 
interior da estrutura. Se o material desta barra for elástico linear, vale a lei de Hooke: 
𝜏 = 𝐺 ∙ 𝛾 
 
Desenho 2.10 – Seção circular cheia 
 
Fonte: O autor. 
 
𝒛 
𝒚 
𝑹 
𝝆 
𝑷 
𝝋 
 
 
 
41 
 
Desenho 2.11 – Tensões de cisalhamento na torção 
 
Fonte: O autor. 
 
As tensões de cisalhamento variam linearmente com a posição 𝜌 do ponto 𝑃 da seção 
transversal, sendo nula na origem e máxima no contorno da circunferência, com valor 
𝜏0, sendo este valor proporcional à intensidade 𝑇0 do momento torsor. 
Considerando a geometria da seção transversal (Desenho 2.10), a distribuição de 
tensões (Desenh0 2.11) e o equilíbrio da viga, a tensão máxima e a tensão atuante em 
um raio intermediário são calculadas conforme as fórmulas apresentadas no Quadro 
2.5, adaptadas de Hibbeler (2012, p. 126): 
Quadro 2.5 – Tensões de cisalhamento em barras de seção circular cheia 
Tensão máxima Tensão no ponto 𝑷 
𝜏0 =
𝑇0 ∙ 𝑅
𝐽
 𝜏 =
𝑇0
𝐽
∙ 𝜌 
Fonte: O autor. 
 
𝒛 
𝒚 
𝑹 
𝝆 
𝑷 
𝝋 
𝝉𝟎 
𝝉 
 
 
 
42 
 
A constante 𝐽 que aparece nas fórmulas é o momento polar de inércia da figura plana 
correspondente à seção transversal. No caso de seção circular, vale: 
𝐽 =
𝜋 ∙ 𝑅2
2
 
 
Imagem 2.11 – Barra tubular circular de seção delgada 
 
Em seções tubulares delgadas do tipo da Imagem 2.11, as propriedades geométricas 
podem ser determinadas pela subtração com relação às da Imagem 2.10, considerando 
o raio externo 𝑅 e o raio interno 𝑟. 
𝐽 =
𝜋
2
∙ (𝑅2 − 𝑟2) 
2.4.2 Torção em eixos prismáticos 
Quando submetida a um esforço de torção, uma barra de seção quadrada da Imagem 
2.12 apresenta deformações como mostradas na Imagem 2.13. 
 
 
 
43 
 
Imagem 2.12 – Empenamento em barra prismática de seção quadrada 
 
Fonte: SILVA (2005). 
 
Imagem 2.13 – Torção em barra prismática de seção quadrada 
 
Fonte: Orion 8 (2011). Disponível em: <https://bit.ly/33e6Cmb>. Acesso em: 29 set. 2020. 
 
Neste caso, ocorre empenamento da seção transversal, como pode-se observar na 
Imagem 2.12, uma vez que aparecem deslocamentos axiais em pontos de uma mesma 
seção, que deixa de ser plana, invalidando a hipótese de Claude Louis Marie Henri Navier 
(1785-1836). 
Isto acontece também em seções tubulares da Imagem 2.14 (b), cujas propriedades 
geométricas podem ser obtidas a partir da respectiva seção cheia da Imagem 2.14 (a) 
por subtração. 
 
 
 
44 
 
Imagem 2.14 – Barras de seção cheia e tubular delgada 
 
(a) Seção cheia (b) Seção tubular delgada 
 
Na seção transversal de uma barra maciça, ocorrem deslocamentos conforme mostrado 
no Desenho 2.12, em que fibras radiais 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ giram em torno do eixo longitudinal da barra 
de um ângulo: 
Θ = 𝜃 ∙ 𝑧 
 
Desenho 2.12 – Deslocamentos na seção transversal 
 
Fonte: SILVA (2005). 
 
 
 
 
45 
 
Com este movimento, estas fibras radiais passam a ocupar a posição 𝑂𝑃∗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . Sendo 𝜃 a 
taxa de rotação da seção por comprimento de barra, Silva (2005) obtém o campo de 
deslocamentos de pontos da seção transversal, conforme indicado no desenho acima 
representativo da torção uniforme: 
𝑢 = −𝜃 ∙ 𝑧 ∙ 𝑦 𝑣 = 𝜃 ∙ 𝑧 ∙ 𝑥 
Ao submeter uma barra com seção transversal maciça a um esforço de torção de 
intensidade 𝑀𝑡, a taxa de rotação por comprimento varia conforme a relação: 
𝜃 =
𝑀𝑡
𝐺 ∙ 𝐼𝑇
 
Considerando que a barra tenha comprimento ℓ, o ângulo de rotação vale: 
Θ =
𝑀𝑡 ∙ ℓ
𝐺 ∙ 𝐼𝑇
 
O momento de inércia à torção 𝐼𝑇 depende da geometria da seção transversal. 
Desenho 2.13 – Orientação do contorno de uma elipse 
 
Fonte: SILVA (2005). 
O problema da torção uniforme em barras com seção transversal elíptica (e, em 
particular, o de seção transversal circular) possui solução analítica fechada. No Desenho 
 
 
 
46 
 
2.13 é mostrada uma elipse com semi-eixo maior de medida 𝑎 e semi-eixo menor de 
medida 𝑏. Silva (2005) obteve o momento de inércia à torção correspondente: 
𝐼𝑇 =
𝜋 ∙ 𝑎3𝑏
𝑎2 + 𝑏2
 
Nestas condições, os deslocamentos longitudinais 𝑤 de pontos da seção transversal 
foram obtidos por Silva (2005) pela aplicação do método semi-inverso e valem: 
𝑤 =
𝑀𝑡
𝐺
∙
𝑏2 − 𝑎2
𝜋 ∙ 𝑎3𝑏3
∙ 𝑥𝑦 
O resultado deste empenamento pode ser observado no desenho a seguir: 
 
Desenho 2.14 – Empenamento da seção transversal em barras de seção maciça 
elíptica 
 
Fonte: SILVA (2005). 
 
2.5 Torção em seçõesabertas de paredes delgadas 
As barras da Imagem 2.15 têm maior resistência à torção que as maciças de mesma área. 
 
 
 
 
 
 
47 
 
Imagem 2.15 – Barras tubulares de seção delgada 
 
 
Este comportamento ocorre porque o material do eixo está concentrado em áreas mais 
distantes do eixo central e, portanto, têm maior rigidez à torção. Consequentemente, 
as barras tubulares têm a vantagem de suportar uma tensão de cisalhamento maior, ao 
considerar barras de mesma área. Portanto, elas são muito utilizadas, especialmente em 
peças sujeitas à torção. 
Seções fechadas com paredes delgadas de espessura (𝑡) constante, como nos casos 
particulares de uma seção anelar (Imagem 2.11), ou de uma seção caixão (Imagem 2.14 
(b)), podem ser resolvidas com os métodos apresentados nos temas anteriores, 
considerando o efeito da seção externa e subtraindo o efeito correspondente à seção 
interna. 
 
2.5.1 Torção em seções fechadas de paredes delgadas com espessura variável 
Algumas barras da Imagem 2.15 possuem cantos vivos, cuja espessura é localmente 
maior que em todos os outros pontos da respectiva seção, e o processo de análise é 
outro. Para o caso mais geral do Desenho 2.15, em que a espessura (𝑡) da parede não é 
 
 
 
48 
 
constante, uma solução aproximada pode ser obtida considerando a tensão média em 
cada espessura do tubo. 
 
Desenho 2.15 – Seção transversal com paredes delgadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
 
Considerando os cortes {𝑃; 𝑄} mostrados na Imagem com espessuras {𝑡𝑃; 𝑡𝑄}, 
respectivamente, Hibbeler (2012) obteve a seguinte relação entre as tensões de 
cisalhamento médias atuantes nos respectivos pontos da seção transversal: 
𝜏𝑃 ∙ 𝑡𝑃 = 𝜏𝑄 ∙ 𝑡𝑄 
Uma vez que este produto é constante, essa grandeza física recebe o nome de fluxo de 
cisalhamento (𝑞). Assim, maiores tensões de cisalhamento média (𝜏̅) ficarão 
concentradas nos pontos de seção de menor espessura: 
𝑞 = 𝑡 ∙ 𝜏̅ 
 
 
(𝒛, 𝒚) 
𝒛 
𝒚 
𝑮 
𝑷 𝑸 
 
 
 
49 
 
Sendo (𝑇0) o torque interno atuante na seção tubular do Desenho 2.15, toma-se a área 
(�̅�) como correspondente ao interior do contorno da linha central na espessura do tubo, 
a tensão de cisalhamento média (𝜏̅) atuante sobre a espessura do tubo é: 
𝜏̅ =
𝑇0
2 ∙ 𝑡 ∙ �̅�
 
 
 
Conclusão 
As estruturas em barras são as células iniciais para a construção de estruturas. Vigas e 
pilares possuem uma das dimensões (o comprimento) significativamente maior que as 
outras duas (largura e altura). As propriedades geométricas das seções transversais e as 
de rigidez do material são determinantes para garantir a estabilidade da estrutura. 
As treliças planas são estruturas solicitadas apenas a esforços normais. É possível 
construir treliças mistas, utilizando concreto armado onde for cabível. Assim, os 
diferentes materiais são utilizados para atender aos requisitos de segurança e 
estabilidade, aproveitando suas melhores propriedades. 
Em estruturas de barras solicitadas a cortes transversais ou a torção em torno do próprio 
eixo, aparecem tensões de cisalhamento, que precisam ser determinadas inclusive em 
seções parciais, durante o processo de corte. 
Quanto à torção, os eixos cilíndricos são os que têm melhor desempenho entre as seções 
maciças, por não sofrerem de empenamento da seção transversal. As barras de seção 
tubulares circulares são eficientes principalmente por terem concentração de massa 
longe do centro, garantindo maior rigidez. 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
REFERÊNCIAS 
SILVA, Henrique Furia. Formulação do problema da torção uniforme em barras de 
seção transversal maciça. 2005. Dissertação de mestrado. Escola Politécnica, 
Universidade de São Paulo, 2005. 
BENEVIERI, Pierluigi. Cálculo Diferencial e Integral I. Registro das aulas, Instituto de 
Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, 2018. 
BENEVIERI, Pierluigi. Análise Real. Registro das aulas, Instituto de Matemática e 
Estatística da Universidade de São Paulo, 2018. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
3 VIGAS E PÓRTICOS 
Neste bloco serão estudadas as vigas e as estruturas de pórticos, que são as células 
básicas para as construções civis (e também mecânicas). Serão determinadas as reações 
de apoio necessárias para garantir o equilíbrio estático destas estruturas, e também 
calculados os esforços internos atuantes nas barras da estrutura. Existem alguns 
programas (gratuitos) que auxiliam o engenheiro nestas tarefas e, uma vez validados a 
partir de resultados elementares da teoria, podem ser utilizados sem restrições. 
 
3.1 Cargas e Reações. Esforços Internos. 
No Desenho 3.1 é representada uma viga de comprimento 𝓵 simplesmente apoiada sob 
um apoio fixo na seção 𝑨 e um apoio móvel na seção 𝑩. 
Desenho 3.1 – Viga duplamente apoiada com carregamento uniformemente 
distribuído 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
 
 
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
 
𝑪 
𝒙 
𝑩− 𝑨+ 𝒑 
𝑹𝑨 =
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
 
 
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
= 𝑹𝑩 
 
𝓵 
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
 
 
 
 
52 
 
Como esta estrutura possui um ponto fixo (𝑨), é conveniente escolher um eixo de 
referência 𝒙 passando por este ponto, com a origem do sistema de coordenadas sobre 
este ponto. Assim: 
𝒙𝑨 = 𝟎 𝒙𝑩 = 𝓵 
O carregamento de intensidade 𝒑 (𝒌𝑵
𝒎
), distribuído ao longo da viga, tem resultante 
estática 𝒑 ∙ 𝓵 (𝒌𝑵), e migra igualmente para cada uma das extremidades {𝑨;𝑩}, que 
reagem com forças concentradas, de sentidos opostos à essa resultante, e com 
intensidades: 
𝑹𝑨 =
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
 𝑹𝑩 =
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
 
 
3.1.1 Esforços internos 
Internamente, a viga sofre esforços de corte ou cisalhamento. No desenho acima foram 
selecionadas duas seções para a análise dos esforços internos. A seção 𝑨+ foi locada 
imediatamente à direita da extremidade na qual foi construída o apoio fixo. Portanto, à 
esquerda desta seção atua a força concentrada reativa 𝑹𝑨 que tende a girar a estrutura 
no sentido horário. Portanto, a força cortante na seção 𝑨+ vale: 
𝑽(𝟎) =
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
 
A seção 𝑩− foi locada imediatamente à esquerda da extremidade na qual foi construída 
o apoio móvel. Portanto, à direita desta seção, atua a força concentrada reativa 𝑹𝑩 que 
tende a girar a estrutura no sentido anti-horário. Portanto, a força cortante na seção 𝑩− 
vale: 
𝑽(𝓵) = −
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
 
 
 
 
 
 
53 
 
A seção 𝑪 foi locada exatamente no centro da viga, isto é: 
𝒙𝑪 =
𝓵
𝟐
 
Observando à esquerda da seção, isto é, na seção 𝑪−, existe a força 𝑹𝑨 que tende a girar 
a estrutura no sentido horário. O carregamento distribuído de intensidade 𝒑 possui, 
neste trecho da viga, resultante de 
𝒑∙𝓵
𝟐
, tendendo a girar a estrutura no sentido anti-
horário. Portanto: 
𝑽(𝑪−) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝓵
𝟐
𝒙<
𝓵
𝟐
𝑽(𝒙) =
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
−
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
= 𝟎 
Observando à direita da seção, isto é, na seção 𝑪+, existe a força 𝑹𝑩 que tende a girar a 
estrutura no sentido anti-horário. O carregamento distribuído de intensidade 𝒑 possui, 
neste trecho da viga, resultante de 
𝒑∙𝓵
𝟐
, tendendo a girar a estrutura no sentido horário. 
Portanto: 
𝑽(𝑪+) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝓵
𝟐
𝒙>
𝓵
𝟐
𝑽(𝒙) = −
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
+
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
= 𝟎 
Uma vez que os valores laterais da função são iguais, se estabelece a continuidade da 
função naquele ponto, e escreve-se: 
𝑽(𝑪) = 𝑽 (
𝓵
𝟐
) = 𝟎 
Observando-se na seção 𝑪−, imediatamente à esquerda da seção 𝑪, a força concentrada 
reativa 𝑹𝑨 tende a tracionar a mesa inferior da viga, com um momento de: 
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
∙
𝓵
𝟐
=
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟒
 
 
 
 
 
54 
 
O carregamento distribuído de intensidade 𝒑 possui, neste trecho da viga, resultante de 
𝒑∙𝓵
𝟐
, tendendo a tracionar a mesa superior da viga, com um momento de: 
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
∙
𝓵
𝟒
=
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟖
 
Considerando como positivos os momentos que tracionam a mesa inferior da viga e 
negativos os momentos que tracionam a mesa superior da viga, obtém-se, para essaseção, o momento fletor de: 
𝑴(𝑪−) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝓵
𝟐
𝒙<
𝓵
𝟐
𝑴(𝒙) =
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟒
−
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟖
=
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟖
 
Observando a seção 𝑪+, imediatamente à direita da seção 𝑪, a força concentrada reativa 
𝑹𝑩 tende a tracionar a mesa inferior da viga, com um momento de: 
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
∙
𝓵
𝟐
=
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟒
 
O carregamento distribuído de intensidade 𝒑 possui, neste outro trecho da viga, 
resultante de 
𝒑∙𝓵
𝟐
, tendendo a tracionar a mesa superior da viga, com um momento de: 
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
∙
𝓵
𝟒
=
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟖
 
Para a seção 𝑪+, o momento fletor obtido é: 
𝑴(𝑪+) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→
𝓵
𝟐
𝒙>
𝓵
𝟐
𝑴(𝒙) =
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟒
−
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟖
=
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟖
 
Uma vez que os valores laterais da função são iguais, estabelece-se a continuidade da 
função naquele ponto, e escreve-se: 
𝑴(𝑪) = 𝑴(
𝓵
𝟐
) =
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟖
 
 
 
 
55 
 
Este é o momento fletor máximo atuante na viga, na seção central, sendo utilizado para 
dimensionar a estrutura que suporte este carregamento. 
Nestas condições, os esforços internos, o carregamento e as reações de apoio são 
compatíveis com o equilíbrio da estrutura do Desenho 3.1. 
No Desenho 3.2 é representada uma viga de comprimento 𝓵 engastada na seção 𝑨 e 
livre na extremidade da seção 𝑩. 
 
Desenho 3.2 – Viga engastada com carregamento uniformemente distribuído 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
O carregamento de intensidade 𝑝 (𝑘𝑁
𝑚
), distribuído ao longo da viga, tem resultante 
estática 𝒑 ∙ 𝓵 (𝒌𝑵), e os esforços dele decorrentes migram totalmente para a 
extremidade engastada {𝐴}, que reage com força concentrada, de sentido oposto à essa 
resultante, e com um momento concentrado com intensidades: 
𝑹𝑨 = 𝒑 ∙ 𝓵 
𝑴𝑨 =
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟐
 
𝒑 ∙ 𝓵 = 𝑹𝑨 
𝑨+ 𝑩− 
𝒑 
𝑴𝑨 =
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟐
 
𝒑 ∙ 𝓵 
𝓵 
𝒙 
 
 
 
56 
 
Internamente, a viga sofre esforços internos de corte ou cisalhamento. No desenho 
acima foram selecionadas duas seções para a análise dos esforços internos. À esquerda 
da seção 𝑨+ atua a força concentrada reativa 𝑹𝑨 que tende a girar a estrutura no sentido 
horário. Portanto, a força cortante na seção 𝑨+ vale: 
𝑽(𝟎) = 𝒑 ∙ 𝓵 
Atua também o momento reativo 𝑴𝑨, que tende a tracionar a mesa superior da viga. 
 
Nesta seção, o momento fletor vale: 
𝑴(𝟎) =
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟐
 
À direita da seção 𝑩−, não há forças cortantes e nem momentos fletores. 
Consequentemente: 
𝑽(𝓵) = 𝟎 𝑴(𝓵) = 𝟎 
 
3.2 Construção de diagramas de esforços solicitantes 
Para construir os diagramas de esforços solicitantes, é necessário determinar, para cada 
seção da barra, as funções que representam os esforços internos de forças normais, 
forças cortantes, momentos fletores e momentos torsor (torque). 
 
3.2.1 Viga simplesmente apoiada com carregamento distribuído uniforme 
Primeiramente, escolhe-se um eixo de coordenadas e coloca-se a origem 
preferencialmente em um ponto fixo da estrutura, como mostrado no Desenho 3.3. Em 
seguida, deve-se escolher uma seção 𝑆 de coordenada 𝑥 para escrever cada função em 
função da respectiva coordenada. 
 
 
 
57 
 
Desenho 3.3 – Viga duplamente apoiada com carregamento uniformemente 
distribuído 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
Ao observar à esquerda de 𝑺, percebe-se que a força concentrada reativa 𝑹𝑨 tende a 
girar a estrutura no sentido horário. 
O carregamento distribuído de intensidade 𝒑 possui, neste trecho da viga, resultante 𝒑 ∙
𝒙, tendendo a girar a estrutura no sentido anti-horário. Portanto: 
𝑽(𝑺) = 𝑽(𝒙) =
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
− 𝒑 ∙ 𝒙 = 𝒑 ∙ (
𝓵
𝟐
− 𝒙) 
O mesmo resultado é obtido se for efetuada a análise dos esforços à direita de 𝑺, pois a 
força concentrada reativa 𝑹𝑩 tende a girar a estrutura no sentido anti-horário e a 
resultante 𝒑 ∙ (𝓵 − 𝒙) do carregamento distribuído neste trecho tende a girar a 
estrutura no sentido horário. Portanto: 
𝑽(𝑺) = 𝑽(𝒙) = −
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
+ 𝒑 ∙ (𝓵 − 𝒙) = 𝒑 ∙ (
𝓵
𝟐
− 𝒙) 
Conclui-se que em uma viga simplesmente apoiada com carregamento vertical 
uniforme, a força cortante é uma função decrescente de primeiro grau definida para o 
intervalo 𝒙 ∈ [𝟎; 𝓵] e que assume o valor máximo em 𝒙 = 𝟎 e o valor mínimo em 𝒙 =
𝓵, sendo nula na seção central 𝒙 =
𝓵
𝟐
: 
𝒙 
𝒑 ∙ (𝓵 − 𝒙) 
𝑺 
𝒙 
𝑩− 𝑨+ 𝒑 
𝑹𝑨 =
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
 
 
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
= 𝑹𝑩 
 
𝓵 
𝒑 ∙ 𝒙 
 
 
 
58 
 
𝑽(𝟎) =
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
 𝑽(
𝓵
𝟐
) = 𝟎 𝑽(𝓵) = −
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
 
Portanto, o gráfico da função 𝑽(𝒙) é um segmento de reta, como apresentado no 
Desenho 3.4. 
Quanto aos momentos fletores, ao observar à esquerda da seção 𝑺, a força concentrada 
reativa 𝑹𝑨 tende a tracionar a mesa inferior da viga, com um momento de: 
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
∙ 𝒙 =
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
∙ 𝒙 
A resultante 𝒑 ∙ 𝒙 do carregamento distribuído tende a tracionar a mesa superior da 
viga, com um momento de: 
(𝒑 ∙ 𝒙) ∙
𝒙
𝟐
=
𝒑
𝟐
∙ 𝒙𝟐 
Considerando como positivos os momentos que tracionam a mesa inferior da viga e 
negativos os momentos que tracionam a mesa superior da viga, obtém-se, para esta 
seção, o momento fletor de: 
𝑴(𝑺) = 𝑴(𝒙) =
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
∙ 𝒙 −
𝒑
𝟐
∙ 𝒙𝟐 =
𝒑
𝟐
∙ (𝓵 ∙ 𝒙 − 𝒙𝟐) 
O mesmo resultado é obtido considerando os esforços à direita de 𝑺, pois a força reativa 
𝑹𝑩 tende a tracionar a mesa inferior da viga, enquanto a resultante do carregamento 
distribuído de 𝒑 ∙ (𝓵 − 𝒙), neste trecho, tende a tracionar a mesa superior da viga. 
Assim: 
𝑴(𝑺) = 𝑴(𝒙) =
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
∙ (𝓵 − 𝒙) − 𝒑 ∙ (𝓵 − 𝒙) ∙
𝓵 − 𝒙
𝟐
=
𝒑
𝟐
∙ (𝓵 ∙ 𝒙 − 𝒙𝟐) 
Conclui-se que em uma viga simplesmente apoiada com carregamento vertical 
uniforme, o momento fletor é uma função de segundo grau definida para o intervalo 
𝒙 ∈ [𝟎; 𝓵], com concavidade para cima e que assume o valor máximo em 𝒙 =
𝓵
𝟐
 e 
valores mínimos em 𝒙 = 𝓵: 
 
 
 
59 
 
𝑴(𝟎) = 𝟎 𝑴(
𝓵
𝟐
) =
𝒑 ∙ 𝓵𝟐
𝟖`
 𝑴(𝓵) = 𝟎 
Os gráficos dos esforços solicitantes foram apresentados no Desenho 3.4. No gráfico de 
forças cortantes, colocam-se os sinais nos diagramas; no de momentos fletores, 
desenha-se o gráfico no lado tracionado. 
 
Desenho 3.4 – Diagrama de esforços solicitantes da estrutura do Desenho 3.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
 
 
𝒑∙𝓵
𝟐
 
𝒑∙𝓵
𝟐
 
𝒑∙𝓵𝟐
𝟖
 
𝒙 
𝑺 
𝒙 
𝑩− 𝑨+ 𝒑 
𝑹𝑨
=
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
 
 
𝒑 ∙ 𝓵
𝟐
= 𝑹𝑩 
 
𝓵 
𝒑 ∙ 𝓵 
(−) 
(+) 
 
 
 
60 
 
3.2.2 Viga simplesmente apoiada com carregamento concentrado 
No desenho abaixo é apresentado o modelo de uma viga simplesmente apoiada com 
carregamento concentrado em uma posição 𝑥𝑃 que, no caso geral, não corresponde à 
seção transversal da viga. 
 
Desenho 3.5 – Viga biapoiada com carregamento concentrado 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
 
As reações de apoio da viga são determinadas por meio de dois equilíbrios de momentos 
em relação a dois pontos distintos da estrutura. Os equilíbrios de momentos em relação 
aos pontos {𝑨;𝑩} respectivamente, permitem obter: 
𝑹𝑩 =
𝒙𝑷
𝓵
∙ 𝑷 𝑹𝑨 =
𝓵 − 𝒙𝑷
𝓵
∙ 𝑷 
Em relação à seção 𝑪−, imediatamente antes da posição da força concentrada 𝑷, a 
reação de apoio 𝑹𝑨 tende a girar a barra no sentido horário, produzindo força cortante 
positiva à esquerda de 𝑷. Em relação à seção 𝑪+, imediatamente depois da posição da 
força concentrada 𝑷, a reação de apoio 𝑹𝑩 tende a girar a barra no sentido anti-horário, 
produzindo força cortante negativa. Consequentemente: 
𝑽(𝑪−) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝑷
𝒙<𝒙𝑷
𝑽(𝒙) =
𝓵 − 𝒙𝑷
𝓵
∙ 𝑷 𝑽(𝑪
+) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝑷
𝒙>𝒙𝑷
𝑽(𝒙) =
𝒙𝑷
𝓵
∙ 𝑷 
𝑪− 𝑪
+ 
𝒙𝑷 
𝒙 
𝑩− 𝑨+ 
𝑹𝑨 
 
𝑹𝑩 
 
𝓵 
𝑷 
 
 
 
61 
 
Uma vez que os limites laterais da função 𝑽(𝒙) são diferentes, a seção 𝑪 é um ponto de 
descontinuidade da força cortante, justamente porque é onde está locada a força 
concentrada 𝑷. E o valor absoluto da descontinuidade é exatamente 𝑷, como mostrado 
no Desenho 3.6.Quanto aos momentos fletores, em relação à seção 𝑪−, a força reativa 𝑹𝑨 atua 
tracionando a viga na mesa inferior, com um momento fletor de 𝑹𝑨 ∙ 𝒙𝑷. Em relação à 
seção 𝑪−, a força reativa 𝑹𝑩 atua tracionando a mesa inferior, com um momento fletor 
de 𝑹𝑩 ∙ (𝓵 − 𝒙𝑷). Resultado: 
𝑴(𝑪−) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝑷
𝒙<𝒙𝑷
𝑴(𝒙) = (
𝓵 − 𝒙𝑷
𝓵
∙ 𝑷) ∙ 𝒙𝑷 𝑴(𝑪
+) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝑷
𝒙>𝒙𝑷
𝑴(𝒙) =
𝒙𝑷
𝓵
∙ 𝑷 ∙ (𝓵 − 𝒙𝑷) 
Como os limites laterais da função 𝑴(𝒙) são iguais, a função é contínua na seção 𝑪, de 
coordenada 𝒙 = 𝒙𝑷. Logo: 
𝑴(𝒙𝑷) = 𝑷 ∙
𝒙𝑷 ∙ (𝓵 − 𝒙𝑷)
𝓵
 
Portanto, 𝒙 = 𝒙𝑷 é o ponto máximo (global) da função 𝑴(𝒙), isto é, a seção 𝑪, na qual 
é aplicada a força concentrada 𝑷, é solicitada ao máximo no momento fletor da 
estrutura. Este é o ponto crítico que será utilizado no dimensionamento da estrutura. 
 
 
 
62 
 
Desenho 3.6 – Diagrama de esforços solicitantes da estrutura do Desenho 3.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
 
3.3 Princípio da superposição 
É um princípio segundo o qual carregamentos aplicados em uma estrutura geram efeitos 
que podem ser medidos por funções lineares e podem ser avaliados separadamente. 
Uma função 𝐹: [0, ℓ] ⟶ ℝ é dita linear se possui as propriedades de aditividade e 
homogeneidade, conforme apresentado no Quadro 3.1. 
 
 
 
𝑷 ∙
𝒙𝑷∙(𝓵−𝒙𝑷)
𝓵
 
𝒙𝑷
𝓵
∙ 𝑷 
𝓵−𝒙𝑷
𝓵
∙ 𝑷 
(−) 
(+) 
𝑪 
𝒙𝑷 
𝒙 
𝑩− 𝑨+ 
𝑹𝑨 
 
𝑹𝑩 
 
𝓵 
𝑷 
 
 
 
63 
 
Quadro 3.1 – Princípio da superposição e funções lineares 
Aditividade: {𝒙𝟏, 𝒙𝟐}
⊂ [𝟎, 𝓵] 
⟹ 𝑭(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐) = 𝑭(𝒙𝟏) + 𝑭(𝒙𝟐) 
Homogeneidade: (𝒙
∈ [𝟎, 𝓵])
∧ (𝜶 ∈ ℝ) 
⟹ 𝑭(𝜶 ∙ 𝒙) = 𝜶 ∙ 𝑭(𝒙) 
Fonte: O autor. 
Em outras palavras, algumas grandezas físicas são proporcionais; nestes casos, os efeitos 
das múltiplas solicitações podem ser considerados separadamente e, posteriormente, 
somados para obter o mesmo efeito final. 
No caso de interesse da engenharia de estruturas, esta separação de causas e efeitos 
pode ser aplicada quando houver relação linear entre carga ou tensão e deslocamento 
ou deformação, desde que o carregamento não provoque alterações na geometria que 
modifiquem o equilíbrio estrutural. 
Uma excelente aplicação deste princípio é cabível na estrutura do Desenho 3.7, no qual 
os carregamentos distribuídos (Desenho 3.1) e concentrado (Desenho 3.5) atuam 
simultaneamente: 
 
Desenho 3.7 – Viga duplamente apoiada com carregamento concentrado e 
uniformemente distribuído 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
𝑪− 
𝑪+ 𝒙 𝑺 
𝒙 
𝑩− 𝑨+ 
𝒑 
𝓵−𝒙𝑷
𝓵
∙ 𝑷 +
𝒑∙𝓵
𝟐
= 𝑹𝑨 
 
𝑹𝑩 =
𝒑∙𝓵
𝟐
+
𝒙𝑷
𝓵
∙ 𝑷 
 
𝓵 
𝒑 ∙ 𝒙 
𝒙𝑷 
𝑷 
 
 
 
64 
 
As reações de apoio do sistema são simplesmente a soma das respectivas partes. O 
mesmo vale para as deflexões da viga e os diagramas de esforços solicitantes. O 
momento máximo ocorre na seção 𝑥 = 𝑥𝑃, e vale: 
𝑀(𝑥𝑃) =
𝑝
2
∙ (ℓ ∙ 𝑥 − 𝑥2) + 𝑃 ∙
𝑥𝑃 ∙ (ℓ − 𝑥𝑃)
ℓ
= (
𝑝
2
+
𝑃
ℓ
) ∙ 𝑥𝑃 ∙ (ℓ − 𝑥𝑃) 
 
Desenho 3.8 – Diagrama de esforços solicitantes da estrutura do Desenho 3.7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
 
 
(
𝒑
𝟐
+
𝑷
𝓵
)∙𝒙𝑷∙(𝓵−𝒙𝑷) 
𝒑∙𝓵
𝟐
+
𝒙𝑷
𝓵
∙ 𝑷 
𝓵−𝒙𝑷
𝓵
∙ 𝑷 +
𝒑∙𝓵
𝟐
 
(−) 
(+) 
𝑪− 
𝑪+ 𝒙 
𝑺 
𝒙 
𝑩− 𝑨+ 
𝒑 
𝓵−𝒙𝑷
𝓵
∙ 𝑷 +
𝒑∙𝓵
𝟐
= 𝑹𝑨 
 
𝑹𝑩 =
𝒑∙𝓵
𝟐
+
𝒙𝑷
𝓵
∙ 𝑷 
 
𝓵 
𝒑 ∙ 𝒙 
𝒙𝑷 
𝑷 
 
 
 
65 
 
3.4 Softwares gratuitos para cálculo estrutural 
Alguns softwares para cálculos estruturais simples ainda são gratuitos. É recomendável 
baixá-los o quanto antes, para ter em mãos, de maneira vitalícia, a versão gratuita. 
 
Quadro 3.2 – Softwares para cálculo estrutural 
Software Versão Data Aplicação Gratuito 
Normal3 1.3 11/05/2001 Flexão normal 
em vigas de 
concreto armado 
× 
Obliqua4 1.0 28/05/2001 Flexão oblíqua 
em pilares de 
concreto armado 
× 
Pcalc5 1.4 03/07/2015 Flexão oblíqua 
em pilares de 
concreto armado 
× 
Ftool6 3.01 01/08/2016 Análise de vigas e 
pórticos planos 
× 
Ftool Basic7 4 23/01/2018 Análise de vigas e 
pórticos planos 
× 
STRAP8 — 18/08/2020 Análise de 
estruturas 
espaciais 
 
SAP2000 22 — Análise de 
estruturas 
espaciais 
 
Fonte: O autor. 
O principal dos programas é o Ftool, que permite calcular reações de apoio, 
deslocamentos e construir diagramas de esforços solicitantes de estruturas constituídas 
de barras. Como exemplo, vigas, treliças e pórticos, assuntos tratados nesta disciplina. 
 
3 Disponível em: <https://acervodigital.unesp.br/handle/unesp/361944>. Acesso em: 01 out. 2020. 
4 Disponível em: <https://bit.ly/36w2rnW>. Acesso em: 01 out. 2020. 
5 Disponível em: <https://sites.google.com/a/pcalc.com.br/home/download>. Acesso em: 01 out. 2020. 
6 Disponível em: <https://bit.ly/2F2Re2X>. Acesso em: 01 out. 2020. 
7 Disponível em: <https://www.ftool.com.br/Ftool/>. Acesso em: 01 out. 2020. 
8Disponível em: <http://www.sae.eng.br/softwares/strap/info_strap.html>. Acesso em: 01 out. 2020. 
 
 
 
 
66 
 
Para a produção dos elementos textuais desta disciplina foi utilizada a última das 
versões, 3.01, datada de 21 de dezembro de 2016 (Imagem 3.1). A versão 4 deste 
programa (Imagem 3.2) também é gratuita, mas exige aquisição de licença anual para a 
ativação de recursos que já estão presentes na versão 3. Ou seja, a versão 4 tem menos 
recursos que a versão 3.01. 
Para construir estruturas espaciais, é necessário utilizar outros programas, que não são 
gratuitos. A empresa SAE fornece uma versão de teste, limitada a 30 dias. Não é prático 
criar um ponto de restauração de sistema, instalar o programa e, após 29 dias, efetuar 
a restauração e repetir o processo indefinidamente. 
A empresa CSI America fornece uma versão estudantil, limitada a 30 nós para problemas 
não lineares e 100 nós para outros tipos de análise estrutural. 
 
Imagem 3.1 – Ftool versão 3.01 (21/12/2016) 
 
Fonte: Tela do programa Ftool. 
 
 
 
67 
 
Imagem 3.2 – Ftool versão 4.00.04 (23/01/2018) 
 
Fonte: Tela do programa Ftool. 
 
3.4.1 Resolução de pórtico plano isostático usando o FTOOL 3 
No Desenho 3.9 é apresentado um pórtico plano isostático a ser construído com chapas 
metálicas de aço estrutural A-36 de perfis laminados de espessura 10mm. 
 
 
 
68 
 
Desenho 3.9 – Pórtico plano em estrutura metálica 
 
Fonte: O autor (2017). 
As propriedades do material são apresentadas no quadro abaixo. 
 
Quadro 3.3 – Propriedades do aço estrutural A-36 
SÍMBOLO SIGNIFICADO 
𝐸 Módulo de elasticidade 
longitudinal 
205 𝐺𝑃𝑎 
𝑓𝑦 Tensão de escoamento 250 𝑀𝑃𝑎 
𝛾 Peso específico do 
material 
78,5 𝑘𝑁
𝑚3
 
Fonte: O autor. 
A representação em barras unidimensionais é apresentada no Desenho 3.10 e o modelo 
do pórtico plano no Desenho 3.11. 
200
400
4,20 m 
300
A A
B
B
CORTE B-B
CORTE A-A
164
236
CG
CG
3,75 m 
200
10 kN
 
 
 
69 
 
Desenho 3.10 – Elementos finitos unidimensionais 
 
Fonte: O autor (2017). 
Desenho 3.11 – Modelo do pórtico plano 
 
Fonte: O autor (2017). 
Na Imagem 3.1 é apresentada a tela do Ftool contendo o modelo de barras com engaste 
na base e, ao lado, as propriedades da seção transversal. 
236
164
150
150
ELEMENTO FINITO
UNIDIMENSIONAL
3,964 m 
3,60m
10 kN
0,236 m 
0,15 m 
 
 
 
70 
 
Imagem 3.3 – Construção do modelo no Ftool 
 
Fonte: O autor. 
A partir das medidas da seção transversal de cada barra, é possível determinar a área e 
outras propriedades geométricas. A estrutura acima é isostática, e a sua completa 
resolução pode ser feita manualmente, uma vez que pode ser decomposta em duas 
barras, sendo uma delas vertical engastada em baixo com um momento concentrado no 
topo. 
Ao rodar o programa, é possível obter os diagramas de esforços solicitantes. Na Imagem 
3.4 são apresentados os momentos fletores internos atuantes nas barras, que são 
desenhados do lado tracionado das respectivasbarras. 
 
 
 
 
71 
 
Ilustração 3.4 – Diagramas de momentos fletores 
 
Fonte: O autor. 
Estes resultados já são conhecidos a partir da utilização da metodologia apresentada no 
item 3.2 para a construção de diagramas de esforços solicitantes. 
Em outro painel do programa, aparece a estrutura na configuração deformada, onde é 
possível obter as reações de apoio e os deslocamentos nodais, conforme apresentado 
na Imagem 3.5. 
 
 
 
 
72 
 
Imagem 3.5 – Reações de apoio e deslocamentos 
 
Fonte: O autor. 
Como esperado, a força de 10kN é equilibrada pelo único apoio da estrutura, que 
também absorve o momento que essa força executa em relação à base do pórtico. Os 
valores obtidos pelo programa para os deslocamentos e as rotações podem ser 
verificados manualmente, usando os conceitos do Bloco 4 e os métodos apresentados 
no Bloco 6. 
Quanto ao cálculo de deslocamentos, é necessário determinar as propriedades 
geométricas da seção transversal de cada uma das barras da estrutura. No Desenho 3.10 
aparece um perfil I para a barra vertical (que não é um pilar) e um perfil tipo C ou tipo U 
para a viga horizontal. O cálculo da área transversal consiste na composição de diversos 
retângulos. Outras propriedades geométricas precisam ser apresentadas para viabilizar 
este último cálculo. 
 
 
 
 
73 
 
3.5 Eixos principais de inércia 
No Desenho 3.12 é representada uma seção transversal arbitrária de uma barra maciça, 
da qual serão determinadas várias propriedades geométricas de interesse para a 
resistência dos materiais e também para a Física. 
 
Desenho 3.12 – Seção transversal maciça arbitrária 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
A área da Imagem plana é determinada pelo cálculo da seguinte integral dupla: 
𝐴 = ∬ 1 ∙ 𝑑𝑍 ∙ 𝑑𝑌
𝐴(𝑥,𝑦)
 
Para calcular a área da Imagem plana é necessário encontrar uma parametrização 
𝐴(𝑥, 𝑦) que torne fácil o cálculo da correspondente integral dupla. 
 
3.5.1 Centro geométrico de uma Imagem plana 
A posição do centro geométrico 𝐺 da seção é determinada ao efetuar uma média 
ponderada das coordenadas pela respectiva área, o que equivale a calcular cada 
�̅� 
�̅� 
(𝒁, 𝒀) 
𝒁 
𝒀 
𝑮 
𝑶 
 
 
 
74 
 
momento estático (𝒮𝑧; 𝒮𝑥) e dividir pela área, conforme apresentado nas fórmulas do 
Quadro 3.4. 
No caso especial em que a Imagem admita um eixo de simetria, o respectivo momento 
estático se anularia nas integrais definidas, produzindo uma coordenada nula para o 
centro geométrico. Assim, se uma figura tem um eixo de simetria, ele conterá o 
centroide. 
Quadro 3.4 – Cálculo das coordenadas do centróide 
Momento estático na direção 𝒁 Momento estático na direção 𝒚 
𝒮𝑍 =∬𝑍 ∙ 𝑑𝑍 ∙ 𝑑𝑌
𝐴
 𝒮𝑌 =∬𝑌 ∙ 𝑑𝑍 ∙ 𝑑𝑌
𝐴
 
Locação lateral do centroide Locação vertical do centróide 
𝑧̅ = 𝑧𝐺 =
𝒮𝑍
𝐴
 �̅� = 𝑦𝐺 =
𝒮𝑌
𝐴
 
Fonte: O autor. 
Todas as figuras da Imagem 3.6 possuem pelo menos um eixo de simetria, destacado 
em cor alaranjada. Uma delas possui dois eixos de simetria, e a intersecção destes eixos 
fornece a posição do centro geométrico, sem a necessidade de calcular qualquer 
integral. 
 
 
 
75 
 
Imagem 3.6 – Seções transversais de barras de estruturas metálicas 
 
 
Estes são perfis muito utilizados em estruturas metálicas, uma vez que possuem outras 
propriedades geométricas interessantes, além da simetria. 
 
3.5.2 Eixos centrais de inércia 
Uma vez determinado o centro geométrico da barra, é conveniente tomar sobre ele a 
origem de um novo sistema de coordenadas (𝑧, 𝑦). 
 
 
 
76 
 
Desenho 5.13 – Coordenadas no centróide 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
Uma vez construída, por exemplo, uma viga de aço no formato do Desenho 3.13, é sobre 
o centro geométrico que deve ser locado o eixo longitudinal 𝑥, que representa a posição 
das seções de cálculo da viga duplamente apoiada do Desenho 3.1, ou da viga engastada 
do Desenho 3.2. 
Em outras palavras, ao representar uma barra com seção do desenho acima por uma 
linha que corresponde à variável 𝑥 ∈ [0; ℓ], este eixo passa pelo ponto 𝐺 antes 
determinado. Neste novo sistema de coordenadas (𝑧, 𝑦), estes eixos são chamados de 
eixos principais de inércia. 
A justificativa para esta nomenclatura é que é com relação aos eixos (𝑧, 𝑦) ocorrem as 
flexões das barras. Assim, tem-se um sistema de coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧), em que 𝑥 
representa a posição no eixo da barra, 𝑧 representa a posição lateral do ponto na seção 
transversal e 𝑦 representa a posição vertical do ponto na seção transversal, sendo este 
também a direção sobre a qual se medem as deflexões da barra submetida à flexão. 
 
 
 
𝒁 
𝒀 
�̅� 
�̅� 
(𝒛, 𝒚) 
𝒛 
𝒚 
𝑮 
𝑶 
𝒅 
𝒓 
 
 
 
77 
 
3.5.3 Momento de inércia de uma Imagem plana 
O momento de inércia é uma propriedade geométrica associada à rotação da figura 
plana. No caso de seções transversais de barras, corresponde à flexão das mesmas. No 
Quadro 3.5 são apresentadas as definições matemáticas dos momentos de inércia de 
figuras planas. 
Quadro 3.5 – Propriedades geométricas de uma Imagem plana 
Momento de inércia principal Momento de inércia lateral Momento Polar 
𝐼𝑧 = ∬ 𝑦
2 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑦
𝐴(𝑧,𝑦)
 𝑰𝒚 = ∬ 𝒛
𝟐 ∙ 𝒅𝒛 ∙ 𝒅𝒚
𝑨(𝒛,𝒚)
 𝑱𝑮 = ∬(𝒚
𝟐 + 𝒛𝟐) ∙ 𝒅𝒛 ∙ 𝒅𝒚
𝑨(𝒛,𝒚)
 
Fonte: O autor. 
No quadro acima já foi considerado o novo sistema de coordenadas (𝑧, 𝑦) do Desenho 
3.13 e também do Desenho 3.14, no qual está representada um retângulo de largura 𝑏 
e altura ℎ, e o respectivo centro geométrico 𝐺. 
 
Desenho 3.14 – Seção transversal retangular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
 
 
(𝒛, 𝒚) 
𝒛𝒎𝒊𝒏 
𝒛𝒎𝒂𝒙 
𝒉
𝟐
 
𝒚𝒎𝒊𝒏 
𝒚𝒎𝒂𝒙 
𝒉
𝟐
 
𝒚 
𝒛 
𝒃
𝟐
 
𝒃
𝟐
 
𝑮 
 
 
 
78 
 
Neste caso, as integrais duplas para cálculo das propriedades geométricas são simples: 
𝐴 = ∬ 1 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑦
𝐴(𝑥,𝑦)
= ∫ (∫ 1 ∙ 𝑑𝑦
ℎ
2
−
ℎ
2
)
𝑏
2
−
𝑏
2
∙ 𝑑𝑧 = (∫ 𝑑𝑧
𝑏
2
−
𝑏
2
) ∙ (∫ 𝑑𝑦
ℎ
2
−
ℎ
2
) = 𝑏 ∙ ℎ 
𝐼𝑧 = ∬ 𝑦
2 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑦
𝐴(𝑧,𝑦)
= ∫ (∫ 𝑦2 ∙ 𝑑𝑦
ℎ
2
−
ℎ
2
) ∙ 𝑑𝑧
𝑏
2
−
𝑏
2
=
𝑏 ∙ ℎ3
12
 
𝐼𝑦 = ∬ 𝑧
2 ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑦
𝐴(𝑧,𝑦)
= ∫ (∫ 𝑧2 ∙ 𝑑𝑧
𝑏
2
−
𝑏
2
) ∙ 𝑑𝑦
ℎ
2
−
ℎ
2
=
ℎ ∙ 𝑏3
12
 
𝐽𝐺 = 𝐼𝑧 + 𝐼𝑦 =
𝑏 ∙ ℎ3
12
+
ℎ ∙ 𝑏3
12
 
 
Por esta razão, em figuras compostas por união de retângulos, o cálculo pode ser 
simplificado, utilizando os resultados já obtidos para a seção retangular geral, efetuando 
apenas a translação da figura em relação a eixos paralelos. Assim, considerando o 
Desenho 3.13, valem as seguintes relações: 
 
Quadro 3.6 – Teorema dos eixos paralelos 
Momento de inércia principal Momento de inércia lateral Momento Polar 
𝑰𝒁 = 𝑰𝒛 + 𝑨 ∙ (�̅�)
𝟐 𝑰𝒀 = 𝑰𝒚 + 𝑨 ∙ (�̅�)
𝟐 𝑱𝑶 = 𝑱𝑮 + 𝑨 ∙ 𝒅
𝟐 
Fonte: O autor. 
 
Conclusão 
Os pórticos são estruturas simples compostas de uma viga apoiada sobre dois pilares. É 
a molécula geradora de estruturas de edifícios. A construção de diagramas de esforços 
solicitantes é o primeiro passo para poder verificar se uma peça estrutural atende às 
solicitações, ou para determinar as dimensões da peça em função das solicitações. 
 
 
 
79 
 
Softwares gratuitos ajudam nesta tarefa elementar, para que o profissional se concentre 
com outras questões do dimensionamento estrutural. O princípio da superposição é 
extensivamente usado para problemas lineares correspondentes a grandezas 
proporcionais. 
Ao conceber uma estrutura geralmente desenha-se o eixo da barra. Mas, fisicamente, 
considerando as três dimensões, torna-se necessário localizar o centro geométrico da 
seção da peça, o que é uma tarefa trabalhosa principalmente em seções delgadas de 
aço laminado. 
 
REFERÊNCIAS 
BEER, F; JOHNSTON, E; DEWOLF, J; MAZUREK, D. Mechanics of Materials. Nova Iorque: 
McGraw-Hill Education, 2020. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
 
4 FLEXÃO GERAL 
Neste bloco seráestudada a flexão em vigas prismáticas de seção maciça, e desenvolvida 
a teoria para o cálculo de deslocamentos na flexão. Na Imagem 4.1 é mostrada a 
configuração deformada de uma viga de metal submetida à flexão. 
 
Imagem 4.1 – Viga de seção tipo I submetida à flexão geral 
 
 
Observa-se na Imagem acima o encurvamento com concavidade para cima, produzido 
pelo efeito da flexão gerada pelos carregamentos aplicados na viga. Torna-se necessário 
apresentar a teoria clássica de Leonhard Euler & Jacob Bernoulli para poder calcular as 
deflexões na viga. 
 
4.1 Flexão pura de vigas prismáticas 
A flexão pura ocorre em vigas solicitadas unicamente por um momento fletor. Como 
exemplo, uma viga simplesmente apoiada sendo submetida apenas a um par de 
 
 
 
81 
 
momentos fletores de intensidade 𝑀0 concentrados nas suas extremidades, como 
mostrado no modelo do Desenho 4.1. Sobre o eixo 𝑥 são medidas as posições das seções 
transversais ao longo do eixo da barra; sobre o eixo 𝑦 medem-se as deflexões 
transversais do centro geométrico da viga; e em torno do eixo 𝑧 ocorre a flexão pura. 
Desenho 4.1 – Flexão pura em viga bi-apoiada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
Como nesta estrutura não existem carregamentos transversais e os momentos fletores 
atuantes já estão equilibrados, ambas as reações de apoio são nulas. O diagrama de 
forças cortantes é nulo e o de momentos fletores que está representado no desenho 
acima é constante e traciona a alma inferior da viga. A função matemática 𝑀: [0, ℓ] ⟶
ℝ correspondente tem imagem constante: 
𝑀(𝑥) = 𝑀0 
𝒚 
𝑴𝟎 
𝒙 
𝑩− 𝑨+ 
𝓵 
𝑴𝟎 𝑴𝟎 
 
 
 
82 
 
Desenho 4.2 – Seção transversal retangular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
Para barras com seção transversal retangular de largura 𝑏 e altura ℎ, como mostrado no 
Desenho 4.2, as suas propriedades geométricas são apresentadas no Quadro 4.1. 
 
Quadro 4.1 – Propriedades geométricas de uma seção retangular de largura 𝐛 e 
altura 𝐡 
Coordenada da face inferior Coordenada da face superior Momento de inércia 
𝑦𝑚𝑖𝑛 = −
ℎ
2
 𝑦𝑚𝑖𝑛 =
ℎ
2
 𝐼𝑧 =
𝑏 ∙ ℎ3
12
 
Fonte: O autor. 
 
No Desenho 4.3 é representada, em três dimensões, uma viga de seção retangular 
submetida à flexão pura. As tensões normais que ocorrem em cada seção da viga são 
proporcionais ao carregamento e inversamente proporcionais à rigidez da viga, 
representada pelo momento de inércia 𝐼𝑧 da seção transversal. 
(𝒛, 𝒚) 
𝒛𝒎𝒊𝒏 
𝒛𝒎𝒂𝒙 
𝒉
𝟐
 
𝒚𝒎𝒊𝒏 
𝒚𝒎𝒂𝒙 
𝒉
𝟐
 
𝒚 
𝒛 
𝒃
𝟐
 
𝒃
𝟐
 
 
 
 
83 
 
Desenho 4.3 – Diagrama de tensões na flexão simples 
 
Fonte: Cdang (2008). Disponível em: <https://bit.ly/2SfcBRm>. Acesso 30 set. 2020. 
 
Utilizando a convenção de serem positivas as tensões de tração e negativas as tensões 
de compressão, algebricamente as tensões serão máximas na face inferior tracionada 
da viga e mínimas na face superior comprimida da viga, conforme apresentado no 
Quadro 4.2. 
 
Quadro 4.2 – Tração e compressão máximas na viga 
 Máxima compressão na face 
superior 
Máxima tração na face inferior 
Seção 
qualquer 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = −
𝑀0
𝐼
∙ 𝑦𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑚𝑎𝑥 = −
𝑀0
𝐼
∙ 𝑦𝑚𝑖𝑛 
Seção 
retangular 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = −6 ∙
𝑀0
𝑏 ∙ ℎ2
 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 6 ∙
𝑀0
𝑏 ∙ ℎ2
 
Fonte: O autor. 
Como as tensões de tração no Desenho 4.3 estão indicadas para coordenadas 𝑦 < 0 e 
as de compressão estão indicadas para 𝑦 > 0, conclui-se que, para calcular as tensões 
normais devido à flexão pura em uma coordenada 𝑦 qualquer, com 𝑦𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑦 ≤ 𝑦𝑚𝑎𝑥, 
há necessidade de colocar o sinal negativo na fórmula: 
 
𝜎𝑥𝑥 = −
(𝑀0)𝑧
𝐼𝑧
∙ 𝑦 
 
 
 
 
84 
 
4.1.1 Curvatura 
Quando uma viga é submetida a um carregamento de flexão pura (Desenho 4.1), a barra 
se encurva produzindo deflexões conforme a Ilustração 1. No Desenho 4 é destacado o 
centro 𝑂 e o raio 𝜌 de curvatura da barra. 
 
Desenho 4.4 – Curvatura em viga flexionada 
 
Fonte: Cdang (2008). Disponível em: <https://bit.ly/30nEfA9>. Acesso em: 30 set. 2020. 
 
Neste processo, as seções transversais, que eram paralelas, passam a formar um ângulo 
após a deformação. No Desenho 4.1 foi representado um carregamento de flexão pura 
e uniforme. No entanto, claramente é necessário estudar o caso em que o momento 
fletor varia conforme a seção da barra, pois conforme aumentar o momento fletor 
𝑀(𝑥), maior será a curvatura da barra. 
Por outro lado, conforme aumenta a rigidez da barra, mais difícil é para conseguir curvá-
la. Portanto, a curvatura diminui com o aumento do módulo de elasticidade 𝐸 do 
material, e também com o aumento do momento de inércia 𝐼 em relação à linha neutra. 
 
 
 
85 
 
Quadro 4.3 – Curvatura da linha elástica 
SÍMBOLO SIGNIFICADO 
𝑥 Eixo da barra, locado no centro geométrico 
𝑦 Eixo no qual são medidas as deflexões da barra 
𝜌(𝑥) Raio de curvatura sobre um ponto da linha elástica 
1
𝜌(𝑥)
 
Curvatura 
𝜎 Tensão normal 
𝑀(𝑥) Momento fletor interno na seção 𝒙 
𝐸 Módulo de elasticidade longitudinal do material 
𝐼 Momento de inércia calculado sobre o eixo neutro 
𝐸 ∙ 𝐼(𝑥) Rigidez à flexão 
𝑣(𝑥) Deflexão do eixo da barra 
Fonte: O autor. 
Considerando que o material da barra seja isotrópico, elasticamente linear e 
homogêneo, Hibbeler (2012) obteve a relação: 
1
𝜌(𝑥)
= −
𝜎
𝐸 ∙ 𝑦
=
𝑀(𝑥)
𝐸 ∙ 𝐼(𝑥)
 
 
4.2 Equação diferencial da linha elástica 
Considerando a função 𝑣: [0; ℓ] ⟶ ℝ para a medida do deslocamento transversal da 
barra, a curvatura relaciona-se por uma equação diferencial não linear de segunda 
ordem: 
1
𝜌(𝑥)
=
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
[1 + (
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
2
]
3
2
 
A solução desta equação, mesmo nos casos mais simples, como o do Desenho 4.1, só 
poderá ser efetuada numericamente. Torna-se necessário simplificar a relação acima e 
impor limitações ao seu uso, considerando a ocorrência de pequenos deslocamentos e 
rotações. 
 
 
 
86 
 
Faz sentido a colocação destas hipóteses adicionais, pois quando os deslocamentos 
começam a se acentuar, a estrutura perde a estabilidade geométrica e entra em colapso 
mesmo antes de atingir o seu limite de resistência mecânica. Nestas condições, é 
possível desprezar o termo (
𝜕𝑣
𝜕𝑥
)
2
 na equação da curvatura, obtendo a equação 
diferencial da linha elástica: 
𝜕2𝑣(𝑥)
𝜕𝑥2
= −
𝑀(𝑥)
𝐸 ∙ 𝐼(𝑥)
 
Considerando as relações diferenciais entre momento fletor, força cortante e 
carregamento distribuído: 
𝑉(𝑥)
=
𝜕𝑀
𝜕𝑥
 
𝑝(𝑥)
= −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
 
 
Para o caso em que a rigidez da viga à flexão seja constante, resulta o seguinte conjunto 
de equações diferenciais: 
𝐸 ∙ 𝐼 ∙
𝜕4𝑣
𝜕𝑥4
= −𝑝(𝑥) 𝐸 ∙ 𝐼 ∙
𝜕3𝑣
𝜕𝑥3
= 𝑉(𝑥) 𝐸 ∙ 𝐼 ∙
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
= 𝑀(𝑥) 
 
4.2.1 Análise de viga com carregamento variável 
No Desenho 4.5 é representada uma viga simplesmente apoiada com um carregamento 
distribuído que varia de acordo como uma função 𝑝: [0, ℓ] ⟶ ℝ dada. A origem do 
sistema foi colocada no ponto fixo 𝐴 da estrutura, e foi escolhida uma seção 𝑆 de 
coordenada 𝑥 para escrever cada função em função da respectiva coordenada. 
 
 
 
87 
 
Desenho 4.5 – Viga duplamente apoiada com carregamento distribuído 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor. 
Pretende-se determinar a função 𝒗 = 𝒗(𝒙) que corresponde a posição de cada ponto 
do eixo deformado da estrutura, e também a função 𝝋 = 𝝋(𝒙) que descreve as 
rotações das seções transversais, como mostrado na Imagem acima. 
Primeiramente, é necessário determinar a posição 𝒙𝑷 e a intensidade 𝑷 da resultante 
do carregamento distribuído 𝒑(𝒙) que atua na estrutura, como indicado no desenho 
acima, com o auxílio do cálculo integral. Sendo 𝒑: [𝟎, 𝓵] ⟶ ℝ uma função contínua 
definida no intervalo fechado [𝟎, 𝓵], esta função é integrável (BENEVIERI, 2018), e é 
possível efetuar as seguintes operações: 
𝑷 = ∫ 𝒑(𝒙) ∙ 𝒅𝒙
𝓵
𝟎
 𝒙𝑷 =
∫ 𝒙 ∙ 𝒑(𝒙) ∙ 𝒅𝒙
𝒙
𝟎
𝑷
 
Considerando-se que o