01 Introdução e grau de estaticidade

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TEORIA DAS 
ESTRUTURAS 
Gabriel Jaime Zapata 
Doutor em Geotecnia, UnB 
Mestre em Geotecnia, UnB 
Eng. Civil, Unalmed 
Departamento de Engenharia Civil 
Projeto estrutural 
Objetivo: concepção geral da estrutura, abrangendo todos os 
detalhes necessários para sua construção 
O
 p
ro
je
to
 e
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l 
d
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e 
at
en
d
er
: 
Condições de 
segurança 
Condições de 
utilização 
Economia 
Aspectos 
ambientais 
Aspectos 
estéticos... 
Análise estrutural 
Fase do projeto estrutural, onde por meio de modelos é feita uma 
previsão do comportamento da estrutura. 
A
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co
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si
st
e 
em
: 
Determinar os campos 
de tensões 
Determinar os campos 
de deformações 
Determinar os campos 
de deslocamentos 
Etapas gerais da análise estrutural 
Etapas gerais da análise estrutural 
1) Concepção e abstração da estrutura real  criação do modelo da 
estrutura definindo o tipo de ligações entre elementos estruturais e 
a fundação (rígidas, flexíveis...) e o tipo de elemento estrutural 
empregado; 
 
2) Definir as possíveis combinações de carregamento, de acordo 
com as normas vigentes (Ex, NBR), com o tipo de estrutura e o tipo 
de material empregado. 
 
3) Pré-dimensionar os elementos (Definir tipo e propriedades dos 
materiais) e as conexões (com base em algum critério, por exemplo 
experiência). 
 
Etapas gerais da análise estrutural 
4) Realizar a análise estrutural visando: à obtenção dos esforços 
críticos em cada elemento da estrutura (momentos, esforços cortantes, 
esforços axiais), de maneira a definir as solicitações de projeto e 
deslocamentos obtidos por tais solicitações; 
 
 5) De acordo com a norma, com o tipo de material empregado, com 
as características geométricas do elemento e do tipo de solicitações 
agindo nos elementos, definir os esforços resistentes e os 
deslocamentos máximos permitidos de cada elemento nessa 
estrutura; 
 
6) Caso a seção ou elemento proposto não atenda os critérios de 
segurança e funcionalidade, fazer as modificações necessárias, tendo 
em conta os aspectos econômicos. Finalmente, detalhar a estrutura. 
Análise estrutural 
Sempre deve ser considerado que análise estrutural emprega análises 
e modelos que servem como uma abstração matemática de uma 
estrutura real, por tanto tais análises e modelos sempre contam com 
um número de hipóteses simplificadoras, tais como: 
 
• Tipo de material (Modelo constitutivo) 
• Geometria do problema 
• Condições de contorno do problema (ex. condições de apoio e a 
maneira na qual o carregamento é aplicado) 
Estrutura real vs. modelo 
Estrutura real. 
Edifício construído com perfis de aço 
Modelo estrutural. 
Vigas e colunas representadas por 
“linhas” ou barras 
Estrutura real vs. modelo 
Vigas secundarias. 
Apoiadas nas vigas 
primarias Vigas primarias. 
Apoiadas nas colunas 
Estrutura real vs. modelo 
Condições de apoios 
Carregamento 
Elementos lineares 
Estrutura real vs. modelo 
Conexão rígida Conexão flexível 
Conexão semi-flexível 
Estrutura real vs. modelo 
Estrutura real vs. modelo 
Estrutura real vs. modelo 
Estrutura real vs. modelo 
Teoria  M=0 
Caros e atrito 
impedia a rotação M 
diferente de zero na 
prática. 
Indução de momentos por 
carregamentos excêntricos 
Na prática usa-se o modelo 
clássico de treliça, momentos 
desprezíveis, devido à esbeltez 
das barras. (isso se não houver 
efeito de fadiga) 
Estrutura real vs. modelo 
Estrutura real vs. modelo 
Grau de estaticidade de uma estrutura 
• A determinação do grau de estaticidade de uma estrutura pode ser 
definido, de maneira geral, como: 
𝑔 = # 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − [# 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜] 
• Dependo do valor de g, a estrutura pode ser considerada: 
• g<0  condição suficiente para o modelo ser hipostático e 
instável 
• g=0  condição necessária para o modelo ser isostático e estável 
• g>0  condição necessária para o modelo ser hiperestático e 
estável 
Grau de estaticidade de uma estrutura 
Grau de estaticidade para pórticos e vigas 
# 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 = # 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 + # 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑒𝑖𝑠 ∗ 3 
• Onde: 
• # de equações vindas de articulações internas (momento fletor 
nulo), onde convergem n barras é igual a n-1. 
 
• Exemplo, Para o caso de três barras convergindo são duas as 
equações adicionais de equilíbrio a serem consideradas: o 
momento fletor deve ser imposto nulo entrando por duas barras 
adjacentes. EXEMPLO 1 
# 𝑒𝑞 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 = [3 + (# 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑣𝑖𝑛𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎çõ𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠)] 
𝑔 = # 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − [# 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜] 
Grau de estaticidade para pórticos e vigas 
• Observações: 
• Poder determinar as reações externas dos apoios, não significa 
que temos uma estrutura isostática. Pois mesmo com as reações 
conhecidas, nem sempre é possível estimar os diagramas 
solicitantes, como por exemplo, no caso de um pórtico com anel 
fechado. 
 
• A igualdade entre o número de equações de equilíbrio e o número 
de incógnitas não é suficiente para uma estrutura ser isostático. 
Existem exemplos de estruturas com essa condição e são 
instáveis, pois podem criar mecanismos cinemáticos. 
Grau de estaticidade para pórticos e vigas 
• Não é possível isolar dois trechos da estrutura de cada lado da 
seção, o que é necessário para estimar os valores dos três esforços 
• Mesmo se dividirmos a estrutura em duas partes aparecem mais 
três incógnitas EXEMPLO 2 
Estruturas instáveis 
• Triarticulado contínuo (três rotulas continuas). 
• Na decomposição da viga há um trecho hipostático. 
• Pode ser gerado um mecanismo semelhante a um cabo. 
Estruturas instáveis 
• a) deslocamentos horizontais sem restrição 
• b) Reações convergentes em um ponto. Não é possível equilibrar 
P ao redor do ponto de convergência 
( 𝑀𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = 0 = 𝑃 ∗ 𝐿) 
• c) Triarticulado, as reações verticais devem ser zero para que o 
momento na rotula seja zero, mas as reações horizontais não 
equilibram P (semelhante à viga Gerber). 
Grau de estaticidade para treliças 
• Para treliças planas, considera-se que o equilíbrio global é 
alcançado pelo equilíbrio dos nós individualmente. Dessa 
maneira são impostas duas equações de equilíbrio por nó. 
 
• Já as incógnitas são os esforços normais nas barras e as 
componentes de reação de apoio. 
 
• Assim, o grau de estaticidade é obtido como: 
𝑔 = # 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 + (# 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠) − [ # 𝑑𝑒 𝑛ó𝑠 ∗ 2] 
Estruturas isostáticas Vs. hiperestáticas 
• As estruturas isostáticas (IE) permitem o calculo de seus esforços 
externos (reações de apoio) e internos (esforços M,N,Q) usando 
somente as condições de equilíbrio. 
 
• Solucionar uma estrutura hiperestática (EHE) requer a imposição 
conjunta de condições de equilíbrio, de compatibilidade entre 
deslocamentos e deformações e de leis constitutivas do material. 
 
• Numa EHE os vínculos excedentes podem induzir segurança 
adicional. EHE pode redistribuir esforços. Caso a EI perca um 
vinculo a estrutura se torna instável, hipostática. FIGURA 1 
 
Comportamento de estruturas 
Aparecimento de rotula plástica 
(viga ainda funciona como 
simplesmente apoiada) 
Na perda de estabilidade de uma 
diagonal a outra pode dar 
estabilidade• FIGURA 1 
Estruturas isostáticas Vs. hiperestáticas 
 
• Uma vez que os esforços internos, numa EHE dependem da 
geometria da seção transversal da barra e das propriedades do 
material. O calculista pode ter certo controle dos esforços 
internos desenvolvidos na estrutura, aumentando ou diminuindo a 
rigidez da barra. Na EI, não é possível. FIGURA 2 
 
• Isso também complica o dimensionamento de EIE, pois, para 
determinar os esforços internos é necessário conhecer a seção 
transversal e é isso o que se procura na análise estrutural. 
(processo cíclico: pré-dimensionar e verificar critérios de 
segurança a compressão, tração, cortante, momento...). 
• FIGURA 2 
Estruturas isostáticas Vs. hiperestáticas 
 
• A EI pode sofrer pequenos deslocamentos (ex. recalques ou 
temperatura) gerando unicamente movimentos de corpo rígido, 
sem causar deformações e esforços internas.