conceitos básicos

Prévia do material em texto

TEORIA DAS
ESTRUTURAS
Douglas Andrini Edmundo
Revisão técnica:
André Luís Abitante 
Mestre em Engenharia e Ciência dos Materiais, 
ênfase em Controle de Processos
Engenheiro Civil
Rossana Piccoli
Mestre em Engenharia Civil
Engenheira Civil 
Catalogação na publicação: Karin Lorien Menoncin CRB-10/2147
T314 Teoria das estruturas / Douglas Andrini Edmundo
... [et al.] ; [revisão técnica: André Luís Abitante, Rossana
Piccoli]. – Porto Alegre : SAGAH, 2018.
392 p. : il. ; 22,5 cm.
ISBN 978-85-9502-354-3
1. Engenharia civil. I. Edmundo, Douglas Andrini.
CDU 624.01
Conceitos fundamentais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste capítulo, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Relacionar os conceitos fundamentais à prática dos sistemas estruturais 
de engenharia.
 � Identificar os princípios básicos envolvidos no conhecimento da teoria 
das estruturas.
 � Transformar os apoios/vínculos em reações.
Introdução
Neste capítulo, você vai aprender a analisar os elementos básicos de uma 
estrutura e os princípios da teoria das estruturas envolvidos na análise 
estrutural, além compreender as relações entre os apoios e vínculos e as 
reações de apoio na estabilidade e determinação das estruturas. 
O conhecimento dos conceitos fundamentais da teoria das estru-
turas auxilia na tomada de decisões quando do desenvolvimento de 
uma estrutura eficiente, econômica e atraente. Permite ainda avaliar a 
segurança de uma estrutura por meio da sua resistência e da rigidez e 
também prever as cargas de construção temporárias que podem atuar 
sobre ela em meio à sua construção. 
Sistemas estruturais
Toda estrutura, seja de um edifício, de uma ponte ou de uma torre de transmis-
são, é um sistema estrutural. Cada sistema estrutural é composto por diversos 
outros elementos estruturais que, juntos, formam uma grande estrutura. Cada 
elemento estrutural individualmente pode ter diversas funções e características 
U N I D A D E 1
diferentes, o que permite uma grande variabilidade de combinações para a 
criação de uma estrutura com uma funcionalidade específica.
Cada elemento estrutural básico possui uma característica e uma aplica-
ção definidas de acordo com os esforços que podem atuar devidos às cargas 
aplicadas na estrutura.
Elementos estruturais
O engenheiro estrutural deve estar familiarizado com os diversos tipos de 
elementos estruturais que podem ser aplicados em uma estrutura e deve 
possuir capacidade de classificar esses elementos de acordo com a sua forma 
e a sua função.
Os elementos estruturais mais comuns são vigas, colunas, treliças, pórticos, 
tirantes, placas, cascas e arcos, entre outros.
Vejamos a seguir cada um desses elementos.
Barras tracionadas: tirantes e cabos
Barras submetidas a forças axiais de tração têm sua seção transversal tensionada 
de maneira uniforme, o que permite utilizar a resistência do material com 
maior eficiência. Se o material empregado for de alta resistência, como o aço, 
a seção transversal das barras será pequena e com grande capacidade de carga.
Por outro lado, tirantes e cabos são dimensionados apenas para as forças 
de tração, e, em casos nos quais há inversão de carregamento devido, por 
exemplo, a uma ação do vento, essas barras não possuem rigidez para resistir 
a esforços de compressão. Na prática, utiliza-se a combinação de barras para 
contraventamento em forma “X”. Dessa forma, quando ocorrer a inversão 
dos esforços devido à ação de cargas móveis ou de ventos, a barra que estiver 
na direção e sentido da força será tracionada, impedindo que a barra anterior 
seja comprimida (Figura 1).
Conceitos fundamentais14
Figura 1. Pórtico contraventado de fechamento frontal de um galpão industrial. 
Barras comprimidas: colunas
Colunas são barras utilizadas para transmitir os esforços de compressão direta 
provocados pela ação das cargas permanentes e das sobrecargas e pela ação de 
cargas móveis e do vento. A capacidade de carga das barras das colunas está 
diretamente relacionada com sua esbeltez, que é a função do comprimento 
e do raio de giração da seção transversal da barra. Quanto mais esbelta for a 
barra, menor será a sua capacidade de carga e mais suscetível a sofrer falha 
por flambagem. Os tipos de apoios e vínculos nas extremidades das colunas 
influenciam também na sua capacidade de carga, que está relacionada ao 
comprimento efetivo de flambagem, que varia conforme o tipo de apoio. Uma 
coluna de comprimento L simplesmente apoiada nas extremidades possui 
menor capacidade de carga se estiver engastada nas extremidades (Figura 2).
15Conceitos fundamentais
Figura 2. Coeficiente de flambagem de colunas.
Barras submetidas à flexão e ao cisalhamento: vigas
Os elementos estruturais esbeltos submetidos a carregamentos perpendiculares 
ao seu eixo longitudinal são chamados de vigas. O carregamento imposto sobre 
uma viga tende a provocar sua curvatura no sentido e na direção da força. 
Esse comportamento provoca na viga o surgimento esforços internos devido 
à flexão e ao cisalhamento. A flexão viga na ocorre em função do momento 
fletor atuante, que gera tensões normais de tração e compressão na mesma 
seção da viga. Surgem também tensões tangenciais, que são decorrentes do 
cisalhamento originado pela força cortante (Figuras 3 e 4).
Figura 3. Distribuição de tensões na seção da viga submetida à flexão.
Conceitos fundamentais16
Figura 4. Treliça de cobertura de um galpão industrial. 
Barras axialmente carregadas: treliças planas
Elementos estruturais compostos por barras esbeltas e submetidas apenas 
por cargas pontuais nos nós de ligação das barras são chamadas de treliças. 
Os nós, pontos de ligação das barras, são considerados como articulações e 
sem atrito. Devido ao carregamento ser aplicado apenas nos nós de ligação, 
os esforços internos que surgem nas barras serão apenas axiais, de tração e 
de compressão, tornando o sistema mais eficiente devido à maior utilização 
do material empregado nas barras. As estruturas treliçadas são geralmente 
projetadas formando um padrão triangular entre as barras, por ser a configu-
ração geométrica mais simples e estável.
As treliças podem ser utilizadas para compor vigas, colunas, arcos e pór-
ticos, entre outras estruturas (Figuras 5 e 6).
Figura 5. Treliça de cobertura de um galpão industrial.
17Conceitos fundamentais
Figura 6. Elementos de uma treliça.
Barras curvas submetidas a compressão direta: arcos
Arcos são elementos estruturais geralmente submetidos a esforços de compres-
são direta. Essa condição de carregamento permite projetar uma estrutura mais 
eficiente; entretanto, o arco deve ser projetado de forma que as resultantes do 
sistema de forças sejam posicionadas no centroide de cada seção transversal. 
A solicitação do arco por compressão direta é determinada para uma 
determinada flecha e vão. Em outras condições de carregamento, serão pro-
vocados esforços internos devido à flexão, podendo produzir deslocamentos 
excessivos em arcos esbeltos.
Arcos são estruturas nas quais a linha da base cruza os apoios formando 
um ângulo agudo, exercendo um empuxo horizontal e vertical sobre esses 
apoios. Para os casos nos quais os vãos são muito grandes, os carregamentos, 
o peso próprio do arco e os empuxos criados são muito grandes, por causa das 
baixas inclinações. Nesses casos, a base do arco deve ser apoiada em maciços 
rochosos, que poderão absorver os empuxos horizontais, ou na construção de 
maciços em concreto armado, para conter os empuxos e estabilizar a estrutura. 
Outra opção é a ligação dos apoios do arco por tirantes ou ainda o apoio sobre 
blocos de fundação sobre estacas (Figura 7).
Conceitos fundamentais18
Figura 7. Cobertura em arco treliçado biapoiado.
Barras flexíveis tracionadas: cabos
Cabos são elementos estruturais flexíveis e muito esbeltos, geralmente formados 
por um feixe de fios de aço de alta resistência. Como não possuem nenhuma 
resistência à compressão, só podem ser submetidos a forças axiais de tração 
direta;entretanto, devido à grande capacidade de carga axial de tração, os 
cabos são utilizados em estruturas de grandes vãos, possibilitando maior 
economia dos demais elementos estruturais (Figura 8).
Figura 8. Cabo suspenso sujeito apenas à ação do peso próprio, a configuração geométrica 
da curva é denominada catenária.
19Conceitos fundamentais
Quando o cabo está sujeito a uma carga uniformemente distribuída, o cabo 
assume a forma geométrica de uma parábola (Figura 9).
Figura 9. Diagrama de corpo livre (DCL) de uma 
seção do cabo.
Estruturas submetidas a flexão e carga axial: 
pórticos rígidos
Pórticos são considerados rígidos quando o ângulo formado pelas barras, 
vigas e pilares não muda. Para que essa condição seja satisfeita, as ligações 
entre as barras devem ser rígidas o suficiente para impedir a deformação 
nessas ligações. Nas estruturas de concreto, construir uma ligação rígida é 
mais simples que em aço, devido a sua constituição monolítica que permite 
maior integração entre os elementos estruturais. Nas estruturas metálicas, as 
Conceitos fundamentais20
ligações devem ser projetadas com o uso de soldas e parafusos de maneira que 
possam atender às condições de rigidez da ligação (Figura 10).
Figura 10. Pórtico rígido constituído por pilares de concreto 
e de aço e vigas em aço.
As ligações entre as vigas e os pilares metálicos foram dimensionadas 
para suportar os esforços de momento fletor e da força cortante de tal forma 
que a ligação tenha rigidez suficiente para impedir deformações nas ligações.
Estruturas planas submetidas à flexão: placas e lajes
Estruturas planas são aquelas consideradas bidimensionais devido às dimensões 
de largura e comprimento predominarem sobre a sua espessura (Figura 11).
a,b >>> e
21Conceitos fundamentais
Figura 11. Estrutura plana.
As placas são muito utilizadas como lajes e pisos de edificações e, de-
pendendo do sistema construtivo da laje, pré-moldada ou maciça, seu com-
portamento será definido dependendo da maneira que for apoiada nas vigas. 
Geralmente, uma laje pré-moldada é apoiada em apenas duas vigas. Essa 
disposição de montagem fará com que a laje sofra flexão apenas em um sentido, 
no sentido dos apoios. No caso de lajes maciças apoiadas em todas as bordas, 
a flexão ocorrerá nos dois sentidos (Figuras 12 e 13).
Figura 12. Laje apoiada somente em duas vigas. A flexão ocorre em 
uma direção.
Conceitos fundamentais22
Figura 13. Laje apoiada em todas as bordas. A flexão ocorre nas duas 
direções.
As lajes podem ser projetadas em conjunto com as vigas para resistir aos 
esforços, formando uma seção tipo T. Uma parcela da laje atua como mesa 
colaborante de uma viga, que por sua vez tem sua rigidez aumentada devido 
ao aumento da seção transversal proporcionado pela laje (Figuras 14 e 15).
Figura 14. Viga T constituída de perfil metálico e laje de 
concreto.
23Conceitos fundamentais
Figura 15. Viga em T formada por viga e laje de concreto 
armado.
Estruturas de superfície curva submetidas a tensões: 
cascas finas
Diferentes das estruturas planas, as cascas finas são estruturas tridimensionais. 
As cascas, embora tenham espessura muito menor do que as demais dimensões, 
assim como as placas, têm conformação curva que permite vencer grandes 
vãos em função da rigidez e da resistência decorrentes da curvatura.
As formas das cascas variam muito, desde cúpulas e abóbodas até geome-
trias paraboloides hiperbólicas ou cilíndricas.
As tensões em uma estrutura de superfície se desenvolvem no plano de apoio 
das cargas externas e são chamadas de tensões de membrana. Essas tensões, 
de maneira geral, possuem pequena dimensão, mas, devido aos carregamentos, 
surgem outras tensões na membrana, como tensões normais, tangenciais e de 
torção. Para que possam ser equilibradas as tensões na membrana, as bordas 
devem absorvê-las. Porém, se as bordas não forem capazes de fornecer o 
equilíbrio necessário através das reações de apoio, as regiões próximas da 
borda estarão sujeitas a deformações. Essas deformações vão provocar o 
surgimento de maiores tensões normais e tangenciais, sendo necessária uma 
maior espessura da membrana para resistir a essas tensões.
Conceitos fundamentais24
Devido a sua geometria, as cascas podem vencer grandes vãos sem a ne-
cessidade de apoios intermediários, mas essa condição muito favorável oferece 
em contrapartida outros desafios. O elevado custo de execução das cascas, 
problemas acústicos, a não impermeabilidade da cobertura, a flambagem 
provocada com baixas tensões, a falta de capacidade de suporte das cascas 
para cargas concentradas sem que sejam adicionados elementos estruturais 
que enrijeçam a membrana, todos esses aspectos são impeditivos do uso de 
membranas, o que restringe muito o seu uso (Figuras 16, 17, 18, 19 e 20).
Figura 16. Cúpula esférica apoiada em viga de borda contínua.
Figura 17. Cúpula esférica com diversos apoios. Viga de borda 
acompanha a curvatura das bordas.
25Conceitos fundamentais
Figura 18. Membrana com geométrica em forma de paraboloide hiperbólico. 
As vigas de borda fornecem os apoios necessários para o equilíbrio das reações 
e das forças.
Figura 19. Cúpula esférica com anel superior de compressão e anel inferior 
de tração. Esse sistema estrutural permite transmitir para as colunas apenas 
cargas verticais.
Conceitos fundamentais26
Figura 20. Casca cilíndrica apoiada em vigas de borda longitudinais.
Os sistemas estruturais fornecem informações sobre o comportamento de cada 
tipo de estrutura e sobre como os elementos estruturais também se comportam 
individualmente e em conjunto com outros elementos da estrutura.
Conhecer cada sistema estrutural e quais são as melhores aplicações na solução dos 
problemas de engenharia permite ao engenheiro calculista projetar uma estrutura 
que seja estável e segura, funcional e econômica, além de inserir seu traçado na 
arquitetura de uma construção. 
Princípios básicos da estática das estruturas
O processo de criação de uma estrutura inicia com a idealização dessa es-
trutura a partir de um projeto arquitetônico, de um equipamento ou de uma 
necessidade específica, como, por exemplo, um reforço estrutural. Idealizar 
uma estrutura nada mais é do que imaginar, criar uma estrutura utilizando as 
informações de projeto para definir a posição de colunas, os vãos das vigas 
27Conceitos fundamentais
e os apoios de cada elemento estrutural, ao mesmo tempo prevendo como a 
estrutura se comportará. Esse modelo simplificado é constituído apenas de 
linhas simples, formando um modelo unifilar que representa cada um dos 
elementos estruturais reais. A partir do modelo unifilar definido pelo projetista, 
são aplicadas as cargas que devem atuar na estrutura, como o peso próprio da 
estrutura e dos demais elementos permanentes, da sobrecarga de utilização e 
das cargas devidas ao vento, seguindo os requisitos especificados nas normas 
técnicas vigentes (Figuras 21 e 22).
Figura 21. Pórtico rígido para suportar a carga de uma parede de alvenaria 
de blocos.
Conceitos fundamentais28
Figura 22. Estrutura idealizada do pórtico real utilizada na análise.
Apoios e vínculos
Os apoios ou vínculos são os pontos de fixação da estrutura com o meio externo 
ou entre os elementos estruturais. Todo ponto de fixação de uma estrutura é um 
apoio ou vínculo. Os apoios podem ser simples, quando se trata de estruturas 
muito leves, como um simples pórtico, ou bastante complexos, quando as 
estruturas são pesadas e necessitam suportar grandes cargas, como os apoios 
de uma ponte rodoviária. A função dos apoios é fornecer à estrutura a esta-
bilidade necessária para que todo o sistema de forças que atuam na estrutura 
esteja em equilíbrio. O tipo e o sistema de apoio influenciam diretamente no 
comportamento de uma estrutura, bem como na distribuição das forças que 
serão transmitidas para os apoios.
Abaixo temos o esquema estrutural idealizado de metade do vão da Ponte 
do Porto de Sidnei, na Austrália. A estrutura do arcoé reforçada pela ação de 
cabos de aço onde essa força é representada por Fc. O peso total de metade da 
estrutura do arco da ponte é de aproximadamente 10.000 toneladas (Figuras 
23, 24, 25, 26 e 27).
29Conceitos fundamentais
Figura 23. Esquema unifilar da estrutura do arco da Ponte do Porto de Sidnei.
Figura 24. Linha de ação das forças que atuam na estrutura passando 
pelo apoio do arco inferior e arco superior.
Conceitos fundamentais30
Figura 25. Diagrama de Corpo Livre (DCL) do sistema de forças da estrutura.
Figura 26. Projeto do apoio da Ponte do Porto de Sidnei, Austrália. Desenvolvido a partir 
da análise estrutural.
Fonte: Dorman Long (1932).
31Conceitos fundamentais
Figura 27. Apoio da ponte do Porto de Sidnei após a execução.
Fonte: Bridge (2014).
O exemplo no Quadro 1 demonstra como funciona o desenvolvimento de 
um projeto estrutural a partir da sua concepção inicial, passando pela análise 
de forças e de equilíbrio, finalizando na execução do projeto. 
Conceitos fundamentais32
Apoio/Vínculo Graus de 
liberdade
Restrições Reações de apoio
APOIO 1º GÊNERO
02 01 01
APOIO 2º GÊNERO
01 02 02
APOIO 3º GÊNERO
0 03 03
Quadro 1. Condições de contornos dos apoios.
O que realmente significam graus de liberdade e restrições para os apoios? 
Os graus de liberdade em um apoio indicam quais movimentos o elemento 
estrutural pode fazer quando solicitado pelas cargas. Vejamos o apoio do 1º 
gênero: no apoio do 1º gênero temos dois graus de liberdade e apenas uma 
restrição. Quando falamos de graus de liberdade estamos falando de deslo-
camentos e rotações no apoio. Um grau de liberdade é aquele que permite 
um deslocamento ou uma rotação, ao passo que uma restrição impede um 
deslocamento ou uma rotação. Quando ocorre um impedimento, ou seja, existe 
uma restrição, surgem o que chamamos de reações de apoio. As reações de 
apoio são forças provocadas pelas restrições nos apoios. Por exemplo, no apoio 
33Conceitos fundamentais
de 1º gênero no Quadro 1 existe uma restrição ao deslocamento vertical no 
apoio da barra. Essa restrição fará com que surja uma reação de apoio, uma 
força de sentido contrário ao sentido das cargas aplicadas na barra. Nesse 
mesmo apoio podemos observar dois graus de liberdade, uma liberdade para 
se deslocar no sentido horizontal e uma liberdade para que ocorram rotações 
no apoio. Nesses dois casos não surgem reações de apoio, pois não existe 
impedimento para esses deslocamentos e rotações.
No apoio do 2º gênero, temos um grau de liberdade e duas restrições. O 
grau de liberdade permite que a barra rotacione no apoio, portanto não provoca 
o surgimento de reação de apoio. Por outro lado, temos as duas restrições, ao 
deslocamento vertical e ao deslocamento horizontal. Nesses dois casos teremos 
reações de apoio, uma no sentido horizontal e outra no sentido vertical.
Já no apoio do 3º gênero não temos nenhum grau de liberdade, o que 
significa que a barra não pode ser deslocada em nenhuma direção nem rota-
cionar nesse apoio, o que provoca o surgimento de três reações de apoio, uma 
reação vertical, devido ao impedimento de se deslocar na vertical, uma reação 
horizontal, devido ao impedimento de se deslocar na horizontal e uma reação 
de momento, devido ao impedimento de rotacionar nesse apoio.
Diagrama de corpo livre (DCL)
O diagrama de corpo livre (DCL) é a forma esquematizada simplificada da 
estrutura real onde são apresentadas as condições de contorno da estrutura 
através da geometria, do apoio, das reações de apoio e dos carregamentos.
A estrutura na Figura 28 representa a idealização de uma viga submetida 
a diversos carregamentos e estando essa viga engastada nas extremidades e 
com dois apoios intermediários. Nesse modelo podemos observar apenas as 
cargas aplicadas e como a estrutura será vinculada, mas não podemos ver 
quais outras forças atuam nessa estrutura devido a cada tipo de apoio. 
Conceitos fundamentais34
Figura 28. Viga contínua submetida a diversos carregamentos.
O DCL de uma estrutura apresentará todas as forças que atuam na estrutura 
permitindo uma análise mais precisa do modelo estrutural (Figura 29). 
Figura 29. Diagrama de corpo livre de uma viga contínua.
No DCL, demonstramos todas as forças que estão atuando na estrutura e 
as reações de apoio que existem devido às restrições impostas pelos apoios, 
além de podermos decompor as forças por ventura aplicadas em um ângulo 
fora dos planos vertical ou horizontal, como é o caso da força de 18 kN aplicada 
à estrutura em um ângulo de 68º. Essa força deve ser decomposta em duas 
componentes, uma vertical e outra horizontal, permitindo dessa forma aplicar 
as equações de equilíbrio da estática. 
35Conceitos fundamentais
Equações de equilíbrio da estática
As análises das equações de equilíbrio partem da premissa de que o corpo está 
em equilíbrio estático, ou seja, está em repouso, de forma que a aceleração 
linear do centro de gravidade desse corpo e a aceleração angular desse mesmo 
corpo em relação ao centro de gravidade são iguais a zero.
Considerando que um sistema de forças atuando no mesmo plano podem 
ser reduzidas a duas forças resultantes, uma força R e um momento M, ambos 
em relação ao centro de gravidade do corpo e admitindo que o corpo está em 
repouso, temos que: 
R = 0
M = 0
Admitindo que uma força resultante é uma única força que pode produzir 
no corpo o mesmo efeito que todas as demais forças aplicadas ao corpo produ-
zem e substituindo R por duas componentes, uma vertical e outra horizontal, 
temos Rx e Ry, que devem satisfazer as mesmas condições de equilíbrio. 
Assim, teremos:
Rx = ΣFx
Ry = ΣFy
M = ΣF.d+ ΣM
Onde,
ΣF.d = somatória dos momentos provocados por 
todas as forças sobre um eixo de referência
ΣM = somatória de todos os momentos aplicados 
no corpo em relação ao eixo de referência
Assim, teremos as equações fundamentais de equilíbrio da estática:
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣM = 0
Conceitos fundamentais36
As equações de equilíbrio estabelecem que a estrutura não se move em 
nenhuma direção, seja na direção x ou y, e que a estrutura não sofre rotação, 
garantindo o equilíbrio estático da estrutura.
As reações de apoio e sua influência na estabilidade e 
determinação de uma estrutura
Uma estrutura estável é aquela em que todos os elementos são impedidos 
de se mover, como um corpo rígido. Essa condição é estabelecida através da 
aplicação de apoios idealizados por um projetista, com as quantidades e tipos 
de apoios necessários para garantir a condição de equilíbrio da estrutura. 
O número de reações de apoio influencia na estabilidade e na determinação 
da estrutura. Essa condição é estabelecida em relação ao número de equações 
fundamentais da estática, que determina se a estrutura é determinada ou 
indeterminada, estável ou instável.
A estabilidade da estrutura, ou seja, manter a estrutura em repouso, de-
pende de que o conjunto de apoios impeça o movimento de cada elemento da 
estrutura para qualquer tipo de carregamento que possa ser aplicado a essa 
estrutura em relação às reações de apoio provadas pelas restrições em cada 
apoio, além da satisfação das condições de equilíbrio determinadas pelas três 
equações fundamentais da estática:
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣM = 0
O critério para se estabelecer a estabilidade e a determinação de uma estru-
tura se baseia nas reações de apoio que surgem devido às restrições impostas 
por cara tipo de apoio. Essa análise é feita considerando três condições, onde 
R é o número de restrições:
R < 3: Número de reações menor que o número 
de equações fundamentais da estática;
R = 3: Número de reações igual ao número 
de equações fundamentais da estática;
R > 3: Número de reações maior que o número 
de equações fundamentais de estática.
37Conceitos fundamentais
Vejamos cada um dos casos a seguir.
Condição I: R < 3
Para que uma estrutura esteja em equilíbrio, a condição que deve ser satisfeita 
é que a somatória das forças que atuam na estrutura seja igual a zero. Quando 
o número dereações de apoio é menor que o número de equações, significa 
que uma ou mais equações não poderão ser satisfeitas, o que implica em uma 
estrutura instável.
Na estrutura retratada na Figura 30, temos uma viga em dois apoios do 1º 
gênero que possuem dois graus de liberdade e uma restrição apenas.
Figura 30. Viga com dois apoios do 1º gênero.
O DCL da estrutura na Figura 30 será (Figura 31):
Conceitos fundamentais38
Figura 31. Diagrama de corpo livre da estrutura da Figura 30.
Podemos observar no DCL da Figura 31 que, devido aos apoios possuírem 
apenas uma restrição, cada apoio terá apenas uma reação de apoio. Nesse caso, 
as reações de apoio são verticais. Aplicando as equações da estática nessa 
estrutura para verificar sua estabilidade e determinação.
Para a análise das reações de apoio vamos adotar a convenção de sinais 
abaixo (Figura 32):
Figura 32. Sentido positivo das forças e dos 
momentos.
39Conceitos fundamentais
+↑ ∑Fy = 0
VA + VB – 15 = 0
⟳ + ∑MA = 0
(15.2) – VB.4 = 0
→ + ∑Fx = 0
10 ≠ 0 (não satisfaz a condição de equilíbrio)
Analisando os resultados, podemos observar que a estrutura não possui 
estabilidade quando submetida a forças horizontais, porque a somatória das 
forças não é igual a zero. Portanto, essa estrutura é classificada como instável 
e indeterminada.
Condição II: R = 3
Nessa condição, em que o número de reações é igual ao número de equações, 
será possível satisfazer as três equações de equilíbrio. Isso porque o número 
de incógnitas é igual ao número de equações.
Analisando a estrutura abaixo, podemos observar que o elemento está 
biapoiado sobre dois apoios, sendo um do 2º gênero e outro do 1º gênero 
(Figura 33).
Conceitos fundamentais40
Figura 33. Elemento biapoiado.
O DCL da estrutura será (Figura 34):
Figura 34. Diagrama de corpo livre da estrutura da Figura 33.
41Conceitos fundamentais
Nesse caso podemos observar que a estrutura possui três reações de apoio 
devido ao tipo dos apoios aplicados à estrutura. Aplicando as equações de 
equilíbrio da estática, temos,
+ ↑ ∑Fy = 0
VA + VB – 15 = 0
VA = 15 – VB = 15 – 7,5 = 7,5 kN
⟳ + ∑MA = 0
(15.2) – VB.4 = 0
VB = = 7,5 kN304
→ + ∑Fx = 0
10 – HA = 0
HA = 10 kN
Analisando os resultados de cada uma das equações, podemos observar 
facilmente que possuem solução e que a somatória das forças aplicadas e das 
reações de apoio é igual a zero. Portanto, podemos classificar essa estrutura 
como estável e determinada externamente. O termo externamente significa 
que essa estrutura pode ser determinada utilizando apenas as reações de apoio, 
ou seja, forças externas ao elemento estrutural.
Condição III: R > 3
Nessa condição, em que o número de reações é maior que o número de equa-
ções, não é possível determinar a estrutura devido ao número de incógnitas ser 
maior que o número de equações. Essa indeterminação é denominada como 
grau de indeterminação, sendo igual ao número de restrições superior a 3.
Conceitos fundamentais42
Analisando a estrutura na Figura 35, podemos observar que o elemento 
está engastado no apoio A e simplesmente apoiado em B, através de um apoio 
do 1º gênero.
Figura 35. Elemento engastado.
O DCL da estrutura será (Figura 36),
Figura 36. Diagrama de corpo livre da estrutura da Figura 35.
43Conceitos fundamentais
Nesse caso, temos três reações de apoio no apoio A, devido ao engaste 
(apoio do 3º gênero), e mais uma reação vertical, devido ao apoio de 1º gênero, 
em B, totalizando 4 reações de apoio. Como o número de reações é superior 
ao número de equações, uma das reações não poderá ser determinada com a 
simples aplicação das equações de equilíbrio da estática. Esse problema poderá 
ser resolvido aplicando outras teorias para a determinação das incógnitas 
dessa estrutura.
O grau de indeterminação de uma estrutura é dado pela diferença entre o 
número de reações e número de equações fundamentais da estática. No caso 
particular dessa estrutura, o grau de indeterminação é 1, como podemos ver 
a seguir,
Grau de indeterminação = R – 3
G.I. = 4 (reações) – 3 (equações) = 1
Grau de indeterminação = 1
Considerando que uma ou mais equações não podem ser determinadas 
com a aplicação direta das equações fundamentais da estática, essa estrutura 
é considerada indeterminada, com grau de indeterminação igual a 1.
Figura 37. Contraventamento em um edifício, conectado às 
colunas e vigas dos pavimentos
Fonte: Leet, Uang e Gilbert (2010).
Conceitos fundamentais44
Classificação da estrutura
Condição Estável Instável
Determinada Indeterminada
I) R < 3 - - Instável
(pois as equações 
de equilíbrio não 
podem ser satisfeitas 
considerando 
as condições de 
carregamento 
aplicado)
II) R = 3 Determinada
(se as reações forem 
determinadas 
unicamente com 
uso das equações 
de equilíbrio)
- Somente será 
instável se as reações 
formarem um sistema 
de forças paralelas 
ou concorrentes
III) R > 3 - Indeterminada
(com grau de 
indeterminação 
igual a R – 3)
Somente será 
instável se as reações 
formarem um sistema 
de forças paralelas 
ou concorrentes
Quadro 2. Critérios de estabilidade e determinação de um único elemento estrutural.
Dada a estrutura abaixo, determinar as reações de apoio.
45Conceitos fundamentais
O primeiro passo é desenvolver o DCL da estrutura e analisar as reações de apoio.
DCL
A estrutura possui 3 reações de apoio, portanto é uma estrutura estável e determinada 
externamente.
Aplicando as equações de equilíbrio da estática, teremos:
+ ↑ ∑Fy = 0
VA + VB – 26,14 – (27,5 . 4,77) = 0
VA + VB = 157,32 kN
VA = – VB + 157,32
VA = 157,32 – 46,07
VA = 111,25kN
⟳ + ∑MA = 0
(27,5 * 4,77 * ( )) + 26,14 * 7,88 – VB * 12 + 34 = 0 4,772
– VB * 12= – 312,85 – 205,98 – 34
– VB = – 552,83
12
VB = 46,07kN
→ + ∑Fx = 0
–15,71 + HA = 0
HA = 15,71kN
Todas as reações de apoio foram determinadas, portanto a estrutura é estável e 
determinada, pois satisfaz as condições de equilíbrio da estática.
Conceitos fundamentais46
Como as estruturas são formadas pela composição de estruturas determinadas e 
indeterminadas de forma extensiva, o projetista deve saber como cada estrutura se 
comporta. A análise do comportamento de uma estrutura permite prever problemas 
que podem surgir durante a construção ou depois da estrutura concluída, já estando 
em utilização.
Se uma estrutura determinada perde um dos apoios, a falha ocorre imediatamente, 
porque com a perda do apoio a estrutura passou a ser instável.
Já com uma estrutura indeterminada as cargas transmitidas podem seguir diversos 
caminhos alternativos caso ocorra a perda de um ou mais apoios. Essa estrutura 
ainda poderá ser estável, desde que as restrições dos apoios restantes sejam iguais 
ou maiores que três.
Confira no link a seguir o estudo sobre a Introdução de Análise Estrutural e Estabilidade 
– Conceitos e Fundamentações – Aplicação à queda da Ciclovia Tim Maia.
O artigo apresenta uma análise dos conceitos fundamentais e iniciais de análise 
e estabilidade estrutural que não podem ser negligenciados, como: tipos de apoio; 
reação de apoios; vínculos estruturais; fundamentos de isostática e hiperestática; esta-
bilidade das estruturas. Esses conceitos iniciais são estudados no curso de graduação 
de Engenharia Civil, baseados em matemática e física elementares, como sistemas de 
equações lineares e as três Leis de Newton. Se ignorados, podem provocar acidentes 
estruturais graves (CARMO, 2017).
https://goo.gl/Eeba2y
47Conceitos fundamentais
https://goo.gl/Eeba2y
1. O contato de uma caneta inclinada 
em relação à superfície rugosa do 
papel gera um esforço suficiente 
para riscá-lo. De acordo com as 
reações envolvidas com esse tipo 
de vínculo, pode-se dizer que:
Fonte: Volodymyr Horbovyy/Shutterstock.com.
a) existirá somente uma reação 
perpendicular à superfície.
b) existirão duas reações 
perpendiculares entre si.
c) existirão duas reações colineares.
d) existirá somente uma reação 
paralela à superfície.
e) todas as alternativas 
estão incorretas.
2. Deacordo com a imagem em 
destaque, em que uma haste com 
peso P é sustentada por uma rótula 
em A e uma corda CG, sabendo 
que a haste encosta na parede 
sem fricção, determine quantas 
reações não nulas serão encontradas 
se resolvermos o problema.
a) Uma reação de força e 
duas de momento.
b) Três reações de força e 
três de momento.
c) Três reações de momento 
e duas de força.
d) Duas reações de força e 
duas de momento.
e) Cinco reações de força.
3. De acordo com a imagem 
em destaque, em que a mola 
deve equilibrar um cursor de 
peso P, quantas reações não 
nulas serão encontradas, se 
resolvermos o problema?
Conceitos fundamentais48
a) Uma reação de força e 
duas de momento.
b) Três reações de força.
c) Três reações de momento.
d) Duas reações de força e 
duas de momento.
e) Uma reação de força e 
uma de momento.
4. De acordo com o princípio da 
transmissibilidade, se mudarmos 
o ponto de aplicação de uma 
força e, ao mesmo tempo, 
desejarmos manter o efeito 
gerado por ela, devemos:
a) manter seu módulo e sentido.
b) manter seu módulo e sentido, 
mas variar a direção de acordo 
com o ângulo alterado.
c) manter seu módulo, 
direção e sentido.
d) manter sua direção e seu sentido, 
mas variar o módulo de acordo 
com a distância deslocada.
e) manter seu módulo e sua 
direção e inverter o sentido.
5. O vínculo tipo engaste, em uma 
análise tridimensional, evita 
quantos graus de liberdade (gera 
quantas reações), de acordo com 
os esforços possíveis de serem 
aplicados em um corpo rígido?
a) Evita três graus de liberdade.
b) Evita quatro graus de liberdade.
c) Evita cinco graus de liberdade.
d) Evita seis graus de liberdade.
e) Engaste permite graus 
de liberdade.
BEER, F. P. et al. Estática e mecânica dos materiais. Porto Alegre: AMGH, 2013.
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 7. edição. Porto Alegre: AMGH, 2015.
BRIDGE. Sydney harbour bridge abutment at The Rocks. 2014. Disponível em: <https://
commons.wikimedia.org/wiki/File:Sydney_Harbour_Bridge_abutment_at_The_Ro-
cks.jpg>. Acesso em: 17 fev. 2018.
CARMO, P. F. B. Introdução de análise estrutural e estabilidade: conceitos e funda-
mentações: aplicação à queda da ciclovia Tim Maia. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE 
ENGENHARIA DE AVALIAÇÕES E PERÍCIAS, 19., 2017, Foz do Iguaçu. Anais... São Paulo: 
IBAPE, 2017. Disponível em: <https://ibape-nacional.com.br/biblioteca/wp-content/
uploads/2017/08/078.pdf >. Acesso em: 17 fev. 2018.
DORMAN Long. Sydney harbour bridge: outside elevation of link plates. 1932. Disponível 
em: <https://sydney-harbour-bridge.nesa.nsw.edu.au/images_content/Elev-of-link-
-plate-big.jpg >. Acesso em: 17 fev. 2018.
LEET, K. M.; UANG, C.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2010.
49Conceitos fundamentais
http://commons.wikimedia.org/wiki/File
https://ibape-nacional.com.br/biblioteca/wp-content/
https://sydney-harbour-bridge.nesa.nsw.edu.au/images_content/Elev-of-link-
Leituras recomendadas
HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2013.
ILKIU, A. M. Teoria das estruturas: parte I. [S.l.]: [s.n.], 1998. Notas de aula.
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos: volume I. Rio de Janeiro: LTC, 1983.
Conceitos fundamentais50
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.