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Equações Quadráticas 
De um modo geral, as equações quadráticas também conhecidas por equação do 2° grau ou ainda por trinómio quadrático são aquelas que se podem reduzir à forma canónica onde a0 a, b, c e x é a variável.
Existem dois tipos de equações quadráticas nomeadamente:
Completas
Incompletas
Equações quadráticas completas
São equações do tipo onde a0 a, b, c 
Exemplo
 
Resolução: 
Para resolver essa equação procedemos de seguinte modo:
Achemos o discriminante (
Condições para o discriminante
 > 0 a equação tem 2 raízes reais distintas 
a equação tem 2 raízes reais e iguais 
 < 0 a equação não tem raízes reais 
O discriminante é dado pela fórmula 
 Então onde a =1 b =2 c =3
 = 
 = 16
Aplicamos a fórmula resolvente das equações quadráticas completas que é dada por 
Teremos 
x1= = 1
x2=3 
Sol (; 1) 
Soma e produto 
Na equação ax2 + bx + c = 0 a se dividirmos ambos os membros os membros por a, obteremos x2 + x + 
 x2 – (- x) + = 0
 ou ainda S = x1 + x2 ou ainda P = x1.x2 
Então x2 
Exercício 1. Resolva a equação aplicando soma e produto.
Resolução: 
 
 x1 = x2 = 
Verificação
S = x1 + x2 = x1.x2 = 1. (-3) = - 3 
Sol (- 3; 1) 
 Exercício 2. Escreve a equação quadrática cujas raízes são 2 e -1.
Resolução: 
S = x1 + x2 = 2 + (-1) = 2 – 1 = 1
P = x1.x2 = 2. (-1) = -2 
Partindo de x2 e que x2 – x – 2 = 0 é a equação que admite 2 e -1 como soluções.
Verificação 
x2 – x – 2 = 0 
 a=1 b = -1 c = -2 (-1)2 – 4.1. (-2)
 = 1 +8
 = 9
 
x1 = 
x2 = 
Equações Quadráticas Incompletas 
Equações do tipo ax2 = 0
Exemplo: 3x2 = 0
Resolução: 
3x2=0 
x2 = 
x2 = 0 
x = 
x = 
x= 0 
sol (0)
Equações do tipo ax2 + bx = 0 
Exemplo: 2x2 + 4x = 0
Resolução:
Para resolver este tipo de equação, teremos que por em evidencia o fator comum e aplicarmos o método de anulamento do produto, então teremos
x(2x + 4) = 0
x = 0 v 2x + 4 = 0
 2x= -4
 x= 
 x= -2 Sol ()
Equações do tipo ax2 + c = 0
Exemplo:
x2 – 16 = 0
Resolução: x2 – 16 = 0
 x2 = 16
 x = 
 x = 
 x = 4 x2 = -4 sol (-4; 4)
Exercícios
Resolve as seguintes equações quadráticas completas aplicando a fórmula resolvente.
a) 2x2 + 8x – 10 = 0 c) x + 1 =
 b) x2 – 3x + 6 = 0	
Resolve as seguintes equações quadráticas incompletas
a) 25x2 = 0 b) -2x2 = 0
 c) 3023x2 = 0 d) 3x2 -12 = 0
 e) 8x2 – 4x = 0 f) -3x = x2 
 g) 2x2 – 3x = 0 h) x = 
 i) x2 – 9 = 0 j) 3 + 2x2 = 0
 k) 2x2 – 32 = 0 l) x2 – 25 = 0
	N.B ver no livro como é feita a factorização do trinómio quadrático.
Factorização do trinómio quadrático 
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) 
Exemplo:
Factorize o seguinte trinómio quadrático 
Resolução: 
x2 – 2x + 1 primeiro vamos achar as raízes usando um dos métodos já aprendidos.
S = - = p = 
 x1 = 1 x2 =1 
Então x2 – 2x + 1 = 1(x – 1)(x – 1) 
N.B: O valor de a é igual a 1, mas como o 1 na multiplicação não altera o resultado, então podemos dizer que x2 – 2x + 1 = (x – 1)(x – 1) . 
Aplicação da fórmula de factorização na simplificação de expressões faccionárias. 
Exemplo: 
Simplifique a expressão 
Para simplificar essa expressão devemos factorizar o numerador assim como o denominador e de seguida podemos simplificar.
 = 
Exercícios 
Factorize as seguintes expressões
 a) x2 – 5x – 50 
 b) 2x2 - 2x – 4
 c) 4x2 + 7x + 3 
 d) x2 – 4x + 3
 e) 5x2 + 7x + 2 
Determine os valores de a e b na identidade
x2 + x – 6 = (x + a)(x + b)
 
 
 
	É aconselhável sempre que resolver um exercício se possível, fazer a verificação com as soluções obtidas, porque por vezes obtemos soluções que não fazem parte do conjunto solução.