EEL105 Analise Circuitos Engenharia Modulo 10 2012 (1)

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Universidade Federal de Itajubá 
Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologias da Informação 
Engenharia de Controle e Automação - ECA 
 
 
EEL105 - Circuitos Elétricos I 
Módulo 10 
Ressonância, Potência Complexa e Análise de Circuitos em Regime 
Permanente Senoidal 
 
 
Prof. Paulo César Crepaldi 
2 
 Circuitos que contêm indutância e capacitância podem apresentar o 
fenômeno denominado de ressonância, a qual é importante em muitas 
aplicações. A ressonância é a base para a seletividade de freqüência em 
sistemas de comunicação. A capacidade de um receptor de rádio ou televisão 
selecionar uma certa freqüência que é transmitida por uma estação particular 
e, ao mesmo tempo, eliminar freqüências de outras estações está baseado no 
princípio da ressonância. Em sistemas de potência, o princípio da 
ressonância é usado na filtragem de freqüências indesejadas à operação 
adequada de uma carga. 
 
Diz-se que um circuito RLC está em ressonância quando a tensão aplicada e a 
corrente resultante estão em fase. Portanto, na ressonância, a impedância 
complexa equivalente reduz-se a uma resistência pura (as partes imaginárias 
da impedância decorrentes do indutor e do capacitor possuem o mesmo 
módulo). 
 
A ressonância pode ocorrer em circuitos de topologia série e paralela. 
Ressonância 
3 
 Considere o circuito RLC série apresentado abaixo: 
Ressonância Série 
i(t)
+
vL(t)
_
L (jXL)
+
vR(t)
_
R
v(t)
+
vC(t)
_
C (-jXC)
+
_
 








C
1
LjRZ
XXjRjXjXRZ CLCL



 A impedância complexa é dada por: 
 Pela definição de ressonância, tem-se que a 
impedância é puramente resistiva para uma 
dada frequência (ω0) , então:  
LC2π
1
f
LC
1
LC0
C
1
L
XXjRZ
00
2
CL







0
Frequência de Ressonância 
4 
Ressonância Série 
0Hz 20Hz 40Hz 60Hz 80Hz 100Hz 120Hz 140Hz 160Hz 180Hz 200Hz 220Hz 240Hz 
-200 
-100 
0 
100 
200 
 Para os valores de R=100[Ω], L=200[mH] e C=47[mF], teríamos: 
R 
XC 
XL 
]65,1[
Cf2
1
Xe]65,3[Lf2X
52[Hz]
47.10200.102π
1
LC2π
1
f
0
C0L
630
x


 


|Z| 
ω0 
5 
Ressonância Série 
Variação do ângulo da impedância complexa Z para valores de R: 
 
3.0Hz 10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 
-50° 
0° 
50° 
100° 
Baixa R 
Alta R 
-100° 
Na ressonância, portanto, a impedância complexa Z é mínima e puramente resistiva. 
Como I=V/Z tem-se uma condição de corrente máxima. Nas frequências acima de ω0, 
a reatância indutiva (XL) excede a reatância capacitiva XC e o ângulo da impedância 
complexa Z é positivo, tendendo para +90° quando ω>>ω0. Para frequências 
inferiores à frequência de ressonância, a reatância capacitiva é maior que a indutiva e 
o ângulo da impedância complexa Z é negativo. Quando ω tende para zero, o ângulo 
de Z tende para -90°. 
6 
Ressonância Paralela 
Podemos utilizar o conceito da dualidade para construir um circuito em que os 
elementos estejam em paralelo. Então, ao invés de lidarmos com impedâncias e 
resistência, estaremos trabalhando com admitâncias e condutância. 
i(t)
L (-jBL)Rv(t) C (jBC)
+
_
iR(t) iL(t) iC(t)
 
LC2π
1
f
LC
1
LC0
L
1
Ce
L
1
CjGY
BBjGjBjBGY
00
2
LCLC
















7 
Ressonância Paralela 
Tem-se, então, pela dualidade que na ressonância a admitância complexa Y é 
puramente uma condutância e, além disto, mínima. Isto implica em uma impedância 
máxima e uma consequente corrente mínima. Nas frequências inferiores a ω0 a 
susceptância indutiva é superior á capacitiva e o ângulo de fase da admitância 
complexa Y é negativo. O ângulo de fase da impedância complexa Z é, portanto, 
positivo e tende para +90°, à medida que a frequência tende para zero. Nas 
frequências acima da frequência de ressonância, o ângulo de fase da admitância 
complexa Y é postivo, sendo o ângulo de fase da impedância complexa negativo e 
tendendo para -90°. 
Ressonância: Fator de Qualidade (Q) 
O fator de qualidade é uma figura de mérito que pode ser aplicada para indutores, 
capacitores e circuitos. É definida pela relação entre a energia armazenada e a energia 
dissipada considerando-se um ciclo do sinal. Obsevar que se trata de um número 
admensional e que quanto maior, menores serão as perdas por efeito Joule por ciclo. 
ciclopordissipadaenergia
armazenadaenergiamáxima
2πQ 
8 
Ressonância: Fator de Qualidade (Q) 
R
L
R
fL
f
1
R
2
I
LI
2
1
2πQ
2
P
P 








2
2
A título de exemplo, considerar os circuitos abaixo: 
i(t) L (jXL)R
i(t)=IPsen(t)
C (-jXC)R
+ v(t) -
i(t)
v(t)=VPsen(t)
ωRC
1
f
1
R
2
I
C
I
C
2
1
2πQ
2
P
2
P








2
A energia dissipada, por ciclo, é dada pelo produto da potência média dissipada no 
resistor (I RMS/√2)
2.R pelo período T (1/f). A energia armazenada nos elementos 
reativos é 1/2LIP
2 e 1/2CVP
2. No circuito ressonante a energia armazenada é 
constante, pois quando a tensão no capacitor atinge o seu máximo, a corrente no 
indutor é nula e vice-versa. Ou seja, ω0L/R=1/ ω0RC. 
C
I
V PP 

9 
Ressonância: Fator de Qualidade (Q) 
O fator de qualidade também pode ser definido em função da frequência. 
Veja a figura, a seguir, que representa a corrente em um circuito ressonante série 
(Slide 3). 
 
1.0Hz 3.0Hz 10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 
0 
2m 
4m 
6m 
8m 
10m 
Em ω0 a corrente é máxima, representada por I0 
I0 
0,707I0 
ω0 
ωCL ωCH 
BW 
10 
Ressonância: Fator de Qualidade (Q) 
Como a potência dissipada no circuito é dada por I2R, quamdo I=0,707I0 (1√2I0) a 
potência é igual à metade do valor máximo, obtido em ω0. Os pontos correspondentes 
a ωCL e ωCH são chamados pontos de meia potência ou frequências de corte inferior e 
superior respectivamente. 
A distância entre estes pontos, medida em Hz (hertz), é denominada de largura de 
faixa (BW), O fator de qualidade pode, então, ser relacionado com a frequência de 
ressonância e a largura de faixa: 
BW
f
ff
f
ωω
Q
CLCHCLCH
000
0 





Pode-se demonstrar, também, que a frequência de ressonância é a média geométrica 
entre as duas frequências de corte. Para o nosso exemplo teríamos: 
]0,65[
80
52
Q
80[Hz]25,6105,6BW
25,6[Hz]ω105,6[Hz]ω52[Hz]ω CLCH0



0
11 
Potência Complexa 
Atualmente, existe uma preocupação muito forte no que diz respeito à Qualidade de 
Energia. Entende-se por qualidade de energia o grau no qual tanto a utilização, 
quanto à distribuição, de energia elétrica afeta o desempenho dos mais diversos 
equipamentos elétricos. Variações na amplitude, forma de onda ou na frequência, em 
relação aos valores ideais da tensão e da corrente senoidais, podem ser considerados 
como distúrbios na qualidade da energia. Países como Estados Unidos (e também na 
Europa) já produzem normas que visam melhorar a qualidade da energia 
estabelecendo limites para o consumo de Energia Reativa e também limitando a 
Distorção Harmônica que as cargas podem produzir na rede elétrica. Com isso, é 
possível obter uma série de benefícios, como por exemplo, a diminuição de perdas, 
redução no stress de transformadores devido ao aquecimento excessivo, redução da 
interferência nos sistemas de telefonia e comunicação, entre outros.Um primeiro passo para se compreender os eventos associados à qualidade de energia 
é verificar o que se denomina de triângulo de potência, entendendo as suas 
constituintes que são a Potência Ativa ou Média (P, medida em watts [W]), a Potência 
Reativa (Q, medida em volt-ampère reativo [VAr]) e a Potência Aparente (S, medida 
em volt-ampère [VA]). 
12 
Potência Complexa 
Historicamente, a introdução dos conceitos de potência aparente e fator de 
potência pode ser seguida até a indústria de energia elétrica, na qual grandes 
quantidades de energia devem ser transportadas entre diversos pontos. A 
eficiência com que esta transferência de energia é efetuada está ligada 
diretamente ao preço da energia elétrica que é, eventualmente, pago pelo 
consumidor. 
Um consumidor que possui uma carga que resulta em uma baixa eficiência de 
transmissão, deve pagar um preço mais elevado pelo quilowatt-hora [kWh]. 
De forma semelhante, um cliente que requer um investimento mais custoso 
em equipamentos de transmissão e distribuição pela companhia de energia 
elétrica irá, também, pagar mais por cada quilowatt-hora. 
É necessário definir, de forma mais rigorosa, os termos potência aparente, 
potência ativa e potência reativa, assim como, introduzir o conceito de fator 
de potência. Estas definições auxiliam a entender os fatores econômicos 
relacionados anteriormente. 
13 
Potência Complexa 
Vamos considerar o caso de um circuito passivo genérico que contenha 
elementos de circuito resistivos, capacitivos e indutivos. 






)tsen(Iti
)tsen(Vv(t)
P
P
)(
Observar que  é o ângulo de fase entre a tensão e a corrente (ângulo da 
impedância complexa). A potência média entregue à esta rede, assumindo a 
convenção de sinal do elemento passivo nos seus terminais de entrada, pode 
ser expressa por: 

FPAparentePotência
RMSRMSEFEFEFEFPP cosIVcosIVcosI2V2
2
1
cosIV
2
1
tp 

)(
Rede contendo 
resistores, 
capacitores e 
indutores
v(t)=VP sen( t)
i(t)=IP sen( t+)
+
_
p(t)
14 
Potência Complexa 
Se a tensão e a corrente, em nosso exemplo, fossem contínuas, a potência média 
entregue à rede seria simplesmente o produto da tensão pela corrente. Aplicando esta 
técnica de corrente contínua para o circuito em regime senoidal, devemos obter um 
valor para a potência absorvida que é “aparentemente” dada pelo produto VEFIEF. Este 
produto dos valores eficazes de tensão e corrente não é a potência média mas a 
potência aparente. Dimensionalmente, potência aparente deve ser medida nas mesmas 
unidades que potência real já que cos é um número adimensional. Entretanto, para 
não confundir com as outras potências a ser definidas, utiliza-se o termo volt-ampère 
[VA] ou kilovolt-ampère [kVA]. 
Uma vez que cos não pode assumir valores maior que a unidade, fica evidente que a 
amplitude da potência real (média) absorvida pela rede nunca será maior que a 
amplitude da potência aparente. 
A razão entre a potência real ou média e a potência aparente é chamada de fator de 
potência, simbolizado por FP. Tem-se, então: 
RMSRMS IV
p(t)
aparentepotência
médiapotência
FP 
No caso de ondas senoidais, o fator de 
potência será cos, em que  é o ângulo 
de fase da tensão em relação à corrente. 
15 
Potência Complexa 
Uma carga puramente resistiva apresenta tensão e corrente em fase o que nos leva a 
um FP unitário, ou seja, a potência aparente e a potência média são iguais. Um FP 
unitário, contudo, também pode ser obtido para cargas que contenham indutores e 
capacitores desde que, para uma determinada frequência de operação, o angulo de 
fase resultante entre tensão e corrente seja nulo. 
Uma carga puramente reativa, não contendo resistência, gera uma diferença de fase 
entre tensão e corrente de +90° (circuito puramente indutivo) ou -90° (circuito 
puramente capacitivo) e o FP será nulo. 
Entre estes casos extremos, existem redes gerais para os quais o FP pode varia de 
zero até a unidade. Um FP de 0,5, por exemplo, indica uma carga com impedância 
complexa tendo um ângulo de fase de +60° ou -60°. Para o ângulo de +60° tem-se 
uma indicação de uma carga com comportamento indutivo uma vez que a fase da 
tensão está adiantada em relação à fase da corrente. Para o ângulo de -60° tem-se uma 
carga com comportamento capacitivo. 
A ambiguidade da natureza exata da carga é resolvida referindo-se a um FP em 
avanço e um FP em atraso. Os termos avanço e atraso referem-se à fase da corrente 
em relação à fase da tensão. Assim, uma carga indutiva terá um FP em atraso e uma 
carga capacitiva um FP em avanço. 
16 
Potência Complexa 
Podemos simplificar o cálculo das potências se utilizarmos uma notação fasorial, ou 
seja, se consideramos o fasor potência. Para o circuito ilustrado, podemos escrever: 
Rede contendo 
resistores, 
capacitores e 
indutores
+
_
V I


j
RMS
j
RMS
eII
eVV




Atenção: Não podemos escrever 
o fasor P como sendo a 
multiplicação dos fasores V e I, 
pois acarretaria em um ângulo de 
fase relativo entre eles de +! 
Para que fique consistente com o 
ângulo de fase - é necessário 
proceder a multiplicação do fasor 
tensão pelo conjugado do fasor 
corrente. 
jQPS
:retangularformana
eIVeIVP
eIeVIVP
eIIeII
eVV
j
RMSRMS
j
RMSRMS
j
RMS
j
RMS
*
j
RMS
j
RMS
j
RMS












)(
*




17 
Potência Complexa 
Portanto, a parte real do fasor potência corresponde à potência média 
ou real (P) e a parte imaginária à potência reativa (Q). 
][)(
][)(
][)(
VArsenIVsenIVQ
WcosIVcosIVP
VAeIVeIVP
RMSRMSRMSRMS
RMSRMSRMSRMS
j
RMSRMS
j
RMSRMS





 
jω
σ
P
.

S
Q
P
Como a potência reativa estará sempre 
a 90° defasada da potência real ou 
média ela chamada de potência em 
quadratura. A potência reativa não 
realiza trabalho e representa a energia 
armazenada nos elementos reativos 
indutor (campo magnético) e capacitor 
(campo elétrico). 
18 
Potência Complexa: Exemplo 
Um consumidor industrial está utilizando um motor de indução de 1[kW] a um fator de 
potência de 0,8 em atraso. Com a finalidade de obter um tarifamento de energia elétrica mais 
baixo ele pretende elevar seu FP em atraso para 0,95. Embora o FP possa ser elevado 
aumentando-se a sua potencial real e mantendo-se a sua potência reativa constante, isto não 
resultaria em uma diminuição na tarifação. Portanto, uma carga puramente reativa pode ser 
adicionada ao sistema e, mais precisamente, em paralelo com o motor tendo em vista que a 
tensão de alimentação deste não deve mudar. Calcular esta impedância e de que tipo seria. +
_
M Z220[VRMS]
M
I
Z
II
f=60[Hz]
jω
σ
P1
.
S
Q
P=1000[W]
=arccos(0,8)≈36,9º




36,91250j7501000P
750[VAr]Q)sen(36,91250senSQ
1250[VA]S1000[W]cosSP
M
M
0,6
MM
M
0,8
MM



Potência complexa no motor. 
19 
Potência Complexa: Exemplo 
jω
σ
P
.
S
Q
P=1000[W]
=arccos(0,95)≈18,2º




18,21052,6j3281000P
328[VAr]Qsen(18,2º)1052,6SsenQ
1052,6[VA]S1000[W]cosSP
0,312
0,95



 
 








90422j4220JQP
JQPj7501000j3281000
PPP
Z0
Z
ZM

Potência complexa da associação motor + impedância pura 
Podemos determinar a potência na 
impedância pura para se alcançaro FP de 
0,95 desejado. Observar que a 
impedância pura, evidentemente, só 
possui a potência reativa QZ e que se 
trata de um capacitor (ângulo de -90°). 
O próximo passo é determinar o valor do capacitor, em farads, que na frequência de 
operação de 60[Hz] leva a esta impedância pura de –j422. Por simplicidade, vamos tomar o 
fasor tensão V como sendo 220∟0°. 
20 
Potência Complexa: Exemplo 
 
 
F][23C
][j114,6Z
][90114,6
901,92
0220
I
V
Z
[A]901,92I
[A]901,92
0220
90422
I
I022090422IVP
IVIVP
IIVIIVIVP
Z
Z
Z
*
Z
*
ZZ
P
Z
P
M
ZM
KCL
ZM
ZM
m




































*
**
**
*
*
Para se obter uma impedância 
de 114,6[] na frequência de 
60[Hz] é necessário um 
capacitor de, aproximadamente, 
23[mF]. 
Lembrar que XC=1/2fC! 
21 
Potência Complexa: ANEEL 
No Brasil, a Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) estabelece que 
o fator de potência nas unidades consumidoras deve ser superior a 0,92 
capacitivo durante 6 horas da madrugada e 0,92 indutivo durante as outras 
18 horas do dia. Esse limite é determinado pelo Artigo nº 95 da Resolução 
ANEEL nº414 de 09 de setembro de 2010, e quem descumpre está sujeito a 
uma espécie de multa que leva em conta o fator de potência medido e a 
energia consumida ao longo de um mês. A mesma resolução estabelece que 
a exigência de medição do fator de potência pelas concessionárias é 
obrigatória para unidades consumidoras de alta tensão (supridas com mais 
de 1000 V) e facultativa para unidades consumidoras de baixa tensão 
(abaixo de 1000 V, como residências em geral). A cobrança em baixa tensão, 
na prática, raramente ocorre, pois o fator de potência deste tipo de unidade 
consumidora geralmente está acima de 0,92. Não compensa, pois demanda a 
instalação de medidores de energia reativa. No Brasil, ainda não existe 
legislação para regulamentar os limites das distorções harmônicas nas 
instalações elétricas. 
22 
Exercícios: Circuitos em Regime Permanente Senoidal 
1. Determinar os circuitos equivalentes de Thévenin e Norton (vistos dos terminais A e B) das 
estruturas apresentadas abaixo.