Lista07 08 2015 Calc1

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Ca´lculo 1 - Insper - Lista 7-8 1
Lista 7/8 - Modelos quadra´ticos e outros modelos
Nı´vel 1
E1) Considere a func¸a˜o f(x) =


−x2 + 4, se − 2 ≤ x ≤ 3
0, se x < −2
x2 − 14, se x > 3
.
a) Construa o gra´fico de f(x).
b) Calcule, se existirem, os limites: i. lim
x→−2
f(x) ii. lim
x→3
f(x).
E2) Bittinger, Ellenbogen e Surgent - 10a. edic¸a˜o - Sec¸a˜o R.6 - pa´g. 76 e 77
◮ Exerc´ıcios 1 a 9
Nı´vel 2
E3) Bittinger, Ellenbogen e Surgent - 10a. edic¸a˜o - Sec¸a˜o R.6 - pa´g. 77
◮ Exerc´ıcios 13 e 15
E4) Considere a func¸a˜o g(x) =


x2 − 2x, se x ≤ 0
−
x
2
, se 0 < x ≤ 2
−x2 + 4x− 4, se x > 2
.
a) Construa o gra´fico de g(x).
b) Calcule, se existirem, os limites: i. lim
x→2−
g(x) ii. lim
x→2+
g(x) iii. lim
x→2
g(x).
E5) E´ dado abaixo o gra´fico de uma func¸a˜o real f , formado pela unia˜o de arcos de para´bolas cujas extremidades
esta˜o identificadas pelos pontos azuis.
x
y
-4 -3 -2
-1
0
1
2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
4
b
b
b b
b
Complete a tabela a seguir, indicando, para cada intervalo dado, se a func¸a˜o e´: 1) crescente e convexa, 2)
crescente e coˆncava, 3) decrescente e convexa, 4) decrescente e coˆncava.
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 7-8 2
intervalo classificac¸a˜o
[−5,−3]
[−3,−1]
[−1, 1]
[1, 3]
[3, 5]
[5, 8]
E6) Considere as func¸o˜es reais f(x) = 2x2 + 3x− 2 e g(x) = −x2 + 4x.
a) Desenhe, no mesmo sistema de coordenadas, os gra´ficos das func¸o˜es f e g.
b) Dada uma constante real p, considere a func¸a˜o h(x) =
{
f(x), se x ≤ p
g(x), se x > p
. Determine todos os valores
de p para os quais a func¸a˜o h e´ cont´ınua.
Nı´vel 3
E7) A produtividade de uma laranjeira depende da a´rea que ela tem para se desenvolver. Um agricultor estima
que, numa determinada a´rea, a produc¸a˜o me´dia sera´ de 500 laranjas por pe´ se forem plantadas 100 laranjeiras.
Essa produtividade, pore´m, cai a uma raza˜o de 10 laranjas por a´rvore para cada pe´ adicional plantado nessa
mesma a´rea.
a) Escreva a produc¸a˜o total do agricultor (P ) em func¸a˜o do nu´mero de a´rvores plantadas (x).
b) Qual o nu´mero total de a´rvores que devem ser plantadas para que a produc¸a˜o seja a maior poss´ıvel?
E8) Uma empresa produz canetas a um custo de R$ 0, 23 a unidade, vendendo-as por R$ 0, 50. Com esse
prec¸o, sua venda mensal chega em me´dia a 10.000 unidades. Pretendendo aumentar o prec¸o do produto, a
empresa encomendou uma pesquisa, que revelou que para cada R$ 0, 10 de aumento no prec¸o unita´rio seriam
vendidas 1.500 canetas a menos a cada meˆs. Com base nesses dados, determine
a) o prec¸o que maximiza o lucro;
b) o lucro ma´ximo.
E9) Um comerciante vende dois tipos de laˆmpadas, L1 e L2, com as seguintes caracter´ısticas:
Laˆmpada Prec¸o unita´rio (R$) Total vendido por meˆs, em me´dia
L1 2, 00 10.000
L2 6, 00 3.000
a) Calcule a receita mensal obtida por esse comerciante com as vendas das laˆmpadas L1 e L2.
b) Pretendendo elevar os prec¸os dos seus produtos, o comerciante encomendou um estudo que revelou que,
para cada R$ 1, 00 de aumento no prec¸o, sera˜o vendidas a menos 2.000 e 500 laˆmpadas dos tipos L1 e L2,
respectivamente. Suponha que, por questo˜es mercadolo´gicas, a raza˜o entre os prec¸os das laˆmpadas L1 e L2
deva ser mantida constante, isto e´, o prec¸o de L2 deve se manter o triplo do prec¸o de L1. De acordo com esses
dados, obtenha a receita mensal R do comerciante, em reais, em func¸a˜o do prec¸o x, em reais, da laˆmpada L1.
c) Qual o prec¸o da laˆmpada L1 que maximiza a receita desse comerciante?
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 7-8 3
E10) Uma empresa fez um levantamento da curva de demanda de determinado bem. Os resultados esta˜o
representados no gra´fico a seguir, em que p e´ o prec¸o do bem, em reais, e q e´ a quantidade demandada.
b
b
b
b
p
q
1000 1200 1450 1600
100, 00
90, 00
80, 00
70, 00
a) Pretende-se construir um modelo matema´tico que represente os dados desse gra´fico. Que tipo de func¸a˜o
voceˆ escolheria para construir esse modelo? Explique como pensou.
b) Considerando o tipo de func¸a˜o que voceˆ indicou no item a, obtenha uma expressa˜o que fornece p em
func¸a˜o de q.
c) Por convanc¸a˜o, e´ comum, em Microeconomia, representar, em uma curva de demanda, o prec¸o p no eixo
das ordenadas (y) e a quantidade q no eixo das abscissas (x). No entanto, poder´ıamos fazer as mesmas ana´lises
e obter os mesmos resultados caso inverteˆssemos os dois eixos. Pensando nisso, obtenha a lei que fornece q em
func¸a˜o de p.
d) Usando a lei obtida no item b, determine a quantidade demandada que maximiza a receita. Com o
resultado obtido, calcule o prec¸o no caso da receita ser ma´xima.
e) Usando a lei obtida no item c, determine o prec¸o que maximiza a receita. Com o resultado obtido, calcule
a quantidade demandada no caso da receita ser ma´xima.
E11) A receita total (R) e o custo total (C) mensais de um jornal dependem da quantidade de co´pias impressas,
distribu´ıdas e vendidas (x), contada em milhares de exemplares. O prec¸o do jornal e´ R$ 2.000,00 por milheiro*
vendido. A direc¸a˜o do jornal esta´ preocupada em modelar adequadamente o custo, para tornar sua operac¸a˜o
financeiramente sauda´vel.
* Milheiro: mil unidades, na contagem de certos produtos.
a) Determine a func¸a˜o receita total R(x) do jornal.
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 7-8 4
b) Num primeiro estudo sobre o custo total, foram obtidas as seguintes informac¸o˜es:
• Existe um custo de produc¸a˜o de conteu´do para o jornal que e´ independente da quantidade impressa.
Esse custo fixo e´ de R$ 30.000,00 mensais.
• Ha´ tambe´m um custo de impressa˜o e distribuic¸a˜o que varia de acordo com a tiragem. Esse custo e´ de
R$ 100,00 por milheiro.
Considerando esse primeiro estudo, determine a func¸a˜o custo total C(x) e calcule quantas unidades precisam
ser vendidas para que a receita total se iguale ao custo total.
c) O jornal contratou uma consultoria de ana´lise financeira que apontou mais dois componentes de custo. O
primeiro e´ o ganho de escala, que faz com que o custo diminua com o aumento de tiragem.
O outra componente corresponde ao fato de que, para vender muitas unidades, e´ necessa´rio distribuir o
jornal para bancas mais afastadas, gerando custos adicionais.
Para considerar o efeito dos dois novos componentes, a consultoria concluiu que a expressa˜o 0, 5x2 − 150x
deve ser somada a` func¸a˜o custo total C(x) obtida no item anterior.
I. Determine a nova func¸a˜o C(x) e calcule a tiragem para que C(x) seja mı´nimo.
II. Obtenha uma expressa˜o que permite obter o lucro total mensal do jornal (L(x)) em func¸a˜o da tiragem
(x).
III. Para qual tiragem esse lucro e´ o maior poss´ıvel?
E12) A janela da figura, formada por um retaˆngulo de largura x e altura y unido a um semic´ırculo, tem
per´ımetro 10 m. Calcule os valores de x e y de modo que a a´rea da janela seja ma´xima.
y
x
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 7-8 5
Respostas
Nı´vel 1
E1) a)
x
y
3 4 50 1 2-1-2-3
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
b) i.0 ii.-5
Nı´vel 2
E4) a)
x
y
3 40 1 2-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
bc
b
b) i.-1 ii.0 iii. na˜o existe
E5)
intervalo classificac¸a˜o
[−5,−3] decrescente e convexa
[−3,−1] decrescente e coˆncava
[−1, 1] decrescente e convexa
[1, 3] crescente e convexa
[3, 5] crescente e coˆncava
[5, 8] decrescente e coˆncava
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 7-8 6
E6) a)
x
y
-2 -1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
f(x)
g(x)
b) p = 1 ou p = − 2
3
Nı´vel 3
E7) a) P = −10x2 + 1500x; b) 75.
E8) a) R$ 0, 70 b) R$ 3.290, 00
E9) a) R$ 38.000, 00; b) R = −6500x2 + 32000x; c) aproximadamente R$ 2, 46.
E10) a) A observac¸a˜o do gra´fico indica que os pontos na˜o esta˜o perfeitamentealinhados, mas e´ poss´ıvel aproxima´-los por
uma reta sem que se cometa grandes erros. Por isso, uma func¸a˜o do 1o grau sera´ escolhida para modelar os pontos.
b) Considerando a reta que passa pelos pontos (1000; 100), (1200; 90) e (1600; 70), obtemos a lei p = −0, 05q + 150.
Observe que ha´ outras retas que podem aproximar bem os pontos do gra´fico. Por isso, dependendo do crite´rio usado,
pode-se obter outro resultado.
c) Considerando os mesmos pontos do item anterior, obtemos a lei q = −20p+ 3000.
d) A quantidade demandada que maximiza a receita e´ 1500. Nesse caso, o prec¸o e´ R$ 75, 00.
e) O prec¸o que maximiza a receita e´ R$ 75, 00. Nesse caso, a quantidade demandada e´ 1500.
E11) a) R(x) = 2000x
b) C(x) = 30000 + 100x; aproximadamente 15,8 mil exemplares
c) I. A nova func¸a˜o e´ C(x) = 30000− 50x+ 0, 5x2; o custo e´ mı´nimo para 50 mil exemplares
II. L(x) = −0, 5x2 + 2050x− 30000
III. 2.050.000 exemplares
E12) x = 20
pi+4
e y = 5− 5 · pi+2
pi+4
(medidas em metros)