Física II - Notas de Aula

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Jonathan T. Quartuccio | / – Física II - Notas de aula 1 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | – Física II - Notas de aula 2 
 
 
 
 
 
 
 
Física II 
Notas de Aula 
Jonathan Tejeda Quartuccio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para Stephanie 
Agora e pra sempre... 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 4 
 
 
 
CONTEÚDO 
Aula 01 – Gravitação Universal 
Aula 02 – Equilíbrio e Elasticidade 
Aula 03 – Fluídos 
Aula 04 – Osciladores I 
Aula 05 – Osciladores II 
Aula 06 – Ondas I 
Aula 07 – Ondas II 
Aula 08 – Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica 
Aula 09 – Lei Geral dos Gases 
Aula 10 – Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 5 
 
AULA 01 – GRAVITAÇÃO UNIVERSAL 
 
Corpos em queda próximos a superfície da Terra sentem uma atração dada por: 
 
 
 
Onde é a aceleração da gravidade. Esse valor é ligeiramente constante quando próximo da 
Terra. Mas vamos supor que tenhamos corpos distantes, e que estejam se atraindo (como a 
Terra e a Lua, por exemplo). Nesse caso, não será mais constante e a força entre eles é dada 
pela Lei da Gravitação Universal de Isaac Newton: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde e são as massas dos corpos, é a distância entre eles e é a constante da 
gravitação, cujo valor é . Se estivermos na superfície da Terra, 
teremos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso é a massa da Terra e é seu raio. 
Vamos supor que exista um objeto muito longe da Terra (tão longe que ). O trabalho 
para trazer esse objeto para nós é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse valor, nós chamamos de energia potencial gravitacional. Note que . 
Sabemos que , ou seja, a energia mecânica é a soma da cinética com a potencial. 
Vamos analisar a energia mecânica com respeito à Terra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 6 
 
Vamos supor agora que estamos nos afastando da Terra com certa velocidade, e estamos 
alcançando a distância do “infinito”. Quando chegarmos ao “infinito” nossa velocidade terá de 
ser zero, pois a energia potencial é zero (se nossa velocidade for diferente de zero, vamos 
continuar aumentando cada vez mais esse espaço infinito). Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a energia se conserva: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E assim nós definimos a velocidade de escape de um objeto sujeito a um campo gravitacional: 
 
 
 
 
 
 
Se o objeto escapa da atração gravitacional, se o objeto é atraido. 
Temos agora um satélite em torno da Terra. A massa do satélite é e estamos supondo que 
 . O satélite gira em torno da Terra num movimento circular, então existe uma força 
resultando apontada para o centro da trajetória. Essa força resultado (a centrípeta) e causada 
pela força da gravidade. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, é a distância da Terra ao satélite. Isolando a velocidade encontramos: 
 
 
 
 
 
Que é a velocidade orbital. 
O período será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 7 
 
 
Leis de Kepler 
As leis de Kepler são as seguintes: 
1) As órbitas descritas pelos planetas são elipses, com o Sol ocupando um de seus focos. 
2) Os planetas percorrem áreas iguais em tempos iguais. 
3) Existe uma relação entre o quadrado dos períodos dos planetas e o cubo de seus raios 
médios (distancias). Essa relação é constante e é dada por: 
 
 
 
 
O valor é chamado de constante de Kepler. 
Um corpo orbitando outro sente uma força resultante apontada para o centro da trajetória. 
Essa força, chamada de centrípeta, pode ser escrita como: 
 
 
 
Nesse caso, é chamada de aceleração centrípeta. A aceleração centrípeta é calculada como: 
 
 
 
 
 
Então, a força centrípeta será: 
 
 
 
 
 
Como estamos trabalhando não com um movimento linear, mas sim circular, podemos 
escrever e lembrar que , então: 
 
 
 
 
 
 
Dessa maneira, a força será dada por: 
 
 
 
 
 
Vamos multiplicar o numerador e denominador por : 
 
 
 
 
 
Pela terceira lei de Kepler , então: 
 
 
 
 
 
E assim, como há dois corpos envolvidos: 
 
 
 
 
 
Um corpo com velocidade apresenta um momento linear dado por . Vamos voltar 
para o caso do satélite em torno da Terra. Por mais que o movimento do satélite seja através 
de um círculo, o mesmo possui uma velocidade tangencial (e nesse caso um momento linear). 
Seja a distância até a Terra, o momento angular será dado por: 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 8 
 
Em qualquer instante, o momento angular permanecerá o mesmo. Então: 
 
 
 
 
 
Ou seja, nesse caso a gravidade não realiza torque algum. 
Vamos nos ficar na energia mecânica relacionado com as elipses. 
 
Perigeu (P) é o ponto mais próximo do Sol ( ) enquanto que o apogeu (A) é o ponto mais 
distante. 
 
 
Sendo , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E o período será: 
 
 
 
 
 
Pela terceira Lei de Kepler: 
 
 
 
 
 
 
 
A aceleração da gravidade 
Como dissemos anteriormente, a aceleração da gravidade não é constante, ela varia com a 
altura. Para um corpo na superfície da Terra, a aceleração da gravidade vale: 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 9 
 
 
 
 
 
Agora, o corpo está a uma distância da Terra, de modo que a distância total será . 
Então, a aceleração da gravidade será: 
 
 
 
 
 
Como o denominador está aumentando, o valor de tem de diminuir. Portanto, quanto mais 
distante menor o valor da aceleração da gravidade. De uma maneira geral, numa altura 
(distância) temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A aceleração da gravidade varia com a altitude e também com a aceleração angular de 
maneira que: 
 
 
 
 
A superposição 
Sabemos que corpos com massa atraem outros corpos com massa, com uma força que é 
inversamente proporcional ao quadrado das distâncias. Temos agora um conjunto de corpos 
interagindo. Então: 
 
 
 
 
 
Que pode ser escrito como: 
Para uma distribuição contínua de massas: 
 
 
Gravitação no Interior de uma casca Esférica 
Um objeto no centro de uma casca uniforme de matéria não sentirá a atração gravitacional. A 
força exercida sobre o objeto será devida á massa existente somente na parte interna dessa 
casca, que está a uma distância do centro (a força resultante será nula). Então, a massa 
interna será: 
 
 
 
 
 
Onde é a massa específica da esfera. 
Vamos provar que a força da gravidadediminui à medida que nos aproximamos do centro da 
Terra. Vamos supor que exista um túnel que nos leve para o centro: 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 10 
 
 
A força da gravidade é dada por: 
 
 
 
 
 
Vamos escrever em termos da densidade da Terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, , então se o raio diminui a força da gravidade também diminui. 
 
A Teoria da Relatividade 
Em 1905 Albert Einstein escreveu um artigo mostrando que é desnecessária à existência de 
algo que os físicos de sua época acreditavam permear o universo: éter. Contudo, era preciso 
abandonar a ideia de tempo absoluto. O que Einstein escreveu em seu artigo é que as leis da 
física devem ser as mesmas para qualquer observador, independente de sua velocidade. Para 
Einstein, todos os observadores devem medir a mesma velocidade da luz, independente se 
estão se movendo no mesmo sentido ou no sentido contrario a fonte de luz. Para que todos os 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 11 
 
observadores possam medir a mesma velocidade da luz, era preciso abandonar o conceito de 
tempo absoluto. 
Para analisarmos a questão do tempo, vamos imaginar novamente o trem (que foi visto na 
parte anterior). Suponha que uma pessoa dentro do trem acenda uma lanterna, enquanto uma 
pessoa na plataforma observa. Como o trem está em movimento, as duas pessoas medem 
distâncias diferentes na qual a luz percorreu. Sabemos que a velocidade é a variação de espaço 
sobre tempo, portanto se a medição da distância for diferente entre os observadores o mesmo 
acontecerá com o tempo. Dessa forma, cada observador tem sua medida de tempo. Essa 
publicação de Einstein deu origem ao que chamamos de relatividade restrita. O tempo não 
passou ser visto como um elemento a parte do espaço, pelo contrario, tempo e espaço estão 
interligados. 
Um desfecho da relatividade restrita é que a energia de um corpo é diretamente proporcional 
a sua massa multiplicada pela velocidade da luz ao quadrado. Isso originou a equação mais 
conhecida de todos os tempos: E= mc². Se a massa de um corpo aumenta, sua energia também 
irá aumentar por isso nada poderá percorrer uma velocidade maior que a da luz. Cada vez que 
um corpo aumenta sua velocidade, ele aumenta sua massa e por essa razão será preciso mais 
energia para movê-lo. Se o corpo ultrapassar a velocidade da luz, sua massa será estendida ao 
infinito e o corpo precisará de energia infinita para se mover, mas a energia em todo o 
universo é finita. 
E o que isso tem de errado com a física? 
Até o tempo de Einstein, o universo era tido de acordo com o modelo newtoniano. Mas o que 
Newton dizia sobre o universo? Embora Newton houvesse descoberto a gravitação e 
enunciado suas leis em seu famoso livro, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ele 
desconhecia o fator que causava gravidade. Por outro lado, ele mostrou que, se de repente, o 
Sol sumisse todos os planetas abandonariam suas órbitas instantaneamente e fugiriam em 
direção ao espaço. 
Contudo, essa observação não estava de acordo com a relatividade de Einstein. A relatividade 
mostra que nada, nem mesmo a gravidade, pode ser mais rápida que a luz. Portanto, se o Sol 
desaparecer iremos primeiro ficar sem o seu brilho, para depois sentirmos falta de sua 
influência gravitacional. Einstein, portanto, dedicou-se a encontrar uma teoria que descrevesse 
a força gravitacional. 
Por alguns anos, Albert Einstein se dedicou a uma nova teoria, e a construiu. Ele tinha o tempo 
como parte do universo. Espaço e tempo estavam interligados, num universo de quatro 
dimensões. E tudo no universo seguia as mesmas leis da natureza. Para explicar a gravidade de 
Newton, Einstein mostrou que os corpos celestes estão sobre uma espécie de tecido cósmico. 
Devido ao peso dos corpos, esse tecido cósmico se curva para dentro. Basta imaginar uma 
folha de borracha. Coloque sobre essa folha de borracha uma esfera de ferro, a folha irá 
curvar-se devido ao peso da esfera. Se você lançar uma esfera menor de um lado a outro da 
folha, a mesma irá dar voltas em torno da esfera maior. A esfera maior seria o Sol e a esfera 
menor os planetas, enquanto a folha de borracha seria o tecido do espaço. Essa ideia ficou 
conhecida como relatividade geral. 
 
Quanto maior o peso de um corpo, maior a curvatura do espaço a sua volta e 
consequentemente maior atração gravitacional. Karl Schwarzchild propôs, em 1916, a 
existência de regiões do espaço de densidade infinita. Schwarzchild mostrou que se a matéria 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 12 
 
for concentrada num espaço extremamente pequeno, ela criará uma região onde a gravidade 
é tão grande que nem mesmo a luz conseguiria escapar. Essa matéria iria criar o chamado 
buraco negro. Einstein não estava certo se isso poderia ocorrer. Mas a sua preocupação maior 
no momento era outra. Ele já estava fascinado com o eletromagnetismo de Maxwell, e seu 
desejo, agora, era juntar a relatividade geral com o eletromagnetismo em uma única teoria, 
uma teoria que ele escreveria tudo no universo, uma teoria de tudo. Porem havia algumas 
complicações. Uma delas é que a relatividade não possuía uma explicação para o surgimento 
do universo. Outra complicação é que a força gravitacional parecia ser bem mais fraca que a 
força eletromagnética. Quando uma teoria encontra complicações, ela precisa ser mudada. Em 
seus últimos anos de vida, o criador da relatividade buscou encontrar sua teoria de tudo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 13 
 
AULA 02 – EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE 
 
Para um objeto estar em equilíbrio estático devemos ter: 
 
 
 
 
 
Tomemos um objeto qualquer onde definimos o centro de massa CM. 
 
Nesse caso, as forças produzem um torque. Ou seja, não há equilíbrio estático. 
Temos uma rampa (que pode ser uma escada apoiada em uma parede, por exemplo), como na 
figura a seguir: 
 
No ponto P, temos a escada encostada na parede. E no ponto Q temos a escada encostada no 
chão. O atrito em P é nulo, assim: 
 
No ponto Q, teremos: 
 
Temos que M é a massa da escada e é o seu comprimento. 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 14 
 
 
 
O ponto c é o centro de massa da escada e a mesma forma um ângulo com o chão. É fácil 
notar que (já vimos isso muitas vezes no dia-dia) se o ângulo for muito pequeno a escada vai 
deslizar. Tentaremos compreender qual o valor do ângulo a fim de que a escada não deslize. 
As forças que agem sobre a escada são dadas na figura: 
 
No centro de massa temos a força da gravidade agindo sobre a escada. Caso a escada deslize, 
temos uma força de atrito no sentido oposto. No ponto Q temos uma normal e em P, como 
não há atrito, temos, também, uma normal. 
Assim: 
 
O que significa que a normal de P deve ser igual ao atrito. Então: 
 
 
Como as forças em y devem ser zero: 
 
Temos que: 
 
Não importa o ponto que escolhemos, podemos escolher um ponto na parede, na escada ou 
em qualquer outro lugar.Por simplicidade, escolhemos o ponto Q, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não queremos que nossa escada deslize. Então, devemos ter: 
 
Assim: 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esses dois valores obtidos nos dão a condição para que nossa escada fique estável. Esses 
valores nos dizem que quanto maior o menor é o ângulo. Então, se o ângulo é muito 
pequeno, a escada começa a deslizar. Vamos treinar nossa intuição. Suponha que temos um 
determinado ângulo, que é o ângulo crítico (ou seja, a escada está na eminência do 
deslizamento). Agora, vamos supor que alguém comece a subir pela escada, partindo do ponto 
Q e indo até o ponto P. O que ocorrerá? A escada vai deslizar assim que o sujeito começar a 
andar por ela? Ou então a escada ficará mais estável? 
Vamos colocar uma pessoa de massa m na escada. Vamos supor que ela esteja a uma distância 
d do ponto Q. 
 
Existe uma força agindo sobre a pessoa. Vamos refazer todos nossos cálculos. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas agora nós temos um terceiro elemento, que é o vetor posição, dado por d. 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Perceba que a força de atrito está aumentando, pois estamos somando 
 
 
, que não tínhamos 
anteriormente. Se o atrito aumenta, e nossa escada estava no limite de deslizar, então você 
pode pensar que a mesma começará a deslizar. O atrito máximo também aumentou. Portanto 
devemos fazer uma comparação. A melhor maneira de fazer essa comparação é adotar d igual 
à zero. A pessoa começa a subir a escada a partir do ponto Q. Quando d é igual à zero, a força 
de atrito final é igual à força de atrito inicial. Porém, o atrito máximo altera, pois ele apresenta 
o termo m (estamos somando ). O valor do atrito máximo é independente da distância. 
Se o atrito máximo aumenta, mas o atrito permanece o mesmo, então a escada fica mais 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 16 
 
estável. Portanto, no ponto Q a escada não irá deslizar, pelo contrário, ela ficará mais firme. 
Mas a medida que a pessoa começa a subir, nossa força de atrito vai mudando, pois o valor de 
d vai aumentando. Porém, o atrito máximo permanece sempre o mesmo. Então, chega um 
momento em que . Quando isso ocorre, a escada desliza. Portanto, de uma 
maneira geral, a escada não deslizará quando: 
 
Esse é o caso quando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos discutir aqui uma importante aplicação desse conceito de atrito. Iremos ver como é 
possível sustentar algo pesado por um bom tempo sem fazer muita força. Vamos enrolar uma 
corda em torno de uma haste, por exemplo, e usaremos o atrito entre elas para sustentar 
nosso objeto. Vamos passar uma corda por uma haste e em uma ponta da corda colocaremos 
um peso de massa M e na outra um peso de massa m. As tensões na corda são dadas como 
mostrado na figura: 
 
Se não houver tração na barra, então T1 será igual ou próximo de T2. Mas se recorrermos ao 
atrito, então poderemos ter uma situação de equilíbrio estático, de modo que nenhuma bloco 
irá se mover. Assim, poderemos ter T1 >>> T2. 
Vamos analisar melhor esse caso. Temos que R é o raio de nossa haste: 
 
Estamos supondo que o puxão em T2 é bem maior que em T1. Então, a corda irá deslizar no 
seguinte sentido: 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 17 
 
 
Imagine agora que a corda seja dividida em vários pedacinhos. Como a corda está deslizando, 
cada pedacinho (logicamente) está deslizando junto. Sendo assim, existe um atrito na direção 
contrária, um atrito em cada pedacinho da corda. 
 
Como existe um atrito, podemos imaginar que essa força auxilia T1 a segurar o peso em T2. 
Para calcular esse atrito, devemos tomar uma integral de todos os valores dos atritos na corda. 
Existe um ângulo formado entre os extremos dos pedacinhos da corda. Quando resolvemos 
nossa integral e nossas derivações encontramos: 
 
 
 
Suponhamos que temos uma corda, na qual serão dadas três voltas em torno da haste. Então, 
temos que . Vamos supor que . Assim, temos que: 
 
Ou seja, a força do lado de T1 é 40 vezes menor que T2, ou seja, podemos aplicar uma força 40 
vezes menor que o peso aplica de modo que sustentemos o mesmo. Se dermos seis voltas, 
nosso valor final será 2.000. Isso significa que se de um lado temos um peso igual a 10.000 kg, 
do outro lado podemos colocar um peso de 5 kg que manteremos o equilíbrio (na eminência 
de deslizamento). 
Agora, digamos que eu queira levantar os 10.000 kg puxando a corda com uma força um 
pouco maior que 50 N. Seria possível fazer isso? 
De forma alguma eu conseguirei puxar o peso de 10.000 kg para cima. Se eu tento fazer isso, 
eu inverto completamente a situação e coloco o atrito a favor dos 10.000 kg. Em outras 
palavras, T1 se torna T2, o que nos fornecerá: 
 
 
 
Desse modo, se eu quero levantar os 10.000 kg dando seis voltas com a corda em torno da 
haste, eu terei de fazer uma força 2.000 vezes maior que 10.000 kg. Assim, eu precisarei de 20 
milhões de quilogramas. 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 18 
 
Podemos enrolar a corda em torno de uma haste até chegar um ponto em que o próprio peso 
da corda segurará o peso do outro lado, sem a necessidade de segurarmos. 
Temos um objeto qualquer, e vamos fixa-lo (pode ser numa parede) num ponto P. O centro de 
massa é dado por CM. Então: 
 
 
Temos que é a força peso agindo sobre o centro de massa e é o vetor posição do ponto 
P. Dessa maneira, temos que o objeto sofrerá um giro em torno de P. Então: 
 
 
 
Onde é a aceleração angular. 
Sabemos que para ter uma situação de equilíbrio estático, devemos ter: 
 
 
A natureza resolve esse problema, colocando sempre o centro de massa numa mesma linha 
vertical que P. 
Dessa maneira, não importa qual ponto escolhemos. Pode ser um ponto dentro do objeto, ou 
pode ser um ponto fora do objeto, como P e CM estão na mesma linha, o torque é nulo. 
 
 
Temos que para um objeto estar em equilíbrio, além do torque, a soma das forças devem ser 
zero. Perceba que: 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 19 
 
 
Assim, a soma das forças é zero. 
Pense em um pêndulo, por exemplo: 
 
O pêndulo está em equilíbrio estático. 
O centro de massa do objeto sempre estará abaixo do ponto de suspensão. 
Vamos pensar agora num equilibrista em cima de uma corda. 
 
 
 
O centro de massa do equilibrista encontra-se próximo de seu peito. Então, existe uma 
distância do centro de massa até a corda, que vamos adotar sendo de um metro. A massa do 
equilibrista é cerca de 70 kg. O equilibrista segura duas barras verticais em suas mãos, com um 
peso de 5 kg na ponta de cada uma. 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 20 
 
 
A massa das barras é desprezível e vamos imaginar que cada barra mede10 metros de 
comprimento (contando a partir da corda). Temos que 70 kg estão em cima da corda e 10 kg 
estão 10 metros abaixo da corda. O centro de massa total do sistema ficará um pouco abaixo 
da corda. Por essa razão o equilibrista mantém seu equilíbrio. 
 
Elasticidade 
 
Temos uma mola: 
 
A mola sofre uma deformação de comprimento , de maneira que é proporcional à força: 
 
 
 
Se dobrarmos a força iremos dobrar o comprimento. Se tivermos duas molas é série, a 
deformação será maior, de forma que: 
 
 
 
Agora, vamos tomar duas molas em paralelo: 
 
Agora surgem duas forças de resistência oposta (se fossem três molas, seriam três forças e 
assim sucessivamente). Nesse caso quanto mais molas tivermos, menor será a deformação. 
Assim: 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 21 
 
 
 
 
 
 
Tomando um cilindro, ou pedaço de corda: 
 
Claramente, aumentando a força aumentamos o comprimento do cilindro. Então . 
Vamos tomar agora dois cilindros em paralelo. 
 
Da mesma maneira que a mola surgem duas forças opostas. Podemos imaginar esses dois 
cilindros como um único cilindro maior, de área . 
 
Nesse caso: 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 22 
 
Onde é o módulo de Young. é a tensão (stress) e é a deformação (strain). Vamos 
ver um exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o aço, 
Nesse caso: 
 
Para o nylon, 
 
 
Se torna-se muito grande, podemos romper nosso material. Antes de o nosso material 
arrebentar a força deixa de ser proporcional à deformação. Quando deixamos de aplicar a 
força, o material não volta ao tamanho original (deformação permanente). 
 
 
 
0 0.04 0.08 0.12 0.16
Strain
0
300
600
900
1200
S
tr
es
s 
(M
P
a)
6Al-4V Titanium Alloy
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 23 
 
No limite elástico ocorre a deformação permanente. 
De uma maneira geral: 
 
 
Se uma força é aplicada horizontalmente sobre um objeto, temos a chamada tensão de 
cisalhamento: 
 
Nesse caso: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde é chamado módulo de cisalhamento. 
Enquanto que o módulo de Young está relacionado com o valor da alteração do comprimento 
do fio, a tensão de cisalhamento relaciona a deformação. Se em um objeto existem forças 
aplicadas uniformemente em todas as direções, temos a compressão uniforme ou pressão 
hidrostática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 24 
 
AULA 03 – FLUÍDOS 
 
Temos um fluído, que pode ser um gás ou um líquido. Esse fluído está dentro de um recipiente 
e nós iremos aplicar uma força sobre um embolo de área A. Assim, definimos a pressão como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O princípio de Pascal diz que uma força aplicada em um líquido se transmite por todos os 
pontos do líquido e nas paredes do recipiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao aplicar uma força no embolo, o mesmo irá deslocar uma distância . Do outro lado, o 
outro embolo também irá deslocar uma distância , só que para cima. Assim, devemos ter 
pelo princípio de Pascal: 
 
 
 
A relação nos diz que, se colocarmos um objeto de 10 kg de um lado, podemos erguer 
um objeto de 1000 kg do outro lado. Esse é o funcionamento da prensa hidráulica. 
O trabalho realizado nesse processo é: 
 
 
 
Assim, o trabalho PE convertido em energia potencial gravitacional. 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 25 
 
 
A densidade do líquido dentro da caixa . Como o fluído está em equilíbrio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso limite de : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
À medida que aumentamos o valor de (ou seja, à medida que vamos “escapando” do fluido) 
a pressão diminui. Quando aplicamos uma força num fluido, podemos fazer com que o volume 
fique menor. Quando isso ocorre, o fluido sofre uma compressibilidade. Se o volume não 
diminui, o fluido é incompressível. 
Vamos integra nossa pressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E essa é a lei de Pascal, que pode ser escrita como: . 
Num fluido, podemos imaginar que exista uma coluna desse fluido sobre um corpo. Essa 
coluna possui uma área . A altura da coluna é a diferença . Em temos uma 
pressão e em temos uma pressão , de maneira que . O peso dessa coluna é 
dado por: 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 26 
 
 
 
 
 
 
No nível do mar, a pressão é igual a . Toda essa pressão atmosférica está 
agindo sobre nós, porém ela é distribuída em todas as direções. Torricelli mediu a pressão 
atmosférica utilizando mercúrio (760 mmHg). 
 
 
Hidrostática 
 
Temos um cilindro flutuando num líquido. 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 27 
 
O cilindro possui um comprimento L, uma densidade e uma área A. O líquido possui uma 
densidade . Nosso cilindro está em equilíbrio, logo: 
 
 
 
 
 
O valor chamado de buoyant force (empuxo). Então: 
 
 
 
E note que esse valor é igual ao peso do fluído. 
Assim, podemos compreender o princípio de Arquimedes: 
“O empuxo de um objeto é igual ao peso do líquido deslocado” 
Estudando o peso de uma coroa submersa, Arquimedes mostrou que: 
 
 
 
Quando submersa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
Como , temos: 
 
 
 
Tomemos um iceberg: 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 28 
 
Nosso iceberg possui uma massa m e V é o volume total. Temos que 
 , que 
é menor que a água ( ). Como o iceberg está em equilíbrio a força peso 
tem de ser igual ao empuxo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isso quer dizer que 92% do iceberg está submerso. 
Voltando ao caso do cilindro, queremos saber a condição para que ele flutue. Para que isso 
ocorra devemos ter: 
 
 
 
Como : 
 
E isso independe do tamanho do objeto. Depende apenas da densidade. 
Temos um objeto flutuando onde CM é o centro de massa: 
 
Mesmo o centro de massa estando deslocado do centro geométrico, podemos supor que o 
empuxo irá agir no centro do objeto. Logo ocorrerá um torque no sentido mostrado. Não 
importa onde o empuxo seja aplicado (na verdade, o empuxo é aplicado em todos os pontos) 
sempre ocorrerá um torque. Quandonão haverá torque. Temos um cilindro num 
fluído: 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 29 
 
Nesse caso, a força peso está agindo no centro de massa do cilindro, enquanto que o empuxo 
está agindo no centro de massa do líquido (em relação ao cilindro). Se eu inclinar meu cilindro 
ocorrerá um torque. 
 
Agora, vamos supor que o centro de massa do cilindro esteja fora do líquido. 
 
 
 
Isso fará com que o cilindro vira. Por essa razão, o centro de massa de navios devem estar 
abaixo da água. 
Temos um balão cheio de gás. A massa total é dada por . O volume do 
balão é dado por V. A densidade do gás dentro do balão é e a densidade do ar (fora do 
balão) é . 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 30 
 
 
Para o balão subir devemos ter: 
 
 
 
Logo: 
 
 
Algo não muito intuitivo acontece agora. Temos uma maçã presa á uma corda e um balão 
dentro de uma caixa: 
 
Claramente, se eu cortar as cordas a maçã irá cair e o balão irá subir. Agora, vamos imaginar 
que essa caixa esteja no espaço e não existem as cordas, portanto, a maçã e o balão estarão 
flutuando. Vamos supor que um astronauta esteja junto nessa caixa. 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 31 
 
 
Vou colocar uma turbina na minha caixa e criarei uma aceleração no sentido contrário ao 
movimento (criarei uma “falsa” gravidade). 
 
Ou seja, a maçã e o astronauta irão “cair” enquanto que o balão irá subir (análogo ao 
movimento na superfície da Terra). Agora, ao invés de acelerar para cima vou aceleração para 
o lado. O que será que irá ocorrer? 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 32 
 
 
Enquanto que a maçã e o astronauta vão no sentido de , o balão vai no sentido da 
aceleração. Pense por um instante nisso! 
 
Equação de Bernoulli 
 
Agora vamos fazer uma relação com a energia cinética e a energia potencial. Temos um fluído 
incompressível passando pelo seguinte trajeto: 
 
Nesse caso é a velocidade do líquido (fluído). Note que é maior que pois a área é 
menor que . Se o líquido não estiver se movendo, teremos e . Então: 
 
 
 
Temos que nada mais é do que energia por volume e é a energia potencial 
gravitacional por volume. Se o líquido estiver se movendo teremos: 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que nos fornece: 
 
 
 
 
 
 
Pois m/V = . 
Então, a equação de Bernoulli é dada por: 
 
 
 
 
 
Vamos manter o valor da altura constante: 
 
A mesma quantidade de fluído que passa por um ponto é igual a quantidade que passa por 
qualquer outro ponto. De forma geral . Como é maior que então tem que 
ser menor que . A vazão (quantidade de fluído que passa por um ponto) é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A razão de vazão é: 
 
 
O volume pode ser dado pela vazão multiplicada pelo tempo: 
 
 
 
Temos um sifão. Existe, inicialmente, ar dentro do tubo. Podemos colocar a boca em e 
sugar a água. Note que as pressões são iguais. Portanto: 
 
 
 
 
 
 
Como as pressões são iguais elas não aparecem na equação. Sendo : 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 34 
 
 
Temos um funil com uma bolinha de isopor dentro (faça essa experiência). Se eu soprar o funil 
de maneira a fazer a bolinha subir, eu não conseguirei: 
 
Na região em azul a área por onde meu sopro passa é menor (área entre o funil e a bolinha). 
Como a área nesse ponto é pequena a velocidade é grande. Velocidades grandes implicam 
pressões menores, portanto, nesse ponto a pressão é pequena e minha bolinha não sobe. Se 
eu inverter o funil para baixo e soprar, a bolinha não irá cair (devido à baixa pressão sobre ela). 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 35 
 
Uma asa de avião possui a seguinte forma: 
 
O formato da asa do avião faz com que a pressão em cima da asa seja menor que a pressão em 
baixo. Logo a força é menor que . Da mesma maneira a velocidade é maior que a 
velocidade . 
 
Viscosidade e Turbulência 
 
Viscosidade é equivalente ao atrito. Se não houver viscosidade não haverá dissipação de 
energia. A trajetória de um pequeno elemento do fluído é chamado de corrente. 
 
 
 
Se as linhas de corrente se fecham, temos um fluxo rotacional chamado vórtice. 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 37 
 
AULA 04 – OSCILADORES I 
 
Nessa aula trataremos de oscilações e movimentos periódicos. De uma maneira geral, nosso 
cotidiano está repleto de movimentos periódicos. Um prato girando numa mesa, um relógio, 
uma roda, enquanto tomamos um suco, etc., tudo está envolvido com movimentos periódicos. 
Temos uma mola: 
 
Quando esticamos a mola, surge uma força contrária que a puxa para sua posição de equilíbrio 
(comprimento inicial). 
Há uma relação dessa força com a deformação x da mola. 
 
Se aumentarmos a mola 3 vezes mais, a força aumentará 3 vezes mais. Com isso, temos a Lei 
de Hooke: 
 
 
 
Onde K é a constante da mola. 
O sinal negativo mostra que a deformação é oposta à força da mola. Dizemos que essa força é 
uma força restauradora. 
Como é possível medir a constante da mola? 
Podemos usar a gravidade. 
 
Não há aceleração, pois o sistema está em equilíbrio. Com isso podemos utilizar diferentes 
pesos a fim de alterar o valor de F, e consequentemente da deformação x. Fazendo isso e 
obtendo os resultados em um gráfico: 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 38 
 
 
Assim, temos que: 
 
 
 
 
Podemos ir colocando vários pesos sobre a mola e ao final, retirando os pesos, a mola voltará 
ao seu tamanho original. Ou seja, ela se comporta de acordo com a lei de Hooke. 
Porém, podemos pegar uma mola e estica-la até o ponto em que já não se comporte de 
acordo com a lei de Hooke. Se isso acontece a mola não voltará ao seu tamanho original. 
Ocasionaremos uma deformação permanente em nossa mola. Ou seja, existe um limite para a 
deformação. 
Se nós aplicamos uma força muito grande na mola, chegará um momento em que a força 
aplicada será constante e a deformação começará a aumentar. Ao soltar a mola, ela tomará 
um comprimento maior do que tinha anteriormente. 
 
Há outras maneiras de medir o valor de K. 
Vamostomar um bloco em uma superfície sem atrito. 
 
Digamos que esse sistema comece a oscilar (entre x e x = 0). 
O período de oscilação é dado por: 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 39 
 
 
 
 
 
 
 
O período não depende da minha deformação (não depende do intervalo de x e x = 0). 
Estamos analisando um caso ideal, ou seja: a mola tem massa desprezível e a lei de Hooke está 
presente. 
Vamos escrever a segunda lei de Newton para nosso sistema: 
 
 
 
 
 
Dividindo tudo por m: 
 
 
 
 
 
 
 
E assim obtemos uma equação diferencial. 
Um objeto que oscila descreve um movimento dado como: 
 
Se observarmos o gráfico de um objeto oscilante, teríamos algo parecido com um senóide ou 
cossenóide. 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos substituir essa equação na equação diferencial. 
Eu tenho que: 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 40 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
O que nos dá: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
“A” não é zero, pois como há uma velocidade existe uma amplitude. Portanto, tem de 
ser zero. 
Com isso, temos as possíveis respostas: 
 
 
 
 
 
 
 
Para a velocidade: 
 
Se 
 
 
, o . 
Assim: 
 
 
 
 
 
Se escolhêssemos o 
 
 
, teríamos: 
 
 
 
 
O que não mudaria nada. Ou seja, A e são apenas condições iniciais do movimento. 
A oscilação é independente da amplitude. 
Tomemos um objeto de massa m1 que vai oscilar de um ponto á outro. Faremos isso 
experimentalmente. 
 
Nós iremos contar 10 períodos de oscilação e depois mudaremos a amplitude. 
 
 
Tomando uma massa diferente: 
 
Vamos medir 10 períodos: 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 41 
 
 
 
 
 
Fazendo uma previsão: 
 
Fazendo A = 35 cm. 
 
Tomemos um pêndulo. 
 
Decompondo a tensão T em y e x. 
Em x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em y: 
 
 
 
 
Resolver essas equações diferenciais acopladas é uma tarefa impossível. O que iremos fazer é 
uma aproximação. Em física, quando algo oscila nós usamos os chamados “aproximação por 
pequenos ângulos”. Ou seja, 
Assim: 
 
Essa é a nossa primeira consequência. 
A segunda consequência: perceba que o espaço de x = 0 para x é bem maior do que x = 0 para 
y (ver figura anterior). Com isso, podemos dizer que: 
 
 
 
Ou seja, a aceleração em y é quase zero. 
Portanto, na equação II: 
 
 
Substituindo em I: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 42 
 
Esse resultado representa uma oscilação harmônica simples. 
Com isso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, o período é proporcional ao comprimento da corda. Se eu diminuo a corda pela 
metade o mesmo deve ocorrer com o período. 
Vamos analisar o período de uma mola e de um pêndulo. 
Mola: 
 
 
 
 
Pêndulo: 
 
 
 
 
Perceba que para o pêndulo, o período não depende da massa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 43 
 
AULA 05 – OSCILADORES II 
 
Temos um objeto de massa m em um campo gravitacional. 
 
Como esse é um problema unidimensional, podemos escrever, para a força da gravidade, 
simplesmente: 
 
O sinal negativo é importante, pois ele mostra que a força é no sentido contrário à trajetória. 
Eu posso escolher um nível e adotar esse nível como minha altura inicial (ou seja, y = 0). Nesse 
ponto eu tenho energia potencial gravitacional igual a zero. Qualquer outro ponto acima me 
dá . 
 
Eu posso fazer um gráfico da energia potencial gravitacional em função de y. 
 
Se eu movo um objeto de A para B, eu estou realizando um trabalho positivo. Se eu faço um 
trabalho positivo, a gravidade faz um trabalho negativo. 
Se o objeto vai de A para B’, eu realizo um trabalho negativo e nesse caso a gravidade faz um 
trabalho positivo. 
Eu poderia ter escolhido meu ponto de energia potencial gravitacional igual à zero em 
qualquer outro lugar. Eu poderia ter escolhido em B, por exemplo. 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 44 
 
 
Perceba que isso não muda nada. Se eu for de A para B, meu trabalho continuará sendo 
positivo. 
Quando você está próximo da Terra você é livre para escolher seu ponto zero (onde a altura é 
zero). 
Agora, vamos para uma situação em que não estamos mais próximos da Terra. 
 
Como esse é um problema unidimensional, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em um gráfico: 
 
Se eu mover um objeto de A para B, minha energia potencial está aumentando e meu trabalho 
é positivo. 
Perceba que, a força da gravidade é sempre oposta ao sentido positivo da energia potencial. 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 45 
 
 
Agora usaremos uma mola, de comprimento l. 
 
Como eu estou puxando a mola no ponto B, eu crio uma força contrária à força elástica. Eu 
posso calcular o trabalho para aumentar o tamanho da mola de A para B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse valor é o que chamamos de energia potencial da mola. 
Aqui nós também podemos escolher onde colocaremos a energia potencial igual à zero. 
Fazendo um gráfico. 
 
Em A e B temos as forças indo no sentido contrário ao aumento da energia potencial. 
Portanto, temos uma força restauradora. 
As forças sempre vão no sentido contrário à energia potencial. A força conduz o objeto a 
diminuir sua energia potencial. 
Agora surge uma pergunta: se nós conhecemos a energia potencial, nós podemos encontrar a 
força? E a resposta é sim. 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 46 
 
Utilizaremos nossa mola: 
 
 
 
 
 
 
 
Mas a força da mola é negativa, então: 
 
 
 
Com isso, temos: 
 
 
 
Se tivermos uma situação tridimensional, tanto a força quanto a energia potencial estão em 
função de nossas três coordenadas. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essas derivadas são chamadas de derivadas parciais, e são representadas por . 
Voltemos à situação próximo a Terra.Agora não estamos mais próximos da Terra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, sempre que temos uma energia potencial em função do espaço nós podemos encontrar 
as três componentes da força. 
Vamos supor que eu tenha uma superfície curva. 
 
 
 
Há pontos em que 
 
 
 . São eles: a, b, c, d, e. 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 47 
 
Isso significa que: 
 
Nesses pontos o objeto está parado. 
Porém há uma diferença entre os pontos “a” e “b”, por exemplo. Digamos que eu coloque uma 
bola de gude em a. Se eu fizer uma força, por menor que seja, a bola de gude vai cair para 
algum lado, ela vai diminuir sua energia potencial. Se a bola de gude estiver em b, e nós 
aplicarmos uma força à ela, a mesma voltará à b, pois sua energia potencial é menor. Em b, 
nós temos o que chamamos de equilíbrio estável e em a nós temos o equilíbrio instável. 
Retornemos à mola. 
Podemos utilizar a energia potencial da mola e mostrar que um objeto que oscila na mola 
segue um movimento harmônico simples. 
 
Temos um objeto oscilando entre um x máximo positivo e um x máximo negativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E esse resultado nós sabemos que representa um movimento harmônico simples. 
Temos assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Iremos analisar uma oscilação através de uma pista circular perfeita. 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando a aproximação por pequenos ângulos, podemos tomar um valor que nos dará um 
bom resultado. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então: 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E essa equação é uma oscilação harmônica simples. 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
E como podemos ver isso é bem parecido com um pêndulo. 
A força da gravidade é a que faz trabalho. Por mais que exista uma tensão, como é o caso do 
pêndulo, ou uma força normal (que é o caso de um corpo num movimento circular), será que 
apenas a gravidade faz trabalho? 
Quando eu quase me matei com o pêndulo (em física I), eu estava crente na conservação de 
energia que acabei ignorando a tensão. 
É possível a tensão fazer trabalho? Se for esse o caso eu poderia ter morrido. E a normal? É 
possível que ela faça trabalho? 
A resposta é não! 
Essas forças são sempre perpendiculares à direção do movimento. Uma vez que o trabalho é o 
produto escalar entre a força e a direção do movimento, nem a tensão nem a força normal faz 
qualquer trabalho. 
 
Na prática, um objeto que oscila sempre dissipa energia. 
 
Temos uma força oposta ao movimento dada por , onde é uma constante de 
amortecimento. No caso geral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo: 
 
 
 
 
 
 
 
Tratamos de pêndulos simples, agora veremos um caso mais geral. 
Enquanto que no pêndulo simples toda a massa está concentrada na massa m do peso do 
pêndulo, no pêndulo físico (ou composto) a massa está distribuída, as vezes podendo 
apresentar uma distribuição não uniforme de massa. 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 50 
 
 
 
 
O ponto P é onde iremos fixar nosso pêndulo. O valor de b representa a distância do ponto de 
suspensão ao CM (centro de massa). Um ângulo é formado com a vertical. A força peso, 
atuando sobre o centro de massa, realiza um torque em P dado por: 
 
 
 
Partindo da definição de torque temos que , onde é o momento de inércia. Nesse 
caso, o torque é de restauração, pois faz com que o pêndulo busque o equilíbrio zero ( ). 
Assim, . 
Então, o torque no sistema fica: 
 
 
 
Escrevendo temos: 
 
 
Usamos agora a aproximação por pequenos ângulos. Isso quer dizer que iremos fazer nosso 
ângulo tender a um valor muito pequeno. Fazendo uma aproximação pequena, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
E assim obtêm-se a equação do movimento harmônico simples. A frequência angular é dada 
por: 
 
 
 
 
Então, o período de oscilação será: 
 
 
 
 
 
 
Para calcular o valor de , utilizamos o teorema dos eixos paralelos. Logo: 
 
 
Como 
 
 
 , temos: 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse é o caso para uma barra, pois o momento de inércia que encontramos foi o da barra. 
A medida que o ponto onde fixamos o pêndulo se aproxima do centro de massa, o valor do 
período tende ao infinito. Vamos chamar de D a distância ao centro de massa, e sendo o 
momento de inércia dado por: 
 
O período será: 
 
 
 
 
Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No limite de temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse contexto chamamos k de raio de giração. 
Um terceiro caso de pêndulo é o chamado pêndulo de torção. Ele é formado por um corpo 
rígido suspenso por um fio que oscila em torno de um eixo comum. 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 52 
 
 
Quando uma pequena torção é dada ao corpo suspenso surge um torque oposto dado por: 
 
 
O valor k é uma constante própria do fio. Temos então: 
 
 
Note que . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O período será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 53 
 
AULA 06 – ONDAS I 
 
Uma onda é uma transmissão de energia através de um meio. Essa transmissão de energia é 
feita sem a transmissão de matéria. Uma onda pode ser representada por: 
 
Uma onda pode ser tida como uma forma geral de uma oscilação, a equação é bem parecida. 
Temos então: 
 
 
 
Essa é a nossa equação de onda. Nessa equação temos que é a amplitude máxima de onda. 
A posição é dada por enquanto que é o número de onda. 
Vamos observar nossa onda num determinado instante. Vamos supor que esse instante seja 
 . Nossa equação será: 
 
Nesse instante a posição da onda será dada por: 
 
O valor é o comprimentode onda (distância de uma crista à crista seguinte). Então: 
 
 
 
 
 
Temos no momento em que uma onda se forma (esse é o ângulo total percorrido pela 
onda). Logo: 
 
 
 
 
 
 
E assim nós temos o número de onda. 
A frequência é dada por: 
 
 
 
 
O período será: 
 
 
 
 
No caso geral, sabemos que , logo: 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 54 
 
 
Vimos que uma onda, ao completar um clico, percorre uma distância angular igual a . 
Portanto, vamos escrever a equação de onda para uma forma geral: 
 
 
 
Agora, chamamos de fase. 
Seja um pulso dado pela seguinte função: 
 
Escrevemos essa função como . Agora, nosso pulso irá se deslocar para a direita: 
 
Essa função será escrita como . 
Se , então . 
Se fixarmos a onda num determinado instante, teremos: 
 
Isso é lógico, pois a onda não está se movendo (não muda de posição e nem varia de ângulo). 
Vamos derivar essa parte da onda: 
 
 
 
 
 
 
Então: 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 55 
 
 
 
 
 
 
 
 
E assim obtemos a velocidade horizontal da onda. Vamos substituir alguns valores em nossa 
equação. Conhecemos e , então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, podemos calcular a velocidade onda como: 
 
 
 
 
 
Se o pulso se move para a esquerda, temos que o sinal será negativo. 
Vamos ver um exemplo. Temos a seguinte onda: 
 
 
 
A amplitude da onda é , para isso basta observar a equação de onda. 
Vamos calcular o período da onda. 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular o comprimento de onda é simples pois conhecemos o valor de k, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculamos a frequência: 
 
 
 
 
 
 
 
A velocidade da onda é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Até agora determinamos a velocidade horizontal de uma onda. Vamos determinar agora a 
velocidade transversal. Para tal basta derivar a função de onda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a amplitude máxima, teremos: 
 
 
Podemos determinar a aceleração. Assim, vamos fazer a segunda derivada: 
 
 
 
 
 
 
Na amplitude máxima teremos: 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 56 
 
 
 
 
Vamos supor um pulso se propagando numa corda de densidade . 
 
 
 
 
Podemos imaginar esse pulso como uma parte de um círculo. A velocidade do pulso (a 
velocidade na onda na corda) será: 
 
 
 
 
 
 
De uma maneira geral, definimos a velocidade como: 
 
 
 
 
 
 
As ondas transportam energia. A potência é proporcional à amplitude. 
 
Assim, temos: 
 
 
 
 
A potência será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 57 
 
Sabemos que . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se então: 
 
 
 
 
A potência média será: 
 
 
 
 
 
 
Equação de Onda 
 
Temos uma onda passando por uma corda. Vamos pegar um elemento dessa corda. Existem 
forças opostas agindo na corda ( e ). Essas forças são iguais à tração na corda. Pela 
segunda lei de Newton, temos: 
 
 
 
 
Em nossa equação temos: 
 
 
 
Que representa a massa, enquanto que: 
 
 
 
 
 
É a aceleração. 
 
 
 
 
 
Onde é uma força agindo na direção . é a inclinação. Temos: 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 58 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se tomarmos a inclinação da corda para pequenos ângulos, de forma que , então: 
 
 
 
Logo: 
 
 
Ou 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando 
 
 
, encontramos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Superposição de Ondas 
 
Vamos supor duas ondas e numa mesma corda. A onda resultante é dada por: 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 59 
 
 
 
Quando não existe diferença de fase entre as ondas, temos uma interferência construtiva. 
 
Se existe diferença de fase ( 
 
 
 ), então temos uma interferência destrutiva. 
 
Sejam duas ondas de mesma amplitude: 
 
 
 
 
 
O valor de representa a diferença de fases. Lembrando que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 60 
 
Se então a amplitude (construtiva). 
Se então a amplitude (destruiva). 
 
Vamos supor agora duas ondas iguais se propagando em sentidos opostos numa corda: 
 
 
 
A onda resultante será: 
 
 
 
 
Com isso, temos a formação de uma onda estacionária. Chamamos de nós os pontos de 
amplitude nula ( ) e antinós os pontos de amplitude máxima ( , , 
 , ). 
Para formar uma onda estacionária devemos ter: 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
Uma onda estacionária pode ser excitada em uma corda de comprimento por uma onda cujo 
comprimento de onda satisfaz: 
 
 
 
 
 
 
Onde é o número de harmônicos (ventres) da onda. O ventre é o espaço formado entre os 
antinós da onda estacionária. Lembremos que: 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 61 
 
Então, a frequência será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 62 
 
AULA 07 – ONDAS II 
 
Vimos que a velocidade de onda é determinado por: 
 
 
 
 
 
 
Vamos estudar ondas sonoras agora. No vaso do som, temos: 
 
 
 
 
 
 
Onde é a massa específica e é o módulo de elasticidade volumétrico. O valor de é 
calculado como: 
 
 
 
 
 
 
Onde é a variação de pressão. 
 
(CNTP) 
Bulk Modulus 
(B) [Pa] 
Density () 
[kg/m3] 
Water 2.2×109 1000 
Methanol 8.23×108 424 
Air (Adiabatic) 1.42×105 ~ 1,21 
Air (Constant Temp.) 1.01×105 ~ 1,21 
 
A função de deslocamento de uma onda sonora será: 
 
 
 
 
 
Os valores de , , , ,e são definidas da mesma maneira que fizemos até agora. 
Quando a onda se propaga, a pressão do ar em qualquer posição varia senoidalmente. 
Assim: 
 
 
 
 
Se , temos uma expansão do ar. Se , temos a compressão do ar. 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 63 
 
Assim como as ondas transversais, as ondas sonoras também sofrem interferência. A 
interferência depende da diferença de fase entre as ondas. Se as ondas forem emitidas em 
fase e se propagarem na mesma direção, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 é a diferença entre as distâncias percorridas pelas ondas sonoras até chegarem à um ponto 
comum. Se , pra , então temos uma interferência construtiva. Para 
interferências construtivas, temos: 
 
 
 
Se , para , temos uma interferência destrutiva. Em 
interferências destrutivas, temos: 
 
 
 
 
Seja a potência (transferência de energia) e a área da superfície que recebe o som. A 
intensidade será: 
 
 
 
 
 
 
A relação entre a amplitude e a intensidade é: 
 
 
 
 
 
 
 
Se o receptor está à uma distância da fonte, a intensidade será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 64 
 
A audição humana compreende uma faixa sonora entre 20 Hz e 20.000 Hz. Abaixo de 20 Hz, 
temos o infrassom. Acima de 20.000 Hz temos o ultrassom. No ar, a velocidade do som é em 
torno de 340 m/s. 
Nossos ouvidos podem detectar sons com uma amplitude de (limiar de audibilidade) 
até (limiar da dor). Quando tratamos de audição humana, é conveniente usar a escala 
decibel ( ). Essa escala é definida como: 
 
 
 
 
 
 
Onde 
 . 
O valor de aumenta em 10dB toda vez que a intensidade sonora aumenta de uma ordem de 
grandeza (um fator de 10). 
 
 
Tratamos com ondas se propagando em cordas, e podemos imaginar isso como um 
instrumento (um violão por exemplo). Agora, para o caso do som, vamos estudar ondas se 
propagando em tubos. Temos um tudo com as duas extremidades abertas: 
 
O comprimento de onda para um tubo aberto é: 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 65 
 
Onde é o número de harmônicos. Note que contamos o número de harmônicos como o 
número de ventres existentes. Mas nesse caso, temos dois ventres incompletos (eles na 
verdade correspondem à metade de um ventre). Sendo assim, essas duas metades dos ventres 
formam um ventre. Sendo assim, na figura acima temos o harmônico fundamental ( ). Na 
figura a seguir, temos o segundo harmônico ( ), pois o número de ventres (completos) é 
2: 
 
No caso seguinte, temos o terceiro harmônico: 
 
A frequência será: 
 
 
 
 
 
Agora, vamos tomar um tubo que tenha uma de suas extremidades fechadas. A onda dentro 
dele será: 
 
 
Note que no modo fundamental, não temos um ventre completo. Temos metade de um 
ventre, assim, para um tubo fechado o comprimento de onda será: 
 
 
 
 
 
 
 
Para valores de 
Se os valores de forem pares, não teremos uma onda completa formada. Nesse caso, a 
frequência será: 
 
 
 
 
 
 
Para teremos: 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 66 
 
A jogada aqui é, como fizemos até agora, contar o número de ventres. Note que para o 
harmônico fundamental ( ) temos metade de um ventre. Então, nós contamos esse 
ventre como uma metade e refletimos, assim temos meio ventre mais meio ventre, o que nos 
dá um ventre completo. Para o terceiro harmônico fazemos a mesma coisa. Temos um ventre 
completo, em seguida temos meio ventre. Então contamos o número de ventres, refletindo a 
conta quando encontramos meio ventre: 
 
Para : 
 
O comprimento de um instrumento musical está ligado à faixa de frequência que o 
instrumento foi projetado para cobrir. Comprimentos menores produzem frequências 
menores. Uma mesma nota tocada por instrumentos diferentes chega aos nossos ouvidos com 
um som diferente. Dizemos que cada instrumento tem seu timbre. Um dó maior de um piano 
é diferente de um dó maior de uma guitarra. Abaixo temos as frequências de uma mesma nota 
tocada por instrumentos diferentes: 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 67 
 
Quando duas ondas de frequências ligeiramente diferentes, e , são detectadas 
simultaneamente, temos um batimento. Temos duas ondas: 
 
 
 
 
 
A frequência do batimento é igual à diferença na frequência dos dois sons. 
 
 
 
Nossa onda resultante será: 
 
 
 
Efeito Doppler 
 
A frequência emitida por alguma fonte pode sofrer uma alteração relativa caso a fonte e/ou o 
observador (detector) se movimente. De uma maneira geral, escrevemos: 
 
 
 
 
 
 
Nessa equação é a frequência original; é a velocidade do som; é a velocidade do 
observador e é a velocidade da fonte. 
Os sinais são escolhidos para que tenda a ser maior para movimentos de aproximação e 
menor para movimentos de afastamento. A regra para os sinais são: 
 
 Se o detector se aproxima da fonte: 
 Se o detector se afasta da fonte: 
 Se o detector estiver parado: 
 Se a fonte se aproxima do detector: 
 Se a fonte se afasta do detector: 
 Se a fonte estiver parada: 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 68 
 
Velocidade de Mach 
 
Certos objetos podem apresentar velocidades maiores que a do som. Esses objetos possuem 
velocidades supersônicas. O número de Mach é dado por: 
 
 
 
 
 
 
Onde é a velocidade do objeto e é a velocidade do som. Temos os seguintes valores para 
M: 
 Se temos a velocidade subsônica. 
 Se temos a velocidade sônica. 
 Se o objeto alcança a velocidade transônica (Sonic-Boom). 
 Se temos a velocidade supersônica. 
 Se temos a velocidade hipersônica. 
 
 
 
Quando a velocidade do objeto supera a velocidade do som, a variação brusca de pressão do 
ar faz com que as moléculas de vapor d’água se condensem, formando uma nuvem (cone de 
Mach). Nesse momento dois estrondos como trovão se ouve, o chamado Sonic-Boom. 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 69 
 
AULA 08 – TEMPERATURA, CALOR E A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA 
 
Todos os corpos e substâncias são formados por átomos, que por sua vez são formados por 
partículas. A agitação dessas partículas ocasiona uma variação no que chamamos de 
temperatura do corpo. A temperatura de um corpo é o nível de agitação de suas partículas. 
 
Sejam três corpos A, B e C. Se A e B tiverem a mesma temperatura que o corpo C (estiverem 
em equilíbrio térmico com C), então A e B terão a mesma temperatura entre si. 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio– Física II - Notas de aula 70 
 
Assim, definimos a chamada lei zero da termodinâmica. 
Para medirmos a temperatura de um corpo ou substância usamos as escalas de temperatura. 
Essas escalas são: Celsius (°C), Fahrenheit (°F) e Kelvin (K). Essa ultima é utilizada no sistema 
internacional. 
 
Na escala Kelvin, o ponto de fusão é 273 K e o ponto de ebulição é 373 K. Na escala Celsius, o 
ponto de fusão é 0 °C e o ponto de ebulição é 100 °C. Para a escala Fahrenheit o ponto de 
fusão é 32 °F e o ponto de ebulição é 212 °F. Chamamos de ponto triplo da água, a 
temperatura na qual podemos ter, coexistindo, água nos três estados. 
Para fazermos a conversão de temperatura, fazemos: 
 
 
 
Assim, temos a relação de Celsius e Kelvin. Para relacionar Fahrenheit com Celsius, fazemos: 
 
 
 
 
 
 
Dilatação 
 
Quando a temperatura de um corpo aumenta ou diminui o mesmo se expande ou contrai. 
Temos uma barra de comprimento que após ser aquecida (sofrer uma variação de 
temperatura ) aumentou seu comprimento para . 
 
Assim, definimos a variação de comprimento da barra como: 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 71 
 
 
 
 
 
Onde é a variação de temperatura e é o comprimento inicial da barra. O valor é 
chamado de coeficiente de dilatação linear e depende do material. 
 
 
 
Numa situação real, o corpo varia seu volume e não somente seu comprimento. Assim, temos 
uma dilatação volumétrica: 
 
 
 
 
Nesse caso é o coeficiente de dilatação volumétrica e seu valor é . 
A temperatura de um corpo varia devido as trocas de calor com o ambiente ou com outros 
corpos. O calor nada mais é do que a energia térmica em trânsito. Se há diferença de 
temperatura, então há transferência de calor. O calor pode ser medido em caloria (cal), joule 
(J) ou em Btu. 
 
Quando uma substância aquece, ela diminui sua densidade. Definimos densidade como: 
 
 
 
 
Porém, com a água ocorre algo diferente. Quando a água está sendo aquecida no intervalo de 
0°C à 4°C ela aumenta sua densidade. Chamamos esse comportamento de anômalo. Por essa 
razão a vida consegue continuar existindo num lago congelado. O gelo da superfície é menos 
denso do que a água. Enquanto que na superfície podemos ter uma temperatura de -10°C, por 
exemplo, abaixo do gelo a água está em estado líquido. 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 72 
 
 Abaixo temos o gráfico mostrando esse comportamento da água. 
 
 
Capacidade Térmica 
 
A capacidade térmica é a relação entre a quantidade de calor fornecida ou cedida de um corpo 
e a variação de temperatura do mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde é o calor (energia). A unidade da capacidade térmica é . 
 
Calor Específico 
 
O calor específico define a variação térmica de determinada substância ao receber 
determinada quantidade de calor. 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
Calor de Transformação 
Quando uma substância perde ou recebe calor, pode ocorrer uma mudança de fase. Num 
sólido, a agitação térmica das partículas é pequena (rigidez do corpo). Num líquido, temos uma 
agitação maior e no estado gasoso essa agitação é ainda maior. 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 73 
 
A quantidade de calor (energia) fornecida para que uma substância mude completamente de 
fase é chamada calor de transformação ( ). 
 
Assim: 
 
 
 
 
Trabalho 
Temos um recipiente com um embolo. Vamos supor que há gás dentro do recipiente. Se 
aquecermos nosso gás ele ira se expandir e irá empurra o embolo para cima: 
 
Sabemos que o trabalho é definido como: 
 
No caso de nosso recipiente, temos: 
 
Sabemos que , logo: 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 74 
 
 
A primeira lei 
A energia interna de um sistema é proporcional à temperatura ( ). A primeira lei da 
termodinâmica diz que a variação da energia interna é a diferença entre a quantidade de calor 
envolvida no sistema e o trabalho: 
 
 
 
Em alguns processos envolvendo a variação de energia interna, podemos transformações onde 
não ocorrem trocas de calor ( ). Nesse caso, temos um processo adiabático: 
 
Se temos uma expansão adiabática (temperatura diminui). 
Se temos uma compressão adiabática (temperatura aumenta). 
Se durante um processo o volume permanece constante, então o trabalho realizado é nulo 
( ).: 
 
Se temos uma absorção de calor (aumento de temperatura). 
Se temos uma liberação de calor (diminuição de temperatura). 
Chamamos de processos cíclicos aqueles onde o ponto final e inicial da transformação 
coincide. O estado final é igual ao inicial (curvas fechadas). 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 75 
 
Nesse caso, a variação de energia interna é nula: 
 
 
E também temos a expansão livre, na qual nenhum trabalho é realizado. 
 
 
De uma forma resumida: 
 
Transferência de calor 
A mudança de temperatura, como vimos, ocorre com as trocas de calor. O calor pode ser 
transferido entre corpos de três maneiras: 
 
Condução 
Na condução, a energia é transferida de um átomo para outro (ex: colher no fogo). 
 
A taxa de condução é calculada como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aqui, é o tempo e é a condutibilidade térmica do material. A área do material é dada por 
e é a diferença de temperatura. A resistência térmica à condução de calor é dada por: 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 76 
 
 
 
 
 
Vamos supor que o calor passe através de uma placa composta. 
 
Aqui, é a temperatura na interface das placas. Temos então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Convecção 
 
Em fluídos a variação de temperatura ocasiona uma variação de densidade. Essa variação de 
densidade cria um movimento no fluído (correntes de convecção). 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 77 
 
Radiação 
 
O calor que é transferido pelas ondas eletromagnéticas é chamado de radiação. A taxa de 
radiação térmica (potência) é dada pela lei de Stefan-Boltzmann: 
 
 
 
 
 
Onde é a constante de Stefan-Boltzmann e vale . A emissividade 
é dada por e seu valor está entre 0 e 1 (1 para corpo negro). A temperatura é sempre em 
Kelvin. 
A taxa de radiação líquida da troca de energia de um corpo de temperatura num ambiente 
de temperatura é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jonathan T. Quartuccio | Jonathan Tejeda Quartuccio – Física II - Notas de aula 78 
 
AULA 09 – TEORIA CINÉTICA DOS GASES 
 
Um mol é o número de átomos em uma amostra de 12g de carbono 12. O valor de 1 mol é 
 unidades. Chamamos esse valor de número de Avogadro ( ):