Série de Fourier - Sinais e Sistemas Lineares - Lathi

Prévia do material em texto

CAPtruLO 6 ANAUSE DE $ ."{,\IS NO TEMPO CONTfNt!O: A Sil:RIE DE FoURIER 535 
Tabcla 6.2 
n C. '. 
n 0,504 0 
1 0,244 -75,96 
2 0,125 -82,87 
3 0,084 -85,24 
4 0,063 -86,42 
, 0,0504 -87.14 
6 0,042 - 87.61 
1 0.036 -87.95 
EX EMP LO DE CQM PUTA DO R C6.1 
Seguindo 0 Exemplo 6.1. calculc e Irace os coeficienl<!s de Fourier para 0 sinal peri6dico da Fig. 6.2a. 
N<!ste cltcmplo 1(, ;;; J[ C COo;;; 2. As expressOes para aO' a,.. b •• C. c 8. s1Io dctcrminadllS no Excmplo 6.1. 
,. ,. " _ I:l~ i "~"'I(1I _ (1 . 50' ; ol.-,,( r .• ·,J : (l . 5 {/' . 2 . 1I1 ~ 16 . " . -2 1; 
» 0-,,( 1) _ t' ; b_n(n_l) _ o . s o , . e . ". /(1 ~ 1 6 . ". ~7.) , 
» C_ ,,( l ) _ ~.(l) , ~_~(" ' l) = 5qr < i~nln_! ).A2.b..>"'I(~.1) . A2J ; 
,. ,. t h ()t.:l....r. ( l l At' ; t i>Q;:ol __ "l( l"H l) : ~tanl { -h_n(: ... !l , "-" I r.·l l) ; 
» n " (O.n] ; 
»c~t: ~~bpl0l( 2, ) .1 1 ; r.tem(n.a-".' ~ ' I, ylabel( '~_n ' l ; x}"be l ( ' n ' ) ; 
,.,. "uo;. l o t (1, 2 , 2 ); ~< o."" lr",b_",'k· l i y l",bt! l( ' h_ n ' j ; x h!)eH 'II' ) , 
»,.,,,bj.>1 ,,~. ( 2 ,2, 3) ; "L",,.( ,,,C_,, .' k ' ) ; yl .. b<;>ll ' C-" ' ) ; x l Oll>el (' ,, ' ) , 
,.,. "~!Jp l<x12 , 2 , ~I ; ,, ".<r\ln . t :'..,t/lJl.'k' l: yh.belt'\,." .. """-,, i .:""dl ' j , x l .. t:d l ' II ' ); 
0.1,--------, 
0.6 
0.5 
'=~ ~:~ 
0.2 
0.1 If 
o!--'~~~---' 
o 2 4 6 
o. 
o. 
o. 
,3' o. 
o. 
ll. 
o. 
1 
6 
, 
4 
3 
2 
I 
0 
o 
" 
1 ! , , 
2 4 6 
, 
.:::.~ 
0.25 
.2 o 
0.1 , 
o .1 
0.0 , 
-u.s 
- 1.5 
II 
! r 
2 4 6 
, 
2 c----;:---;-- -! o 2 4 6 
" 
CAPITULO 6 A NAu SE DE SIN..oJS 1\"0 TF~\fl'O COJ\'TfNUO; A SERlE DE FoURIER 537 
Ncste cnso, 0 perfodo t Tn == 2. Logo, 
na qual 
'" ~1=2 =if 
~ 
:c(t) = ao + L a~ cos 1171:1 + b~ sen IITf t 
,., 
x(t ) = {
2M 
ZA(J - r) 
It I < ! 
! < I < ~ , , 
Nt:Ste caso, sen1 vantajoso escolher 0 intervalo de integratjllo de -\12 a 3/2, em vez de urn de 0 a 2. 
VIDa r.ip ida anti lise na Fig. 6.3a mostrJ que 0 valor malio (ec) de x(/) e zero, tal que 110 == O. Alem disso. 
2 j 'I' a" = - x{r ) ( OS lI1Tt dl 
2 - 112 
j '" 1'" = 2Atcos lI1t1dl + 2A( l 
-1/2 1/2 
- f)eos mrldl 
A detenninatjilo detalhada dcssas integrais mostra que ambas possllcm valor zero. Portanto. 
a~ = 0 
b
rr 
= t il 2Arsen ll1Tt dr + t /2 2A(l 
J - I/l .JI/2 
- t) sen fl1T1 tit 
o c:l lcul-o dctaUI:ldo dessa intcgral resulta em 
8A ("") b. = IJ2Tf! sen 2 
0 "P" 
8A 
- IJ 2Tf l 
fl = I. S.9, 13. 
,. 
- -- II = 3.7,1 1. 15, . 
n l if l 
Ponamo. 
8A [ I I I ] X(I)= ](2 senn l - ij senhl+
2S
senSnt -
49
sen7rrt + . . . (6.16) 
Pant trartar 0 espectro de r"Ourier. a sene deve ser conven ida para a fnnna tngonometricacnmpacta wi co: 
mo na Eq. (6. 12). Neste casu, podemos fazer Tapidamentc cssn llllldano;a convertendo os tcrmos em seno pa-
nl Icrrnes em cnsseno com urn deslocamento de fa!ie adequado. Par cxemplo, 
!ienkl = cos(kl - 90") 
- sen kr = cos (kl + 9(}0) 
Usando essas identidades, a Eq. (6. 16) pede sec expres~a por 
538 SINI\JS E SISTEMAS LlNEARE~ 
8A [ I I 
x(f) = Tt 2 COS (li" I - 90") + 9" COS (3li"1 + 90") + 25 cos (5m - 90°) 
+~ COS(7li"1+90C) + "'l 49 
Ncsta ~cric, todas a.> harmuni!;as pares estao ausentes. As fases das harmonicas fmpares se aheram de 
-900 pant 90". A Fig. 6.3 mostra 0 espectro de amplitude e fase de x(I) . 
Urn sinal peri6dico X(I) e representado por uma serie trigonometrica de Fourier como 
x(t) = 2 + 3 cos 21 + 4sen21 + 2sen (31 + 3~") - co~ (7t + 150°) 
Expresse essa serie como uma serle trigollometrica compacta de Fourier e trace a espectro de amplitude 
e rasedex(t). 
Na serie trigollomelrica compacta de Fourier, o~ teonos em seno e cassella de mesma freqUencia sao 
combinadas em urn dnico termo e todos as termos sao descritos na fonna de cosseno com amplitudes 
positivas. Usando as Eqs. (6.12), (6.13b) e (6.13c), temos 
3 cus2t + 4 sen 2t = 5 cos (2t - 53. 13°) 
AlCm russo, 
, 
- cos (7t + 150') = cos (71 + 150' - 1 80~ ) = cos (7/ _ 3~") 
Portanto, 
xU) = 2 + 5 cus (2t - 53 ,13°) + 2cos (3t - 6U') + cos (7t - 30") 
Nestc caso, apcnas quatro eomponcntcs (incluindu a cc) estiio presentes. A amplitude cc e 2. As Ires com-
ponentes restantes possuem freqiiencia ffi= 2, 3 e 7, amplitudes 5. 2 e I e fuses _53,13°. -600 e - 30", respec-
livamente. 0 espectru de amplitude e fase para ~se sinal esta mostrado na Fig. 6.4a e 6.4b, respcctivamente. 
t 5 
c. 
2 .. ..... .... ... _ .. 
2 ] 4 5 6 7 
(,) 
Figura 6.4 Espectm de Fourier do sinal. 
CAPiTULO 6 AA.uISE DE SlNAIS NO Tt; MPO CONTiN"uo: A SERlE DE FOURIER 539 
- 30" ""-"---- ---- --- -- - -
- 53,13° 
- 6(1' 
( 6) 
Figura 6.4 Cont inuar;iio. 
Delermine a scrie trigonometrica compacta de Fourier para 0 sinal de pulso quadrado mostrado na Fig. 6.5a 
e trace sell espectru de amplirude e fase . 
- ). - 2r. 
- " 2 2 
,,) 
t 
C. 
0.5 
2 
5" 
0 2 4 6 8 10 
w_ 
2 
)Co 
(6) 
Figura 6.S (a ) Sinal peri6dico de pulso quadrado e (b) seu espectro de Fourier. 
Neste caso, 0 periodo e To = 21t C ~) = 21riTo = 1. Ponanto. 
~ 
x(t) = ao + L an cos lit + b" sen n1 
n=J 
CAptruw 6 ANALISE DE SmAls /'iO T EMPO CONTINUO: A SERlE DE FOURIER 543 
(b) x{t)= - sen lft --sen 2nt+-sen 3:rr t -- sen 4rrt+ .. . 2A[ 1 1 1 ] 
rr 2 3 4 ' 
2A [ 1 I ~ - cos (lf t - 90") + - cos ( 21ft + 90°) + """COS (31ft - 90°) 
rr 2 3 
+ ~ cos (41l'1 + 9In + ... J 
6.1·3 Dctermina~ao da Freqiiencia e Periodo Fundamental 
Vimos que todo sinal peri6dico pode ser expresso como a soma de scn6ide de uma frcqtlencia fundamental lao 
e suns harmOnicas. Entrehmto. podemos pcrguntar se a soma de sen6ides de qllaisqlU!r freqUencias represenia 
urn sinal peri6dico . Sc sim, como podemos determinar 0 periodo'/ Considere as seguintcs tres fun~i'les: 
XICI) = 2 +7 cos (tt + 91) + 3cos (1 t + 02) + 5 cos GI +0.1) 
X2(1) = 2 cos (21 + 81) + 5 Sen ( lft + 82) 
Xl(t) = 3 sen (Ml + 8) + 7 cos (6v21 + ¢) 
Lembre-se de que loda rrequencia em urn sinal periooioo e urn multiplo intei ro da freq Ucncia fundamental 
%. Pottanto, a raziio de quaiMJuer duas freqUencias e na fomla 1111 n. na qual III C /I silO inteiros. Isso signifiea 
que a nu:ao de quaisquer duas frequencias e urn numero racional . Quando a razao de duus freqtlencias e urn nu-
mero racional, as freqtlencias silo ditas serem harlllonicalllellle re lacionadas. 
o maior numero no qual todas as freq{l eneias s:'io multiplos inteiros e a freqUeneia fu ndamental. Em outras 
palolYraS, a freqUencia fundamental e 0 maior jalor comum (MFC) de tOOns as freqliencias da scrie, As frequen-
cia~ no espeetro de x,(t) ~ao 112, 2J3 e 7/6 (niio consideramos a componente ee). A rnzao da~ frequencias suces· 
SiV3S e 3:4 e 4:7, rcspectivamente. Como os dois numeros sao racionai ~, todas as tres freq iiencias no espectro 
sio hamlOnicamente relacionadas e 0 sinal X, (I) e periooico, 0 MFC, ou seja. 0 maior numero no qualll2.1f3 
e 7/6 sao multiplos in teiros e 1/6. t AIem d isso. 3(116) = 112.4(116) '" 213 e 7(116) == 7/6. Portanto, a frequcncia 
fundamental e 1/6 e as tres freqUeneias do cspcctro sao 0 lerceiro, quarto c selimo harm{jnicos, Observe que a 
componente de freqMncia fundamental esta ausente ncssa serie de Fourier, 
o sinal xlt) nao e peri6dico porque II razao de duas freqUencias no espectro e 2In, 0 qual nau e urn nume-
ro raeionaL 0 sinal x)(t) e peri6dico porque a ral.iio das freqUeneias 3 .,fi e 6,fi e 112, um numero racional. 
o maior fator comum de 3.,fi e 6 ,fi e 3 J2. Portanto, a freqUencia fu ndamental c CI\J := 3J2 e 0 periodo c 
(6,21) 
EXERclcIO E6.2 
Determine se 0 sinal 
.r(t) = cos (11 + 30") + sen (31 + 45") 
, e ou nlio periooico, Se ele fo r peri6dico, determine II freqiiencia e 0 perfodo fundamental. Quaj~ harmonicas eg· 
t50 presentes em X(I)? 
• 0 m:UOf falOl'coowmde a/b,. alb ..... , a.lb. ~ a rvJo cIos MFC do oonjunto dIl.'l numendorcs (a,. a" .. , a.J peto MMC (mcOOf mul-
tiplo comum) do coojllnto dllS denomi nadores (h,. h, . .... b.), Pol' excmpJo, p:IIll 0 (:onjunto (213 , 6fT. 2). 0 MFC do conjul\to de I\ume-
radotes (2. 6, 2) ~ 2, 0 MMC 00 conjunto de denllmin!idores (3. 7. J) c: 21 . Portunlo. 212t eo maior "timero Ill) qlLllt 2f3, 617 e 2 ~o 
mllttip]os intcirm, 
CAriruw 6 ANAliSE DE SINAIS KO T E.\lPO COI\'Ti;WO: A Sl'!:RIF. DE foURIER 55 1 
EXERCiclO E 6.3 
Por inspe\1i.o dos sinais das Fig~. 6.2a, 6.00 e 6.6b, detemJine a taxa assint6tica de decaimcnto dus cspectros de 
amplitude. 
RESPQSTA 
Jill. Vn~ e l in. respectivamenle. 
EXEMPLO DE COM PUTADO R C6.2 
Analogamentc a Fig. 6 .7 , dcmonstre a sfntese da forma de onda quadrada da Fig. 6.5a somaooo sucessiva-
mente, passe a pa.'>so, as Ci.Jmponentes de Fourier. 
,.,." = in ! ine( · """l(t~pi!2,2 .. pi.l<:p;'J ; t : linllpar:o(-2 ~p:i,2 · t>~, lOOOl ; 
,.". sollIlterlll-<; : zeros (lb , lcn(j'th (t ) ) ; "'''mterms (1 , : ) = t 12 ; 
» for n: l:s'ze(s ... otenns,1i - l ; 
» 
» C"G 
» ~, 
» 'O~ 
>, 
» 
>, 
» ,,'" 
s~~erm5(n~ l,:) = 12 / (yi#n) ' sin (pi " n / 2)) ' cos(n or) ; 
Z Cill!".sulIIlsu","tet"L<;); fiQure tl l ; elf ; ind '" 0 ; 
N,. [O , 1:2 : sb.c/ SlXll.crms ,I )-1]. 
ind = ind o1 ; lIuhplotI3, 3. ind) ; 
plo::. (t,xjilN+l,:), ' k'.t.xlt ) , ' J:--' ) ; IIxisll - 2 ' pi 2 op' - 0 . 2 } . ;>;] ) ; 
xlabc1 r ' t ' ) ; ylal>ol( [ ' x_I ' , num2str IN) , ' } ( ~l ' J I ; 
". 
,- --. 
• 
• ~ 0.5 f--'---i- :-+1 
~, O. 
o .---' ,- ---
, 
, 
, 
) 1M 
, 
, 
, 
u h 
, 
o 
(W 
II 
, 
I"-
o 
, 
1M 
, 
r-' , 
, 
". 
~o. , 
o " 
, 
, 
~ 0.5 
o .., 
, 
, 
, 
o h 
, 
• 
: 
" 
u 
, 
r 
u 
, 
,... 
o 
• • 
• 
: 
, 
... 
, 
,..... 
, 
f'/'. 
~ 0.5 
o :IA,. w· 
, 
, 
:r o. , 
0 
--
, 
, 
, 
0 ,... 
, 
o 
, 
... 
o 
, 
~ 
o 
, 
, 
... 
, 
I-
, 
Figura C6.2 
552 SJNAJS I: SJ~'TEMAS LlNEARES 
NorA H IST6RICA DO FEN6 MF.NO GIBBS 
Falando genericameme. fum;ik.<; prohJemalicas com comportamento eSlranhQ silo invenladas por malemal ie~s. 
RardmCnJc vcmos lais panicuJaridade.<; na p~l ica. No easo do [cnOmeno Gibbs, enlretanJo, a hisl6ria se in\'erte. 
Urn ~mportamcmo inlrigame foi observndo em urn objeto simples. um sintetizador de ondas mccfulico. e, en-
lAo. lodos os matematicos conhccidos na cpoca paniram nn busca para. identi fiear 0 que e.<;tava ocul to. 
Alben Michelson (dn celebre Michelson-MoTley) foi urn hornern energic(l e pnltico que desenvolveu inslru-
memos fisicos engenhosos de cxtrllordinfirin precisao. a mllioria na art:a de 6ptica. Seu nnalisador hann8nieo, de-
sCl\volvido em 1898, podia cakul<lT os primciros 80 eocficientes da serie de Fourier de urn sinal x(t) e.~peci fi cado 
por qualquer descfi<;iio grMica. 0 inRlnunento tambem podia ser utiUzado coma ~i nleti7.ador harm8nieo. 0 qual 
trayava uma fum;ao x(t) gemda pcla soma dos primeiros 80 harmfmicos (eomponentes de Fourier) de amplitudes 
c fases arbimirias. Esse analisador. p<'lrtanto, tinha a habilidade de verificnr ~ua pr6pria opern'Yno pela an:l. li ~ de 
um sinal J11) e. enlaO. sumando as 80 eomponentes resuilantes. verifiear quao pcrlO a aproxima"ao CSlava dc.\"(I). 
Michelson obsen'ou que 0 inslmmento verificava muito bern a maioria dos sinais analisados. Entretanto. 
quando tenlO" analisar uma func;:ao descontfnua. tal como uma onda quadrdua,' um componamento curioso foi 
obscrvado. A soma das 80 cornponenle.<; mOSlT3va um CIlrnportalllcmo oscilat6rio com urn sobre-sinal de 9% na 
proximidade dos puntos de des~:ontinujdade. A.lem disso. e.~se comportamcnlo ern uma earacterfslica constante. 
indcpendcnte do nilmero de tennos w mados. Um grande nilmcro de termos lomava as oscilac;:Oes proporcional-
menle mais rapidas. mas indepclldcntc do numero de termos somados, 0 sobre-sinal pennanecia em 9%. Esse 
componamcnto intrigante fez. com que Michelson suspt:it.c;sc dc algum defei to medinieo em scu sinlelizador. 
Ele escn:vt:u sua observa,<ao e m um anigo em Nature (dezembro de 1898). Josiah Willard Gibbs, professor cm 
Yule. inves tigou e elucidou e.~!'oe componamenlO pam um sinal em denle de serra peri6dico em um anigo em Na-
flIre. Poslcriormente, em 1906. BOcher generaliwu n resultado para qualquer func;:ao ( om dcscontinuidade.s Foi 
B&her que deu ° nome de !en6meno Gibbs a esse componamenlO. G ibbs momou que 0 comportamcnto pecu-
liar na sflllese de uma onda quadrdda era incrcnle ao eomponamento da senc de f'Ourier, devido a eonvcrgencia 
nao uniforme nos pomos de descolllinuidade. 
Entrelanto, nao foi n fim da hist6ria. Tanto B& her quamo Gibbs eslavam com a impressao de q ue cssa pro-
pricdadc thma permanecido ocul la ale 0 lrabalho publicado por Gibbs em 1899. Sabc-se. agora. que 0 chamado 
fenomeno Gibbs havia sido observado em I R4R por Wilbmhan do Trinil)' College, Cambridge. 0 qual viu clara-
mente a comporLamenlO dn 50mB dos componentes da serie de Fooricr do sinal peri6dicn de deme de serra. pos-
lerionm:me investigado por Gibb~.9 AparenlelllenlC, seu tmbalho n1l.0 era conhecid'o par vfuias pessoas, incJuin-
do Gibbs e Bt>cher. 
Alben Michelson Josiah Willard Gibbs 
, Na realidadc. foi urn .,inal denle de SCml peri6dico. 
554 SINAIS F. SISTlOMAS LtNEARES 
Podemos rclacionar Dn (;Om os coeficienles a" e b. da serie trigonomctrica. Fazcndo 1/ := 0 na Eq. (6.29b), ob-
temos 
Do = (/(1 (6.30a) 
Atem disso. para n of. 0, 
Dn = - x(t) (;Os I/Ulu! dr - ..!.- X(I) Senl/lVoi dl = - (a" - jiJ,,) 11 . £ I 
To To TO.To 2 
(n.30b) 
, 
D _n =- x(l)eosnlVoldl+..!.- x(r)senm1!lItdl= - (an+jb. ) 1 1 . £ 1 
TOTo 'Til. 7" 2 
(6.3Oc) 
E~~e~ resultados sao viiiidos para .( I) gencrico, real ou complexo. Quando x(t) e reaL an e h. sao reais e as 
Eqs. (n.30b) e (6.30e) mostram que Dn e D-n sao conjugados. 
~ _ ~ (6.31) 
Alem disso, a partir das Eqs. (6.13), ubservamos que 
" - J'b = la2+hlej"~-'( ~) =Cej6. 
n n V' n " " 
Logo 
Do = ao = Co (6.32a) 
D - 1(' - jf?, 
- n - 2 ne (6.32b) 
Porlanto, 
(6.33a) 
(6.33b) 
Note que IV"' silo as amplitudes e LD. sao us angulus das virias compunentes exponenciais. A partir das Eqs. 
(6.33). \cmos que quando x(t) e real, u espectro de amplitude ( ID.I em funo;ao de w) e llma Cum;au par de 00 e 0 
espectro de angulu (L.n" em func;iio de (0) e uma funo;ao fmpar de 00: Para xCt) complexo, D" e D"""" sao geralmen-
te nao conjugados. 
Determ ine a serie exponencial de Fourier do sinal da Fig. 6.2a (Exemplo 6. 1). 
Neste.caso, 1~ = Jr. lilo = 2rrJ1~ = 2 e 
N 
XCI) = L D.ej2n1 
• _ _ 00 
na qual 
558 SlNAIS E SISTE-\IAS Ll NeARCS 
+ 16 
IDnl t 
, L D. w 
, T 1 1 T , T T 
., 
U 3 6 9 12 
12 I 6 3 o 3 , , 
" 
12 9 , 3 j j w_ 
w_ 
• (bJ -2 
"' iguro 6.11 Continuar;iill. 
A~ componentes trigonometricas espectrois el(i~tem nas freq{leocias 0.3, 6 e 9. As oomponentes exponen-
dais cspr:clr"Jis existem em 0, 3, 6, 9 e -3. -6. - 9. Considc:re prim!iro 0 espectro de ampli tude. A componen-
te cc pc:rmanece inaitemda, ou ~ej ll. Do"'" C" '" 16. Agora. IV.1 e Uffia funlJao par de (0 e ID.I '" ID ..... I = C.n.. 
Portanto. todo 0 espectro res tantc dc ID.I para n posilivo c mctade do !:SpecITll lrigonom':trioo de amplitude 
C. e () especlro In J para II nqrutivo': a imagem rcflcticla com relar;llo ao eixo vertical do espeetro pam n po-
si tivo, como mostTado nn Fig. 6.1 1b. 
o espeetro de angulo LD. = 8. para 11 POSilivo e -8. para n n ~ga.tivo, como moslrado na Fig. 6.1 1 b. lrc-
mos veriti em·, agora, que O~ dois cOllj unto~ especlrais representa:n 0 mesmo sinal. 
o sinal x(t), cujo espectro t:rigonometrico esta mostrado na Fig. 6. 11 a. possui qualrocomponentes espectrais 
nas rreqill!ncias 0, 3. 6 c 9. A componentecc e 16. A ampli tudee ra~e do componente de freqiieneia 3 silo 12 
e -1tI4, rcspectivmm:nte. POrlaolo. esta componente pode ser descrila por 12 cos (3/ - m'4). Procedendo da 
mesilla maneira, nos podemos csercvcr a sene de Fourier de x(t) por 
x(t ) = 16 + 12COS(3t - i) + 8cos (6t-~) +4eos(9t- :) 
Considr:: re agora 0 espectro exponeneial cia Fig. 6.11b. Ele eOIl\E!m componentes de frcqOcneias 0 (ee), ±3, ± 6 
e ±9. A componente ee ~ Do = 16. A componente tI" (freqO cncia 3) t-ossui magnitude 6 c angulo - 1t/4. Portanlo, a 
fo~a dcssa compont:nle ~ 6e joi' e ela pode ser descrita pm (lie -J<i~)i'·. Similannente, a componente de freqil€ncia 
-3 e (6e.):.I4)e )\ .. Procedendo da mesma muneira, x' (t) , 0 sinal eorrespondente ao espcctro da Fig. 6. 11 b C 
.i(r) = 16 + [6e-i.~/4ej.11 + 6ej·~14e-jll] + [4e-J",/z eJ6r + 4eiK/2e- j6r] 
+ [2e-J-f4eJ9I + 2eiK/4e-i9J] 
= 16 + 6 [e/0l-"./4. + e - j(3l-1r/4.j + 4 [e1l60-".!2J + e -JI6r-"'/2)] 
+ 2[ei l91-.. /4) + e - JIW-"./41] 
= 16+ 12eos (31 - :) +8 cos (61 - ~) +4co~ (91 - :j 
Claramente, os dois w nju)l \()s d~ !:~peClro representam 0 meslIlo sinal peri6dieo. 
L ARGURA DE FAIXA DE UM SINAL 
A dilcrcnr;a entre a freqiiencia mais al la e a mais baixa das oomponentes espeetrais de urn sinal e a /(Irgura de 
/uixa do ~in al. A largura de faixa do sinnl eujo espcetro expollenciai csta moslr .. do na Fig, 6. l lb C 9 (em rodia· 
nos). A freq iiencia nmis alta C 9 c a mais baixa e O. NOle que a componente de fn:qiiem:ia 12 possui amplitude 
zero e. p<)J1allto. e inel(istente. AIc~m d i ~ro. a mellor freqiiencia e 0 e 11110 -9. Lembre-se de que a freqUe nci;) (no 
~Illido eonvencional) das eomponentes cspcetrais em (1) = -3, -6 c-9 na rcalidadc c 3. 6 c 9.' A l:lrgura de fai-
xa pode scr mais tilcilmente vista no esp~c tm lrigonomelrieo da Fig. 0.11 a. 
, A Igul1s aulor~, d<fi""m a largum de fui)(u ~1)mO s~ndl> a di rer~ n~" entre a maiore Ine nor (n~~ati,"a) fre'liiencias U" espectro ex~men . 
cia!. A !m1!.lItil de [ai.ta. de acordo com essa dcfini\~o. c: dllas VCl,eS a de!i nida aqui. Na rcalidadc. c~sa [onna define n~o u la!j;u!li de 
fAi~a do sinal. mal sim a larg ura c5peclral (largura do espectm expo""oc ial do ~inat). 
CAPITULO 6 AI\AUsIl 00 SINAIS 1\0 T E.\IPO Co."I,'l"lNUO: A SERtE DE FOURIER 567 
de scr represcntado como a soma de suas componcntes de di versas fomms, dependendo da escolha do siste-
ma de coordcnadas. Vamos cornCljar com alguns cam.:eitos biisicos sobre \'elorcs c, entao. apl icarcrnos esses 
conceilOs a sinnis. 
6.5-1 Componente de urn Vetor 
Urn \"Ctor e especificado per sua magni tude e sua d i~iio. lremos rcpresentar velores em negrilo. Por exemplo. 
x e urn {;eTto velar com mag nilude ou comprimenlo Ixl. Para os dais vetores x e y lllO~lnldos na F ig. 6.17, defi-
nilllos seu prodUIO interno (au escalar) por 
x . y = Ixllyl cos 0 (6.46) 
na q ual 9c 0 angulo entre o s vetores. Usando essa definlljao. podemos expressar Ixl. 0 cornprimento do velor 
x ,por 
(6.47) 
Scja a C()mponente de x ao longc de y ser cy . como mestrado na Fig. 6.17. Geometricamentc, a eomponente de 
x ao longo de y ea projet;ao de x em y, scndo oblida desenhando uma linha perpendicular da penta de x ate 0 \"C-
tor y, como ilustmdo na Fig. 6.17. Qual e a significado malerMtlco da componente de urn \'etor ao Jongo de oulm 
\'Ctor? Como visto na Fig. 6.17, 0 \'Clor x pode ser de.l;(;rilo em temles do velor y por 
x = cy+e (6.48) 
Enlretanto. essa nao e a unica fonna de cxpressru" x em lennos de y. Da Fig. 6. 18, a q ual mostnl duns de ou-
tras infini la.'i possibilidade.". temos 
(6.49) 
Em cada uma t1essas tris rcpresema<;Oes. x e represemado em Icrmos de y mais oulro vclor chamndo de ve-
tor de erro. Sc aproximarmos x percy. 
(6.50) 
a enu Tla aproximaljoo e 0 vetor e = x - cy. Similarmente. os erros nas uproMmUIjOes ne.~sa~ IigunlS sao e , 
(Fig. 6. 18a) e eJ (Fig. 6.18b). 0 tjuc e unico com relal(iio a aproximnljil.o da Fig. 6. 17 Co que 0 velor de erro e 0 
mt:nOf. Podemos delinir, dcssa forma, matctllaticnmente a componcntc de urn vetor x ao longo do \'Clor y como 
sendo cy, na qual c e escolhido para minimizar 0 tamanho do vetor eTTO e = x - cy. Agora. 0 tamanho da com-
poncnles de x ao longo do velor y e Ixl cos (J. Ma.~ tambCm e eb 'l como visto na Fig. 6. 17. Portanto, 
, 
, . 
• 
cy )' 
J<igura 6.17 Componente ( proje'iiio) de urn ,·elor ao longn de outro velor. 
l , L-_ _ _ "--_), 
.,y 
(a) 
, 
\ , L-_ _ ___ "- )' 
ev· 
( b) 
Figura 6.18 Apmximal(ao de urn velor cm (ennos de oulre vetor. 
568 SINAlS F. SISTEMAS l.JNEAIH2S 
elyl = Ixl cosO 
Muhiplicando os dois lados por IYI. 
clyl2 = Ixllyl cos 6 = x . y 
PonanlO, 
x · Y I 
C =-- ~- X ' v y. \' lvi' . 
.. . 
(6.5 1 ) 
A panic da Fig. 6.17. fica aparente que quando x c y sao perpendiculares, ou orlogonais. entao x posMli com-
pimente zero an longo de y. Conseqiicntemente, C "" O. Tendo a Eq. (6.5 1) em mente, tlefinimos, dessa forma, x 
c y como sendo Qnogmwis sc 0 produlo imemo (au escalar) dos dois vClOrcs for 7.ero. ou seja, sc 
(6.52) 
6.5-2 Companu;lio de Sinal e Componcnte de Sinal 
o conceitl) de componente de \'Clorc ortogonalidac.le pode seT cstentlido a sinais. Considere 0 problema de apm--
xima~1io de urn sinal real xCt) ern termos de oulm sinal real y(r) em urn intervalo (11' 11 ) : 
.T(t) ::::: eyer) 
o erro ee,) da aproxim~ao e 
{
.T (r) - ey(r) 
e(t) = 0 
,, < 1 «2 
ellSO contr.irio 
(6.53) 
(6.54) 
ScJecionamos. agora. um critcriu para a "melhor aproxirna(,:ao'·. Sabemos que a energia do sinal e uma 
posslvelmedida dn tamanho do sinal. Panl uma melbor aproxima4iiio. ircmos ulilizar 0 cri lcrio que rninimj· 
7.aO tamanho ou energia do ~inal dc CfTa e(/) dentro do in tervalo (',. t~). E.~sa energia E. e dada por 
Note quc 0 lado direito c uma integral dcfinida com / como varill.vel de integra~iio. Logo, £~ e uma fun~ao do 
paramctro c (e nao I) c E, sera miltima para alguma cscolha de c. Para minlmizar E,. uma condi<;ilo nccess;iria e 
0" 
dE --~ = 0 
de 
- (X(/) - ey(t )f dt = 0 d [j" 1 de h 
Expalltl indo 0 lenno quadrilico dentm da integral. obtcmos 
<I[j" 1 d[ j " 1 "[ j " 1 -. x~ (/)dr - - 2c X(1))'(t) dt + - e1 )'2( /) dt = 0 (Ic II de II de " 
A partir dn quallemos 
-2 j l' x(t)y(t)dt + 2c j l! l et) dt = 0 
I, II 
(6.55) 
CAPiruLo 6 ANALISE OF. SI:>lAIS NO TF.MPO CmrrfNliO: A SERrE DE FOURIER 57 1 
A luz dcsse resul tado, precisamU5 rcdcfinir a ortogonalidadc para 0 casu c omplcxo da seguinte forma : duas 
rU fl(;i'ic.~ complexas X,(l) exi t) sao orlogonais no intervalo (t , < t < tll se 
J" xr(J)x;(t ) d t = 0 
" 
(6.65) 
Qualquer uma da~ igualdadcs ~ suficienle . Essa e a defillivao geral para ortogonalidadc, a qual sc rcduz para 
a Eq. (6.57) quando as funvOes siio reais. 
E XERclCIO E6 .8 
Mo~ lre que para 0 intel:valo (0 < I < 2TC). a "lllelh or" aproxilllw;ao do sinal quadrndo xC,) da Fig. 6.1.9 em teonos 
do sinal J' e dada por (21jrr.)? Verifique que 0 sinal de erro e(t ) = .\{t ) - (2Ijrr.)i e ortogonal com 0 sinal tI'. 
ENERGJA DA SOMA DE SINAIS ORTOGONAIS 
Sabemos que 0 quadrado do tamanho da soma de dois ve tores ortogonais e igual ii soma do quadrado du tama-
nho dos dois vetores. P0I1anto, sc os I'ctorcs x e y tOTem orrogonais, e se z = x + y, entao 
1"emos um resultaJ o similar para sinais. A cnergia da soma de dois sinais ortogonais Ii igual ii soma das cncr-
gias dos dois sinais. Portanto, se os sinais x(t ) e yet) sao ortogonais em urn intc l""alu (tl' I2), e se z(t) '" xU) + y(t), 
entao 
Eo = E., + £,. (6.66) 
Iremos provar es~e resultadu pum ~in u i s t:omp1c)(Q~ dos quais os sinais reais sao urn casu especiul. A partir 
da Eq. (6.63), temos que 
f" J" J" J'. J" . I, !x(t ) + y(t )!~ dt = " Ix (t )!!d t + " ly (t )1 1 dl + " x (I) )" (t ) dr + I, x~ (t)y(t) dt 
(6.67) 
o ul timo rcsultado seguc dirctamcntc do fato dc que, devido il. ortogonaJidade, as duas integrals dos produ-
tos .1.\t)y'(t) e x' (t)y(t) sao zero [Veja a Eq. (6.65)]. Esse resultado pocic seT estendido para a soma de qnaJqucr 
numcro dc sillais mutuamcnlc ortogonais. 
6.5-4 Representa-;lio de Sinais por urn Conjunto de Sinais Ortogonais 
Nesta sevao, iremos mostrar uma forma de representar um sinal pcla soma de sinais ortogonais. Novamcntc, irc-
mos nos benellciar da infomla<,:ao ohtida de um problema similar com vetorcs. Sabemlls que urn vetor pOOe ser 
reprcsentado pcla soma de velores ortogonais, os quais formam um sistema de coordenadas de um cspar;o veto-
rial. 0 prohlema em sinais e anaiogo e 0 resulLado para sinais e similar ao para vetores. Portanto, vamos rever 0 
casu de representaifao velorial 
E SPA(O VETORlAL ORTOGONAL 
Vamos invest igar um espaifO " d ori al Cartesia no tridimensional, descrito por {res "ctores mutuamente ortogo-
nais x I' Xl e Xl' como ilustrado na Fig. 6.20. Primeiro. ircmos buscar a aproximaifao de lim vetor tridimensional 
x em term05 de duis vctorcs mutuamcntc ortogonais XI e x2: 
572 SIl'A1S E S IS"['£MAS Llt\EARES 
o ~m) e desta aprox ima~iio e 
00 
x = CIXI +C1X2 + e 
Tal como no urgumenlO geometrico anterior, vemos na Fig. 6.20 que 0 lamanho de e e mfnimo 'luando e e 
perpendicular ao plano x] ~ Xl' e CIXI ~ Cl "'2 sao as proje~5cs (eomponenlcs) de x em x, C Xl' respectivamente. 
Portanto, as c(Jnstanlcs c1 e ("l sao dadus pcla Eq. (6.5 1). Obs.erve que 0 velor erro C oTtogonal aos vetores XI 
e X:!. 
Vamos delerminar. agora. a "melhor" aproxillla~ao de x em tcrmos dos Ires velores muluamente ortogonais 
XI' X:! e "'J: 
(6.68) 
A Fig. 6.20 mOSlra que uma unica cscolha de c i • cle c, existe para a qual a Eq. (6.68) nlio ~ mais uma apro-
ximar;.'\o mas uma igualdade 
x· x/ 
c;= - -
X; . X; 
I 
=--, X' X; 
Ix;l-
(6.69) 
(6.7001) 
;= 1,2.3 (6.70b) 
Note que 0 ~rro na aproxima(/ao e zero quando x C aproximado em termos de Ires vetores mUluamente 0[-
logonais: x" x2 e Xl_ A ra:-M> c que x c urn vetor tridimensional, e os vetore.~ x" Xl e Xl represemam um eVII-
junto completo de vetores ortogonais no espa~o tridimensional. 0 termo "completo", neste caso. signiJicll que 
e impossfvcl obl~ r outro velor x .. nesse espa~o. 0 qual sera ortogonal com todos (lS u es velores x" x2 e Xl' 
Qualquer vetor nesse esp~o pocte seT rcpre.~n lado (com erro zero) em term()s destes tres vetores. Tais veto-
res sau conilecidos como vetrJl"es de base. Se urn conjunto de velores [XI) nlio ~ eompleto. 0 eTTO na lIproxi-
mll~ilo gerllimente nilo senl zero. Portanto, no easo tridimensional discutido llIllerionnent~, geral mente na~ c! 
posslvel represcntar urn vetor x em termos de ~penas dois vetores base scm urn erro. 
A escolha dos vetores de base nao e unica. De fato, 11m conjunto de veLOrcs base corre~ponde a uma escolha 
parti(;ular do sistema de coordcnadas. Ponanto. urn vetor uidimcnsional x podc ser rcpresenuado pur di ferenles 
forma.~, depemlendo do s i stem~ de eoordenadas utilizadu. 
, 
Figura 6.20 Reprcsen l ~ltaO de um velor em urn espa,<o tridimensional. 
574 SlNA1S F. SrSTBIAS LII\'EARES 
I J" ~ - x(r)x/(r)dr £, I. i= I .2 .... , N (6.76b) 
A compara«ao tlas Eqs. (6.76) com as Eqs. (6.70) for~osamenle lraz a lon3 3 analogia de sinais e velores. 
Propriedade dn dctermina"iio: A Eq. (6.76) mOSlra uma prupricdadc interM~anle dos coeticientcs c1' (;1' .... c~~ 
o valur 6timo de quulquer cocticicnle na aproxima(fiio (6.72a) e in.:Iependentc do ntimero de tennos utiUllIdos 
na nproximar;Ao. Por exemplo, .~e ulili/.ann(lS apenas urn termo (N = I) ou doi~ tennos (N == 2) 011 qualquer nu-
mero de termos. 0 valor 6timo do coeficiente (: 1 sed. 0 mesmo Ldado pcln Eq. (6.76)]. A van tagclll dcssn aproxi-
mar;iio do sinal XCI) por um conjunlo de sinais nmtuamente ortogMaiS e que podemos continuar adicionando ter-
mos 11. aproximar;;ao scm pcrturbar os termos anteriores. Essa propriedade de determinariio dos valores uus coe· 
fi cienles e mui lo imporlante do pomo de visia pnitico. ' 
E NERGJA DO SINAL DE E RRO 
Quando os cocficientes c, da aproxima~o (6.72) sao esco l hido.~ de acoruo com as Eqs. (6.76), a energin do ~i· 
nal de elTQ na aproxlmatriio (6.72) 6 minimizada. Estc valor minima de E, e dado pela Eq. (6.74): 
E, = [ ' [X(l) - t "'''X,,(t)] ' d, 
I, ,, _ I 
SubstituinC:o as Eqs. (6.71) e (6.76) nessa equa~iio obtemos 
(6.77) 
Observe que como 0 lenno c:Ej• (! Ilao negativo, a energia E, do eITe, geraJmente decrcsee quando N, 0 nCimero de 
termos. 6 aumentado. Logo, e poss{vel que a energia do erro ~ 0 qu:uxlo N ~ 00. Quando isso acontece. 0 conjun-
to tie sinais ortogonal Ii dito cQmpleto. Neste caso. a Eq. (6.72b) niio e mais uma aproxim~iio, mas urna igualdade 
~ 
= L (;~x,,( ( ) (6.78) 
.. , 
t C(lmrare essa s i!\;a~~o e(lm a aproxima>;Jo polinomial de x{r). Sup<mha que prcclreUios \J~lerm inar uma aproxima~[\o Je ilois pont(ls 
de x(r) por urn polin<imio ern I. QU seja. 0 polin"miQ t: igual a x(r) ern Jo;, fX1nto5. II ell' Essn apr<Jximw;~o pode sef obtida es(:olheni.kJ 
!all polin6rnio <k< f>rimeir .. ",.dem a" + ",' com 
.0: (/11 :: 110 + (11/1 e X( /.) = U(I + 111/2 
A solu,,~o de~",..s ~~, ,,,,uUa nos valorcs descjados de a"e II" ram uma aprox ima~!Io de uis pontn •. ~ve~cscolhct 0 polinO. 
miOlro+ tJ,' + tJ! COm 
i:: 1. 2c3 
A aproJl.irmu;llo melhor .. pam uma quamidade maior<le ponlus (poliniimio de mais allll oru.:m). mas OS oocficicntcs ..... a ,• a, . ... nllo 
possucm a propriecl:uJ~ dadetennin~ikl. Toda \"Cz que aomentannos 0 nUmerode ICfnlOS no poliniimio. teremos que rccakular os coe· 
fieienles. 
CAPiTUU> 6 ANALISF. DE SU\AIS NO T01PO COJ\'liNUO: A StRl£ DE FoURIER 579 
RESPOSTA 
N 1 
X(I ) ~ - 2 E N sen lit 
.. , 
, 
ALGUNS EXEMPLOS DA SERlE DE FOURIER GENERAUZADA 
Sinais sao velOres em 10005 as 5enlidos. Tal como urn vetor. urn sinal pode ser representado pcla soma de suru; 
compunenles de diversa.~ formas. Tal como urn siSlema coordenado de \'etor c!' f(lml ado poT velores mutuamen-
te ortogono.i~ (relangular, cilinurico, esftrico), lamMm tcmo~ urn ~ istema coordenado de sinal (sinais de base) 
formado poe uma variedade de conjuntos de sinais muruamenle onogonais. Existe um grande numero de con-
juntos de sinais ortogonai~ que podc ser ulili:t.ado como base pam sinais para a seric de Fourier gencrali:t.ada. Al-
guns conjuntlls de sinais conheeidos siio funt;Oes trigonom~trieas (sen6ides). funt;Oes exponenciais. rUIl\Oe.~ de 
Walsh, Funr;oes de Bessel. Poliuomios de Legendre. fun,<ties de Laguerre. polinomios Jo.cobjanos. poiinomios 
de !-Iennite e polin6rnios de Chebyshev. As fun~Oes de major interes.o;e nl'Sle liyro sao or; conjulllOli trigunOIlIb-
lTiCOS e exponenciais discutidos anterionnenle neste capitulo. 
SERLE LEGENDRE DE FOURIER 
Um (.'Qnjunto de polinomio de Legendre p.(t) (n = O. 1,2. 3, ... ) forma urn conjullto completo de fum;Oes mUlua-
menle ortogonais nO intcrvalo (- I < r < I). Es.~ polinornios podem seT defiuidos pela f6nnula de Rodrigues: 
Dcssa equar;no lemos, 
e assim por diante 
1 d" 
Pn(t) = --(r~ _I)ft 
2-n! dIn 
poet) = I 
'~I(t)=1 
II =0, 1.2 .. . . 
P~(t ) = a,l - D 
PJ(t) = n,l - ~ t ) 
Podemos verificar a onogonalidade desscs polinomios moslrando quc 
L: p .. (t ) PR(r)dl = {O 2 
2m + I 
m #- /I 
/11=11 
(6.M7) 
Dessa forma. podemos e.xpressar a funr;ao .t{I) em tertIKY.; tic polinomilJs de Legendre no intervalo (- I < f < I) 
1"" 
na qual 
x(t) = CoPo(/) + CIPI(t) + .. . + .. 
c, = 
l~ x(t)P,(I)dt 
11 P/(t)dl -, 
2r + 1 l' = X(I)Pr(l)d/ 2 _, 
(6.M8) 
(6.89) 
Observe que apesar da rcpresenlllr;ao da serie seT vfl,Jida no intervalo (-I. I), ela pode ser estentlida pam qual-
querintervalo aplicando 0 escalamento temporal aprupriado (yeja 0 Prob. 6.5-8). 
5 8 0 SINAlS F. SISTEMAS L INEARFS 
Vamos ctm~idenu' 0 ~inal quadrado lTIostrado na Fig. 6.23 . Essa funrrao pode ser rcpresentada pela serie de 
Fourier de Legendre: 
.T(I} 
o I I ~ 
-1 1------' 
Figu ra 6.2..l 
Os (;odicientes Coo (" el , •. , c, podem ser obtidos da Eq . (6. 89). Tentos que 
, 
xV) ~ { ' 
- 1 
Co = ~ 1: x(t ) dr = 0 
· · -1 < 1 < 0 
(I = ~ 11 (x (l ) dt = ~ ( f I dt _11 t cll ) = -~ 
2 _I _ LI 0 2 
(1 = ~ 11 x (t) (~t l - ~) (It = 0 
2 - 1 2 2 
Esse fcsu ltado c oblido dirc tamente do fato de que 0 integrando e uma fun((ao fmparde t. De fato, isso e 
valido para lodo C, para valores parc~ de r, ou sej a. 
CO = C~=C4 = CI> =" ' = O 
Alem disso, 
c ) = ~ 11 X(/ ) (~r3 - ~ , ) dt = ~ r t (~fl - ~ t) dt + l ' - (~I J - ~f) d t ] = ~ 2 _1 2 2 _ 1_1 2 2 0 2 2 8 
De forma semelhante, os coejicienles i"j> c,. ... podem ser calculados. Dessa forma, obtemos 
(6.90) 
S ERLE TRIGONOMIITRICA DE F OURIER 
Jt. provamos l veja a Eq . (6.7)] que 0 eonjunlo de sinais trigonometricos 
11 , COSWoI , COS 2wul , . .. , COSnW{lI , •. 
senwot , sen2Wot, .. . , sen ll CUot, ... j (6.9 1) 
CAPiTULO 6 ANALISE DE SL'INS NO TEJ\IPO CmrriNuo: A SERlE DE FOURIER 589 
max=7.174! 
- 0.008 -0.004 o 0.004 0.(0); 
r (,egundos) 
. ' igura M6.6 Sinal de teste met) COlli ()" aleat6rio dctenninado usando rand ( 'state' , 0) 
»ploti t ,m_randO,'k'); axisl [- O.Ol,O. Ol. -lO,lO ] ); 
»xl abell'L [~ec ] '); y bbe l ('m(t ) [volts] ' ) ; 
» textlt(max_ind),m_rdndOlma~indl, 
[ ' \leEti;l.rrm.J max = ',num2s:: r(m_randO (miix_ind )) I); 
Para urn vetor de entrada, 0 comando max retoma 0 valor maximo e 0 indice correspondenre a primeira ocor-
rencia desse valor maximo. Similarmente, apesar de nao ter sido milizado, 0 comando min do MA1LAB detcr-
mina c localiza 0 valor minimo. 0 comando text (a, b, c I anota na tigure. corn:nte 0 texto c na posi~ao (a. b) . 
As facilidades do hel p do MA1LAB dcscrevcm as varia~ propriedades disponiveis para ajustar a aparencia e 0 
formalO uti!lzado pelo comando text. 0 comando \leftarrow produz a sfmbolo f-. Similarmente, \righ~ 
tarrow, \uparrowe \dol-marrow produzem as sfmbolos -7, i , t. respectivamente. 
Fases escolhidas aieatoriamcntc soffern de uma falha fatal: existe pouea garantia de performance 6tima. Par 
exemplo, repelindo 0 experimento com rand ( 'state' . 1) teremos uma magnitude m~b;ima de 9,1 volls, co-
mo mostrado na Fig. M6.7. Esse valor e significativamcllIe maior do ljue 0 valor anterior de 7,2 volm. Claramen-
te. ~ mdhnr suhstituir a 501ur;iio a1eat6ria por uma solur;~o atima. 
o que e "6timo"? Vfuias escolhas exislem. mas 0 criterio de sinal desejado natLlralmente sugere que a fa>e atirna 
minimize a magnitude maxima de m(t) para todo f. Para determinar esta fase 6tima, 0 comando fm i nsearch do 
MA1LAB e bastallle uti!. Primeiro. a fun~ao a ser mininulll.ua, chamada de flln~iio objelivo, e definida. 
'!:hetd', ' t' . ' omeGa ' I ; 
A ordem do argumento i n l ine e importanle: fminse a rch miliza 0 primciro argumcnto de entrada como 
variavel de minimiza~i!o. Para mini mizar em e, como dcscjado, () deve seT 0 primeiro argumento da fun~ao ob-
jetivo maxmagm. 
10 
8 
6 
4 
:f 2 
:; 0 
~ -2 
- 4 
- 6 
- 8 
- 10 
r(:;egumlU$) 
Figura MIi.7 Sinal de teste m(t) com Cf)m ()" alemerio determinado usando rand ( , state' , l) . 
590 StNAlS Ii SISTEMAS L INEARES 
A seguir, u vt:10r tempo e reduzido para eonter apenas urn pcrfodo de m(t). 
» t = li nSY(lce ((),O . Ol , 2fJl) ; 
Um perfodo completo garante que touus os valores de met) sejam considerados. 0 tamanho reuuziuo de r aju-
da a gamutir que a fun~1io seja execmada rapidamente. Qualquer valor inicial de 8 e aleatoriamente escolhido 
para cnme~ar a busca. 
» T(lnd( 'stat.e' ,0); thcta_ init = 2 ~ pi* r.and(N , 1) ; 
» thet~_opt = fminsearch (maxmagm, theti'l_in it , [ l ,t,omega ) ; 
Note que fminsearch tenta minimizar maxmagm pam e u~ando urn valor inidal theta _init. Varias tccnicas 
numericas de minimizm;ao sao eapazes de determinar apenas mrnimos locais e fminsearch nao e uma excevao. Co-
mo rcsultado, fminsearch nem sempre produz uma unica sulu~a(). O~ cn1cht:1es \'azio.~ indicarn que nenhuma op-
l,':an especial e necessaria e os argumentns orden ados restantes sao entrndas secundfuias da funl,':ao objetivo. Detalhes 
completos du formato de fminsearch estiio dispuniveis a partirda~ facilidades do help do MATLAB. 
A Fig. M6.8 mostra 0 sinal de teste com fase otimizada. A magniTUde maxima e reduzida para urn valor de 
5,4 volts, u que rerre~enta uma signifiealiva melhoria cunsiderando 0 ricn original de 20 volts. 
Apesar dos sinais mostrados nas Figs. M6.5 ate M6.8 aparentemenle serem diferentes. todos eles possuem 0 
mesmo espectro de magnitude. Eles diferem apenas nu espet:tro de fase. E interessante investigar as similarida-
des e diferenr;as desses sinais, mas de forma distinta de grafieos e matematiea. Por exemplo, existe uma diferen-
l,':a audfvcl entre estes sinais'! Para compuradores equipadus cum placas de sum, 0 comando sound do MATLAB 
pode ser lltilizado para esse prop6sito. 
» Ps • 8000; t • [O:1/Fs:21; \- registro de dois segundos com taxa 
\- de amostragem de 8 kHz 
»m_O _ m(theta,t,omega); "m(t) usando Eases zero 
» sound(m_ O/20 , Fs ) ; 
Como 0 comando sound limita as magnitudes que excedem urn, a vetor de entrada e escalonadn por (no. 
Os sinals restantes sau criados e tocados de maneira semelhanle. Quao bern 0 ouvido humane distingue as dife-
rem;as no espectro de fase? 
Figura M6.8 Sinal de teste m(l) (;Urn fa~es utimizada~. 
6 .• -1 Para cada urn dns sinais peri6dicos mostrados 
na Fig. P6.6- J, determine a serle trigonomc-
lrica compacta de Fourier e trace 0 espectro 
de amplitude c fase. Se os termos em seno ou 
cosseno estiverem ausentes da serie de Fou-
rier. explique. 
max = 5.4235 
I (segundos) 
(a) Determine a serie trigonometrica de Fou-
rier para yet) mostrado na Fig. P6.1-2. 
(b) 0 sinal Y(I) pode serobtido usando a rever-
sao temporal de x(t) mostrado na Fig. 6.2a. 
Use esse fato para ohter a scrie de Fourier 
para yet) dos resultados do Exemplo 6.1. 
CAPITULO 6 ANALISE DE STh'AIS NO TF:MI'O CoNTtNuo: A SERif DE FOUl(lER 593 
-, 
Figura P6.l -S Conlinua~iio . 
6.1 ·6 Em um imervalo fin ito. urn sinal podc ser re-
pre~entado pOt m ars do que urna serie de 
Fourier trigonomctriea (ou expollcneial). Por 
exemplo. se quisermos representar X(I) = t 
em urn intervRlo 0 < t < I por uma serie de 
Fourier com freqUfnci a fundamental Ct\f = 2. 
podemos dcscnhlU' urn pulso x(t) = I no in ter-
va lo 0 < r < I e repelir 0 pulso a cada Jt sc-
gundos, tal que 10 '" It e % == 2 (Fig. P6.16a). 
Se quisennos que a freqUencia fundamental 
% seja 4. repetim os 0 pulso a eada rr./2 .~e· 
gundos. Se qui sermos que a serie cuntenharn 
apena~ tcrmos em cosseno com % = 2. cons-
tru imos 0 pUISO .I(t) == III em - I < I < l eo rc-
peti mos a cada It segundos (Fig. 6. 1-6b). 0 
sinal res ullan te sen!. uma fun~ao par com pc-
rfodo 1[ . lAlgo. sua ~erie de Fourier tera ape· 
nas lennos em cosseno com Ct\, == 2. A serie 
de Fourier resultante representa x(t) = I em 0 
< t < I , como desejado. Nao precisamos nOS 
preocupar com 0 que ela representa fom des-
se intervalo. 
Traee urn sinal peri6dico x(t) tal que .I{t) "" t 
para 0 < « 1 e que a serie de Fourier pam x(t) 
satisfa~a as ~egu intes co tldi~Oes. 
(a) at'" 11./2 e contenha todas as harm5nica~, 
ma~ apcnas termos em casseno. 
(b) % '" 2 e conlenha tudas as hann6nica~. 
mal> apenas termos em seno. 
(e) % '" ill e (:ontenha todas as harm6nieas 
que nao sejam exdusivamcntc senos ou 
COS'ieno ~. 
(d) % = I c contenha apena~ hann6nicas frn-
pares e tennos em cossellO. 
(e)% = ill e eontenha apena~ harmOnicas 
fmpares. ma~ apc:nas termos em seno. 
;1 1I~ ;1 
" 
1r 1 _ 
(. ) 
Fi~ura P6.1-6 
(b) 
(I) % '" I e conlenha apcnas hannonicas fm-
pares que nan sej3m exclusivamente se· 
nos Oll cossenos. 
[Diea: para as partes (d) , (e) e (t). voce preci-
sara util izar a simelria de mcia onda discutida 
no ?rob. 6.1-5. Termos em cosseno implicam 
possfvel componente cc. J 
Voce deve arenas tra~ar 0 sinal periM ico x(/) 
que satisfa~a as condi~rlCs dad as. Niin deter-
mine os valores dos cocficientes de Fourier. 
6.1·7 In ronne. com raz5cs. so os seguintes sinais 
silo peri6dicos 0lJ nao. p.Jra os sinais peri6di-
cos, determine 0 perfodo e infonne q uais har-
mOnicas estao presenteS na ~€rie . 
(a) 3 sen t+2sen 3t 
(b) 2+5sen 4t + 4cos7r 
(c) 2scn 31 + 7e05 7f f 
(d) 7ens 1ft + 5 sen 21ft 
(e) 3eos ./it + 5L"OS 21 
5, " (, ) (f) sen'2 +3coo s+3sen "7+ 30' 
(5 
(g) sen 31 + cos"4t 
(h) (3sen2t+scn 5/)2 
(i) (5 sen 2/)3 
6.3-1 Para cada urn dos sinais peri6dicos da Fig. 
P6.1· I, obtenha a serie exponencial de Fou-
rier c trace 0 espec(ro corre~pondente . 
6.3-2 Urn sinal.x(I) com perfodo 21'[ e especificado 
em urn periodo por 
M ~ M 
" 
r. ,_ 
(b) 
CAPiruLO 6 A:V.LIS£ DE SINAIS NO TF~\II'O CmrriNuo: A SERlE OF. rQUIUF.R 597 
na qual c c escolhido para minimizur a eoergia 
do crro. 
(a) Muslre que y(l) e 0 erro 1.'(1) = .\'(1) - cy(/) 
silo onogonais no intervalo (11' IJ. 
(b) Voce pode explicar o re.~ultado em Icnnos 
da analogia sinal-vetor? 
(c) Veriliquc esse resullauu para 0 sinal qua· 
dradox(t) da Fig. 6.19 e sua aproxima<;iio 
em lermo); un sinal sen I. 
6.5-3 Se .1(/) e y(/) sao ottogonais, mome. emilo. 
que a energia do sinal x(1) + )'(1) e iucnlica a 
energia do sinal .t{I) - y( /) , sendo dada por E~ 
+ E, .. ExpJique esse rcsuiladu usando a analo· 
gia com vetor. Em geral , moslre que para si· 
najs onogonais .\"(1) e Y(I) e para qualqucr par 
de constantes Teais arbitnirins l"1 e c1• as ener· 
g ia:; de CtA(/) + c!,)"(r) c c~\"(t) - c,y( l ) ~ ideo-
t ica~, dadas por c:E~ + c;E}. 
6.5·4 (a) Para os sinais x(t ) e y(t ) mostrados Ila Fig. 
P6.5·4, obtcnha a componentc na forma 
yet) comido em .l{t). Em OUiras palavra.~, 
oblenha 0 valor 61imo de c na aprol[ima-
"ao .li/)::';: CJ(t) de tal fonna que a energia 
do sinal de erro seja minima. 
(b) Obtenha 0 sinal de erro e(l) e sua energia 
E,. Moslrc que o,sinal de eno e ortogonal a 
)"(/) e que E. '" c-E< + E .. Voce pode expli-
caresse resultado em termos de "etcres '! 
6.5·5 Para os sinais x(t) e )"(/) mOSlratlo na Fig. 
P6.5-4. obtenha a enmponp.nu· nll forma x(t ) 
contida em y(t). Em outras palavra,\, obtenha 
o valor otimo de (. na aproxima~ao y(l) '" net) 
de lal forma que a cnCIgia do sinal de crro se-
ja minima. Qual e II energill do ~ina l de em )·! 
x(1) 
o (., 
Figura P6.5-4 
() 
6.5·6 Represente 0 sinalx(t) mostrado na Fig. P6.5-
4a no imervalo de 0 II I pela sene lrigonomc-
trica de Fourier com freqiiencia fundamental 
% = 211". Ca1culc a energia do erro na reprc-
scnta~o de x(1) usando apenasos N primeiros 
termos dessa sene para N'" J, 2, 3 e 4. 
6.5·' Representex(t) = t nointervalo(O, I)por uma 
sene trigonometrica de Fourier que: tenha 
(a) % = 21re apenas tennos em scno. 
(b) % '" 1fe apenas lennos em senll. 
(e) % '" rr e apenn.~ lennos em cosseno. 
Voce pode ntilizar um tenno ce, se ne<:essano, 
nessus series. 
6.5-8 No Exemplo 6.12, reprcsentamn~ a fun"ao da 
Fig. 6.23 pelo palinomio de Legendre. 
(a) Uti lize os resultados do Ellemplo 6.12 
pa111 rcpresenlar 0 sinal g(t) da Fig. P6.5-
8 peJo polin3mio de Legendre. 
(b) Calcule a energia do em J para as ap«)l[ ima' 
c;Oes tcndo urn e dois tcmlOS (nao nulos). 
6.5·9 Fun"Ocs de Walsh, as quais podcm assumir 
apenas dois \'aiores tle amplitude. formam urn 
eonjunto completo de fum.Ocs ononormais e 
possui grande importilucia prlitica em aplica-
,,6es digi ta is. pois elas podem ser facilmente 
geI'"Jdas poT ein:ui ros l6gicCls e porque a mul-
tipJicar.;ao com e.~sas fun"lSes pude set imple-
mcntada simplcsmeme atraves de chaves de 
reversiio de poJaridadc. A Fig. Ptl.5-9 mosl.l*d 
as primeira.~ oito funr;6es dessc conjunto. Re-
presente X(I) dn Fig. P6.5-4 no intervalo (0, I) 
usando a ~ne Walsh de Fooriercom essas oi-
to fum;Ocs de base. Calcule a energia de e(/), 
o erro da nprol[inlUtriIo. usando os primeiros N 
y{l) 
(b' 
• 
-. o 
- I f--- ---' 
Figura P6.5-S