Swokowski-Funções

Prévia do material em texto

.------ •.•.•......- _••..__ ....._---... -----.,.------
I (I) I
o 2 3 4
) I I ( I
23456
-D,S < x - 3 < D,S
2,5 < x < 3,5
(propriedade do valor absoluto)
(somando 3)
As solu~6es sao numeros reais do intervalo aberto (2,5; 3,5),
conforme se ve na Figura 1.4.
2x> 10 (somando 7)
x> 5 (dividindo por 2)
As solu~6es sao dad as por (-00, 2) U (5, 00). Veja 0 grafico na
Figura 1.5.
Urn sistema de coordenadas retangulares e urna corres-
pondencia entre pares orden ados [a, b] e pontos de urn plano,
conforme ilustrado na Figura 1.6. 0 plano e charnado plano
- coordenado ou plano-xy. Note que, neste contexto, (a, b) nao e
urn intervalo aberto. Deve-se sempre ·deixar claro se (a, b)
representa urn ponto ou urn intervalo.
b ----~(a,
I
I
I
I
I
I
a
b)
• (5,2)
•
(-5, -3) (0, -3) (5:-3)
Formula da
distfmcla (1.4)
Formula do
ponto medio (1.5)
Demonstra-se que:
A distiincia entre PI e P2 e
d(P!, P0 = V(x2 - XI)! + (y! - y1J2
o ponto medio do segmentado PI p! e
M(X':X2, Y':Yl)
!y
(n) d(A, lJ)
SOLUC;AO
( S POIIIllS 'SI II IlIl1f '1Ilns .11. 111'"111 I, I, \I ","10 1\ Ii 111111111
,'II' (I,ll) I) (I" ), 01\(1)1111\ :
'11'1.11' (I):
::lll':lllllli~;'io de x
pili X conduz a
Illll llllt! cql1a~50
(b) M(-2 + 4 3 + (-2») =M(l 1)
2 '2, ','2
Uma equa~ao em x eye uma igualdade como
2x + 3y = 5, Y =,r - 5x + 2 ou T + sen x = 8.
Uma solu~ao e urn par ordenado (a,b) tal que toma a equa~ao
uma identidade quando substituimos x por a e y por b.O gnitIco
da equa~ao consiste em todos os ponlos (a, b) em urn plano que
correspondem a solu<;ao. Admitiremos que 0 \eitor ja tenha
experiencia em esbo~ar graficos de equa<;6es basicas·em x e y.
Certos graficos apresentam simelrias, conforrne se ve em (1.6),
onde sao indicados testes que podem ser aplicados a uma
equa~ao em x e y para determinar uma simetria.
(ii) eixo - x
y
(iii) Origem
AY
(.>;y)
/L;
Teste (ii):
Substitui~ao de x
pOl' -x conduz a
mesma equa~iio
Teste (iii):
Substitui~ao de x por
-x e y por -y conduz
a mesma equa~ao
Os testes de simetria saG uteis no proximo exemplo, porque
permitem esbo<;ar apenas a metade de urn grafico, refletindo-a
em lomo de urn eixo ou da origem, conforme ilustrado em (1.6).
Marcaremos varios pontos em cada grafico para ilustrar solu~6es
da equa~ao; todavia, 0 principal objetivo ao fazermos 11mgnifico
e obter !Ill! esbo~o preciso sem necessitar marcar mllitos (011
qllaisqller) pontos.
1(a)y=-,r
2
sOLUC;Ao
(a) Pelo teste de simetria (i), 0 grafico de y = !,r e simetrico
... .2
em relac;ao ao eixo-y. Damos a seguir alguns pontos do
griifico:
0 1 2 3 4
0 1 2 9 8y 2 2
r (4,2) A Y (2, 2)(4, 8) (9, 3)
(1, 1
A marcac;ao de pontos, 0 trac;ado de uma curva suave pelos
pontos e a utilizac;ao da simetria nos perrnitem fazer 0 esboc;o
da Figura 1.8. 0 grafico e uma parabola com vertice (0, 0) e
eixo ao longo do eixo-y. As parabolas sao estudadas em detalhe
no Capitulo 12.
(b) Pelo teste de simetria (ii), 0 grafico de y2 = X e simetrico
em relac;ao ao eixo-x. Os ponlos acima do eixo-x sao dados
por y =.fi. Alguns desses pontos sao (0, 0), (1, 1), (4, 2)
e (9, 3). Grafando e usando a simetria obtemos a Figura
1.9. 0 grafico e uma parabola com vertice (0, 0) e eixo ao
longo do eixo-x.
Pelo teste de simetria (iii), 0 grafico de 4y = x' e simetrico
em rel~c;aQ a origem. Alguns pont os do graficlniio (0, 0).
(1, ~) e (2, 2). Marcando os pontos e usanclo a sil1lclrill
obtemos 0 grafico da Figura 1.10.
A Figura 1.11 ilustra urn circulo de centro CCh, k) e raio
r. Se P(x, y) e urn ponto arbitrario do circulo, entao, pela f6rmula
da distancia (1.4), d(P, C) = r, au [d(P,C)]2 = r 2. Isto conduz 11
equa«ao
EquagBo de urn circulo (1.7) \"(X':':h)2+(Y-k)2=,i'
Se 0 raio do circulo e 1, 0 circulo e charnado circulo
unitario. A equa«ao do drculo unitario de centro na origem e
Determinar a equa«ao do circulo de centro CC-2, 3) e que passa
pelo ponto D(4, 5).
o circulo est a ilustrado na Figura 1.12. Como De urn dos pontos
do drculo, 0 raio r e d(C, D), ou seja,
r=-I(_2_4)2+(3_5)2 =-136+4 =V40
Usando a equa«ao do drculo com h = -2, k = 3 e r = V40 ternos
(x + 2)2 + (y - 3)2 = 40,
No calculo, costurnamos considerar retas em urn plano
coordenado. Suas equa«6es SaD dadas pel as seguintes f6rmulas.
(II) Forma Ponto-
-Coeficienle angular
(ill) Forma Coeficienle angular-
-Inlerceplo
(1.9) da alguns tipos especiais de retas com seus coeficientes
angulares.
(i) Vertical: m nao-definido (i1) Paralelas: m I
Horizontal: m = 0
._."Esbo~e_ a.reia definida para cad a par de pontos e determine sell
(C. epef\ciente angular. .
(c) A(4,3) e B(-2,3) (d) A(4,-I)eB(4,4)
SOLUC;Ao
x B~~2:~)"'-l-+:+~+~'+-13!-J:)IHI+1 .~ -H-++r1' . r:'~
. t(4' -1)
I
I, 'I)
IIII I
2-4 -2 1
3-(-1) =4""=-2
5-(-1) 6 3
2-(-2) -4"="2
3-3 0
4- (-2) =(; =0
(d) 4 - (-1) 5 -, d fi 'd N 'm= 4-4 =O,quenaoe eml o. otequearetae
vertical.
Urna equa~ao linear em x eye uma equa~ao da forma
m: + by = C (ou ax + by + d = 0), com a e b nao simultaneamente
nul os, 0 grafico de urna equa"ao linear e uma reta.
7-2
1 - (-3)
Podernos usar as coordenadas deA ou deB para (xl' Yt) na forma
"ponto-coef.angular'~. (1.8)(ii). Usando A(I, 7) temos:
y-7 =~ (x-I),
(a) Determine 0 coeficiente angular da reta 21: - 5y = 9.
(b) Determine as equa,,6es das retas por P(3, --4), paralela e
perpendicular 11 reta (a).
SOLuC;Ao
(a) Escrevendo a equa"ao como 5y = 2x - 9 e dividindo ambos
os rnernbros por 5, obternos
2 9y=sx-s
Cornparando esta equa"ao com a equa"ao geral y = mx + b,
vernos que 0 coeficiente angular e m = ~
(b) Por (ii) e (iii) de (1.9), a reta por P(3, --4) paralela 11 reta
(a) tern coeficiente angular ~ e a perpendicular, _~. As
2
equa,,6es correspondentes san
y + 4 = ~ (x - 3), ou 2r - 5y = 26
e y + 4 = -% (x - 3), ou 5x + Zy = 7.
Esboce os gnificos de 4x + 3y = 5 e 3x--Zy = 8, e ache 'sell puntu
de intersec"ao.
As duas equa,,6es sao lineares, logo, os gr('ficos s;,o rclas, I'ara
tra"ar os graficos podernos usar os ioterccplos-x e us ;ntercep-
tos-y, obtidos fazendo-sc x = 0 e y m 0 respcctivalll 'lite.
As coordenadas do ponto P de intersec<;ao sao obtidas como
solu<;ao do sistema:
{
4x+ 3y =5
3x- 2y = 8
Para eliminar y do sistema, multiplicamos a primeira equa<;ao
por 2 e a segunda por 3:
{
8x+ 6y = 10
9x- 6y = 24
Somando membra a membra, obtemos:
Esta e a coord enad a x do ponto de intersec<;ao. Para determinar
a coordenada y de P, fazemos x = 2 em 4x + 3y = 5, obtendo
Exeres. 1-8: Reesereva, sem usar 0 simbolo de valor
,ab~oluto.
1 ' (a) (-5)13 - 61
2 (a) (4)16- 71
3 (a) 14 -It I
(b) I--6V(-2)
(b) 5/1-21
(b)ln-41
(e) 1-71+141
(e) HI+I--91
(e) IY2 - 1,51
4 (a)1v'3 -1,71 (b)II,7-v'3f (c) 11-~1
5 13+x1 se x < -3 6 15- xl se x > 5
7 12- xl se x < 2 8 17+ xl se x >:-7
Exeres. 9-12: Res:olva por faloramento.
9 15x2 - 12 = -ax 10 15x2 - 14 = 29x
11 2x(4x + IS) = 27 12 x(3x + 10) = 77
Exeres. 13-16: Resolva a equa~ao ulilizando a f6r-
mula quadnitiea.
13 x2 + 4x + 2 = 0
15 2x2 - 3x - 4 = 0
14 x2 - 6x ~ 3 = 0
16 3x2 + Sx + 1 = 0
Exeres. 17·38: Resolva a desigualdade e exprima a
solu<;aoem termos de intervalos, quando possive!.
17 2x + 5 < 3x-7 18 x- 8> Sx + 3
2x-3 20 -2 < 4x + 1 ,,0193"-S-<7
3
21 x2 -x - 6 < 0 22x2+4x+3>:0
23x2-2x-S>3 24 x2 - 4x - 17" 4
25 x(2x + 3) >:S 26 x(3x-I)" 4
27~>2 28 x-2 ,,42x-3 3x+S
29 _1_>:_3_ 2 2
, x-2 x+l 30 2x+3" x-5
31 ~ + 31< 0,01 32 ~ - 41" 0,03
33 ~ + 21>: 0,001 34 ~ - 31> 0,002'...'
35 12x+ 51 < 4 36 13x - 71>:S
3716 - Sxl" 3 381-11-7xl > 6
Exercs. 39·40: Descreva 6 conjunto de ponios
f(x, y) que satisfazem a condi<;aoindicada.
I
~9 (a) x = -2 (b) y = 3 (c) x >: 0 (d)xy > 0
(e) y < 0 (I) ~I" 2 e 1>'1" 1
40 (a) y = -2 (b) x = - 4 (e) x/y < 0 (d) xy = 0
.. (e) y > 1 (I) Ixl >:2 e 1>'1>: 3
Exeres. 41·4: Determine (a) dCA, B) e (b) 0 ponto
~edio de AB. '
43 Mostre que 0 triangulo com vertices A(8, S),
B(I, -2) e C(-3,2) e retiinguto, ~ calcule sua area.
44 Mostre que os pontos A ('-4, 2), B(I, 4), C(3, -I)
., e D(-2, -3) sao vertices de um,quadrado.
, .' ";~ "I
49 y = x3 - 8
51 y=Yx-453 (x + 3)2 + (y - 2)2 = 9
55 Y = - v"f6:XT
50 y = _x3 + 1
52 y = Yx- 4
54 x2 + (y - 2)2 = 2S
56 y=¥4=XT
Exeres. 57-60: Determine a equa~ao do cueulo que
satisfaz as condi~6es indieadas.
57 Centro C(2, -3), raio S.
58 Centro C(-4, 6), passando por P(I, 2).
59 Tangente a ambos os eixos, centro no segundo
quadrante, raio 4.
60 Extremos de um diiimetroA(4, -3) e B(-2, 7).
Exeres. 61-66: Ache a equa<;aoda rela que salisfaz
as eondi¢es indicadas.
61 Passa por A(5, -3), coeficiente angular -4.
62. Passa por A(-I, 4), coeficiente angular i.
63 Intercepto-x 4, interceplo-y -3.
64 Passa por A(S, 2) e B(-I, 4).
65 Passa por A(2, - 4) e e paralela 11rela Sx - 2y " 'I.
66 Passa por A(7, -3) e e perpendicular 11 reta
2x - Sy = 8,
i
Exercs. 67-68:\Determine a equa<;ao da bisseclt rll
perpendicular de ~:-., . -----:-
Exeres. 69·72: Trace os graficos das relas e d Ic,
mine seu ponto de intersec<;ao.'
.70 4x + Sy = 13; 3x + Y =-4
71 2x + Sy = 16; 3x - 7y = 24
72 7x - By = 9; 4x + 3y = -10
1£J73Aproxime as coordenadas do pOlliO do 1111 Irl (
<;aodas retas .
- 0.1 )x + (0.1l)\''Y = 1/,[5
(2,51)\"x + (6,27 - ..[f)y = V2
174 I\proxime a menor raiz da seguinte equa~ao:
x2 _ (6,7 x 106)x + 1,08 = O. Para evitar caleular
liln zero dessa raiz, escreva a formula quadnl.tiea
omo
2c
x~ -b±~
75 A radIo na qual urn comprimido de vitamina C
ome~a a dissolver-se:depeilde da area da super-
ffcie do comprimido. Urna marca de comprimido
I '111forma ciHndr';ca, cornprimento 2 cm, com
11'misferios de diametro 0,5 em cad a extremidade
(veja a figura). Uma segunda marca de compri-
Illi lu vai ser fabricada em forma cililldric~, com
H,~ cm de altura.
III) Del'lmine 0 djametro do segundo comprimi-
,Ill de modo que a area de sua superficie seja
111'11111\do primeiro comprimido.
(10) Ill'lennine 0 volume de cada comprimido.
/I, \1111Iltlll i ""lle <Je latas deseja fabricar uma lata
I "' 111111111lle cilindro circular reto com 20 cm de
111111111cO I,HOO ellf de capacidade (veja a figura).
I I, 1I'IIIIIne u raio interior r.
II /I Ilil"'" 11\(,,111''"11 vidro de aumento simples,
IHIP '11ndu "'11 1I111:lIcntc cOllvcxa. 0 objeto a ser
11\111\nilltill "!ll~ Ill'alizadu de maneira que sua
distancia p da lente e menor que a distiineia focal
f. A amplia~ao linear Mea razao do tamanho da
imagem para 0 tamanho do objelo. Mostra-se em
fisiea que M = f /(f-p). Se f = 6 .cm, a que
distancia dalentedeve ser coloeado 0 objeio de
modo que sua imagem seja nominimo Ires vezes
o objeto?
,•••• r-~~"~---"----C_-_"'~j~..~....'.' ,l Objel~"'" ','.
'---_.~ ;
; l..-p_:" .
>--/----1
78 A medida que a altitude de uma nave espacial
aumenta, 0 peso do astronauta diminui ate atingir
urn est ado de imponderabilidade. 0 peso de urn
astronaut a de 60 k, a uma altitude de x quilome-
tros acima do mar, e dado por
W=60(~)26400+x
A que altitude 0 peso do astronauta sera inferior
a 2k?
79 A distancia de frenagem d (em melros) de urn
carro correndo a v km/b e dada aproximadamente por
d = v + (1'2120). Delennine veloeidades que resultem
em distiincias de frenagem inferiores a 25 m.
80 Para que um remedio produza 0 efeito desejado,
sua coneentra~ao na corrente sanguinea deve
estar acima de urn certo valor, 0 /Iivelteropelltico
minima. Suponhamos que a concentra~ao de urn
remedio t horas apos ser ingerido seja dada por
c ;: 2011(12+ 4) mgfL. Se 0 nive! terapeutico
minimo e 4 mg/L, determine quando este nlvel e
exeedido.
81 A resislcneia eletrica R (em ohms) para'um fio
de metal puro est a relaeionada com sua tempera-
tura T (em "C) pela formula R. = Ro (1 + 01').
para constantes positivas a e Ro.
(a) Para que temperatura se. tem R = RO?
(b) Supondo que a resistencia seja O. ,(zero) se
T = -27~. "C (zero absoluto), determine o.
(c) Urn fio de praia tern uma resistenda de
1,25 ohms a O_°c. i..' que temperatura a
resi~tencia c igual a 2 ohms?
112Os produtos famaceutieos devem especificar as
dosagens recomendadas para adultos e crian~as.
Duas formulas para modifica~iio da dosagem de
adulto para uso por crian~as san: .
on de a de nota a dose de "ciullO (elll lIlillgrllnll"l)
eta idadc da crian~a (em anos).
(a) se a = 100, fa~a 0 gnifieo das dllas c<Jua~<I's
lineares no mesmo sistema de eixos para
Os t s 12.
(b) Para que idacle as duas formulas especificam
a mesma dosagem?
A oo<;ao de funr;'ii~ 6 fundamental para todo nosso trabalho em
calculo. Definimos urna fun<;ao como segue:
-;,; ·:'j.l·' :. ;1/' ".'·i_~··,. J I it \ •..• ;
"'Uiria'ruii~ao- fdeum conjun1o D em. urn ·conj un to E e uma
;~ !:brr6spOlidenCiaAue .assoCi'a· a cadi elementox de D
ex~tamentei.imelemCtito y de E.
o elemento y de E e 0 valor de f em x e se denota pOI f(t)
(le-se "f de x"). 0 conjunto D e 0 domfnio da fun<;ao. 0
!.<. : ;/' -'./. < contradominio f e 0 subconjunto de E que consiste em todos
, J' 'L os valores possiveis f(x) para x em D. .
Em geral ilustramos fum;oes como na Figura 1.15, onde os
coojuntos DeE sao representados por pontos dentro de regiaes
do plano. As setas curvas indicam que os elementos f(x), f(lV) ,
fez) e f(a) de E correspondem aos elementos x, IV, z e a-de D.
E importante notar que a cada x em D esta associrido exOjomellte .
um valor f(x) em E; todavia, diferentes elementos de I/, tais
como w e z na Figura 1.15, podem originar 0 mesmo valor da
fun<;ao em E. Nos Capitulos 1-14, a expressao "f Ii umoftlllr;iio"
indica que 0 dominio e 0 contradominio de f san conjuntos de
numeros rea is.
Usualmen(e definimos lima 'fun<;ao f enunciando uma
fonnula o~ ~egra para a:h.ar f(x),· tal. como f(x) = {x - ~.
Supae-se entao que.o dommlO seJa 0 'conJunto de todos os reals
tais que f(x) seja real. Assim, para f(x) ~~, 0 dominio e
o intervalo infinito [2, 00). Se x esta no dominio, dizemos que f
e defioida em x, ou que f(x) existe. Se oS c urn subconjunto do
dominio, entao f e definida em S. A expressao f oao e definida
em x significa que x nao esta no dominio'Qe f.
lr- 1-
, X
~ ') =
( , ) )
1()
)
I - 1,0,)
,.......,_1
::: ') ':
J , - 'J,)
l I -,
~ 'j~
f(x) = ';4 +x
I-x
Determine 0 dominie de f.
Determine f(5), f(-2), f(-a) e - f(a),
SOLUI;Ao
(a) Note-se que f e real se e somente se 0 radicando 4 + x e
nao-negativo e 0 denominador 1 - x e diferente de zero.
Assim, f(x) existe se e somente se
ou, equivalentemente, x ;,;-4 ex;" 1.
Logo, 0 dominio e [--4, 1) U (1, 00).
(b) Para achar valores de f, substitufmos x pelos valores
dados:
f(5) = ';4 + 5 = ..f9 =_1
1-5 -4 4
fG]=2Y ..fI
f(-2)= 1-(-2) 3
f( -a) = v'4+""(-iiI _ ';4 - a
1-(-a) l+a
-f(a)=- ';4+a = ';4+a
I-a a-I
Muitas formulas que ocorrem na matematica e nas ciencias
detemiina'm func,;oes. Porexemplo, a formula A = nl da area A
de urn drculo'de raio r associa a cada real positivo r exatam~nte
urn valor de A. A letra r, que represenia urn numero arbitnirio
do. dominio, e uma varhivel independente. A letra A, que
representa '0 contradomfnio, e uma variavel dependente, pois
seu valor depellde do valor atribuido a r. Quando duas variaveis
reA estao relacionadas desta maneira dizemos que A e fWI~iio
de r. Outro exemplo: se urn automovel viaja a uma velocidade
uniforme de 50 km/h, entao a distilncia d (em quil6metros)
percorrida no tempo t (em horas) e dada por d = SOt; logo, a
distiincia d e uma fun~ao do tempo t.
~1f.~~}1P~~!~m~sf::·~~~~~.----~~
. ~-.--3m --~ ----,-..~,
ty y = f(x)
r--'--------
Co"n~om'o,,1 P( a. f( a)) 1
"1'_ J_ -"1 :
I I !fta) 1I I ' I'-----t_~
I I a I x
i I I
. ~- Domlnio de f - ~
Deve-se construir urn tanque de ac,;o,para armazenagem de gas
propano, na forma de urn cilindro circular reto de 3m de altura
com urn hemisferio em cada extremidade. 0 raio r deve ser aind~
determinado. Expresse 0 volume V do tanque como func,;ao de r.
A Figura 1.16 ilustra 0 tanque. 0 volume da parte cilindrica e
dado por 'o?
~ "'?'.@(nl.2) ~~nr
Os dois hemisferios das extremidades, considerados em conjunto
tern como volume
v = _43n,-3 + 3nr = ~ nr (2r + 15)3 •
Esta formula exprime V como func,;ao de r.
$e f e uma func,;ao, utilizamos urn graftco para ilustrar a
variac,;ao do valorfuncional f(x) quando x varia no dominio de
f. Por deftnic,;ao, 0 grafico de uma func,;iio e 0 graftco da
equac,;iioy = f(x) para x no dominio de f. Conforme a Figura
1.17, costurI)a-se rotular f(x) 0 graftco de uma func,;ao. Note-se
que se pea, b) esta no graftco, entao a coordenada-y b e 0 valor
funcional f(a). A figura exibe 0 dominio de f (conjunto de
valores possiveis de x) e 0 contradominio de f (val ores corres-
pondentes de y). Conquanto tenhamos considerado 0 dominie e
o conlradominio intervalos fechados, eles podem ser intervalos
infinitos ou quaisquer conjuntos de reais.
E importante notar que, como hi! exatamente urn valor f(a)
para cada a no dominio, somente urn ponto no grafico tern
coordenada-x a, Assim, cada vertical intercepta 0 grafico de uma
func,;iiono maximo em urn ponto. Conseqiientemente, 0 gn\fico
de uma func,;ao nao pode ser uma figura tal como urn drculo,
que pode ser cortado par uma vertical em mais de urn ponto.
Os inlerceplos-x do gnifico de uma funltao f sao as solultoes
daequaltao f(x) c 0. Tais niimeros sao os zeros da funltao. 0
inlerceplo-y do gnifico e f(O), se existir.
Se f e uma fun~iio par - isto e, se f(-x) c f(x) para lodo
x no dominio de f -entao 0 grafico de f e simetrico em relaltao
ao eixo-y, pelo teste de simetria (i) de (1.6). Se f e uma fun~ao
impar - isto e, se f(-x) c -f(x) para to do x no dominio de f
- entao 0 grafico de f e simetrico em rela<;ao 11 origem, pelo
tesle de simetria (iii). Grande parte das funlt0es no ciilculo nao
sao nem pares nem imp ares.
'A ilustraltao que segue contem esbo<;os de griificos de
algumas funlt0es comuns. 0 leitor deve verificar em cada caso
a simelria, 0 dominio e 0 contradominio indicados.
GRAFICOf;
'-f-~
__._U_~(! x D = ( -00, 00)R = ( -00, 00)
D = [0,00)
R, = [0, 00)
eixo-y
(fun~iio par)
D = ( _00, 00)
R = [0, 00)
origem
(fun~iio imparl
CIIJ!. J Ucvisllo jJ,.~.(,tltellllJ 1.1
FUN<;:Ao f GRAFf CO Sl!v!ETRIA DOMiNIO D, CONTRADOMfNIO II
,IJ -+ D= ( .00, ee). f(x) = x eixo • y R = [0, 00)
f(x)=
IIJ + origem D= ( -00, ee)X ([un~iio imparl R = ( .00, (0)
'\
~;
f(x) = I xl eixo • y D = ( _00, ee)
C
([un~iio par)
R = [0, (0)
. f(x) =.! + origemx ,x ([un~iio imparl D = ( _00, 0) U (0, (0)R = ( _00, 0) U (0, 00)
t·J··~_ .•••••• _~ ._. ~'_' .•. ' :. •• _._ .0 •.• _ ••••••••• •
Hii funlt0es que sao definidas por mais de uma expressao,
como no exemplo a seguir.
\
2x+3
f(x)= ~2
se x < °
seOsx<2
se x 2: 2
Se x < 0, enlao f(x) = 2x + 3, e 0 griifico de f e parte da rela
y c 2x + 3 (Figura 1.18). 0 pequeno circulo indica que 0 ponto
(0, 3) nao eslii no griifico.
Se ° s x s 2, f(x) =x2, e 0 grafico e parte da parabola
y = i.Note que (2, 4) nao est a no gnlfico.
Se x •• 2, os valores funcionais sao sempre I, e 0 grafico
e uma semi-reta horizontal com extremidade (2, 1).
Se x e urn numero real, definimos [[xl] como segue:
[[x)) = n, oode II e 0 maior inteiro tal que liS X.
Se identificames IR com pont os numa reta coordenada,
entao II e 0 primeifo inteiro 11 esquerda de x, ou igual a x.
[[0,5]] = 0
[[3]] = 3
[[- v'3 ]] = - 2
• [[V5]]=2
• [[-2,7]] = -3
• [[1,8]] = 1
• [[-3]] = -3
• [[-D,S]] = -1
-2sx<-1
-1 sx < 0
Osx<l
Isx<2
2sx<3
,Sempre que x estiver entre inteiros sucessivos, a parte corres-
pondente do grafico sera urn segmento de reta horizontal., Parte
do grafico est a esbo<;ada na Figura 1.19. 0 grafico continua
indefinidamente 11 dire ita e 11 esquerda.
Os graficos da Figura 1.20 ilustram transla<;oes verticais
do grafico de y = f(x) resultantes da adi<;ao de uma constante
c >
X
a - c a a + c x
Figura 1.20 Figura 1.21
:.~
i. A} A y.
:.l. - , 4". Y = x +7-
Y = (x + 2)' y= x' Y = (x - 4)'
Y = x'
Y =
,
-2x
x x
Figura 1.22 Figura 1.23 "
Transla<;jo
Vertical, c > 0
c (positiva au negativa) a cada valor funcional. A Figura 1.21
ilustra transla<;oes horizontais.
As vezes podemos obter 0 grafico de uma fun<;ao aplicando
uma transla<;ao a urn grafico conhecido, conforme mostram as
Figuras 1.22 e 1.23 para f(x) = x2•
o grafico de y = c f(x) pode ser obtido multiplicando-se
por c a coordenada-y de cada ponto do grafico de y = f(x). Se
c < 0, os graficos de y = cf(x) e y = Ic If(x) sao chamados
retlexiies de cad a urn deles em rela<;ao ao eixo-x. As Figuras
1.24 e 1.25 ilustram alguns casos especiais com f(x), = x2•
Transla<;ao
Horizontal, c > 0
(',1/(',,10 com Gcome/ria Analf/ica Cap. 1
y = 4x'
y = ~x'
Se f e g saG fun<;6es, definimos a soma f + g, a diferen<;a
f - g, 0 produto fg e 0 quocicntc fig como segue:
(f + g)(x) = fix) + g(x)
(f - g)(x) = fix) - g(x)
(fg)(x) = f(x)g(x)
(~)iX) =~~
o dominio de f + g, f - g e fg e a illiersecr;iio dos dominios
de f e g - isto e, os numeros comuns a ambos os dominios. 0
dominio de fig consiste de todos os numeros x na intersec<;ao
tais que g(x) " O.
Sejam fix) = v'4=7 e g(x) = 3x + 1. Determine a soma, a di-
feren<;a, 0 produto e 0 quociente de f e g e indique 0 dominio
de cada urn.
o dominio de f e 0 intervalo fechado [-2, 2] e 0 dominio de g e
R Conseqiientemente, a inlersec<;ao de seus dominios e [-2,2] e
obtemos:
(f + g)(x) =";4 - x2 + (3x + 1),
(f - g)(x) = ~ - (3x + 1),
(fg)(x) =";4 - x2 (3x+ 1),
(1) «:7g (x).: (3x+ 1) ,
Uma fun<;ao f e uma fun<;ao polinoniial se fix) c urn
polinomio, isto e, se
, fix) = onX' + 0".!X"'+ ... + 0IX + 00'
onde os coeficientes 00' a" ... , an saD numerus reais e os
expoentes saG ,inteiros nao-negativos. Se an " 0 entao f e de grau
n. Veja alguns casos' especiais (onde ° " 0):
grau 0:
grau 1:
grau 2: .,
fix) ,; °
fix) = ax + b
fix) = a.r2 + bx + c
fun<;ao constante
fun<;ao linear
fun<;ao quadratica
Vma fun<;ao racional e 0 quociente de duas fun<;6es
polinomiais. Mais adiante utilizaremos metodos para invesligar
graficos de fun<;6es polinomiais e racionais.
Uma fi.lli<;aoalgebrica e uma fun<;ao que pode ser expressa
em terrnos de som'as, diferen<;as, produtos, quocientes ou poten-
cias racionais de polinomios. Por exemplo, se
f() 5 4 2 Vi x(r + 5)x = x - x + ..fX'+7X
entao f e uma fun<;ao algebrica. As fun<;6es que nao SaD
algebricas SaGditas transcendcntes. As fun<;6es trigonomelricas,
exponenciais e logaritmicas, estudadas mais adiante, SaD exem-
pIos de fun<;6es transcendentes.
No restante desta se<;ao veremos como, a parlir de duas
fun<;6es f e g, poderemos obter fun<;6es composlas fog ego
f. A fun<;ao fog e definida como segue:
A fun~'o 'compo'slaj;" g e definida como'
"·i:·}I:;~:'.I{{;:;,~/,Cf.,0 g)(x) = f(g(x»
;~. ·-:';;".,f:! n;'~:'i!";:'::\ : ;;;):''':~q. '. .
",0 dorn!nio,de;/ 0 g.e p;cohjunlo de lodos os x do domimo
, cie'g'iai 'q~!~'glx)'est~'no dorninio de f
A Figura] ,26 ilustra rela<;6es entre f, g e fog. Note que,
para x no dominio de g, primeiro determinomos g(x) (que deve
estar no dominio de 1) e entao, em segulldo lugar, determillamo.l'
f(g(x»,
Para a fum;ao composta g 0 I, invertemos a ordem,
determinando primeiro I(x) e, em seguida g(f(x». 0 dominie
de g 0 I e 0 conjunto de lodos os x no dominio de I tais que
,I(x) esta no dominio de g.
Se f(x) = r-1 e g(x) = 3x + 5, determine
(a) (I 0 g)(x) e 0 dominio de log.
(b) (g 0 f)(x) e 0 dominie de g 0 f.
SOLUc;Ao
(a) (f 0 g)(x) = f(g(x»
= f(3x + 5)
=(3x +5f-1
=9r + 30x+ 24
definil$ao de log
definil$ao de g
definil$ao de f
o dominio tanto de I como de g e R Como para cada x
em ~ (0 dominio de g) 0 valor g(x) esla em ~ (dominio de I),
o dominio de log e tambem R
(b) (g 0 f)(x) = g(f(x» defini<;ao de g 0 I
=g(r-1) definil$ao de I
=3(~.2-1)+5 defini<;ao de g
=3r}2 simplificando
Como para cada x em ~ (dominio de f) a fun<;ao f(x) estii
em ~ (dominio de g), 0 dominio de go I e ~.
Pelo Exemplo fi. ve-se que I(g(x» e g(f(x» nem sempre
sac a mesma~ f.r ::, ~ ~ 0 I. ,,'. ,,,'
Se duas fun~oc' I <: g tern ambas dominio ~, 0 dominio de
log ego I e tambem R Este fato e ilustrado pelo ExempIo 6. 0
proximo exemplo mostra que 0 dominie de uma fun<;aocomposta
.pode ser diferente dos dominios das duas fun<;6es dadas.
EXEMPLO 7
Se f(x) = r-16 e g(x) = Vi, d~termine
.. \.
(a) (f o'g)(;) e 0 do~nio de log
(b) (g0 f)(x) e 0 dominio de g 0 I
Primeiramente note que 0 dominio de I e ~ e que 0 dominie de
g e 0 conjunto de todos os reais nao-negativos - isto e, 0
intervalo [0, oc). Procedernos como segue:
. .
(a) (f og)(x) = I(g(x))
= I(Vi)
= (Vi)2 - 16
= x -16
defini<;ao de log
defini<;ao de g
defini<;ao de I
simplificando
Se consideriissemos apenas a expressao final x - 16,
poderiamos ser Ievados a crer que 0 dominie de log fosse ~,
pois x -16 e definirla para todo real x. Todavia, tal nao e 0 caso.
Por defini<;ao, 0 dominie de log e 0 conjunto de todos os x em
[0, <Xl) (dominio de g) tal que g(x) est a em ~ (dominio de f).
Como g(x) = Vi estii em ~ para todo x em [0,00), segue-se que
o dominio de log e [0, x).
(b) (g 0 f)(x) = g(f(x»
=g(r-16)
=YXCI6
defini<;ao de g 0 I
defini<;ao de I
Por defmi<;ao, 0 dominio de g 0 I e 0 conjunto de todos os
x em ~ (dominio de f) tal que I(x) = x2 - 16 estii em [0, 00)
(dominio de g). A afirma<;aoi -16 estii em [0,00) e equivalente
a cad a uma das desigualdades
-\.2 _ 16" 0, r" 16, e Ixl" 4
Assim, 0 dominio de g 0 I e a uniao (-00, -4] U [4, 00). Note
que e diferen'le dos 'do'minios de leg.-..•
Para certos problemas no ciilcuIo, coslumamos Inverter estc
procedimento, ou seja, dado y = hex) para alguma fun<;ao ".
determinamosuma forma funcionalcompostay= I(lI) e 1I = g(x)
tal que hex) = I(g(x» .
Suponha que, para urn numero real x, queiramos ca1cular (2x + 5)8
usando uma ca1culadora. Primeiro calculariamos 2x + 5 e em
seguida elevariamos 0 resultado a potencia 8. Isto sugere fazer
o metoda usado no exemplo precedente pode ser aplicado
a outras fun~6es. Em geral, suponha y = h(x). Para escolher a
expressao interior It = g(x) em uma forma funcional compost a,
fa~a a seguinte pergunta: se estivesse us ando uma calculadora,
que parte da expressao h(r) seria calculada primeiro? Isto conduz
em geral a escolha adequada de It = g(x). Ap6s escolher u, recorra
a h(x) para determinar y = f(u). A ilustra~ao que segue contem
problemas tipicos.
ILUSTRAC;Ao
EscolllU de II = g(x)
1I=.~-5x+l
Valor do FIlIlfrIO
• y = (x3 - 5x + It
• y=,h.2_4
2
• y= 3x+7
2y=-
II
A forma funcional composla nunca e iinica. Considere, por
exempl~, a primeira expressao da ilustra<;ao precedente:
Sendo n urn inteiro arbitrario nao-nulo, poderiamos escolher
II = (x3 -5x + 1)" ey = 1/4/••
Assim, ha urn niimero ilimitado de formas funcionais compostas.
Geralmente, nosso objetivo e escolher uma forma tal que a
expressao resullante para y seja simples, como fizemos na
ilustra<;ao.
I
1 Se f(x) = -.Ix- 4 - 3x, ca1cule f( 4), f(8) e f(13).
x '..
2 Se f(x) = x _ 3' ca1cule f( -2),f(0) e f(3,01).
Exeres. 3·6: Se a e Iz sao reais, determine e simpli-
fique (a) f(a), (b) fe-a), (c) -f(a), (d) f(a + h), (e)
f(a + It),- f(a) ,
f(a) + f(It), e (I) It' desde que It '" 0.
f'.(\..!J f(x) = 5x - 2 4 f(x) = 3 - 4x
. @)f(x) = x2 - X + 3 6 f(x) = 2x2 + 3x - 7
Exercs. 7·10: Determine 0 dorninio de f
7 f(x) = ...!.±.l
j x3-4x
4x '
. 8 f(x) = 6x2 + 13x _ 5
10 f(x) = -.l4x-3
x2-4
Exeres. 11-12: Determine se f e par, impar ou nem
par nem impar.
11 (a) f(x) = 5x3 + 2x
(b) f(x) = ~rl-3
(c) f(x) = (8x3 - 3X2)3
12 (a) f(x) = -.l3X4 + 2rl - 5
(b) f(x) = 6x5 - 4x3 + 2x
(c) f(x) = x(x - 5)
Exercs. 13-22: Esboce, no mesmo phino coordena-
do, os graficos de f para os valores dados de e.
(Utilize simetrias, transla~oes verticais, transla~oes
horizontais, alongamento ou reflexao.)
13 f(x) = ~rl+ e;
14 f(x) = Ix - cl;
15 f(x) = 2vx + e;
16 f(x) = .;g.::xr + e;
17 f(x)= 2-.1x-e;
18 f(x) = -2(x - e)2;
19 f(x) = d4 _Xl;
20 I(x) = (x + c)3;
e = 0, 1,-3
e = 0, 1,-2
e = 0, 1,-2
e = 1,3,-2
e = 0,1,-2
21 I(x) = (x - efJ3 + 2; e = 0, 4, :-3
22 f(x) = ~r- Ij1/3 - e; c = 0, 2, -1
Exercs. 23-24: 0 grafico de uma fun~ao f com
dominio 0 ,; x ,; 4 e exibido pela figura. Esbocc 0
grafico da equa~ao dada.
(a) y = I(x + 3)
(b) y = f(x - 3)
(e) y = I(x) + 3
(d) y = f(x) - 3
(e) y = -3f(x)
(I) Y = -31(x)
(g) y = . fix + 2) - 3
(h) y = f(x - 2) + 3
(a) Y = f(x- 2)
(b) Y = f(x+ 2)
(e) y = f(x) - 3
(d) Y = f(x) + 3
(e) y = -2f(x)
(I) Y = -1f(x)
(g)y= -f(x+ 4)-2
(h)y= f(x-4) + 3
{
X+2 sex,;-I
25 f(x) = x3 se Ixl < 1
-x+3 sex>: 1
{
X 1 sex,;-2
26 I(x) = _;2 se -2 < x < 1
-x + 4 se X" 1
{
X2 - I--sex ••-l
27 I(x) ~ x + 1
2 se x --1
{
x2 - 4
28 I(x) = 2 -x se x •• 2
1 se x - 2
29 (a) f(x) = [[x - 3]]
(e) f(x) = 2[[x]]
30 (a) f(x) = [[x + 2]]
(e) f(x) = ~[[x]]
(b) f(x) = [[x]] - 3
(d) f(x) = [[2x]1
(b) f(x) = [[x]] + 2
(d) f(x) = [[~x]]
48 = 1 .~!'-
y (x2 + 3x - 5j3
W
50 Y= 1 + Tx"
x3-x+l .
@ 51 Se I(x) = ~ e g(x) =~, aproxlme
vx.
if a g)(2,4) e (g 01)(2,4).
@ 52 Se f(x) =R+1 -I, aproxime f(O,OOOI). Para
evilar ealcular urn valor zero para f(O,OOOI),
reescreva a formula de f como
Xl
f{x)- R+T + 1Exercs. 31-34: (a) Determine if + g)(x), if - gK~),
ifg)(x) e if Ig)(x). (b) Determine 0 dominie de f + g,
1- g,fg e fIg.
31 f(x) = VX+ 5;
32 f(x) = ~3 - 2x;
Exercs. 35-42: (a) Determine if a g)(x) e 0 domfnio
de fog. (b) Determine (g a I)(x) e 0 dominio de g of.
35 f(x) = x2 - 3x; g(x) = vx + 2
36 f(x) = vx - 15; g(x) = x2 + 2x
37 f(x) = vx - 2; g(x) = VX+ 5
38 f(x) = v3 -x; g(x) = vx+ 2
39 f(x) = v25 -xl; g(x) = vx-3
40 f(x) = v3 -x; g(x) = VXC16
41 f(x) = _x_. g(x)= -x2
3x+2'
2x
33 f(x) =-;
x-4
\
\\
g(x) = vx + 5
g(x) = vx + 4
3x
g(x) = X + 4
3
g(x) = ~
53 Deve-se construir uma caixa aberta com urn
peda~o retanguJar de cartoJina de 50 x 76 em,
cortando-se uma area x em cada canto e dabran-
do-se as lados (veja a figural. Expresse a volume
V da caixa como fun~lio de x. ,
/1x} .
/
.' .. " .:./__________ ? ,.., /1
'~"-""''''''''
Exercs. 43-50: Determine uma forma funcional com-
posta para y.
54 Urn aquario aberto em ci!Jla, de.15 em de altura;
deve ter Urn volume de rio It: Sejam x 0
comprimento e y a largura (veja'a figural.
(a) Expriinir y como fun~o de x. '.
(b) Exprimir em fun~lio de x·a area total de vidro
necessario.
43 Y = (x2 + 3x)1f3
1
45 Y= (X-3)4
f
45cm
~
55 Urn baliio de ar quente e Jiberado 3 Ih da tarde e
sobe verlicalmenle 11 razlio de 2 m/s. Urn ponto
de observa~lio est a situado a 100m do ponto do
chlio direlamenle debaixo do ballio (veja a figural.
Sendo t 0 tempo em segundos, apos 1 da tarde,
exprima a distancia d do ballio ao ponto de
observa~lio em .fun~lio de t.
56 Deve-se construir urn lanque de a~o em forma de
urn ciJindro circular relOde 3m de altura com dois
hemisferios nos extremos. 0 raio r ainda eSla par
determinar. Expresse a area S da superficie do
tanque em fun~lio de r.
57 De urn ponto exterior P que esta a It unidades de
urn cfrculo de raio r, tra~a-se uma tangente ao
cfrculo (veja a figural. Seja y a distancia do ponto
P ao ponto de tangericia T.
(a) Expresse y como fun~o de It. (Sugest5es: Se C
e 0 centro do circulo,PT e perpendicular a CT.)
(b) Se reo raio da terra e It e. a altura de urn
foguete, entao podemos deduzir uma formula
para a distancia maxima (3 terra) que urn
astronauta pode ver da nave. Em particular,
se It = 321.800m e r = 6.436.000m, de uma
aproxima~lio para y.
58 0 trianguloABC esta inscrito em urn semicfrculo
de diametro 15 (veja a figural.
(a) Se x e 0 comprimento do lade AC, expresse
o comprimenlo y do lado BC como fun~ao de
x, e indique seu dominio. (Sugestiio: 0 angulo
ACB e reto.)
(b) Expresse a area do triangulo ABC como
fun~iio de x.
~A 15 B
59 As posigaes relativas de uma pista de aeroporto
e de uma torre de controle de 6,1m de altura sao
iJustradas na proxima figura. A cabeceira da piSlll
esta a uma distiincia perpendicular de 100 metros
da base da torre. Se x e a distancia percorrida nil
pista par urn avilio, expresse a distancia d enll'
o aviiio e a torre de controle como fun~lio de x .
:1\ , \'
\ "2 .)' ) •• "
C -:: >'
" . r,-;, "J':
If Wllslru;r urn abrigo retangular aberto
11111 I II<1U ern 2 lados verticais 'de 1,20m de
hilI \1111 f 11111I '10 plano, anexo a urn armazem ja
I ,IHII 1111'. Ido plano deve ser de lala· que
III III "II ",,:.Iro quadrado, e as dais lados
III Villi ,,'I de c,)mpcnsado,que custa $ 2 por
111111111111111""<10.
II ) '" 11I/11'1I111O de $ 400 para a conslru\Vao,
I KI'"\/I/10 0 comprimento y em fun\Vao da
11111111' \,
III 1\ 1'1 1111 III 1I/lIlOlIavedo programa Apolo tinha a
11111111\ II 11111 1I'll"';0 de cone circular relo. Na
III 11111, II III liS <IllSbases a c /) ja foram delermi-
11111111
<a) Utilize a semeJhan~ de trianguJos para ex-
pressar y como fun~ao de h.
(b) Expresse a volume do lionco em fun~o de h.
<c) Se a = 2m e b = 1m, para ~ue valor de h a
volume do tronco e de 20m ? '
62 Urn cilindro circular reto de raio r e altura h esta
inserito num cone de altura 12 e raio da base 4,
eonforme a figura.
<a) Expresse h como fun\Vaode r.
(b) Expresse 0 volume V do cilindro em fun~ao
de r.
/, /,
~
o
I. x
Lado
Inicial
Na geometria, urn angulo fica determinado por duas semi-retas
com mesma origem 0, 0 vertice do angulo. Sc A e B sao pontos
das retas I. e 12na Figura 1.27, temos 0 anguloAGB ou L AGB.
Costumarnos de no tar urn anguJo por uma letra grega n, f3 ou e.
Na Irigonometria tambem pod cmos interpretar L AGB como
uma rotac;ao do raio II (lado inicial do angulo) em tomo de 0
ate uma posiC;ao especificada por 12 (0 lado terminal). A
quantidade e a direc;ao de rotac;ao sao arbitHlrias; podemos fazer
II darvarias vollas em qualquer das duas direc;6es ein tomo de
o antes de parar em 12, Assim, infinitos angulos podem ter os
rnesmos lados inicial e terminal.
lntroduzindo urn sistema retangular de coordenadas, a
posiC;iio padriio de urn angulo 8 e obtida tomando a origem
como vertice e 0 lado inicial ao longo do eixo-x positivo (veja
a Figura 1.28). 0 angulo 8 e positivo para uma rotac;ao
anti-horaria, e negativo para uma rotac;ao horaria.
A magnitude de urn angulo pode ser express a seja em graus
ou em radianos. Urn angulo de medida em grallS, I" corresponde
a ~ de uma revoluc;ao completa na direc;ao anti-horaria. Urn
minllto (1') e cl; de urn grau, e urn segundo (I") e cl; de urn
minuto. No calculo, a unidade de medida angular lIlais impor-
tante e 0 radiallo. Para definir urn radiano, consideremos 0
drculo ullitario U com centro na origem de urn sistema
retangular de coordenadas, e seja 8 urn angulo na posiC;ao padrao
(veja a Figura 1.29). Fazendo 0 eixo-x rodar ate coincidir com
o Iado terminal de 8, seu ponto de intersecc;ao com U percorre
uma certa distancia tate chegar a sua posiC;ao final P(x; y). Se
t e considerado positivo para uma rota~ao anti-horaria e negativo
para uma rotac;aQ horaria, entao 8 e urn angulo de 1 radianos, e
escrcvemos 8 = I. Na Figura 1.29, t e 0 comprimento do area
AP. Se 8 = 1 (isto e, se 8 e urn angulo de 1 radiano), entao 0
comprimento do arco AP em U e 1 (veja a Figura 1.30).
Como a circunferencia do circulo unitariohn,·segue-se
(180).1 radiano = ~
Quando se dd a medida em radian os, nao se indicu
unidade. Assirn, se urn lingulo tern rnedida em radianos 5,
escrevernos 6 = 5 em lugar de 6 = 5 radianos. Quando se trata
de rnedida em graus,escrevernos 6 = 5'.
Radianos 0 ~ ~ ~ ~ 2rc 3rc 5rc 7rc 5rc 4rc 3rc 5rc 7rc llrc6 4 3 2 3 4 6 rc 6 4 3 2 3 4 6 2J1:
Graus O' 30' 45' 60' 90' 120' 135' 150' 180' 210' 225" 240' 270' 300' 315' 330' 360'
A tabua acirna exibe a rela<;ao entre rnedidas em radianos
e em graus, para varios lingulos usuais. Os valores podern ser
verificados utilizando-se 0 Teorerna (1.13).
Urn angulo central de urn circulo e urn iingulo 6 cujo
vertice coincide com 0 centro do circulo (Figura 1.31). Dizernos
entao que 0 arcoAB subtende 0 lingulo 0 ou que 6 e sub ten dido
por AB. Da-se a seguir a rela<;ao entre 0 cornprirnento s de
AB, a rnedida em radianos de 0 e 0 raio do circulo r.
Se urn areo de comprirnento s nurn circulo de raio r subtende
urn angulocentra1de rnegida 6 em radian os, entao
Se Sl e 0 cornprirnento de qualquer outro arco do circulo, e Sc
61 e a rnedida em radianos do lingulo central correspondentc,
entao, pela geornetria plana, a razao dos arcos e a rnesma que II
razao das rnedidas angulares; isto e, S/Sl = 6/61' donde S = S,
0/61, Se considerarrnos 0 caso especial em que 6,= 2n:, enlno
SI = 2Jtr, e obternos S = 2Jtr6/(2n:) = r 6.
Utilizarernos rnais adiante 0 pr6xirno result ado.
Se 6 e amedida em radianos de urn iingulo central de "'11
circl!l~ derai6'rAseA e~~rea do setor circular dcfinido po,'
~~.~~J~<};\:.~:~;:i~>:~~};~t·~)d~'j, ~
.<;,~\~;.~\~b .::~>':~;:.--\';;;)
"; ':-J,"~:i;:~;";:.;;.!';- :,:,':~:. j "; >:~' . .:4.::.!. rie
2
A Figura 1.31 exibe urn lingulo tfpico e 0 corresponLlcl11 . r, 'io,
circular. Se 6 e qualquer outro iingulo central eA I a arCH<1\1 '1\lilll
correspondente; entao, pel a geornetria plana, A/A, •• 0/01 1111
A = AI6/61• Considerando 0 caso especial 6, = 2Jt cntUuA I 1I11
e A = nr6/(2Jt) = ,!/26.
2 .
As seis fu~<;oes trigonometricas sao 0 SCIIIl, 0 1''''Nllllll, II
tangente, a co-secante, a secante e a co-tanI,:Cllfl', I I pllll VII
mente .. PodernosdefiniT as fun<;oes trigonol11ctri liS 1111111111 I
de urn iingulo 60ude urn nurnero realx. H:\ dois m~IO"llrll'lIdl
,que utilizarn linguI9s:, .
1. Se 6 e agudo (0 < 6 < n/2), poclemos ut illl.lIl' '"11 II 11111111
retlingulo.
ft I ,II, Ifill '.'111 (Irln"t1I,I" A",,'_"_(i_cn__ C~ap~,_l _
filII
I111111t1111 IrlCBS (1.16)
TlIdos
posilivQS
t'c~,\();O--~
'ee 0> 0
2: ,Se f) e qua/quer angulo (em posi<;ao padrao), podernos
utilizar 0 ponlo pea, b) em que 0 lado lerminal de f)
intercepta 0 eir~ulo xl + y2 = r.
., .. , '."1,' .\ ff!
,Nas defini<;oe,S'que seguern, as abreviaturas adj, op e hip
sac usadas para d~;;ignar os cornprirnenlos do lado adjacente, do
lado oposto e da hipotenusa de urn triangulo retangulo tendo f)
como angulo.
I 6, 'cos6 =-.'sec6 =_
(~~.\fV;'i';~";{~li'}ht";"".:'a :;t..
'C', tg' 6 = ~ ,;'cot 6 = 1
'~,; ·:~:!:~.:~i:,';.t:~,lY,;:r,(;"
(iii) De urn nurnero 'real X:t
o valor de lima filllfiio' Irigonomelrica para 11mmlmero
real x e ~eu valor em urn anguli> de x radianos ..
Note, por (iii), que nao ha diferen<;a entre fun<;oes trigono-
rnelricas de angulos medidos em radianos e fun<;iies trigonome-
tricas de um nurnero real. Por exernplo, podernos inlerpretar
sen2 como 0 'Seno de urn angulo de 2 radianos ou como sendo
o seno do numero real 2.
Os val ores das fun<;oes trigonornetricas de angulos agudos
em (i) sao razoes de lados de urn lriangulo retangulo, logo, sao
numeros reais positivos. Para 0 caso geral (ii), 0 sinal do valor
da fun<;ao depende do quadrante que contern 0 lado terminal de
0, Por exemplo, se 0 esta no quadrante II, entao a < 0, b > 0 e
dai sen f) = blr > 0 e csc e = rib> O. As oulras quatro fun<;oes
sao negativas. A Figura 1.32 indica esquernaticamente estes
falos. 0 leitor deve verificar os sinais nos quadrantes reslantes.
Ideqtidades
fundamentais (1.17)
Observa-se a partir de (ii) da Defini<;ao 1.16 que 0 dominio
de sen e eos cons isle em todos os angulos e. Como tan e e sec
e nao sac definidos se a = 0 (isto e, se 0 lado terminal de 0 est a
no eixo-y), 0 dorninio de tan e see consiste em todos os angu)os
exceto os de medida em radianos (r/2) + nil, onde t! e um numero
inteiro. 0 dominio de cot e csc consiste em todos os iingulos
exceto os de medida em radianos 1ft!, pois cot 0 e csc e nao sao
o,,finidos se b = O.
De (ii), nola-se que
Isen 01 :s 1, Icos 01 :s 1, Icsc 01 ",Ie Isee 01 "' 1
para todo 0 no dominie destas fun<;oes.
Indicamos a seguir algumas rela<;oes importantes 'entre as
fun<;oes lrigonometricas, Lembremos que uma expressao tal
como sen2 0 significa (sen e)(sen 8).
·.''''.r:' J.f' ...,...fl.····"B 'cosO
see e = cos f) cot = sen f)
1,. - &:> .' 1 + eot2 e = csc2 f)
))~ , ,
Cad a identidade fundamental pode ser demonslrada recor-
rendo ao item (ii) da Defini<;ao (1.16). Por exemplo:
r 1 1cscf)=-=--=--
b (blr) sell e
I e = !!. = 1!?ld = sell e
g a (air) cos 0
As identidades fundamentais sao uteis para mudar a forma
de uma expressao que envolva fun<;iies trigonometricas, Para
iluslrar, como cos1 e = 1 - sen1 e,
sell 0 sell e
Ig e = cas 0 = ± "II - sell" e
'No Capitulo 9 utilizaremos substilrtifoes trigOIlOllllftriclI.I'
do tipo ilustradono proximo exemplo.
Se a > 0, expre sse ~ ell! termos de uma fun<;ao lrigono-
metrica de 0 sem radicais, fazendo a substitui<;ao trigonometrica
x = a sen 0 para _!:!. '" 0", !:!.2 2
Fa<;amos x = a sen 0:
.,ja2- xl = .,ja" - (a sen OJ!
= .,ja"_ (a2 sen" 0)
= .,ja" (1 - sen" 0)
= .,ja" cos" 0
= a cos 0
A ultima igualdade e verdadeira porque, primeiro, yar = a se a > 0,
e segundo, se -n12 '" 0 '" n/2, entao cos 0 '" 0 e dai
VCQS2ll = cos O.
Ha varios metodos para achar valores de fun<;6es trigono-
metricas. Para certos casos especiais podemos referir -nos a6s
trHingulos retangulos da Figura 1.33. Aplicando (i) da Defini<;ao
(1.16) obtemos:
Va/ores especiais das fum;6es trigonometricas (1.18)
Graus sen 8 CDS 8 tg 8 cot 8 see 8 csc e
~I
~ .l Vf Vf Vf 2Vf 26 30' 2 2 3 3
~ Vf Vf 1 Vf Vf30° 4 45' 2 2
V3
Vf Vf 2Vf~ .l Vf 2
3
60' 2 2 3 32J1 Duas raz6es para enfatizarmos esses valores especiais saD
45° (1) que eles saD exatos e (2) que eles ocorrem com freqiiencia
1 na trigonometria. Em vista de sua importilncia, e conveniente,
Figura 1.33 se nao memorizar a tabua, pelo menos ser capaz de determina-Ios
rapidamente com auxilio dos triangulos da Figura 1.33.
Angulos de
referencia
E possivel aproximar, com qualquer grau de precisao, os
valores das fun<;6es trigonometricas para qualquer angulo. A
Tabua A do Apendice III da aproxima<;6es de alguns valores
com quatro decimais.
As calculadoras cientificas tern teclas SIN, COS e TAN
que pod em ser usadas para obler essas aproxima<;6es. Os valores
de csc, see e cot pod em ser obtidos utilizando a tecla de inverso
1/x. A lites de usar a ca/cu/adora para achar va/ores de ftlllf;oes
qlle correspolldem em radiallos, certifiqlle-se de qlle a ca/cll/a-
dora esta IlOmodo radiallo. Para va/ores de fum;oes elll graltS,
a ca/cll/adora deve estar IlOmodo grall.
Como ilustra<;ao, para achar sen 3D' numa calculadora
lipica, coloque-a no modo grau, entre 0 numero 30 e aperte a
tecla SIN. Obtera sen 3D' = 0,5, que e 0 valor exato. Utilizando
o mesmo processo para 60' obtemos uma aproxima<;ao decimal
de ..[3/2, como, por exemplo, sen 60' = 0,8660254. Do mesmo
modo, para achar urn valor tal como cos 1,3, onde 1,3 e urn
numero real ou a medida em radianos de urn angulo, colocamos
a calculadora no modo radiano, entramos 1,3 e apertamos a tecla
COS obtendo cos 1,3 = 0,2674988.
Para determinar valores exatos de fun<;6es trigonometricas
para urn angulo 0 em (ii) da Defini<;ao (1.16), as vezes utilizamos
o angulo de referenda de e - isto e, 0 ilngulo agudo OR que
o lado terminal de e faz com 0 eixo-x. A Figura 1.34 ilustra 0
angulo de referencia OR para urn angulo em cad a quadrante.
Mostra-se que, para achar 0 valor de uma fun<;ao trigono-
'metrica em 0, podemos determinar seu valor para 0 angulo de
referencia OR de 0 e entao prefixar 0 sinal adequado referindo-a
.•. ao quadrante que contem 0 (veja a Figura 1.32).
II II)
1/
e = 5lt
6
A Figura 1.35 ilustra 0 angulo e seus angulos de referencia.
Utilizando vaiores funcionais de angulos especiais (1.18), ob-
temos:
5lt It V3
cos (; = -cos "6= -2
5lt It V3
Ig (; = -lg"6 = -3
(b) sell 315· = -sell 45· = _Y2
2
cos 315" = cos 45" = Y2
2
Se usarmos uma calculadora para aproximar val ores de
fllnc;oes, os angulos de referenda tornar-se-ao desnecessarios.
Como ilustrac;ao, para achar sen 210·, colocamos a calculadora
no modo grau, inserimos 0 numero 210 e apertamos a tecla SIN,
obtendo sen 210· = --0,5, que e 0 valor exato. Usando 0 mesmo
processo para 240·, obtemos a aproximac;ao decimal
Para achar 0 valor exato de sen 240·, nao se deve usar uma
calculadora. Neste caso, achamos 0 angulo de referencia 60· de
240· e usamos 0 teorema sobre angulos de referencia juntamente
com resultados conhecidos sobre angulos especiais, obten~o
sell 240· = -sell 60· = _V3
2
Para trac;ar 0 griifico do seno e do co-seno, podemos estudar
a variac;ao de sen e e cas e quando e varia, usando urn cfrculo
unit,hio U em (ii) da Definic;ao (1.16). Fazendo r = 1, as formulas
cos e = aIr e sen e = blr tomam as formas mais simples cos e = a
e sen e = b. Logo, 0 ponto pea, b) em U pode se denotar por
P( cos e, sen ll), conforme ilustrado na Figura 1.36. Fazendo e
aumentar de 0 a 21t, 0 ponto P(cos e, sen e) percorre 0 cfrculo
unitario uma vez no senlido anti-horario. Observando a coorde-
nada-y, sen e, de P, obtemos os seguintes fatos nos quais as setas
sao usadas para indicar as variac;oes de e e sen e. (Por exemplo,
o ....,.lt/2 indica que e aumenta de 0 a lt/2, e 0....,. 1 significa que
sen e aumenta de 0 a 1).
o ....,.~ ....,.It ....,.3lt ~ 2lt
2 2
":.~
''lI1!,'
~~:\
.~..
Se P continua a percorrer U, 0 mesmo padrao se repete a
intervalos [m, 4lt] e [4lt, 6ltJ. Em geral, os valores de sen e se
repctem em todos os intcrvalos sucessivos de amplitude 2lt. Uma
func;ao f com dominio D e periodica se existe urn. numero
positivo real k tal quc x + k esla em D e f(x+k) = f(x) para todo
x em D. Isto implica que 0 griifico de f se rcpete a interval os
sucessivos de amplitude k. Se existe urn menor numero real
posilivo k, e chamado 0 periodo de f. Segue-se que a func;ao
seno e peri6dica com periodo 2lt. Utilizando este fato e grafando
diversos pontos, lomando val ores especiais de e tais como lt/6,
lt/4 e m/3, oblemos 0 graft co da Figura 1.37(i), em que
utilizamos l:J = x como variavel indcpendente (medida em
radianos ou numeros reais).
o gr:\fico de y = cos e pode ser obtido 'de modo ana logo,
estudando a variac;ao da coordenada-x, cos e, de P na Figura
1.36 a mcdida que e cresce. 0 lei tor deve verificar os griificos
restantcs da Figura 1.37. Note que 0 periodo das func;oes tan-
gente e co-tangente e It.
Uma equa ••iio trigonometrica e uma equac;ao que contem
expressoes trigonometricas. Cada identidade fundamental e um
exemplo de equac;ao trigonometrica, onde cad a numero (ou
allgulo) no dominio da variavel e uma soluc;ao da equac;ao. Se
uma equac;ao trigonometrica nao e uma identidade, em geral
oblemos soluc;oes utilizando tecnicas analogas as usadas para
equac;oes algebricas. A principal diferenc;a e que primeiro
resolvemos a equac;ao trigonometrica em relac;ao a sen x, cos e
elc., e em seguida achamos os valores de x ou e que salisfac;am
a equac;ao. Se nao se especifica a medida em grollS, entao as
soilll;oes de lima eqlla~ao Irigollometrica devem ser expressas
em radianos (011;llimeros reais).
u
(ii) Y = cosx
Y
(iii) Y = tgx
Y
SOLu<;Ao
(a) Se sen = t, .entad 0 angulo de referencia para 8 e rt/6. Se
considerarmos 8 como urn angulo na posi~ao padrao, entao,
como sen 8 > 0, 0 Iado terminal de e estii no quadrante I
ou no quadrante II (veja a Figura 1.38). Assim, hii duas
solu~6es para 0 s 8 < 2rt:
(b) Como a fun~ao seno tein periodo 2rt, podemos obler todas
as solu~6es adicionando multipJos de 2rt a rt/6 e 5rt/6. Oaf
vem
8r
t285rt2 ..= 6 + rtll e = (5 + nil para todo mteno 11
'y I
1ti y = sen B y = 2"--m-__~n~~ hnv
~'Irt_7x\:;i1 :DJ3~"1;;;J
6 6 6 6 6 6
Uma solu~ao griifica alternativa envolve a determinar;ao do
ponto em que 0 griifico de y = sen e intercepta a reta horizontal
y = 1, con forme ilustra a Figura 1.39.
Dada uma equa<;ao trigol1ometrica tal como sen 8= 0,6635,
podemos aproximar e usando uma calculadora ou uma liibua.
Cerlas calculadoras tern uma tecla SI~l ou ASIN para este fim.
Com outras, e preciso apertar INV e entao SIN. Essas nota<;6es
baseiam-se nas" fWII;oes Irigollol/lI!lricas illversas, que serfio
estudadas na Se~ao 8.2. Como veremos, hii uma fun<;iio denotatla
por sen -I, ou arcsen, tal que
rt rt
sen-I (sen e) = 8 se -"2 s e s"2 (ou -90· s e s 90")
Note que "esta formula indica que, aplicando sen-I a sell II,
obtemos 8, desde que 8 satisfa<;a as restri~6es indicadas.
"0 proximo exemplo ilustra 0 uso de uma calculadorll Ill!
- ies?lu~ao deuma equa<;iio trigonometrica.
EXEMPLO 4
Se sen 8 = 0,5 e 8 e um angulo agudo, use Ul11l1'alcllladlll'lI iJllIll
apr.oximar a. medida de 8
.sOLu<;Ao
• •• " ••0£
(a) Coloque a calculadora no lI1odo grllll:
(vllillf d ' ~~II II)
(11ll"1lillll"'II 11.1111'1IIII
/""(b) Coloquc a calculadora 110l11odo IlIdlllll":
"'" -,,:'''"'"" fnsira 0,5: 11,5 (vld'lI 11\ iI'li 0
o ultimo numero e uma aproxima«ao decimal para urn angulo
de medida n/6 radian os.
E imporlanle nolar que ha muitos va)ores de 0 tais que
sen 0 = 0,5, todavia, uma calculadora dii apenas 0 valor entre 0
e n/2 (ou entre O· e 90·). Da mesma forma se sen B = _ 0 5 a
calculadora darii uma aproxima«ao do v~lor 0 = -n/6' (~u
o = -30·) entre -n/2 e 0 (ou entre -90· cO·).
Na Se«ao S.2 dcfiniremos tambem fun«6es denotadas por
cos-
I
, ou arcos, e tan-I, ou arctg, com as seguintes propriedadcs:
cos-I (cas B) = B se O:s 0 :s lt (ou O·:s 0 :s ISO·)
Ig-I (Ig 0) = e se -~ < B < ~ (ou -90· < B < 90·)
Estas fun«6es podem ser cmpregadas da mesma forma que
S)N""I (islo e, INV SIN) usada no Exemplo 4. Ao utilizar uma
calculadora para achar 0, devem-se observar as restri«6es quanto
a B. Por exemplo, hii muilos (infinilos) valores de 0 tais que tg
o = -1; todavia, uma calculadora dii apenas 0 valor que estii '
entre -n/2 e 0 (ou entre -90· eO·). Se se desejam outros valores,
pode-se proceder como no excmplo seguinte.
Se 19 0 = -0,4623 e O· :s 0 < 360·, delermine 0 a menos de 0,1".
SOLU<;A.O
Se estamos utilizando uma calculaclora (modo grau) para achar
o quando tg 0 e negativa, enlao a medida em graus est<\ no
intervalo (-90·, 0·). Em particular, temos:
Insira -0,4623: -0,4623
Aperte INV TAN: -24,S11101
(valor de 19 0)
(um valor de 0)
Assim, a aproxima«ao em graus e = -24,S·.
Como desejamiJs ohler valores de Bentre O· e 360·, us·amos
o angulo de referencia (aproximado) OR~ 24,S·. Hii dois valorcs
posslveis de 0 tais que tg 0 e negativa - urn no quadrante II,
outro no quadrantc IV. Se 0 cslii no quadrante II e O· :s 0 < 360·,
temos a silua<;:ao da Figura 1.40, e
0= 180· - OR = ISO· - 24,S·, ou 0 = 155,2·
Se 0 estii no quadranle IV e O· :s 0 < 360·, entao, conforme
Figura 1.41,
o = 360· -.oR - 360· --:24,S·, ou 0 - 335,2·
Urn metodo ·de resolu«ao que nao envolve angulos de
referenda consiste em usar 0 fato de que a fun<;:aotangenle tem
perfodo n, ou ISO·. Assim, ap6s obter B - -24,S·, podemos achar
angulos apropriados entre O· e 360· somando ISO· e 360·, C0l110
segue:
-24,S· + ISO· = 155,2·
-24,S· + 360· = 335,2·
Existem muitas rela<;:6es importantes entre as fun<;:6es
trigonometricas. As formulas para as negalivas sao
sen (-ll) = -sen u eos (-u) = cos u tan (-II) = -tan II
csc (-II) = -CSCII see (-u) = see u cot (-u) = -cot Ii
Essas f6rmulas moslram que 0 seno, a tangente, a co-secanle e
a co-tangente sao fun<;:6es impares, e 0 co-seno e a secanle
fun<;:6es pares, conforrne tamhem indicado pelas simetrias de
seus griificos na Figura 1.37.
As formulas de adi(;iio e SUblra(;iio para 0 seno e 0 co-seno
As formulas do lingulo melode sao
sen2 u = l=..~os2u
2
? 1 + cos 2u
cos- u = 2
Estas e outras f6rmulas uleis no calculo estao relacionadas Illl
inicio deste livro.
Exercs. 1-2: Ache a medida exala do aogulo em
radianos:
1 (a) 150' (b) 120' (c) 450' (d) ....QO·
2 (a) 225" (b) 210' (c) 630' (d) -135'
Exercs. 3-4: Ache a medida exala do angulo em
graus:
3 (a) 2Jt
3
(b) 5lt
6
(b) 4lt
3
(d) _ 7lt
2
(d) _ 5lt
2
(c) 3lt
4
(c) lIlt
4
4 (a) lIlt
6
Exercs. 5-6: Ache 0 comprimenlo do arco que
subtende urn lingulo cenlral e em urn drculo de diamelro
d.
. 5 e = 50';
(; e = 2,2;
d = 16
d = 120
Exercs. 9-12: Ache as valores das fun~6es trigono-
metricas se e e urn angulo agudo.
11 tg e =.1-
.,. 12
Exercs. 13-14: Se e esta ria posi~ao padrao. e Q esta
no lado terminal de e, ache os valores das fun~6es
trigon~melricas de e.
Exercs. 15-16: Seja e na posi<;ao padrao, com lado
terminal no quadrante especificado e satisfazendo a
condi~ao dada. Determine os valores das fun<;6es
trigonometricas de 8.
15 Ill; paralela 11 reta 2y - 7x + 2 = 0
16 IV; perpendicular 11 reta por A(5. 12) e B(-3. -3)
Exercs. 17-20: Se e e urn angulo agudo, use identi-
dades fundamentais para escrever a primeira expres.-
san em termos da segunda.
17 (a) cot 8. sen 8
18 (a) tg 8. cos 8
19 (a) tg 8, sec 8
20 (a) cot 8, csc e
(b) sec 8. sen 8
(b) csc 8, cos 8
(b) sen 8. see 8
(b) cos 8. cot e
Exercs. 21-26: Volte ao Exemplo 1. Fa<;a a substi-
tui<;ao trigonometrica indicada e use identidades
fundamentais para obler uma expressao trigonome-
trica simplificada que nao contenha radicais.
. It It
x = 4 sen e, para - 2" s e s 2"
X2
22 ';9 _x2 ;
23 __ x_
';25 +x2
24 ';x2 + 4 .
x2 J
25 ,;xZ - 9 .
x •
27 (a) sen (2ltl3) (b) sen (-,-5"'4)
28 (a) cos 150' (b) cas (....QO·)
29 (a) tg (5lt/6) (b) tg (-lt/3)
30 (a) cot 120' (b) cot (-ISO')
31 (a) see (2lt/3) (b) see (-"'6)
32 (a) ese 240' (b) ese (-330')
Exercs. 33-38: Fa~a 0 grMico de f. utilizando alon-
gamento, reflexao ou lransla~ao.
33 (a) f(x) = ~ sen x
34 (a) fix) = sen (x - lt/2) (b) fix) = sen x - :ll2
35 (a) f(x) = 2 cas (x + It) (b) fix) = 2 cas x + ;(
36 (a) f(~) = ~ cas x (b) fix) = -3 cos x
(b) fix) = tg (x - 1t'-l)
(b) f(x) = tg (x + 3:(/4)
37 (a) fix) = 4 tg x
38 (a) fix) = ~ tgx
Exercs. 39-42: Escreva y em forma de fun~ao
composta.
39 y = ';Ig! x + 4 40 y = cot3 (2x)
41 Y = see (x + lt/4) 42 y = esc ';x - It
43 Se fix) = cos x. mostre que
[(x+ il) - [(x) (COS h - 1) (sen h)h = cosx --,-, - - sen x -h-
44 Se j{x)=sen x. mostre que
[(x + h) - [(x). (COS h - 1) (sen h)h = sen x --'-I - + cas x -it-
Exercs. 45-54: Verifique a identidade.
4S (1 - sen! 1)(1 + tg! I) = 1
46 see ~ - cas ~ = tg 13 sen ~
47 cse
2 e = cot2 8
1 + tg28
l+ese(?
49 ,,- cot (? = cas (?
see p
52 2 sen! 2/ + cos 4/ = 1
53 cos4 (8/2)·= -83+ ~ cas 8 + 1. cos 20_ 8
54 sen' 2x = 1 -' 1. cos 4x + ! cos 8x
8 2 8
Exercs. 55-56: Ache todas as solu~6es da cqlla~ o.
55 2 eos 28 - {3 = 0 56 2 sen 38 + V2 - 0
Exercs. 57-64: Ache as soluC;6es da equa~iio 'm
[O.2lt).
57 2 sen! u = 1 - sea u 58 eos 0 - sea 8 = I
59 2 tg 1 - see! 1 = 0
[gExercs. 65-70: Aproxime. a menos de 10'. as snlll
<;6es da equa<;ao que estao em l0'. 360').
65 sea e = --D,5640
67 tg 8 = 2.798
69 see 8 = -1.116
66 eos e = 0,7/190
68 cot 8 = --D.960J
70 cse 0 = 1.485
[g 71 Grafe y = (sea x - eos nx)/eos x para -.I
e estime os intereeptos-x.
[g 72 Aproxime a soluc;ao da equac;iio x - ~ens III I
zaado 0 processo abaixo:
(1) Grafar y = x e y = i eos x nos mcsmo ·1 (1/
coordenados.
(2) Usar as graticos em (1) para obler 11Il1h
primeira aproxima~ao x. da solu~ o.
(3) Determiaar aproximac;6es sllccssivllS I'
x3 •••.• empregaado as f6rmulns Xl - I ''lIt1 • I'
x3 = ~cos x2 ••..• ale abler lImll I' c i~ ') ii,
sex!a decimal.