Sinais e Sistemas Lineares_Lathi

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X(t-T=representa xt deslocado no tempo por T segundos. Se T for positivo, o deslocamento eh pra direita/atraso. S T for negativo o deslocamento eh para esquerda/ avanco
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comprimido x(at
expandido x(t/a
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o que acontece em t vai acontecer em -t, reverte em relacao ao eixo vertical
muda a onda em 180 graus
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importante
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Nota
um sinal que nao comecar antes de t=0 eh um sinal causal
sinais de duracao infnita sao sempre nao causais
Cliente
Nota
rever
Figunl P4.4·6 
;, 
~ t ) 
, 
TJ H 
Figura P4.4·7 
4.4·7 Determine a tensiio )"(1) de safda do circuilo 
da Fig. P4.4· 7 para cnndir,;6es iniciais i,(O) = 
1 A e 1',(0 ) = 3V. 
4.4-8 Para 0 circuito da Fig. P4.4-B. a cha\'c cstll na 
posir,; iio a por urn tongo perfodo de tempo 
quando e la c movida para a posir,;iio b inslan-
IF 
AlA 
'" + + 
, 
~ "cO) 
8n ~ 
~ > )'( 1 ) 
- -
taneamenle em r = O. Detennine a corrente 
y(r) para I 2: O. 
4.4-9 Mostre que a fun<;iio de transferencia que re-
laci ona a tensiio de safda 1'(1) com a lensiio 
de cnt rada .I:(r) para 0 circuito com amp-op 
da Fig. P4.4-9a e dada por 
438 STNAIS '" SISTEMAS LINFA IlliS 
(c) M:mtcndo OS outros componentes con!>-
tnntcs, qual C 0 efeito geTal na resposTa 
em amplitude para enlradas de baixa 
freqUeneia, se aumenlarrno~ a resisten-
cia R'! 
(d) Manlendo os outros componenles cons-
Tantes, qual e 0 efeilo geral na cesposla 
em <lmplitude parn cntradas de alta [re-
qUencia, sc aumentannos a rcsislencia R'! 
..«/) ---
:::r:: 
C • ....,,, 
v 
A 
c 
(0' 
( h' 
D~/ 
V 
F igura P4,9-4 (a) Diagrama de circui to para 
a malha de filtro do PLL (b) Possiveis gnifi -
cos de resposta e m amplitude para a malha de 
filtro do PLL. 
4.1 0-1 Usando 0 metodo grtfico da Se.:;ao 4 . 10- 1. 
obtenha urn eslxx;o da re.'iposta em amplituOc 
e fase pur.! urn sistema LCIT de-;cri{O pela sc-
guinte fun t;iio de transferencia 
s2 - 2s+50 
H(s) = , .. _ 50 :'-+.!..J,"+ 
(s - I - j7)(s - I + j7) 
(s + I - j7)(s + I + j7) 
qual e 0 lipo dcste fil tro? 
4. 10-2 Usando tl me toda gr.jfico da Sct;ao 4.10-1 , 
desenhe urn csblx;o da resposla em ampli tu-
de e fuse dos sistemas LC IT cujos gri1ficos 
de p6Jos-zeros esli'io mostrados nn Fig. 
P4.JO-2. 
- 2 - I 
f 
1m 
(a) 
Figura P4.1O-2 
pianos 
- 2 - I 
f 
1m 
(b' 
4.10-3 Projclc urn filtro pas.~a-faixa de segullda or-
dem com freqacncia centr.!l w = 10.0 ganbo 
deve ser zero para w = 0 e para w = 00. Sek -
cione p6los em - 0 ±j lO. Dcixe sua rcsPOSf.l 
em lernlOS de il . Explique a inOucncia de a na 
respasta em freqOcncia. 
4.10_4 0 sistema LClT descrito por H(.\·) = (s -
I )/(.f + I ) passui resposta em amplitude um-
tdria [flUrt)[ = I . Patricia Posiliva alimm que 
n safda y(t) deste sistema e igual a enlradax(t) 
pois 0 sislema e passa-tudo. Cintia Cfnica tlao 
conconia, --E. .. ta .! a aula de .fin(lis e sistf!lIIas~_ 
ela rcdama. ' 'Isso tell! que sec mais compliea-
do!"' Quem telll nlzllo, Patricia ou Cfntia? 1us-
tifiquc sua resposta. 
4.10-5 Dois estudante. ... Jo3o c Pedro. discordam so-
bre a fum;30 de urn sistema anal6gko dado par 
H 1(.t) = 1'.1000 LOgico afirma que 0 sistema 
possui urn .-:ero em $ = O. Pedro Rchelde, por 
outTO lado, obscrl'lI que a funr;1io do sistema 
pode ser rccscn ta como H1(s) = 1/$- 1 c arlffil3 
que iSlo implica em urn pOlo do sistema em $ = 
00. Quem eSla correlo? Pur que? Quais.sao os 
p6lose zeros do siSlema His) "" l/.t? 
4.]0-6 Urna fun<;iio de lratlsferencia radonal H(.t} e 
gcr.!lmente uri lizada pam represcntar urn fil-
ITO anaJ6gieo. Por que fl(s) cleve sec esrita-
mente propria pam. fillros pa.%a-baixas e pa~­
sa-faixa? Por que 11($) deve ser propria para 
filtros pa .. sa-aitas e para-faixa? 
4_10-7 Para urn dado IiITro de ordem N. poc que a la-
xa de atenuar;ao dn banda fillrada de urn fi ltro 
pa.~sa-baixas somenle de p6los e melhor do 
que de filrnL" l.."Om zeros finitos? 
4.10-8 13 pllssIl'el , com cocficientes rea is Uk, b J. h2. 
ti l . tl2] E R). que ° sistema 
CAI'huLo 4 A..'fALISC DE SI!ITE.'MS EM T EMPO Co:fl1Kuo U SANDO A TRAKSFOHMADA DE L APLACC 441 
4.M-4 Urn filtro passa·buixus anal6gico com fre-
quencia de corte we pode sec tr.msfonnado em 
um Iil lro passa.altns com freqUencia de cone 
w~ usnndo umn rcgm de trnnsforma~ilo Re-
CR: eada resistor R; e substi lUfdo po!' urn ea-
p.1citor C;' = IIR,w. C cOldn capOlcitor C, c 
substitufdo por urn resistor R;' = I /C(.tJc' 
Uril i'l-c esta regra para pmjctM um filtro 
passa-altas de BU\lerwonh de ordem 8 com (d. 
= 2,.,.4000 seguindo os passos Olbaixo: 
(a) Projete urn filtm passa-baixas de Butter-
worth de ordem 8 com w. = 2Jr4000 
usando quatro estngios do cireui to de sc-
gunda ordem de Sallen-Key, oa fonna 
mostradu na Fig. P4.M-2. Escolhn os va-
lores dus resislOres e cupacitores pard ca· 
da cstagio. Escolha os resiltJres de tal for-
ma que a trnnsforma~ili() RC-CR rcsulte 
em capac i tore.~ de I nF. Ate e.~tc ponto. (IS 
valores dos componentes sao reaHsticos? 
. (b) Dcsenhe urn e.<otIigio de Sallen-Key lrans-
formado pclo RC-CR. Detennine a fuo-
~ao de tmosfercncia H(s) do eSlllgio 
lr,tnsformado em teonus das varia\'eis 
R,:R1:C. ' eC1 '· 
(c) Transfonne 0 filtro·passa-baixas projcta. 
do na parte (a) usando a transfonna~ao 
RC-CR. Forn~a os valorcs dOli re.~isIOTe5 
e capacilores para cada estagio. Os valo-
res dos eomponentes 530 rcalisticos" 
Usando ll(s) obtido na prute b, trdee a 
resposta de amplitude de cadn ~oo alem 
da resposta de amplitude total. A resposta 
total parcce com urn filtm passa-allas de 
Butterwonh? 
Trace os p6l0s e zeros do filtro pas~a­
altas 00 plano cornplcxo s. Como estas 
posi~Oes podern ser cornparadas com as 
posi~Oes do filtro passa-baixlls de Butter-
worth. 
-1,,\-1·5 Repita 0 Prob. P4.M-4 usando 00, ::= 2;"1"1500 c 
urn fihro de ordem 16. Ou scja, scriio nett'>Sllrios 
oito estllgios de scgullda ordem oeste projelo. 
4.[\'1·6 Em vez de urn fi ltro de Butterworth, rep ila 0 
Prob. P4.M-4 para urn filtro passa-baixas de 
Chebyshev com R = 3dB de ripple na banda 
passante. Como cada est<igio transformado 
de Sallen- Key possui gaoho unitario para w 
= 00, urn crro total de ganho de ~ e 
aceitavcl. 
.. I-.M-7 A funliao butter do toolbox de processa-
mento de sinnis do MATLAB ajuda a projetM 
filtros anal6gicos de Buuerworth. Util ize 0 
hel p do MA11..AB para aprcJXIer a USMO co-
mando butter. Para cada urn dos seguintes 
ca.~us, pmjete 0 filtro. lrace os p6los e zeros 
do IlI U"O no plano eompleJI:O.f e trace a respos-
fa em arnpli tudeem decibel 20 log,oIH(jw)l. 
(a) Projetc urn fi hro passa-baixas anal6gico 
de ordem seis com w~ = 2.rr3500. 
(b) Projetc urn filtro passa-altas ana16gieo de 
ordern seis com w~ = 2;r3500. 
(c) Projete urn filtro passa-faixa anal6giL'O de 
ordcm ~is com banda passante entre 2 e 
4kH1:. 
(d) Projetc urn fillro pm-d-faixa anOll6gico de 
ardern seis com banda fillrada enlre 2 e 4 
kH,. 
4.1'11-8 A fun~iio chebyl do toolbox de proccssa-
mentode sinais do MA1LAB ajuda no projc-
to de fihms tipo I de Chebyshev. Urn fillrO li-
po I de Chebyshev po.~s ui urn ripple de banda 
passante e uma banda mIrada suave. Ajustan-
do 0 ripple da banda passante para R,. = 3dB, 
repita 0 Prob. P4.M-7 usando 0 cornafldo 
chebyl. Com tados os outros parimelros 
constantes, qual coereito geral da redu~l'iO de 
R,..o ripple permilido na banda passante? 
4.1\1-9 A fun~ao cheby2 do toolbox de pTocessa-
mento de sinnis do MATLAB ajuda no projc-
10 de filtros tipo TJ de Chebyshev. Urn trlt ro ti-
po n de Chebyshcv passui uma banda passan-
te suavc e urn ripple de banda filtrada. Ajus-
tando 0 ripple da banda filtrada para R,. = 
2OdB. repitn 0 Prob. P4 .M-7 w;ando 0 coman-
do cheby2. Com todos os outros parimetros 
constantes, qual eo efcito geral da redU~30 de 
RT> a menor· ntenu~ao dn banda filtrada? 
4.M-l0 A func,;:ao ellip do toolbox ck proccssamen-
to de sinais do MATLAB ajuda no pmjelo de 
filtms elfpticos. Urn filtro eifptico possui urn 
ripple tnnto fin banda pas.'\Unte quanto na baD-
da fihrnda. Ajustundo 0 ripple da banda pas-
sante para RI' = 3dB e 0 ripple da banda filtra-
da para RF = 20 dB Tepita 0 Prob. P4,M-7 
u5ando 0 comandO'ellip. 
4.M-U Usando a defini~ C:,{x) = cosh{N cosh -,(x)), 
prove a rel..,:ao reclIDliva C.,{x) = hC", _,(x} -
CN _ix). 
4.1\"1-12 Prove que OS p6los de urn filtm de Chebyshev, 
lucalizados em P. = w. scn (~ sen (t/f,) + jw, 
cos (~) cos (¢.) estilo em Ulna clipsc. [Dica: A 
equat;ao de urna eJipse no plano .r)' e 
• , b 
(xla)'+(ylb) = I. na qual a~ constantes a e 
defi llem os eixos maior e menor da cJipse.] 
C,\PiTULO 5 ANALISE Of: SJ~'TF.Mt.s fo.\l TEMPo DJSCJl.ETO USA1'~l>O A TRANSFORMt.P,\ 2 457 
Alcm disso, COmO /Il! [n ) ~ z/(z - li 
Ponamo, 
EXERCiclO ES.S 
;;.6- 6z+ 5 
Z5 (Z IF 
6 
Usando apcnas ° fatode que u[n] ¢::;- z/(z. - I) e a propriedade de desJocamento para a dircita [Eq. (5.15)J, deter-
mine n rraosrormada I dos sinais da.~ Figs. 5.2 e 5.3. 
RESPOSTAS 
Veja ° Exemplo S.2d e 0 E xerdeio ES.la. 
CONVOLUc:;Ao 
A propriedade de convoJm.ao 00 tempo afirma que set 
eOlao (COIII'O/lIrao no {emf/o j 
(5.1') 
Prova. E~sa propri: dadc sc apJicn a seqih!ncias causais e nao causnis.lrelllos prova-Ja para 0 caso mnis geral 
de scqilcncias nao C3usais, na qual 0 somat6rio de convolur;ao varia de --00 a 00. 
lemQs, 
Alterandu a ordcm do sOlllot6rio, temos 
x 00 
Zl xdnJ *x~[IJJ] = L xl[ml L x~ IIJ - 1111;:-" 
~ ~ 
= L XI [III ]Z-- L xl[r J.C· 
• Tambi!m ex isle a propricrladc de c"m·" lu~·ao M freq\l~llcia. a qual afirma que 
Xl[,Jixl[lIj <==> _ 1_. !Xl[U}Xl ['-]11 It/II 
2;rJ 1/ 
460 S IMIS E SISTEMAS l!NEAIWo.'i 
xlI! - 2JII I111 
I I 
71 Xlz;] + :.t[ - i ] + x( - 2] 
, " 
X (/1 - 3111[11] 
I 1 I 
-, X [Z] + ,xl- i ] + - x[ - 2] + x[-3J 
7 ' o. ~ 
[)eslocamcnto il. csquerda 
MuhipJicar;ilo por y" 
Mulliplicm;:all porI! 
Convolur;ilO no lempo 
Rcversao no tempo 
Valor inicial 
Valor inkial 
xll! + mJuln] 
x III + 1]1/[11] 
x iII + 2)11 [111 
xl" + 3JI/[IIJ 
rrxIIlJu[n] 
.t[ - 1I1 
.1"[01 
lim xlN) 
N_ oc 
" , , 
.-, 
z" XIz; J - z'" L .t[n Jz-" ... 
~ X[: ] - u[OJ 
: 2 X[z] - ;:~ x[OI - zx[ I ] 
,:3 X[;::] _ :.1.-.:[OJ - ~Zx[ 1 1- ::...-[2J 
d 
- :- X[z] 
d~ 
X I [z]X2 f:l 
X II I : ] 
lim X I: ] 
lim{: - I)XI :) 
:_ 1 
p6los de 
(: - I)X[:] denIm do cfrculo unilfuio 
VAWR ES lNIClAL E FlNAL 
Para urnx[nl caul'<ll. 
xtOJ = lim X[z] ,-00 
Esse resllltado C obtido direlamenle da Eq. (5.9). 
TambCm podemoo mOSlrar que ~e (.0 - I )XIz] nao possui pOlos fora do cfrcu[o unildrio. entao l 
lim xlN] = lime: - [)XI:J 
N_:<: , _ I 
Todas cssas propriedades da transfurmada : cslao lismdas na Tabela S.2. 
(5.23a) 
(5.23b) 
5.3 SOLU<;AO DE EQUA<;:UES DlFE REN<;A LINEA RES PELA TRANSFOR1\'L\DA Z 
• 
A propriedadc de deslocamento no tempo (dcslocamenlo a direi la ()u csqllerda) possi bili lOll a resolur;ilo de equao. 
~Ocs difcrenl;a Ji neares com (.:ocficicnles constantes. Tal (.:omo no caso da transformada de Laplace com eqlla'tOe.<i 
di ferent.-iais, II trunsfonnada: converte C(jlltlr;acs diferenr;a em eqlla<;i5cs algebricas que fMXIcm ser faci lmentc reO. 
solvidas oblendo-se uma SOlll<;OO no dominio z. Detcnninando-se a lJ'ansformada Z inversa da sol~ao no domfnio 
: obttm·sc a solu'tlio de.'\<:jada no dominio do tempo. Os scguintcs e:o:.emplos demonstram es~ proccdimento . 
• Is,,, pode scr mOSlr<liJo iJo fUIn que 
{
'} (z - I)X[:::] x[n]- .T[1l - 11 oe=;. I - ~ X[:1 = ~ , 
., 
(: - I)X[:::] L 
= I.I[111 - x[" - 1]):-· , 
., 
~ ~1 (: - ~) XIZI = ~~~(,: - I )X[d = ~o.~ J~!' L IX[III - x(n - 1]):- = ,J~m,., x(N] 
"-- ""0 
CAPITULO 5 A NALISE DE SISTEMAS F_'l T E.\lPO DISCRETO USANOO A TR ANSFORMADA Z 4 6 1 
5.5 
Resolva 
Y[II + 2) - 5Y[1/ + I] + 6),[111 = 3xr" + IJ + 5.r[IIJ (5.24) 
se a~ condi(foes iniciais fOTem )'[- 1] = 11/6, y[-21 = 37/36 e a entrada for xlII] = (2r~ulll I. 
Como veremos. equa(fOes diferenc;a podem ser reso[ \'ida~ usamln a propriedade de des[ocamenlo para a di -
rei la ou esquerda. Como a equm,1io diferen~·a. Eq. (5.24), e51ti na fonna operador avarx;o. () usn da proprie-
dade de (\(:s locamenio para a eMjucrda da Eq. (S.17a) e (S.17b) poUc para-er ser apropriado para essa solu-
liao. Infe lizmeme. como ,-islo nas Eqs. (5.17a) e (5.17b). C5Sas propricdadcs neces~lam do conhecimento 
das COIldi~~ au:x.iliarcs y[OJ, y[ I ]. .... yiN - I) em vez das coodiliOf:s inid ai ~ )'1- 11. )i-21. .... Y[--1I}, as quais 
gerJlmcnle sao fomecidas. Essa difieuldade pode ser supcr.tda exprcssando II equaliao diferem;a (5.24) na 
(omla de operador atraso (oblida subslituindo II por 11 - 1) e. COlao. usandu a propricdade de dcslocamento 
parol a direi la: A Eq. (5.24) na forma operador alrdl;O e 
Y[IIJ - 5)"[/1 - I] + 6)' [11 - 21 = 3x[n - 11 + 5xll1 - 2J (5.25) 
Podemos. agora. uLilizar a propriedade de des[ocamenLO pard a direi ta pard calculannos a Iransformada l. 
desla equa(fao. Anles disso, porem. de\'cmos eslar dentes do significado de lermos mrno Y[II - ' 11 prcsentcs 
na equaC;:io. Isso impliea Y[11 - 1111111 - [I UU Y[II - I]I/[II]? Em qualquer equa~ao. precisamos ter a[guma re-
ferincia tempor.tl/! = ° e todo tenno e rderenciado a este instante. Logo. Y[II - k] signifiea y[U - k]II[II]. 
Lcmbcc-se tambem de que apesar de cstannos considernndo a si tuilli10 para 1/ <:= 0, Y[ 1I1 esta prcsenle mesmo 
ante.~ de 1/ = 0 (na fonna de condi¢e.~ in iciais). Agora, 
. Y[lIJII[IIJ ¢:::::::> y(d 
I I II 
Y[II - I}I/[IIJ ¢:::::::> : }'[z] + y [ - IJ = -zY(z] + "6 
I 1 I I I 37 
\'[1/ - 2[IILIIJ ¢:::::::> - Y[z] + - y[-I} + y [-21 = - Y[d + - + -
- Z2 z· ,,2 6z36 
ObseiVando que para uma entrada causal X[II]. 
obtemos 
xl - II = x[- 2J = . . . = X[ - II] = 0 
, , 
X[ I/ - I ]II[II] ¢:::::::> - Xfzl + xl- Ij =-
z z z 
z +0 = -:-,'", 
0. 5 z 0.5 
I 1 . I I 
X [II - 2JulllJ ~ _2 X[ ;:] + : x [- [] + .r[- 2J = _2 X[.;:J + 0 + 0 = -;---'-;= 
~ .:. <. z(z 0,5) 
Em gcml. 
, 
X[II - rju [1I1 ¢:::::::> - x [z} 
" 
'Omra :lboTlla~cm tdelerminar y[O] .)"[I ]. y[21 • ...• y[lI[ de )'[- 1 [,JI-2 [ • ...• )1-111 imcralivamcnlC, lal como na Se~lio 3.5- 1 e, .m-
lao, aplicando:l propriedade de dcslocarncnlo para u e~l[ uenl~ na Eq. (5.24). 
CAP/roLO 5 ANAUS E DE Srl:>"TEMAS EM TEMPO D1SCRF.TO USANDO A TII.ANSFORMADA Z 467 
Mostre que a fllDt;:l'iO de lransferencia de urn alraso UnilanO e liz. 
Se 11 entrada do alrnso unirario for x[njl/[II}, entao sua saida (Fig. 5.7) e dada por 
Y[II ] = X[II - 1]1/[/1 - 11 
x[nJllfn] X[ II - 1 [11 111 - l) 
XI" YlzJ - t X[zJ 
Figura 5.7 Alraso nni lano ideal e sua funljAo de IransferC:ncia. 
A ttan~funnada z dessa equa~o resulta em l veja a Eq. (5.15a)1 
1 
YrzJ = - X[z] , 
= H[z]X[z] 
Logo. temos que a run~ao de transfeIincia do atraso unitario C 
EXERCicIO E5.13 
1 
H[zJ =-, 
Urn sistema em tempo discrete e descnto pela scguinte funyiio de transfeIincia: 
HIl l= 2:-0,5 
(z + O.5)(z I) 
(5.40) 
(a) Determine a resposta do sistema a entrada x [lll = T(o ~ I}I/[II) se todas as eondi90es inieinis forem nulas. 
(b) Escreva a equur;iio diferenlja que relaeiona 11 saida Y[II] com a entrada xlll] para el;te sistema. 
R ES POSTAS 
(a) y ln l = ~ [~ - 0,8(-0,5)", + O,3( j rJ lI[l1] 
(b) Y[II + 2]- O,5Y[11 + 1]- 0,5yll1] = xIII + IJ - 0,5x[lI] 
5.3·2 Estabilidade 
A Eq.(5.34) mOS[flI que 0 denominador de H[z] e Q[z]. 0 qual e aparentemente idc:nlieo ao poiinornio carnete · 
ristieo Q[)1, d efinido no Capitulo 3. Isso signifiea que 0 dcnominador de H[z] eo polin6mio C3metenstieo do 
sistema? Pode ou ni!o set 0 caso. Se P[z] e Q[z] Ila Eq. (5.34) possufrem qualquer falor comum, e!es iran se can· 
eelar c 0 denominador efetivo de H [z) nan Sera neeessariamente igual a Q[zl. Lembre·se que u funr;ilo de trans· 
fere ncia Hlz], tal como fIlllj, e dctinida em termos de d~eri r;OcS extemns do sistema. Por oUlro lado, 0 polinB-
mio Q[z] e uma descrilji!o interna. Obviamcnte, podemos determinar apenas a cstabilidade externa de H[z]. ou 
~ja, a estabilidade 81 BO. Se lodos m p61()1; de Hfz] cSliverem dentro do circulo unitirio, todos os lennos em 
hlzl QO exponenciais decre.~centcs e, como mostrado na So,;ao 3.10, "[n] sera absollllrunente somavei. Conse-
qilentemcnte, 0 sistema sem Bm o eslivel . Caso eontrario, 0 siste ma i\era BIBO instavel. 
468 SINhlS E SISllOMhS L[,.~EARES 
Sc P[z.] e Qlzl nilo possufrem falores comuns, entao 0 denominador d~ 11[z] e identieo a Qlz).' Os p6los 
de Hl z i silo as ra(zes canlcterfsticas do sistema. Podemos. agora, determinar a estabi lidade intema. 0 eri-
H!'riO de estabilidade da Se~ao 3.10-1 pode set reafinn ado em lennus dos pMos de HIt:I, como mo~trado a 
scguir. 
1. Urn sistema LDIT IS asSin!Olkamente est<l. vel ~e e somenle ~e todos os p610s de sua funqao de trans-
ferene ia fl [z] estiverem dClltra do cfn;ul0 unitan \). Os p6los p(J(lcm ser repetidos au simples. 
2. Urn sistema LDIT e ins.tfivel se e somenfe se uma ou as dullS condio;:6e:; a seguir exisfircm: (i) a41 mcnos 
urn p610 de H[zl e.~live[ fora do drculo unitano: (ii ) ExiSlirem pOlos repelidos de H{zl subre 0 circulo 
unilmo. 
3. Urn sisTema LDIT e marginaimente t:~ t;ivel sc e somente se mo eJl is tirern p6los de Il[z) fora do d rculo uni-
TanO e exi~ti rem alguns. p6100 .~implcs sOOre 0 circulo Uni!Mn. 
EXERCicIO E5 .14 
Mostre que um·aCIIlllulador. cuja resposta ao impulso e hili ] = u[/I ], C marginalmente estavel mas 8180 
in~tavel. 
5.3-3 Sistemas Inversos 
Se Hlzl e 11 fum;ao dc transferencia de um sistema S. entao SI' seu ~istema inversu. possui uma fUl1'iilO de trans· 
ferencia Hllz] dada por 
I 
HJzJ = li[z) 
&sn equa'i.1o segue do fato do siSTema inven;o SI dcsfazer a opef1l'iilo de $. Logo, se HI z1 e colocado em se-
rie com Hj[z]. a funo;: 1io de lram.ferencia lotal do sistema (sisTema idemidade) e uni tana. Por cxemplo. um acu· 
mufador. cuja funO;:30 de transfcrencia e li[z] = v (l. - I ), c urn siSIel/lu de diferem;a alrds. cuja fum,ao de trnns-
fereneia e H,[z] = (l - I)!z, sao sis!emas invcrsos. Similannell!e, se 
z - 0 4 
H lz] = z 0:7 
A fun o;:1iu de transferencia do sistema invcrso e 
H[_ I ~, - O.7 
" . 0 z - .4 
como ncccssm o pela propriedade HtzlliJzl = I. Logo. temos que 
hIll 1 * II! [/I] = ,s [II] 
EXERCicIO E5.15 
Determine a resposta ao impuiso de urn aeumulador e de urn si~ lema de difere~a alTas. MOSlre que a convoluo;:ilo 
da~ duas rcsposlaS ao impulso resuifa em an]. 
' Nao h:i como delt:Jminar so;: e~i-'!~m 00 nAo falmes comuns em P(zl c Q[ :::! que irio:se c.ancclar. pois e1l1 n!l.<.'Ia del:ennin~ de H [::]. 
gerntmenleoblClllos 0 te.<lltrado final ap6s OS eancdamenlos j.i k""rn oconi,Jo. Quando IIlitiZRJl1<}S a de>eri<;:iill inlema do sistema pa_ 
r .. obtCffiJOS QlzJ. CllWlunttl. obtcmo;; Q[.:j pum, nao alt~rado porqualqucr fu\Or comum ~'()m PI;:]' 
470 SIN. ... !S Il S!~'TF ... \4I\S L LNEARES 
¥[z l 
h~'_1 
(c) 
Figuru 5.8 ,ont i n\l(l~ilo. 
Obtenha as rcaliza~Oes direta canonica e Iransposla dircta canooica das seguintes fun~i">e~ de Iransfcrencia. 
2 
(iii) 
, 
(i) 
z+5 z+7 
(ii) 
4z+28 4z +28 
z + 1 (iv) z2+6z+5 
Toda.\ a.\ qut.tm fun~Oes de trnnsferencia sao casos C5peciais de HI~ 1 cia Eq. (5.41). 
(i) 
2 
H[zl = - -5 
z+ 
Para este caso, a fun .. ao de transrerencia ~ de primeira ordcm (N = 1). Portanto. iremos pn:!:isar de ape-
nas urn almoo para e.~ la rea1i7.u .. ao. Os coeficienles de realimema .. 1io e alimenta .. 1io direttl sao 
, bo=O. b, =2 
Utilizamos a Fig. 5.8 como nosso modelo. reduzindo-o para;) caso de N = I. A Fig. 5.9a lllostra a forma 
direta canonK:a (FDm. e a Fig. 5.9b sua transposta. As duas realiza .. &:S sao quase idenlicas. A diferen .. a 6 
(jue na form~ FD I I, 0 ganho 2 e fornecido na saida c na lransposta 0 meslIlo ganho c fornecido na cntmda. 
C Af1rulO 5 ANALISE DE SIS'rJ:.MAS F_\l TEMPO DJSCRETO USAJ\L>O A T RANSFORMADA Z 477 
A Fig. 5.14 momll 0 grafico das resposlas em amplitude e fllse em fun(ao de n, Podemos, agora, deler-
minar a respoS!.1 em ampllmde e fase para as v6.rias entr<ldas. 
(n) xrll l = I" = I 
Como 1" = (e1~' com n = O. a re.~pos ta em amplitude e HI ,f l. A partir da Eq. (5.49a). oblerno~ 
Logo 
I 
H[ei ll ] = r.=n~i=;e=,,,,,, ~ - - = 5 = JLO 
JI ,64 I ,6cos (0) JO.04 
s 
fa) 
_'C<+-------~-L.--------+--------=L-------C,C..C------C3".~--"nc--o-
-"JV ' V 
(bl 
Figura 5.14 Resposl!1 em freqiiencia para urn sistema LDIT. 
Estes valorcs tam~m podem seT Obtidos direlamenle da Fig. 5. J4a e 5. 14b, re~pccl jvamcnte. correspon· 
dendo a n = O. Desta forma, a resp<)Sta do Sls1cma a cntrada 1 e 
)'[11 ) = 5W) = 5 para todo II (5.5 1) 
(b ) .rr/l] = cOS[(J!i6)1I - 0,2] 
Aqui!1 = tr16. De acordo com as Eqs. (5.49) 
0,8 sen -
LH[ej ;r/6 J = - Ian- I 6:t = - 0,916 !'ad 
[ 
n 1 
1 - 0,8cos '6 
CAPiT ULO 5 AI'IAuSF. DE SISTEMAS E.\ l TE..\tp() D ISCllli"ll) USAJ'<"DO A TRANSFORMADA Z 479 
EXEMPLQ DE COMPUTADOR C5.1 
Usanda a MAT LA B , determine a rcsposta em frcqiicncia do sistema do Excmplo 5 .1 O. 
» Omelt"- '" 1 j n:lPl'cel-pl, p i , 400) ; 
» H = ttlll 01,11 -0.81, - l) ; 
» 1L000ga " s\lueeze{freqrcs:;> IH . Clmega»; 
» subp l o~ 12 . 1.1) ; plot: l OIr,eqa. a b:l 0I_0meq.:t) , • k') ; a x is t:iqht ; 
» xl.:tbell ' \Omeqa ' ) ; ylabcl I' IHleA{j \()nc<:!") I I ') ; 
» subplot I2 , 1 , ~) ; plot 10"'''91', " ngle I H_Otr.ega) >a O/pi , ' k ' ) ; <ll< i ~ Liq h t ; 
» x l .. bel('\Cmega' ) , ylaool( ' \ anqle HfeAlj \ Ontega) I Ideg] ' ) ; 
4.> 
4 
'\ 
3'> 
3 , 2.' 
2 
1.5 
1 
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 
n 
,0-
\ .. V IJ 
V 
-, 
" 
-'" \ 3 2 1 0 1 2 3 
n 
Figura CS.I 
Comcntiirio. A Fig. 5. 14 mOSInl os g.rnficos da resposta em amplitude c fuse como fun~Oe. .. de n. Estes gr:'i-
ficos. alcm das Eqs. (5.49). indicarn que a resposta em freqiieocia de um sistema em tempo rl Lo;creln e lima f" n. 
~lIo contfnua (e nao discreta) da freqii encin O. NiJo exiSle nenhuma contrad:t;ao neste fato. Este comportamcn-
to c simplesmente umll indica~ao de que a v:tri fivel de freqiiencia 0 6 contfnua (assume todos os possfvei ~ va-
lores) e, p!Jt1anto, a resposta do sistema exi ~ te para tado valor de n. 
EXE RCicIO E S.18 
Para urn sistema especificado pela cquat;i'io 
)' [n + I J - a,5y!n1 = X[II ] 
Determine a respOSta em ampli tude e fasc. Determine a resposta do sistema a entrada senoidal COS( I000I -
(1U3» amostrada a cada T = 0.5 ms. 
CI\PfTuLo 5 ANALISE Oil SISTEMAS H I T EMPO D lSCRETO USAh1)() A TRANSFORMAIlA Z 485 
5.12 
Determine 0 imervalo de amostragem maximo T que pode SCI" ulilizado em um oscilador em tempo discre-
10. 0 qual gent uma sen6ide de 50 kHz. 
Neste ca~o a freqUcncia mai~ aha significrtnte eJ. = 50kHz. Portanto, a parti r da Eq. (5.60b) 
I 
T < - = lOJ..ls 
2JA 
o inlcl"\'alode amostrdgcm deve sel" menardo que 10000s. A freqilencia de amoSlragcm ef. = lIT> 100 I.:H7_ 
13 
Urn ampfificador em tempo discrcto usa um imervalo dc amostragcm T = 2SJ1~·. Qual e a maior frcqUcncia 
de urn sinal que podc ser proce~sado POI" csle amplificadof sem aliasil1g"! 
A partir da Eq. (5.60a) 
I 
f . < 2T = 20 kH:£ 
5.6 R ESPOSTA EM FREQutNCIA A PARTTR DA POSI CAO DOS P OLOS-ZEROS 
As respostas em frcqUe ncia (resposlas de amplitude e fase) de urn sislema s30 delerminadas pe[a~ po5 i~Ocs dos 
p6los-zeros da fun"ao de transferencia H[ t; ]. Tal como em sistemas em tempo contlUUO,e possive! delerminar 
rapidameme a resposla em amplitude e fase. aJem de se leI" uma ideia das propriedadcs de fil rragern de sistemas 
em lempo discrelo usando uma ticnica grafiea. A fuU/i30 generiea de lransferencia HId de ordcm N da Eq. 
(5.34) pode ser descn la na forma f3lorada por 
(5.62) 
Podcmos calcu lar Hlzl graficamenle usando os cooceilos di~cut idos nn S~ilo 4. 10. 0 segmento de linha di-
recionaJ de ~ a z no plano complexn (Fig. 5. 18a) representa 0 numero compJexo z - z,. 0 lamanh(l dcstc scgmcn-
10 e It - z~ e seu angulo com 0 cixo horizontal e L( z - zJ . 
Para calcular a resposta em freqileneia H[cf1] caicuiamos H[z] para z '" tfl. Mas para z = /', Izl = I c Lz.: U , 
tal que Z ", ,;0 represenla um ponto no cfrculo unilirio com an~ulo n l.'Om 0 cixo horizontal. Coneclarnos todos 
os zeros (Zl' z2' ''' ' z_v) c lodos os p6los (Yl" Y!o .... Y.v) ao ponto I" como ind icado na Fig. 5.lgb. Sejam r l, I"!'"" . • r Ii 
os comprimcnlos e ¢j' tP:- ... , tP ... os angulos. respectivamentc, da.,> linhns concclando !" zzo ... , z.~ ao ponto ,II. Si-
milarmenle, scjam d1, t4, ... , dN os L"Omprimcmos e 91, 9:!' ... , 0.,,05 angulos, re.~pectivamente, das Iinhas conectan-
do }'i. r2>"" 1': ... ao ponto,fl. cnlao, 
(5.63) 
(5.64) 
490 SINAIS E SISTEMAS LINFARES 
hi .,+ 
.' 
/ 
, fr/ 4 
l = t~/· 
I.'" = 2SO;r) 
,. , 
(W '" 0) 
, .. ,~ " Iyl " I 
:B.5 .- .---~--.- ... _ .... hi = {).96 
Iyl = 0.83 
6..11 -_ •. - - •• ~.-.--••.•.•• 
o w_ 
1r/4 n-
~) (b) 
,.[,.1 
-, 
- hf - I 
(e) 
Figura 5.20 Projelo de urn filuu passa-faixa. 
EXEMPLO DE COMPUTADOR C5.2 
Ulilize 0 MATLAB pam calcular e trdr;ar a resposla em frcqOencia do fillro passa-faixa do Exemplo 5. 14 
para os seguilllcs casos: 
(a) Iyi = 0.83 
(b) Iyl = 0.96 
(c) Iyl = 1l,99 
~> em";!11 _ 1i;l".,.." el-pi.pi.40971 : o;;: ..... =q _ 10 . 83 0 . 96 0 .99) : 
» E _ 7e,o~ (2""!F h 1"-"""\11 . 1""!I"t.h (O::'.E-gil) ) , 
» to," II Z 1. : I .. r.')lh( ........... gl, 
» lit::;. : ' ~ ==-=1"1 11 0 -1 1. 11 - sqrt(2, _g _"-";;- (,,>, g-"",g(,"'A21.o--~"I' 
» s ut:plOL 12.! . 1) ; p l OL (0::-""11'" .. bs Ii! U . ,) ) , 'k-' ... . 
» Or::"q~ .ilOS ( ii(2. :)) • ' k - '. (b"",, . 1Ib3 I!l( 3. : » . ' k- . '), 
» ,,:.< ~. Lilli::, x l.:>be1 I ' \Cmcll" ' ) , yl.w..l( ' IH["A{j \(J:'"""Il~ III '); 
» _ ...... "dl'tll) I\~= I _ O.81'.'(b) 1'".r.~ 1 = 0.96 '. 't<: ) '\<;"-=-". 1'" 0 ,99 '. 0) 
» s ut:plot a, :,2) ; ,,~Ol lo:.eo;;l1 , ,,,.g l e C:lll , : II, ' k - ' , .. . 
» Cl!Deq8 . "'>g:e (:I(2 , : II .' k - '. o=-qll . llngl e IE{J.: I', 'k-. ' I ; 
»~x~a ti\ll'~ ; x]"bel('\Cml!Il""I : ylall<!1( ' \ 8'l<;le t: [.,A(1 \C'''''''\I'' ) ] ' r.:td l '), 
>:> l~""d(' (.:t) ' \ \< .... -::.:l1li1 _ O.Sl','lb) I\~=.al = O.9~·,' (<:) 1\\1 ,,=1 .O.99' . ()) 
CAPtruLO 5 ANALIS E DE SISTEMAS EM TEMPO DTSCRETO USAl'<DOA TRANSFOR.\1ADA Z 491 
Figura C5.2 
100 
8 0 
1 " 4 0 
2 0 
]) 
1 5 
1 
5 
0 
5 
1 
- 1. 5 
- 3 
) 
I 
:: 
~ 
I' 
2 
--,', 
" " I , , 
, 
\\ ' .. ' ~ 
2 
o 
!l 
o 
n 
I 
1 
~ 
:: 
( 
" " 
\': , , 
, 
1 , , 
" 
ly1 = 0.83 
--- 1y1 = 0.96 
... .. .. 1yl == 0.99 
2 3 
Iyl - 0.8.3 
- - - Iyl = 0.96 
....••. 1)'1 == 0.99 
---
2 ) 
Projete urn filtro Noh.:h de segunda ordern que tenha tran~missao nula em 250Hz c uma nipida reeuperao;ao 
de ganho para a unidade nos dois lado~ de 250 Hz. A freqiiencia mais alta a ser processada e /, = 400 Hz. 
Neste caso, T < 112/" = 1,25 x 10-). Vamos escolher T = lo-J. Pard a freqiieneia de 250 Hz, n :=: 2n(250)T 
= n/2, Portanto, a frequeneia de 250 Hz e representada pelo ponto /' :=: fit'" = j no circulo unitario. como 
mostrado na Fig. 5.12a. Como precisamos de transmissiio zero nesta fr~qi.iencia, devemos eolocar urn zero 
cm z = fl1!Il. = j e seu conjugado em z :: e -f1!ll. = -j. Tambem preeisamos de uma rapida recuperao;ao de ganho 
nos dois lados da freqiiencia 250 Hz. Para isto, co\ocamos dois p6los pr6ximos aos zeros, para eance1ar () 
efeito dos dois zeros quando nos movemos para longe do ponto j (eorrespondentc a freqiieneia 250 Hz). Por 
eSla raziio, vamos usar p6\os em ±ja, eom a < 1 para estabilidade. Quanto mais pr6ximo os p6los cstiverern 
dos zems (quanto mais proximo a estiver de I), mais rapida a recuperar;iio de ganho nos dois Jado de 250 
Hz. A fllno;ao de transfereneia resultante e 
H[71 = K (z - j)(z + j) 
~ (z - ja )(z + ja) 
o ganho CC (ganho para.Q = 0, ou z = I ) deste filtro e 
H[l J =K 2 
1 + a2 
Como precisamos de urn ganho CC unitano, devemos selecionar K = ( 1 + a2)/2. A funo;iio de transferen-
cia se torna. portanto, 
(5.68) 
492 SINAIS E SIS1E\1AS LINEAREs 
e de aeordo com a Eq. (5.50) 
_0 ~ (I + a 2)2 (ei20 + l )(e- i20 + I ) 
IHle] JI- = "0' ·' 0 ' 4 (el" +a-)(e J _ +a-) 
(I + 112f(1 + cos 2Q) 
- 2(1 + 1I ~ + 2a! cos 2Q) 
A Fig. 5.21b rnostra IHldtll1 para va[ores de a = 0.3; 0.6 e 0,95 . A Fig. 5.21e rnostra a rea li zll~ao 
deste fi[tro. 
,., 
n ~ "'/2 
Co. " 5IX}, .. ) 
0 - 0 
(.. 0) 
- j 
o 
, 
,,' 
Figura 5.21 Projeto de urn filtro notch (para-faixa). 
,, - 0_9S 
,OJ 
1000;;-
0 - > 
{",n 
EXER C.ic.IO ES .21 ~~~""-'''''-'o!....!~~~ ______ -,--______________ .~ 
Use 0 argumeDio grifico para mostrar que urn fiJtro com fun\;ao de traIl5ferencia 
z - 0.9 
Hlz i = , 
funCiona como urn mlro passa-altas. Fa~a urn rascunho da rcsposta em amplitude. 
CAPiruLO j MALlSF. DE StsrEMAS EM T EMPO D tSCRETO USANf)() A TRA.IIISffiRMADA 7. 495 
K8(t ) TK&("l 
II (f) TI/[1I1 
2 
Tnr'" eos (bl + 0) Tre""""nT l:OS (ImT + 8) 
0= tan- I 
( 
Aa-H ) 
.4.~ 
H[zl 
TK 
T, 
Z- l 
T2 Z 
(z I)' 
1')z(% + I) 
2(~ I) l 
~ ~T 
Tlze~T 
(z e"'T)~ 
Trzt z: cos 0 - e""""1· cos (bT - 9) I 
~ 1 (2e aT COS bT):;. + e-!<IT 
E<,ta fUnI,iio de tranSfert!lIcia]lOde ser facilmeme reaiizada como expJicado na S~ao 5.4. A Tabcla 5.3 1isla 
varioo. pares de H~(s) c suas H [z] correspooocmcs. Por cxcmplo. para realizar um inlegrador digilal, examina-
mos sua func;ao H~(.f) = lIs. A partir da Tabela 5.3. correspondente a His) = lis (par 2), delerminamos Hid = 
Imnsformndn TzI(z ~ I). ESle 6 exatamcntc 0 resultado obtido no Exemplo 3.7 usamJo oulra abordagcm. 
Note que HaUw) na Eq. (5.72a) [au (S.74)1 nao l': limilada em faixa. Conseq(lememente, lodas esta..~ realir.a-
<;ik.s silo nproximada.~. 
EsCOLHA DO I NTERVALO DE AMOSTRAGEM T 
o critl':rio de invarianeia ao irnpulso (S.71) foi obtido eonsiderando-se que T -+ O. E.~1.a considera~io nio l': 
oem prlitica e nem necessaria para um projclo satisfat6rio. E\' itar 0 aliasillg l': a eonsiderac;ao mnis imporlan-
Ie para II cscolha de T. Na Eq. (S.6Oa). mostr;:uuos que para urn intervalo de arnoslrdgem de T scgundos, a fre-
qoencia mai~ alta que podc ser amoslrada scm aliasiug e Ifl. T ou 7f.!T radianos por segundo. Isso implica que 
H.UfJ). a rcspoSla em freq uencia do mtro nnal6gieo da Fig. S.22b nilo deve ler comJXmentes cspcctrais all':m 
da freq iii!ncia rrlT radianos por segundo. Em outras palavras. para evitar 0 olic/sillg. a resposta em freqiie ncia 
do sistema H.(~·) deve seT limitada em faixn a JrlTradianos pOT segundo. Veremos postcriormenlc, no Capftu-
10 7, que a resposta cm freqUen eia de urn sistema LCIT realiz~vel nlio pode sllr limitada em fa ixa. Ou seja, a 
n:sposta gcrnlmeme existe pard IOd.,s as freqilencias ate 00. Portanto, e impasslvel reali7..ar c:utamcnte um 
sistema LCIT digitahllcnte sem aliasing. Grd~as a Deus a rcsposra em freq(lcneia de lodo sistema LCIT rea-
liz:ivel diminui eom a freq iiencia. Isw pcrmite urn eompromisso entre a reali7.a~ao digital de um sistcn«1 
LCIT com urn nl\'c! de aliasing aceitavel. Quanlo menor 0 valor de T. menor 0 alit/sillg e melhor a aproxima-
Ijiio. Como e impos~i\'eI fazer IH.(jco)1 zero, fieamos satisfeit05 por fazc-Io suficientcmente pequeliO para fre-
quencias acima de 1f.1T. Como rcgrd nipida,' cscoUlemos T lal que IH.Uw)1 paT3 a frequencia w = rrlT scja me-
nor do que urna ceria fras-ao (geT31rnenle 1% ) do valor de pieo de III.Uco)l. 1s10 garante que 0 ereilo de alia· 
sillg possa set negligenciado.0 pico de IH.(jco)1 geralmenle ocorre para w = 0 par .. filtros pa~a-ba ixas e nn 
freqUencia de centro w, para m lms passa-raixa. 
, r-~r~ um sinal C()lHptcxO.l] n/. ~ propriew de de ~"ersilo no lempo !! modificad~ par~ 
... ·l~1!1 ~ X'[ I / .;:· ] 
496 SI.'IIAIS E SISlE.\tAS LINIOAKI:S 
Projete urn fihro digi tal para realizar urn filtro passa-baillas de Butterworth de primcira ordcrn com [un~ao 
de transfcrencia 
(5.75) 
Paw ~se filtro. delenninOlrmos H[l.] corrcsponJente de acordo com Ol Eq. (.5.13)(ou par 5 da Tabcla 5.3), 
dada por 
HI, I ~ 
wrT z. 
,~, 
(.5.16) 
A seguir, seledonamos () valor de T pelo criterio de acordo lvm () qual 0 ganho em (l) "" rr.JT cai para 1% 
00 ganho miximo 00 filtro. Entretan!o. essa escolh~ n"OSlIlI.<I ~m urn pmjcto lao born que 0 afi(lSing e impcr-
cepth-cl. A resposta de amplitude resuhnmc e tao proxima da rcsposla desejada que dificilrncnte iremos no-
tar 0 efei lo de aliasing em /lOSSO gr.1fi co. Para efeito de dernonstrn9ao do efcito de aliasillg. deliberndamcn-
Ie iremos seleciOllll r urn criterio de 10% (em vez de 1%). DeslOl [00113 obtemos 
Neste caso.jH.Uw)L..... = I. 0 qual ocorre cm ill = O. Usando 0 cri terio de 10%, temos IHJ ltfT)\ = 0, I . 
Observe que 
Logo. 
IH,,(jw)1 ~ We 
W 
IH .. (rr / T)1 ~ ~ = 0.1 ~ rrl T = Hk"c = IW 
;r I T 
PortanlO, 0 criterio de 10% resulla em T = 10-6n. 0 criterio de 1% leria resuhado em T "" IO-7n. A sub~­
ti t ui~ao de T = lO-6n na Eq. (.5.16) reSll lta em 
HI'I ~ , 0,31 42z 0.7304 (s.n) 
A realizn/iiio ellnOnica deste fillro esta mostrndOl nOl Fig. 5.24a. Para delerminarmos a resposta em fre-
qUcncia desse fi llro digital. reescrevcmos Hizi como 
Portanto, 
Conseqiientemente, 
0,3 142 
H[z) = 1 -07304y- 1 , " 
0.3142 0.3142 
0.7304r, .. T ( I 0,7304coswT) + jO.7304 scnwT 
IH[eJ.,TJI = 7iF"'lfi",,~~O.~3~14~2~f¥iT.j'''''5'' 
J(l 0,7304 coswT):! + (0.7304 sen wTF 
0.3 142 
-~~~~ J I,533 1,4608 cos wT 
(5.7Ka) 
CAPInILO 5 A NhuSE rn.: SISTEMAS EM TEMPO D ISCRETQ USM"DO A TRANSFORMADA Z 497 
iwT _ I ( 0.7304 sen wT ) LHLe ]= - lun 
1 0,7304 co~rvT 
(5.78b) 
Esta resposla em freqUenciu difere dn resposta desejada Hufjw) porque 0 efcito de uliu.I'inS faz com que 
as freqiiencias aeima de nIT apare"am nas freq Hencias abaixo de tr.lT. Isto geralmenle resulta em 11m au-
menlo de ganho pam freqiien cias abaixo de tr.lT. Por exemplo. 0 ganho do fi ltro renliz.1do para 00 = 0 e 
H[~J = H[ I]. Esle valor, obtido pela Eq. (5.77) e 1.1654 em vez do valor desejado de L POOemos com-
pensar parcialmeme esta diston;ao mllitiplicando H[z] 011 Hj tOlrl por uma eonstante de normaliz." "ao K = 
.~ 
H.(O)lHf I I = 1/ 1,1654 = 0,858 . Isto for~u 11 ganho resuhante de H I d J a ser igual a 1 para 00 = O. 0 va-
lor normalizauo 6 H.[l.] = 0,R58Hlz] = 0,R58(O, I nzl(z - 0.7304». A resposta em amplitude da Eq . (5.7Ra) 
6 multipJicada por K = 0,858 e apresentada nn Fig. 5.24b para u fa ixil de freqiieneia de 0 S (.I)!> nlT = 10~. 
A conslantc mult iplieativa Knao possui efeito na resposta em fase da Eq. (5 .78b). a qual 6 mostrada nu 
Fig.5.24c. 
A1!'!m disso. a resposta em freqiH!:ncia desejada. de acordo com a Eq. (5.75) com (.1)< = lOS e 
10' 
jw + 10' 
Portanto. 
, 
As respostas em amplitude e fase sao mostradas (em pontilhado) na Fig. 5.24b e S.24c para efeilO de 
comparao;ao com a re ~po s ta do filt ro digital rea1i;o;ado. Observe que 0 comportamenlo da resposta em am-
plitude do filtro anaJ6gico e digital c muito pr6ximo para a faixa w ~ 00, = 10l. Entrctanto. para freqih!n-
cias mais altas, existe urn aliasing considcnl.vel, espcciaimenle no espeetro de fase. Se l ives~emos utiliza-
do 0 criterio de 1 %, a resposta em frequ~ncia teria sido mais pr6ximn para mais umn Meada na faixa de 
freqiiincia. 
xflll 
0.7304 
,oj 
)'[11] 
IU
a
Uw)1 ----... _-.. _-.-................... .. 
5 X llf 
,bj 
.' igura 3.24 Exemplo de um projetu de filtro pelo melodo de invarianeia ao impulso: (n) realizao;ao do 
filtro. (b) rCliposta em amplitude e (c) rcsposta em fa<.e. 
500 SINAIS E SISTEMAS LlNEARES 
"I 
-'In) 
• 
.-
(,) 
ifl) 
~\I) 
:i'{IJ 
• 
Figura 5.25 Conexiio entre a transfonnada dc Laplace e a transformada z. 
Como a transformada de Laplace de 8.,1 - 117) e e-mT• 
oc 
Xes) = Lxln]e-""T 
n=O 
, 
oc 
Yes) = LY(II]e - ,,,r 
,, =0 
A suhsti tui<;iiO das Eqs. (5.82) e (5.83) na Eg. (5.81) resulta em 
I: Y[Il ]e- ,nr = Hle,r] [fX[lIle-_<nT] 
" ~O ,, =0 
'\ 
(OJ 
Introduzindo uma nova variavel z '" e,T, esta equar;ao pode ser expressa par 
oc oc 
L y[n]z- n = HlzILx[1l1z-" 
,,=(1 
00 
YlzJ = H[z]X[zl 
na qual 
oc N 
X[z] = LX[1l1z- " , Y[z] = L Y[ll jz -n 
,,=0 ,,~ 
. --- , 
, 
,-
(5.82) 
(5.83) 
Fi<.:a claro de nossas di.~cussi)es que a transform ada z pode ser considerada como sendo a lransronnada de La-
place com a mudanr;a de variavcl z == e,r ou s = (117) In z. Observe (jue a transfIJrmw;ilo z =: e,r transforma 0 eixo 
imaginario do plano s (s= jw) em urn circulo unitario no plano z (z = e,T =: e,"T, au Itl = 1). 0 SPE e SPD no pla-
no s sao mapeados dcntro c fora, rcspcctivamente, do drculo unill1rio no plano z. 
506 S I:'iAL~ ~ SISTEMAS LlNEARES 
5.9-2 Utilizacrao da Transformada z Bilateral para a Amilise de Sistemas LD[T 
Como a trunsformada l bil:tt~ra l pode trabalhar com sinais nl\o causais, podemos utilizar cssa traMformada pa-
ra analisar sj~temas lincar~~ nl\o causais. A resposta yin I de estadu nulo e dadn par 
y[nl = Z - I{X[dH[z ll 
desde qucXl zIH[z] exista. A RDC dc X1 z]H[z] e a rcgiiio oa qunl liln to X]zl Quanto HI;::I cxistem. o Que signifi-
ea que a regiao e a parte comum da RDC de X[.:;} e H[z]' 
Para urn sistema causal especificado pcla fum,ao dc tr.msfet'incia 
, 
H r ,r ~ ::-'';;-,-
z 0,5 
detenT1in~ a resposta de estado nulo para a cntrada 
x[ ,,1 = (O.lWu[1I1 + 2(2)- 11[-(11 + 1)1 
z 2;::. -z(: + 0,4) 
xt;::. J = <:-0.8 - z - 2 = (<: 0,8)(z 2) 
A ROC corre~1Xlndemc ao tenno causal e Izi > 0.8 e a correspondcnte ao lenno anticausal e III < 2. Logo. a 
RDC de Xlz) e a rcgiiio comum. dada por 0.8 < IzI < 2. Logo. 
P()rtanto. 
X - _ -z(z + 0,4) 
[e] - (, _ 0.8)(, 2) 0.8 < III < 2 
_;::.2(Z + 0,4) 
Y [z I = Xl zJ Hid = ;:(,C-CO".5i)7.(,"--CO,c.8"""'( ,:-,'") 
Como 0 sistema e causal. a ROC de lIl z] c! Izi > 0,5. A ROC de Xlz] c 0,8 < III < 2. A regill.o cumum de 
convergencia para XLzI e H{zl e 0,8 < III < 2. Portanto. 
-z!(;: + 0.4) 
Y[, ] ~ :-(,---'0".5"')(:-", '-',;O~.8)"(_-' ~') 0.8 < 1;:1 < 2 
Expandindo ¥Izl em frat;1'les parciais modificadas. tcmos 
y[~l - - + - - - --, 8(')8( ' ) 
~ - z 0.5 3 z 0.8 3 z- 2 0.8 < Izi < 2 
Como a ROC se estende pam fOTa a panir do pOlo em 0,8. os dois p6Jos em 0,5 e 0,8 eorrespondcm a se-
quencin causal. A ROC sc cstende para dcntro a partir do p6\0 em 2. Logo. 0 p610 em 2 corrcsponde a se-
qUencia anlicausal. Ponanto, 
YI"] = [-(0.5)" + ~ (O.8)"] 1/[11] + ~ (2Yllr-(1I + 1)1 
508 S1NA1S E SIS'll2MAS LlNEARES 
5.10 RESUMO 
Nl:ste capitulo, diswtimos a an:iliSI: de sistl:mas lineares, discretos e invariantes no tcmpo atraves da transfor-
rnada z. A transforrnada z transforrna as equa<; 5es diferen<;a de sistemas LDIT para equai;cks algebricas. Portan-
to, 0 problema de resolu<;ao de equa<;6es diferen<;a sc rcduz para a resolu<;ao de equa<;Oes algebricas. 
A fun<;:iio de tran~ferencia Hlzi de urn sistema LOfT e igual a razao da transformadaz da saida peJa trans-
formada z da entrada, quando todas as condi<;6es iniciais sao nulas. Portanto, se Xlz) e a transformada z da 
cntrada x(n] c Y[z] c a transfonnada z da saida yin I correspondente (quando todas as condi<;6es iniciais sao 
nula~) , ent.~o Ylzi = HlzJXlzJ. Para urn sistema LDIT especilicado pela equa~iio diferem;a Q[ElY[Il] '" 
P[Elx[nj, a fu nqao de transferencia e H[z] = P[z]/Q[z]. Alem disso. HIzl e a transfonnada z da re~postu hln] 
do sistema ao impulso unitario. Mostramos no Capitulo 3 que a rcsposta do sistema a uma exponencial de 
dura<;ao intinita z" c H(z]:." . 
Tambem vimos que a transformada z e uma ferramentaqlle expressa lim sinal x[n] como a soma de I:xponen-
ciais na fonna z" para lima faixa dc valores continuos de z. Usando 0 fato de que a resposta de urn sistema LDIT 
a z" e Hf:lz", delenninamos a resposta do sistema a x[n] como sendo a soma das respostas do siSlema a tadas as 
componentes na forma z" para uma faixa dc valores continuos de z. 
Sistemas LDlT podcm scr realizados por mulliplicadores e~calares, somadores e atrasos de tempo. Uma da-
da funq.1o de transferencia pode ser sintetizada de diversas fonnas. Discutimos as reaJizaqOes can6nica, lrans-
posta can6nica, cascata (serie) c para1cla. 0 procediml:nto de reali%at;a:o e idenlico 01.0 de sistemas cm tempo con-
tinuo com lis (integrador) substituido por liz (atraso unitario). 
Na Set;iiu 5.8 muSlramos que sistemas em tempo discreto podem ser analisados pela lransfunnada de Laplace 
tal como se eles fossem sistemas (!m tempo continuo. De falo, mostramos que a transformada z e a transformada 
de Laplace com uma mudant;a dl: variavel. 
A maioria dos sinais de entrada e dos sistema pniticos sao eausais. COllseqiientemente, geralmente trabalha-
mos com sinais causais. A re~trit;iio de lodus os sinais ao tipo causal simplifica muito a analisc pela transforma-
da z. A RDC de um sinal se lorna irrelevante no processo de amilise. Este casu especial da lransfonnada z (a qual 
e reslrila a sinais causais) e chamada de transfonnada z unilateral. Grande parte do capftulo trabalha com csta 
transformada. A Se<;1!o 5.9 discute a forma geral da transformada z (transformada z bilateral), a qual pode tmba-
lhar com sinais c sistemas causals e niio causais. Na transformada bilateral. a transformada inversa de Xl,} nao 
e unica, dCpl:ndendo da ROC de Xld Porlanto, a RDC possui urn papel crucial na transformada z bilateral. 
R EFERENCtAS 
1. Lyons, R. G. Unden-tanding Digital Signal Processing. Addison-Wesley, Rl:ading, MA, 199· 
2. Oppenheim. A. v., and R. W. Schafer. Discrete-Time Signal PmcessilJ;':, 2nd cd. 
Prenlicl:-Hall, Upper Saddle River, NJ, 1999. 
3. Mitra, S. K. Di;.:i/al Signal Processing. 2nd ed. McGraw-HilL New Yurk, 2001. 
MATLAB Se~ao 5: Filtros IIR em Tempo Discreto 
Avan<;os recentes na tecnologia aumentaram dramaticamente a popularidade de filtros em tempo discreto_ Ao 
conlrario de liltros em tempo continuo. a performance de filtros em tempo discreto nao c afctada pela variaqao 
dos compollentes, temperatura, umidade ou tempo de uso. A 16m disto, hardware digital e facilmente reprogra-
mado. 0 que pennile a mudanqa adequada da fun<;iio do dispositivo. Por exemplI), alguns aparclhos de audi"ao 
sao programados em fun<;ao da resposta necessaria para um dado usuano. 
Tipicamente, filtros em tempo discreto sao catcgorizados como resposta infinita 01.0 impulso (llR) ou respos-
ta finita ao impulso (FlR). Um metoda popular para a obtenqao de urn filtro llR em tempo dislTeto C pela trans-
formaqao de urn projeto de filtro em tcmpo continuo correspondente. 0 MATLAB facilita em muito este pro-
cesso. Apesar do projelo de fihros fIR em tempo discrl:lo serem enfatizados nesta seqiio, metodos para 0 proje-
to de filtros FIR em tempo disereto serao considerados em MATLAB Set;ao 9. 
CAPfru.D S ANALISE OF. SISl'loMAS E.\\ TEMI'O OISCRETO USAKDO A TItANSR)R.\tADA z 509 
MS.1 Rcsposta em Freqliencia e GrMicos de P6los-Zcros 
A ~spoola em frequc:ncia e graficos de p6los-zeros facili tam a camcterizac;ao do comportamento de fil tros. Si -
milar a ~ i slcmas em LC mpo contfnuo, run¢CS de Inmsferencia rJcionais para sistemas LDIT rcaUza\'ei~ sao re-
prcscntados no domlnio z por 
(MS. I) 
Quando apenas os primeiros (NI + I) cocficientes do numemdor sao n1l.o nulos c apenas o~ primciro~ (N! + 
I) eoeficientes do denominador sao n~o nulos. a Eq. (MS . 1 ) e simplifieada pam 
YI J HI J "' .... , b - l "' .... , b ... ·,-l Hlzl = _ ,_ = _,_ = L...t.,(l tZ = L...l.,(l tZ z ... ·,- ,'{, 
Xlz] ALz] L:~atz-k L:~atz""-t 
(M5.2) 
A fonna da Eq. (M5.2) possui divcrsas vantagens. Ela pode ser mais c:fieicnte do que a Eq. (M5. 1). ainda fun-
ciona quandoNI = Nl = N e e:s ta mais proxima da nola<;iio das func;Oes inlemns do MAlLA.8 para prucessameo-
to de sinnis em tempo discrcto. 
o lado di rello dn I:::q. (M5.2) e a forma mais conveniente para d lculos usando 0 MATLAB. A reposta em 
freq ui!ncia H(J') e obtida fazcndo z ",;0, na qual Q possui unidade de mdlanos. Gc:ralmente, n = wT, nn qual 
we a freqUcncia em tempo contfnuo em rJdianos por segundo e Te o pc:riodo de amostragcm em segundos. 
Defini ndo 0 \'Ctor de cocficientes A :: [aO' a
" 
.... 0,,2] de tamanho (Nl + I) e 0 vetor de coeficientes 8 = IbO' 
h, ..... b,vl ] de tamanho (N, + I ). 0 programa MSSPI calcula H(tfl) usando a Eq. (M5.2) para cada frcqUencia 
no vctor de entmda n. 
function [H] _ MSS Pl (B, A, Omeqa) i 
'" MSSPl.m: MATLAB Se~ao 5, Programa 1 
t Arquivo . m de furu;:ao que calcula a resposta em frequ.@nci a para sistemas LDIT 
'" Entradas: B '" vetor de coeficientes de reallmenta~ao 
• • 
A = vetor de coeficientes da malha direta 
omega = Vetor de f reqQencias [rad] , 
tipicamente ·pi ~= Omega <= pi 
'" Sa l daa: H : resposta em freqUenc i a 
N_l • lenght (B) -l ; N_2 = lenght(A)-l; 
H _ polyval (B , exp (j *Omega )) . /polyval lA, exp tj -Omega)) . *exp (j ' Omega * (N _2 - N_ l) ) ; 
Note lIuC devido ao esquema de indcxa~i\o do MAILAB. A (x) colTCsponde ao coeficientc a' _1 e B (x) cor-
responde ao cocficienle hi- I' Tambem e possivel uliJizar a fu nc;1I0 freqz do toolbo_{ de processmncnto de .~ina i s 
para Cllicular a rcsposla em frcqUencia de um sistema dcsc ri lo pela Eq. (M5.2). Sob eer1a~ circullstancias espe-
ciais, a func;ao bode do toolbox de coMmie de sistema~ IambCm pode ser uli li.,.ada. 
o progrnma MSSP2 calcula e trJ({a os p6los e lCros de urn ~islema LDIT descri to vela Eq. (M5.2) usando no-
\'amenle os vetOTeS B e A. 
f unction [p,z] = MSS P2 (B , A) ; 
'" MSSP2 .1lI : MATLAB Se<;ilo 5 , Pr ograma 2 
'" Arqui vo .m de funcao que caleula e t ra<;a as p610s e zeros de um sistema LDIT 
'" Eotradas : B = vetor de coe f i cientes de realimenta~ao 
\ A = vetor de coefieient es da malha direta 
N_ l ~ l enght(B)- l ; N_ 2 = lenght (A)- li 
p = r oots ( [A, zeros(1,N_l-N_2) ]); Z • root s {IB,zeros (1.N_2-N_l] 1 ; 
uCirc _ exp (j * linspaee(O ,2~pi , 2001 ) I '" calcula 0 clreulo unitatio para 0 grifico 
de p61os-zeros 
510 SlNAIS E SISTD,J,\S LU\EARES 
plot (real (pi , imag (p l , 'xk', real ( z ) ,imag (z) , 'ok' ,real (uc irc ) , 
imag(ucirc), 'k: 'J; 
xlabel (' Real' ) ;ylabel ( ' :Imaginary ') ; 
ax ~ axis; dx = 0 . 05 * (ax ( 2 ) -ax ( 1 ) ) ; dy _ 0 .05 * (ax(4)-ax(3)) ; 
axis ( ax+ [ - dx,dx , - dy,dy)) ; 
o lado dircito da Eq. (M5.2) ajuda a explicarcomo as raizes sao ca!culadas. Quando N\ *N:, 0 termo zNl - .'·\ 
implica em uma raiz adicional na origcm. Se N\ > N~, as rdl..:es sao polos, os quais sao adici{)nado~ concatenan-
do A com zeros (N_I - N_2, 1); comu N~ - N\ S; 0, zeros (N_ 2 - N_ l, 1) produz um conjunto vaLio e B nao e 
alterado. Se Nl > N\, as fai~.es sao zeros, os quais sao adicionados concalenando B com zeros ( N _ 2 c N _ 1, 1) . 
ComoN,- N1 S 0, zeros (N_ 1 QN_ 2, 11 produz uma salda varia eA pemJancce malterJdu. Os pOlus c zeros sao 
imlicados par 'x ' e '0' em preto. respcctivameme. Para referi:ncia visual, () drculo unitario tambem e mostrado. 
A ultima linha em MS5P2 cxpande os eixos do grafteo tal que as posh;oes das raizes nao fiquem obseurecidas. 
M5.2 Fundamentos de Transformat;ao 
A traMfonnar,;ao de filtros em tempo continuo em filtros em tempo discreto come<;a com a fun<;ao de transferen-
cia desejada em tempo continuo 
Y( ) B() ~"h M - l S .\' L.... •. -l! k+ I>'-M'\' 
H(s) = -- ~ -- = "N N k 
X es) A(s) L..k=UGlS 
Por conveniencia, H(s) c rcprcsentado na fonna fatorada por 
(M5.3) 
na qual z" e p. silo os pOlos e 7.ero~ do sistema, respcctivamente. 
Uma n:gra de mapeamento convene a fuw;ao raciunal H(s) em uma funr,;ao radunal H(z). A restril< uo de 
que 0 resnltado seja racional garantc que a reali7.ar,;aodo sistema possa ser feila com apenas atrasos, somado-
res e multiplicadorcs. Existem varias regras de mapeamento possfveis. Por questoes 6bvias , uma boa trans-
forma~au !cnte a mapcar 0 eixo (I) no cfrculo unittirio. ffi = 0 em z = 1, ffi = cc em z = -I e 0 semi-plano cs-
querdo no interior do cfrculo unitario. Colocadu de outra fomla, senuides mapeadas em scnuides, frcqucn(;ia 
zero mapeada em frequencia zero, alta freqiiencia mapeada em alta freqUencia e sistemas estaveis mapeados 
em sistemas estaveis. 
A SeIJilo 5.8 sugcrc que a transformada z pode ser considerada como sendu a transformada de Laplace (;om 
uma mudan~a de variavd z == e,r all.\" == (li])ln z. na qual Teo intervale de amostragem. Portanto e tenlador con-
verter nm fi llro em tempo continuo em um filtro cm tempo discrew substiruindo s == (lI])ln z em H(s), ou H[z] 
= H(s)1 J 3 ( '~",' infeli7.mente, esta abordagem nao e pnitica porque H lzJ resultante nao ~erti racional c, portan-
to, nao poder:] sef implementada usando blocos padrOes. Apcsar de nao sel" considerada aqui, a transformar,; ao 
chamada z-cnmbinl1da uti liza a relar,;ao z == e,r para transformar os p6Jos e zeros do sistema, tal que a conexao 
possui algum merito. 
MS.3 Transforma.yao pela Diferen.;a A trasada de Primeira Ordcm 
Considere 11 funr,;ilo de transferencia H(s) :: Y(s)/X(s) = s, a qual corresponde a urn diferenciador de primei ra or-
dem em tempo continuo 
d 
\'(1) = - xU) - J, 
Uma aproximar;ao que se asseme1ha ao teorema fundamental de etilculo c a diferenr,;a atrasada de primeira 
ordcm 
CAPfruLO 5 ANALISE DE SISTE.\1hS EM n..\1.PO DtSCRETO USANOO A T RANSFORMADA Z 5 11 
Pal'll urn intl;.':rvalo de amostragem T e t = liT. n apro;.; i1l1arrllo correspondeme em tempo disere to e 
xlIlJ-xln - IJ 
y[n l = T 
a qllal posslii a seguinte ftul<;iio de transferencia 
iSIO impliea em uma rcgra dl: transfonn ar,:ao que lIti liza. II Illudan<;a de vllrilivei~' = ( I - z-'}IT ou z::: 1/( 1 -
s"/) . Esta regra de trao~fonna~ilo e inte ressante porque 0 resultado H[.::] e rac ional c possui 0 meS1l10 numew 
de p6los e leros que H(s). A Ser,:iio 3.4 discute essa estrategill de transfo11Tlat;iio de maneira diferente. descrc-
vendo a rela!tiio entre equa!tOes di feren!ta e equat;Oes diferenciais. 
Ap6s alguma a lgebra, subslituindo s = (I - 1.- I )lT na &j. (MS.3) obtemos 
(M5.4) 
o sistema em tempo discreto possui M zeros em I/( I - Tzt) eN p6Jos em I 1(tITp,). E.~ l a regfa de trlll1sfo11Tla-
!tao pre~erva a estabil idadcdo sistema mas nao mllpeia 0 eh o wno cfrculo unitmo (vcja 0 Prob. 5.7-9). 
o Program .. MSSPJ milir..a 0 metoda dc difereu!ta atrasada de primeira ordem da Eq. (M5.4) para converte 
urn fillro em tempo continuo descrilo pelo vetor de coeficiente,. A = [all' (II ••••• aNI e R = (b.v _ /J' b.~._ .t( . I.· ·· . b .... l 
em urn liltro em tempo discreto. A forma do filtro em tempo discreto segue a Eq . (\1 5.2). 
function [ad. Adl _ MSSP3(a,A,T); 
" MSSP3.m: MATLAB Se9ao S. Programa 3 
\ Arquivo.m de fun~ao para a trans fOPma9a o pela diferen~a atrasada de 
t primeira ordem 
t de urn f iltro em 
" Entradaa: , 
• 
t empo continuo descrito per a e A em urn f iltro em 
B .. vetor de coeficie ntes de r ealimentao;:ao 
A • vetor de c oe fic ientes da malha direta 
T _ intervalo de amostragem 
tempo discreto 
It Saldll.s; Bd = vetor dos coefic ientea de realimentao;:io do filt ro em 
tempo discreto , Ad z vetor dos coef ici entes de malha direta do fi ltro em 
tempo discreto 
:.: • r oots (B); p .. rOOl: 9 (AI ; \ r ai zes no domini o s 
gal n = 3(1 )/~(1) · prod {1/T-~)/prod{1/T-p) ; 
zd z l . /{ l-T- z) ; pd = 1 . /{1 -T~y ) ; , raizes no dominio z 
Ed .. qain ~polY( 2d) ; Ad .. po ly (pd ) ; 
MS.4 Transforma~ao Bilinear 
A transfo11Tl«<;ao bilinear e bascuda em uma aproxima!t3.0 melhor do que a diferen!taatr:JSatla dc primeira onJe1l1. 
Novamcnte, eonsidere 0 diferenciador cm tempo contfnuo 
Repre~ntando 0 sinal x(t) por 
d 
Y(I ) = - x(r ) 
dt 
l ' d x(l) = -x(r) dr + X(I - T ) ,-r dr 
512 SINAIS E S ISTEMAS L U\'EARES 
Fazendo / = nT e substimindo a integral pela aproximaJ,:ii.o trapezoidaL lemos 
X(IIT) = - - ;r(IIT) + - X(I1T - T) +x(I1T - T) T [d d 1 
2 dl ell 
Substimindo yet) por (dldt)x(t). 0 sistema em tempo discreto equivalente c 
T 
X[II] = 2(yrlll + Y[1I - 11) +xllI - I j 
Ustlfldo as transformadas z. a funr;ao de trnnsfercncia e 
Y[z] 2(1 - Z- I) 
Hlz j = XrzJ = T(\ +z ') 
A mudanr;a de variivel s = 2( \ - z-')IT( I + z-') ou : = (I + sTI2)(1 - sTfl) e ehamada de transfonnaf,:ii.o bila-
terdL A lransformaf,:110 b ilateral nilo somente resulta em uma fun<;ao Hlz] racional , como tambcm mapeia COITe-
tamente 0 eixo w no circulo unilano (veja 0 Prob. 5.6- I I a). 
Ap6s alguma ;j] gcbra. substituindo s = 2(1 - z-')l7"(1 + Z-I) o a Eq. (MS.3), obtemos 
(MS.S) 
Alem dos M zeros em (I + z.Tn)l( 1 - z~Tn) e Np6los em (I + p.TI2)/(l - fJ1T/2). existem N - M zeros ern 
- 1. Como filtros em tempo continuo pruticos requerem M:-::; N para estabilidadc, 0 nilmero de zeros adicionados 
6 fel i7.menle scmpre nao negarivo. 
o programa t-IS5P4 converte urn fil lro em tempo contfnuo descrito pelos vetores de coeficientes A = I'\. al"'" 
ooYl e H = lb.~ _ M' bN _M+ 1' '' ' ' bN ] em um filtro em tempo discreto usando a lHlnsfoouUI;iio bilinear da Eq. (MS.S). 
A fonnado fi ltro em tempo discreto segue u Eq. (MS .2). Sc disponiveL tambem e possfvcl utilizar a fu nrvao bi-
linear do toulbux de p rocessamento de sinais pard calcular a tHlnsi"onna<;ao bilinear. 
function [Bd, Ad] ~ MS5P4 (B ,A, T) ; 
\ MSSP4 .m: MATLAB Se9ao 5, Programa 3 
'" Arquivo . m de fun9ao para a transforma9ao bilinear de urn 
filtro em tempo continuo 
l descrito par B e A em urn filtro em tempo discreto. 
'Ir 0 tamanho de B nao pode exc~d~r A. 
\" I>ntradas: , , 
B vetor de coeficientes de realimenta9ao 
A = vetor de coeficientes da malha direta 
T _ intervalo de amostra gem 
• Saidas: 'd _ vetor dos coefi cientes de realimenta9ao do , fi ltro em tempo discrete 
• Ad_ vetor do" coef icientes de malha direta do , fil t ro em tempo discrete 
if (lenght (8) ~lenght fA) ) , 
disp('Ordern do nurnerador nao pode exceder a ordem do denominador. 'J; return 
end 
z ~ roots(B); p = roots (A) ; t raizes no domlnio s 
gain . real {B(1)jA {1) ~prod(2jT-z)jprod{2jT-p); 
zd • (1+z*Tj2 ) ; pd _ (1+p~Tj2).j (1 - p*T j 2 ); \ raizes no dornlnio Z 
bel • gain*paly { [zd ; -ones (lenght (A) - l enght (B) , 1) I ) ; Ad = poly (pd) ; 
Tal como em muitas ling uagens de alto nfvel. 0 MATLAB pO$s ui estru ruras gerai~ de if. 
if expressao 
cornandos; 
CAPjT1JLO 5 /w.J.l.lSE OIl S ISTEMAS 1:\l TEMPO D1SCRIIT(l USANIX) A ThANSFORMADA Z 513 
else1f expressao 
comandOB; 
else, 
comandOB; 
end 
Ne~tc programa 0 comal1do if testn M > N. Quando verdadeiro. I1 ma rncnsngem de crco e mostrada e II co· 
mando retl,lrn finali z.a a execw;ao do programa prevenindo eITO.~. 
1\15.5 Transforma~ilo Bilinear com Pre-Warping 
A tfansformn".1I) bilinear mapcia lOtiO 0 cixo w infin ito no fini to cfrculo uni l:1rio (z ;; d'D) de acordo com ()J = 
(21D tan (Q/2) (veja 0 Prob. 5.c· l lb). De forma equivalentc. Q '" 2 arctan (wTI2). A nao Iinearidade da fun~i1o 
tangente causa uma eompress.iio nn freqUencin, ger,Jlmcme ehamada de ",(Irping em freqiic:neia. 0 que d i ~10rce 
a tnmsforma(jiio. 
Para ilUS(far () efeito de distor~1io. considere a Iransformar;1io bi linear de urn mlro pas~a ·baixa , em tempo 
continuo com freqUenda de corte w .. ;; 21[3000 radls. Se urn sistema digital alvo utili 7..a uma taxa de amostragem 
de 10 kHz. entao T ", lIe I 0.000) e w .. e mapeado para n.. = 2 arctan (wJ12) = 1,5 116. Portanto. a freq iienda de 
corte transformada e menor do que a freqiiencia desejada no =- OOJ ; O,6n = 1.8850. 
FreqU€neias de corte ~ao importantes e devem ~ lilo predsa~ quanto possfve!. Ajustando 0 par:imetro Tusa· 
do na tfansformar;1io bilinear. llm!\ freqUencia ern tempo contfnuo pode ser mapcada e1<atamente em umu fre· 
quencia em tempo discreto. 0 processoe chamado de pre·warping. Continuando no ultimo exemplo, aju~lando 
T ;; (2100,) tan (n )2) ::::: 1/6848 podemos teT 0 pre· warping apropriado par .. garantir que 00, '" 2n:3000 seja rna· 
peado em Q , = 0.61[. 
MS.6 Exemplo: Transforma~iio de Filtro de Butterworth 
Para ilustrar as tCcnica~ de transformar;ao. considere urn filtro pas~.bai "a5. em tempo continUO, de dtcima or· 
dem de Butterworth com freqiiellcia de corte wc :: 21t3000, ta l como projelado em ~{A.TLAB S~ao 4, lnidal-
mente, determinamos os velores de eoefieientes em tempo contfnuo A e n. 
» omega.c = 2.pi*3000; N:10; 
»poles ", roots([(j*omega.c)A(-2 *N),zcros(1,2 *N-l),11); 
» poles" pales{find(polcs<O»; 
» B "' 1 ; A "' poly (poles) ; A " !\/A(cnd); 
Os progrnmas MSSP3 e MS5P4 sao utilizados paTa executar a~ transformar;Oe~ de difcrcnr;a atra~ada de pri. 
mcira ordem e bilinear, respcctivamente. 
,.,.omega", linspace(O, pi, 200) ; T:: 1/10000; Omega_c '" omega_c OT; 
»[Bl/All == MS5P3 (B ,A,T ); t tranB formacao de diferenca atraeada de 
primeira ordem 
»IB2 ,A2j "MS5P4 (B, l'.,T); " transformacao bilinear 
»IB3 ,A3] '" MS5P4 (B, A, 2/omega_c Otan (Omega_c/2» ;' bilinear com pre -warping 
As respos tas em magni tude sao e[)j(;uladas usando MS5Pl e, ell!i'!o, lTar;auas. 
0» H1J:log ab,,(MS5?l{Bl,Al ,O;nega»; 
» H2mag " (Ibs(MS5Pl(B?:,A2,Qrr.ega»; 
0» H3!11<lg = ab!l(MS5PI(B3.A),O!ncga»; 
» plOl (Orr,ega, (Omega< =O:ne\l(l_c) , 'k' ,O:neg" , Hl maq, 'k- . ' .. 
Omega. ii2mag. ' k - - ' ,O:(\eg(l. H3rnag, ' k : ' ) ; 
0» axi6([0 pi -.05 1 .5 J) ; 
» xlabel (, \Omega [radl'); ylabel (' Resposta em Magnitude') ; 
>,.l egend(' Ideal', 'Di f erenca at rasada de prime1ra ordem'. 'Bilinear',. 
' Bilinear com pre - warpi ng ' ) ; 
o resultado de cada m6todo de tnUlsformar;a:o esta mostrndo na Fig. M5.1. 
514 SINA!S F. SISTEMAS LINEARI!S 
I. 5 
!deal 
- - Difercnqa Oll-asada de primcirn ord~m 
--- lJi lirlC3J' 
•...... Bil inear com pre-v.'arping , , , \. , , , , , , , 
, , , 
5 , , , , , , , \ , , " , , , , , , , 
" 
0 "- ~, 
o 05 1.5 2 2,5 3 
n (f'~d/amo:ma) 
Figura MS.l Comparar;ao entre as vAria~ lecnicas de tran5formao;~o. 
Apesar da djfercnt;a atrasada de primeira mdcm re~ultar om fi ltro passa-baix as. 0 metoda causa uma dis-
toeriao siguificame qoe pode 1(JmiiT (} liltro inaceittivel com relao;ao a fi'cqllcilcia de corte. A transformao;ilo bi-
linear e melhor, mas. como predilo. a freq uencia de corte fica mellor do que a valor desej ado. A transformo· 
0;110 bi linear com pre-warping aloca adequadamente a frequencia de corte e produz uma resposla do fi ltro bern 
accitavcl. 
MS.7 Problemas de Determina~ao de Raizes PoLinomiais 
Numericarnente, e dificil dctcrrninar com prec i~(} a~ mizes de om polin8mio. Considere, porexemplo, um polio 
n8mio simples que possui quollU rufzcs repet idas em - I , (.I' + l)~ '" s' + 4i + 6.l + 4.1' + I. 0 oomando roots do 
MATLAU retorna (} surpreendente resultado: 
» rOO~G( ( l ~ 6 4 11)' 
!:\;l:'! = -1 . 000 2 -1 . 0000 - 0.0002 i - 1.0000 + 0.0002i -0 . 9998 
MeSlllo para este polinomio de grall baixo, 0 MATLAB nuo relorna a~ rafzcs verdadeiras, 
a problema piora se 0 grail do pOlinomio aumenta. A transfonmlo;Do bilinear do filtro de Butterw(Jrth de de· 
chon ordem, porexemplo, dcvcria ter 10 zeros em - I . A Fig. MS.2 mostrd que os zeros, cakulados pelo MSSP2 
com 0 com:mdo roots nao e.~tao corretamente posicionadas . 
. - -' '" 
(1.11 
-.~., ....... , .. 
" 
0,6 
, " ", 
" , , 
0.4 i \ 0 
'0 0.2 , 
'0 
0 , \I ~ 
0 -0.2 E • 
././' 
, 
-0.4 
" 
-0.6 
'" - 0.8 , " ... ./" ", -, .... 
1.5 - 0.5 0 0,5 
Real 
Figura MS.2 P610s e zeros calculados usando 0 comando root s . 
520 SINAI,'; 10 S IST EM AS LIl\'EARES 
(b) E.~reva a equa~ao de diferenp relacio-
nando a safda)111] e a entrada .llll ]. 
5.3-19 Repi ta 0 ?mh. 5.3-1 8 para X[II] '" 1/[1/] e 
2: + 3 
HI , I ~ O-I'~2~)J,-=- 3) 
5.3-20 Repit30 Prob. 5.3-18 para 
6(5, - I) 
H (.::] = 6:2 5~ + 1 
c a entrada .ltll] e 
(a) (4 ) -~ 1I [1!] 
(b) (4)-1-- 21 11 [11 - 21 
(I,:) {4)- I.-2Iu [IIJ 
(d) (4)-- "[,, - 2J 
5.3-2 1 Repila 0 Prob. 5.3-18 para xtn) '" 11[11 ] e 
2, - 1 
H I, ) ~ ",--"i~= z- 1.6z + 0.8 
5.3·22 Determine as func;&s de transferencia corres-
pondcnles a cada um dos sistemas cspecifica-
dos pclas cqua~Oes diferen<;a dclS Probs. 5.3-
2.5.3-3, 5.3-5 e 5.3-8. 
5.3-23 Detemlinc h[I1]. a resposta ao impulso unitii-
rio dos sis temas dcscritos pelas seguintes 
cqua~Oes: 
(a) )'[1/) + 3)"[1/ - I I + 2)"J II - 21 = X[II ] + 
3xlll - I] + lX[II - 2J 
(b) V[II + 2J + 2}'III + 1J + Y(II] = lxl" + 
" " 
2] - .l( lt + II 
(c) Y[II [ - Y[II - 1J + 0.5Y[II - 2 [ = X[I1 J + 
5.3·24 Determine h[II] . a resposla ao impulso ullitii-
rio dos sislema.<; dos Probs. 5.3-18. 5.3-19 e 
5.J-21. 
5.3-25 Um sistema possui resposta ao impulso h[II] 
= ifIll - 3]. 
(a) Determine a resposta ao impulso do siste-
ma invel'llo "- ' III ]. 
(b) A inversa e est3.vel? A ;lI\oc rsa e causal? 
(I,:) Seu che fe pediu para "oc~ implemenlar 
,,-1(111 da melhor forma possivel. [)e.'lLTC-
\'a seu projcto tomando 0 cuidado de 
idemifiear q ualquer possh-e l deficiE ncia. 
5.4·1 Urn sistema possu; resJXlsta ao impulso dada 
P'" 
[( I + ") " ( ' ") "] h[1I 1 = .j81 + ;/, 11111 1 
F,.stc siste ma pode ser implernentado de 
acordo wm a Fig. P5.4· I. 
xiII ) • c;:) • ~ )111) 
-A, 
1 ~}-----'r----' 
--<, 
Figura 1'5.4-1 EstnJlura para implementar hili) . 
(a) Detennioc os coeficieotes AI e Al para 
implerncotar h(1I] u>kindo a estru tUr:l 
moslrada oa Fig. P5.4- 1. 
(b) Qual e a resposw )'.1"] de estado ou10 des-
te sistema. dada uma enlmda em degmu 
unitano dcslocada .\'[/1] "" Illl1 + 3 )'! 
5.4-2 (a) Mostre a rcaliza~no na forma direta can6-
niea. eaSC3ta e pam[e!a de 
H _ _ z(3z- I,8) 
I·d - Z2 .! + 0.1 6 
(b) Determine a transposta das rculiz.1~S 
oblidas ua parte (a). 
S.4-3 Repita 0 Prob. 5.4-2 para 
,,~+ ? ? 
H lz l = ~2 + Z +0, 16 
5.4-4 Repita 0 ?mb. 5.4-2 para 
3.8z - 1,1 
H[::1= 0 " 25) (: ,-)(: 0.6z + O. 
5.4·5 Repi ta 0 Prob. 5.4·2 para 
H[z] = z (\ ,6 z - [,S) 
(z 0,2)(Z2 + Z + 0 ,5) 
5.4-6 Rcpita 0 Prob. 5.4-2 para 
Hl zl = Z(2.;:2 + 1 ,3z + 0,96) 
(z + 0,5)(z - 0.4)2 
5.4·7 Realin:: 0 shtema cuja func;ao de Irdru>fcrf.nc ia e 
2-' + .' + 0 S-2 + ,. + . 
H[zJ = ' ~ :4' _4 
5.4·8 Reali:te urn sistema cuja fu tu;iio de Imusferen-
cia seja dada por 
, 
H [, ) ~ L "'--
"~ 
CAI'fTUI.O 5 A'lALL"E OE SISTlrMAS E.\t TEMPO DISCRETO USMmo A T II.ANSR)RMADA Z 5 23 
o 
o. 
u. 
"" o. c 
~ o. 
:s o. 
o 
o. 
u. 
I 
9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
I 
0 --"'" --'rrfl 0 ,,(2 r. 
n 
• 
1\ 
\ 
0 
\ 
-
\ 
~ 
--:r -TTrl 0 •. n r. 
n 
F igura P5.6-3 Rcsposta em frequc{]cia de urn sistema LIT est:!ivel e real. 
5.6-6 (a) Realize urn filtro digi tal cuja ru{]~iiO de 
transferencia scja dada por 
H] ;; ] = K z + I 
, - a 
(b) Trace a resposta em amplitude dcste fihro 
assumindo 101 < 1. 
(c) A fCsposta em ampli tude dc;;te flltro passa-
baius c! maxima emil =0. A Jargurnde fai-
)l.a de 3 dB e a frequeocia oa qual a resposta 
em ampJirude eai pard 0.7U7 (00 1/.[i) de 
seu valor mb-imo. Determine 11 Jnrgurn de 
faixa de 3 dB desle filtro qUll{]do a = 2. 
5.6-7 Projete urn filtro notch digital que rejci te 
completamcnte a frcquencia de 5000Hz e que 
lenha uma rnpida recupera"ao nos dois lados 
tie 5000 Hz para urn ganho unitario. A frc-
queneia mais alIa a Sl:f proccssada e 20 kHz 
(F ~ = 20.000). [Dica: Use 0 Exempl0 5. 15 . 
Os zeros devem estar em efi<H para til eorrcs-
pondente a 5000Hz c os p610s de\·em estar 
"., em (Ie com {/ < I . Deixe sua resposta em 
termos de o. Real ize este lil tro usando a for-
ma can6nica. Determine a resposta em ampl i-
tude do IiItTO. ] 
5.6-8 Mostre que urn sistema LDIT de prillleira or-
dem eom urn pOlo em z = rc urn zero em z "" 
IIr(r :>; I) e urn filtro passa ludo. Em out ras 
palavras, moslre que a resp(j~ta em amplitu-
de IH[otIJI de urn sis tema com run~ao de 
transferencia 
,- -
Hl z]=--' , - , 1" 5 1 
e eonstante com a freqi'icnciaIsto c urn 
filuo passa IUdo de primeira ordem. [Di-
ea: Mostre que a razao da<; distiincias de 
qualqueI" ponto ao circulo unilario ao ze-
ro (em <: = Ifr) c ao p610 (em z '" ,.) e a 
eonstame Ifr.] 
Generalizecste resultudo pard mostrdrquc 
urn ~ istema LDiT com dois (lOlos em :: '" 
re'" ~ dois zeros em z '" ( 1/r)e#9 (r:-::; I) e 
urn filtro pa.<;...a-tudu. Em ootras IJiIlavrols, 
mostre que a resposta em amplitude de um 
sistema com fu~1io de trnnsferencia 
= z 2 _ (2rcosO)z+r2 
e I;onstante cnm a treqiiencm. 
5.6-9 (3) Se 111[11 ] c h,[n], a rcsposta ao impulso de 
dois sistemas LDIT. sao re lacionada<; pOI" 
h~llli = (-I tll llll ]. entik) mosm: que 
H1 [ei° ] = H,leilU±."'] 
Como 0 espectro de freq Uencia de Hz[dU j 
esta relacionado com u de HI] .JD ),! 
(b) Se H,[z] represenla urn filtro passa-bai-
xas ideal com freqUencill de eone n ... tra-
ce H~I~J. Qualtipo de filrro t H l [?']'! 
5.6-10 Mapcamcntos. lais como a transform~ bili-
near. s1io uteis na eonvel1'\lio de filtms em tem-
po continuo para filtms em temIX' discrctu. 
CAPjruLO 5 Al\'AUSE DE SJSTEMAS EM T~\1ro D JSCREm USANDO A TRA:-<SFORMADA Z 525 
(b) Mostre que esta transforma<;ao mapt:ia 0 
semi-plano esquerdo do plano s no interior 
do cireulo ullilano no plano z, 0 que garan-
Ie que a eSlabilidade seja conservada. 
5.9-1 Detennine a transformada 2 (se ela existir) e a 
RDC corrcspondente para cada urn dos sc-
guintes sinais 
(a) (0,8)"u[lI] + 2"111 - (11 + 1)1 
(0) 2"ulll]-3"u[ - (n+ l) ] 
(e) (0,R)"1I11l] + (0,9)"1/[- (11 + 1)] 
(d) ( 0.8)" + 3(0,4nul - (n + 1)1 
(e) 1(0,8)" + 3(OAY]II(n] 
(f) (0.8)"u[n] + 3(0,4)"11[-(11 + 1)] 
(g) (0,5) jJr l 
(h) llll[ - (n + I)] 
5.9-2 Obtenha a transformada z inversa de 
quando a RDC e 
(a) lz1>2 
(b) e ~2 < Izl < 2 
ee) 1.;::1 < e~1 
5.9-3 Utilize a expansao em fra<;6es pareiais, tabe-
las da transformada z e a regiao de eonvergen-
cia (I z I < 1/2) para determinar a transform ada 
z inven;a de 
5.9-4 Considerc 0 sistema 
,(, - l) 
H(z) = (Zl _ ¥) 
(a) Desenhe 0 diagrama de p61os-zeros para 
H(z) e identifique todas as possiveis re-
gi6es de eonvergEncia. 
(b) Descnhe 0 diagrama de p61os-zeros para 
11'(z) e identifique todas as possiveis re-
gi5es de eonvergencia. 
5.9-5 Urn sinal .1'[11 ] em tempo discrete possuir uma 
transfommitao z racional que eontem um p610 
em z = 0,5. Sabendo quexJ[nJ = (1/3)"x[ll] e ab-
solutamente somavel e x!(Il] = (1/4)'x[/I] nao e 
absulutamcnte somavel. determine se x(ll] C 
urn sinal de lado esquerdo, lado dircilO ou de 
dois lados. Justifique sua resposta. 
5.9-6 Seja .1'[11] um sinal absolutamente somavel com 
tmnsformar;ao z rncionaI X(z). Sabe-se queX(z) 
possui urn pOlo em z = (0.75 + U,75}) e qU(; ou-
Irus p(ilos podem cstar prcsentcs. Lembre-se de 
que urn sinal absolutamente somavel satisfaz 
L~,,,oIxln II < OC. 
(a) xrll] pode ser de lado esquerdo? Explique. 
(b) x[nl pode ser de lado direilo? Explique. 
(e) x[n] pode ser de dois lados? Explique. 
(d) .1'[11] pode ser de duraiti!o finila? Explique. 
5.9-7 Considcre um sistema causal com funitiio de 
transferencia 
Quando apropriado, considere condiyOes ini-
eiais nulas. 
(a) Determine a safdaYI [n] destc sistema em 
resposta axl[n] == (3/4)"11[11] . 
(b) Determine a safda }"~lnJ desle sistema em 
resposta a x2[IJ 1 = (/4)". 
5.9-8 SejaxlnJ = (-1 )"11[11 - no] + auI- II] . Delermi-
ne as restri<;Oes do niimero complexo u. e do 
inteiro 110 tal que a transformada z X(.::) existe 
com regiao de convergencia I < Izi < 2. 
5.9-9 Usando a definio;ao. calcule a trnnsformada 
z bilateral, inc1uindo a rcgiao de convcrgcn-
cia (RDC) das seguintes fun<;Oes de valor 
complexo: 
(a) xdn] = (_j)- nU[_Il] + 0[-11] 
(b) X2[1I] = (j)" cos (/1 + 1 )11 1 n J 
(c) XJ[n] = j senh [n]lt! -/I + l J 
(d) x~l/J I = L:~==-x (2j)"S[1l - 2k] 
5.9-10 Utilize a expansao em frait6es pru-ciais. tabcla 
de transformada z c a rcgiilo de cunvergencia 
(0,5 < Izi < 2) para determinar a transformada z 
inversade 
1 
(a) X1(z) = 
1 + .u.z 1 + !z 2 _ ~z , • • 
I 
(b) X2 (z) = '(2 1)(1 + 2z I) , , 
5.9-11 Utilize a expansiio em frao;()es parciais, labela 
de transformada Z e 0 fato de que os sistemas 
sao estaveis pan! delenninar a transform ada l 
inversa de 
(') HI(')~( ')( I,) l - "2 1 + "2z 
, + 1 
5.9-]2 Inserindo N zeros entre cada amostra de urn 
degrau unitano, oblemos 0 sinal 
CAPtruLO 6 ANAUSE DE $ ."{,\IS NO TEMPO CONTfNt!O: A Sil:RIE DE FoURIER 535 
Tabcla 6.2 
n C. '. 
n 0,504 0 
1 0,244 -75,96 
2 0,125 -82,87 
3 0,084 -85,24 
4 0,063 -86,42 , 0,0504 -87.14 
6 0,042 - 87.61 
1 0.036 -87.95 
EX EMP LO DE CQM PUTA DO R C6.1 
Seguindo 0 Exemplo 6.1. calculc e Irace os coeficienl<!s de Fourier para 0 sinal peri6dico da Fig. 6.2a. 
N<!ste cltcmplo 1(, ;;; J[ C COo;;; 2. As expressOes para aO' a,.. b •• C. c 8. s1Io dctcrminadllS no Excmplo 6.1. 
,. ,. " _ I:l~ i "~"'I(1I _ (1 . 50' ; ol.-,,( r .• ·,J : (l . 5 {/' . 2 . 1I1 ~ 16 . " . -2 1; 
» 0-,,( 1) _ t' ; b_n(n_l) _ o . s o , . e . ". /(1 ~ 1 6 . ". ~7.) , 
» C_ ,,( l ) _ ~.(l) , ~_~(" ' l) = 5qr < i~nln_! ).A2.b..>"'I(~.1) . A2J ; 
,. ,. t h ()t.:l....r. ( l l At' ; t i>Q;:ol __ "l( l"H l) : ~tanl { -h_n(: ... !l , "-" I r.·l l) ; 
» n " (O.n] ; 
»c~t: ~~bpl0l( 2, ) .1 1 ; r.tem(n.a-".' ~ ' I, ylabel( '~_n ' l ; x}"be l ( ' n ' ) ; 
,.,. "uo;. l o t (1, 2 , 2 ); ~< o."" lr",b_",'k· l i y l",bt! l( ' h_ n ' j ; x h!)eH 'II' ) , 
»,.,,,bj.>1 ,,~. ( 2 ,2, 3) ; "L",,.( ,,,C_,, .' k ' ) ; yl .. b<;>ll ' C-" ' ) ; x l Oll>el (' ,, ' ) , 
,.,. "~!Jp l<x12 , 2 , ~I ; ,, ".<r\ln . t :'..,t/lJl.'k' l: yh.belt'\,." .. """-,, i .:""dl ' j , x l .. t:d l ' II ' ); 
0.1,--------, 
0.6 
0.5 
'=~ ~:~ 
0.2 
0.1 If 
o!--'~~~---' o 2 4 6 
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1 ! , , 
2 4 6 , 
.:::.~ 
0.25 
.2 o 
0.1 , 
o .1 
0.0 , 
-u.s 
- 1.5 
II 
! r 
2 4 6 , 
2 c----;:---;-- -! o 2 4 6 
" 
CAPITULO 6 A NAu SE DE SIN..oJS 1\"0 TF~\fl'O COJ\'TfNUO; A SERlE DE FoURIER 537 
Ncste cnso, 0 perfodo t Tn == 2. Logo, 
na qual 
'" ~1=2 =if 
~ 
:c(t) = ao + L a~ cos 1171:1 + b~ sen IITf t ,., 
x(t ) = {
2M 
ZA(J - r) 
It I < ! 
! < I < ~ , , 
Nt:Ste caso, sen1 vantajoso escolher 0 intervalo de integratjllo de -\12 a 3/2, em vez de urn de 0 a 2. 
VIDa r.ip ida anti lise na Fig. 6.3a mostrJ que 0 valor malio (ec) de x(/) e zero, tal que 110 == O. Alem disso. 
2 j 'I' a" = - x{r ) ( OS lI1Tt dl 
2 - 112 
j '" 1'" = 2Atcos lI1t1dl + 2A( l 
-1/2 1/2 
- f)eos mrldl 
A detenninatjilo detalhada dcssas integrais mostra que ambas possllcm valor zero. Portanto. 
a~ = 0 
brr = t il 2Arsen ll1Tt dr + t /2 2A(l 
J - I/l .JI/2 
- t) sen fl1T1 tit 
o c:l lcul-o dctaUI:ldo dessa intcgral resulta em 
8A ("") b. = IJ2Tf! sen 2 
0 "P" 
8A 
- IJ 2Tf l fl = I. S.9, 13. ,. 
- -- II = 3.7,1 1. 15, . 
n l if l 
Ponamo. 
8A [ I I I ] X(I)= ](2 senn l - ij senhl+
2S
senSnt -
49
sen7rrt + . . . (6.16) 
Pant trartar 0 espectro de r"Ourier. a sene deve ser conven ida para a fnnna tngonometricacnmpacta wi co: 
mo na Eq. (6. 12). Neste casu, podemos fazer Tapidamentc cssn llllldano;a convertendo os tcrmos em seno pa-
nl Icrrnes em cnsseno com urn deslocamento de fa!ie adequado. Par cxemplo, 
!ienkl = cos(kl - 90") 
- sen kr = cos (kl + 9(}0) 
Usando essas identidades, a Eq. (6. 16) pede sec expres~a por 
538 SINI\JS E SISTEMAS LlNEARE~ 
8A [ I I 
x(f) = Tt 2 COS (li" I - 90") + 9" COS (3li"1 + 90") + 25 cos (5m - 90°) 
+~ COS(7li"1+90C) + "'l 
49 
Ncsta ~cric, todas a.> harmuni!;as pares estao ausentes. As fases das harmonicas fmpares se aheram de 
-900 pant 90". A Fig. 6.3 mostra 0 espectro de amplitude e fase de x(I) . 
Urn sinal peri6dico X(I) e representado por uma serie trigonometrica de Fourier como 
x(t) = 2 + 3 cos 21 + 4sen21 + 2sen (31 + 3~") - co~ (7t + 150°) 
Expresse essa serie como uma serle trigollometrica compacta de Fourier e trace a espectro de amplitude 
e rasedex(t). 
Na serie trigollomelrica compacta de Fourier, o~ teonos em seno e cassella de mesmafreqUencia sao 
combinadas em urn dnico termo e todos as termos sao descritos na fonna de cosseno com amplitudes 
positivas. Usando as Eqs. (6.12), (6.13b) e (6.13c), temos 
3 cus2t + 4 sen 2t = 5 cos (2t - 53. 13°) 
AlCm russo, 
, 
- cos (7t + 150') = cos (71 + 150' - 1 80~ ) = cos (7/ _ 3~") 
Portanto, 
xU) = 2 + 5 cus (2t - 53 ,13°) + 2cos (3t - 6U') + cos (7t - 30") 
Nestc caso, apcnas quatro eomponcntcs (incluindu a cc) estiio presentes. A amplitude cc e 2. As Ires com-
ponentes restantes possuem freqiiencia ffi= 2, 3 e 7, amplitudes 5. 2 e I e fuses _53,13°. -600 e - 30", respec-
livamente. 0 espectru de amplitude e fase para ~se sinal esta mostrado na Fig. 6.4a e 6.4b, respcctivamente. 
t 5 
c. 
2 .. ..... .... ... _ .. 
2 ] 4 5 6 7 
(,) 
Figura 6.4 Espectm de Fourier do sinal. 
CAPiTULO 6 AA.uISE DE SlNAIS NO Tt; MPO CONTiN"uo: A SERlE DE FOURIER 539 
- 30" ""-"---- ---- --- -- - -
- 53,13° 
- 6(1' 
( 6) 
Figura 6.4 Cont inuar;iio. 
Delermine a scrie trigonometrica compacta de Fourier para 0 sinal de pulso quadrado mostrado na Fig. 6.5a 
e trace sell espectru de amplirude e fase . 
- ). - 2r. - " 
2 2 
,,) 
t 
C. 
0.5 
2 
5" 
0 2 4 6 8 10 
w_ 
2 
)Co 
(6) 
Figura 6.S (a ) Sinal peri6dico de pulso quadrado e (b) seu espectro de Fourier. 
Neste caso, 0 periodo e To = 21t C ~) = 21riTo = 1. Ponanto. 
~ 
x(t) = ao + L an cos lit + b" sen n1 
n=J 
CAptruw 6 ANALISE DE SmAls /'iO T EMPO CONTINUO: A SERlE DE FOURIER 543 
(b) x{t)= - sen lft --sen 2nt+-sen 3:rr t -- sen 4rrt+ .. . 2A[ 1 1 1 ] 
rr 2 3 4 ' 
2A [ 1 I 
~ - cos (lf t - 90") + - cos ( 21ft + 90°) + """COS (31ft - 90°) 
rr 2 3 
+ ~ cos (41l'1 + 9In + ... J 
6.1·3 Dctermina~ao da Freqiiencia e Periodo Fundamental 
Vimos que todo sinal peri6dico pode ser expresso como a soma de scn6ide de uma frcqtlencia fundamental lao 
e suns harmOnicas. Entrehmto. podemos pcrguntar se a soma de sen6ides de qllaisqlU!r freqUencias represenia 
urn sinal peri6dico . Sc sim, como podemos determinar 0 periodo'/ Considere as seguintcs tres fun~i'les: 
XICI) = 2 +7 cos (tt + 91) + 3cos (1 t + 02) + 5 cos GI +0.1) 
X2(1) = 2 cos (21 + 81) + 5 Sen ( lft + 82) 
Xl(t) = 3 sen (Ml + 8) + 7 cos (6v21 + ¢) 
Lembre-se de que loda rrequencia em urn sinal periooioo e urn multiplo intei ro da freq Ucncia fundamental 
%. Pottanto, a raziio de quaiMJuer duas freqUencias e na fomla 1111 n. na qual III C /I silO inteiros. Isso signifiea 
que a nu:ao de quaisquer duas frequencias e urn numero racional . Quando a razao de duus freqtlencias e urn nu-
mero racional, as freqtlencias silo ditas serem harlllonicalllellle re lacionadas. 
o maior numero no qual todas as freq{l eneias s:'io multiplos inteiros e a freqUeneia fu ndamental. Em outras 
palolYraS, a freqUencia fundamental e 0 maior jalor comum (MFC) de tOOns as freqliencias da scrie, As frequen-
cia~ no espeetro de x,(t) ~ao 112, 2J3 e 7/6 (niio consideramos a componente ee). A rnzao da~ frequencias suces· 
SiV3S e 3:4 e 4:7, rcspectivamente. Como os dois numeros sao racionai ~, todas as tres freq iiencias no espectro 
sio hamlOnicamente relacionadas e 0 sinal X, (I) e periooico, 0 MFC, ou seja. 0 maior numero no qualll2.1f3 
e 7/6 sao multiplos in teiros e 1/6. t AIem d isso. 3(116) = 112.4(116) '" 213 e 7(116) == 7/6. Portanto, a frequcncia 
fundamental e 1/6 e as tres freqUeneias do cspcctro sao 0 lerceiro, quarto c selimo harm{jnicos, Observe que a 
componente de freqMncia fundamental esta ausente ncssa serie de Fourier, 
o sinal xlt) nao e peri6dico porque II razao de duas freqUencias no espectro e 2In, 0 qual nau e urn nume-
ro raeionaL 0 sinal x)(t) e peri6dico porque a ral.iio das freqUeneias 3 .,fi e 6,fi e 112, um numero racional. 
o maior fator comum de 3.,fi e 6 ,fi e 3 J2. Portanto, a freqUencia fu ndamental c CI\J := 3J2 e 0 periodo c 
(6,21) 
EXERclcIO E6.2 
Determine se 0 sinal 
.r(t) = cos (11 + 30") + sen (31 + 45") 
, e ou nlio periooico, Se ele fo r peri6dico, determine II freqiiencia e 0 perfodo fundamental. Quaj~ harmonicas eg· 
t50 presentes em X(I)? 
• 0 m:UOf falOl'coowm de a/b,. alb ..... , a.lb. ~ a rvJo cIos MFC do oonjunto dIl.'l numendorcs (a,. a" .. , a.J peto MMC (mcOOf mul-
tiplo comum) do coojllnto dllS denomi nadores (h,. h, . .... b.), Pol' excmpJo, p:IIll 0 (:onjunto (213 , 6fT. 2). 0 MFC do conjul\to de I\ume-
radotes (2. 6, 2) ~ 2, 0 MMC 00 conjunto de denllmin!idores (3. 7. J) c: 21 . Portunlo. 212t eo maior "timero Ill) qlLllt 2f3, 617 e 2 ~o 
mllttip]os intcirm, 
CAriruw 6 ANAliSE DE SINAIS KO T E.\lPO COI\'Ti;WO: A Sl'!:RIF. DE foURIER 55 1 
EXERCiclO E 6.3 
Por inspe\1i.o dos sinais das Fig~. 6.2a, 6.00 e 6.6b, detemJine a taxa assint6tica de decaimcnto dus cspectros de 
amplitude. 
RESPQSTA 
Jill. Vn~ e l in. respectivamenle. 
EXEMPLO DE COM PUTADO R C6.2 
Analogamentc a Fig. 6 .7 , dcmonstre a sfntese da forma de onda quadrada da Fig. 6.5a somaooo sucessiva-
mente, passe a pa.'>so, as Ci.Jmponentes de Fourier. 
,.,." = in ! ine( · """l(t~pi!2,2 .. pi.l<:p;'J ; t : linllpar:o(-2 ~p:i,2 · t>~, lOOOl ; 
,.". sollIlterlll-<; : zeros (lb , lcn(j'th (t ) ) ; "'''mterms (1 , : ) = t 12 ; 
» for n: l:s'ze(s ... otenns,1i - l ; 
» 
» C"G 
» ~, 
» 'O~ 
>, 
» 
>, 
» ,,'" 
s~~erm5(n~ l,:) = 12 / (yi#n) ' sin (pi " n / 2)) ' cos(n or) ; 
Z Cill!".sulIIlsu","tet"L<;); fiQure tl l ; elf ; ind '" 0 ; 
N,. [O , 1:2 : sb.c/ SlXll.crms ,I )-1]. 
ind = ind o1 ; lIuhplotI3, 3. ind) ; 
plo::. (t,xjilN+l,:), ' k'.t.xlt ) , ' J:--' ) ; IIxisll - 2 ' pi 2 op' - 0 . 2 } . ;>;] ) ; 
xlabc1 r ' t ' ) ; ylal>ol( [ ' x_I ' , num2str IN) , ' } ( ~l ' J I ; 
". ,- --. • 
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~ 0.5 f--'---i- :-+1 
~, O. 
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... , 
I-, 
Figura C6.2 
552 SJNAJS I: SJ~'TEMAS LlNEARES 
NorA H IST6RICA DO FEN6 MF.NO GIBBS 
Falando genericameme. fum;ik.<; prohJemalicas com comportamento eSlranhQ silo invenladas por malemal ie~s. 
RardmCnJc vcmos lais panicuJaridade.<; na p~l ica. No easo do [cnOmeno Gibbs, enlretanJo, a hisl6ria se in\'erte. 
Urn ~mportamcmo inlrigame foi observndo em urn objeto simples. um sintetizador de ondas mccfulico. e, en-
lAo. lodos os matematicos conhccidos na cpoca paniram nn busca para. identi fiear 0 que e.<;tava ocul to. 
Alben Michelson (dn celebre Michelson-MoTley) foi urn hornern energic(l e pnltico que desenvolveu inslru-
memos fisicos engenhosos de cxtrllordinfirin precisao. a mllioria na art:a de 6ptica. Seu nnalisador hann8nieo, de-
sCl\volvido em 1898, podia cakul<lT os primciros 80 eocficientes da serie de Fourier de urn sinal x(t) e.~peci fi cado 
por qualquer descfi<;iio grMica. 0 inRlnunento tambem podia ser utiUzado coma ~i nleti7.ador harm8nieo. 0 qual 
trayava uma fum;ao x(t) gemda pcla soma dos primeiros 80 harmfmicos (eomponentes de Fourier) de amplitudes 
c fases arbimirias. Esse analisador. p<'lrtanto, tinha a habilidade de verificnr ~ua pr6pria opern'Yno pela an:l. li ~ de 
um sinal J11) e. enlaO. sumando as 80 eomponentes resuilantes. verifiear quao pcrlO a aproxima"ao CSlava dc.\"(I). 
Michelson obsen'ou que 0 inslmmento verificava muito bern a maioria dos sinais analisados. Entretanto. 
quando tenlO" analisar uma func;:ao descontfnua. tal como uma onda quadrdua,' um componamento curioso foi 
obscrvado. A soma das 80 cornponenle.<; mOSlT3va um CIlrnportalllcmo oscilat6rio com urn sobre-sinal de 9% na 
proximidade dos puntos de des~:ontinujdade. A.lem disso. e.~se comportamcnlo ern uma earacterfslica constante. 
indcpendcnte do nilmero de tennos w mados. Um grande nilmcro de termos lomava as oscilac;:Oes proporcional-
menle mais rapidas. mas indepclldcntc do numero de termos somados, 0 sobre-sinal pennanecia em 9%. Esse 
componamcnto intrigante fez. com que Michelson suspt:it.c;sc