Aula 03 Derivadas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS DA SAÚDE
FACULDADE DE FARMÁCIA
DISCIPLINA: INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS DE ANÁLISES DE DADOS
Prof. Antonio dos Santos Silva 
Matemática
Unidade III: Derivadas
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Unidade III: Derivadas
1- O Problema da Reta Tangente
P(x1,y1)
Q(x2,y2)
y1
y2
x1
x2
x
x
y
s
y
 A reta secante a um par de pontos P e Q de uma dada curva s pode ser genericamente representada como segue:
 O coeficiente angular da reta s é dado por:
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Unidade III: Derivadas
1- O Problema da Reta Tangente
 A reta tangente a um ponto P da curva s pode ser tomada como uma reta secante que sofreu as seguintes operações:
 Mantém-se P fixo e se faz Q se mover no sentido anti-horário sobre a curva s em direção a P.
 A medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação da secante tende para um valor limite.
 A inclinação da reta s irá variar.
 Esse valor limite, é chamado inclinação da reta tangente à curva s, no ponto P.
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Unidade III: Derivadas
1- O Problema da Reta Tangente
y1
y2
x1= x2
x
y
 Assim, a reta tangente a uma curva em um ponto P pode ser encarada como o limite de uma reta secante a esta curava em dois pontos, P e Q, quando esses pontos tendem a serem coincidentes.
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Unidade III: Derivadas
1- O Problema da Reta Tangente
 Pode-se definir formalmente a reta tangente a curva s da seguinte maneira:
▪ Dada uma curva y = f(x), seja P(x1,y1) um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por:
Quando o limite existe. 
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Unidade III: Derivadas
1- O Problema da Reta Tangente
▪ Fazendo-se:
▪ Pode-se escrever a equação anterior como:
▪ A equação anterior é a definição matemática formal do coeficiente angular para a reta tangente.
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Unidade III: Derivadas
1- O Problema da Reta Tangente
Exemplo 1: Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x2 – 2x + 1 no ponto (x1, y1).
Solução
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Unidade III: Derivadas
1- O Problema da Reta Tangente
Solução
▪ Usando a definição de coeficiente angular de uma reta:
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Unidade III: Derivadas
1- O Problema da Reta Tangente
Exercitando-se
1- Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x2 – 2x + 1 no ponto (1, 1).
2- Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x2 no ponto (1, 1).
3- Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = 2/x no ponto (2, 1).
4- Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x1/2 nos pontos (1, 9), (1, 4) e (1, 1).
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Unidade III: Derivadas
2- Definição Formal de Derivada
 A derivada de uma função f(x) no ponto x1, simbolicamen-te designada por f’(x1), é definida pelo seguinte limite:
 O limite acima dá a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (x1, f(x1)). 
 Portanto, geometricamente, a derivada de uma função representa o coeficiente angular da reta tangente à curva neste ponto.
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Unidade III: Derivadas
2- Definição Formal de Derivada
 Deve-se esta definição ao ilustre matemático Pierre de Fermat. 
Pierre de Fermat
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Unidade III: Derivadas
2- Definição Formal de Derivada
Exemplo 1: Determine a derivada da função y = 4,9. x2.
Solução
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Unidade III: Derivadas
2- Definição Formal de Derivada
Exemplo 1: Determine a derivada da função y = 4,9. x2.
Solução
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Unidade III: Derivadas
2- Definição Formal de Derivada
Solução
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Unidade III: Derivadas
2- Definição Formal de Derivada
Exercitando-se
1- Determine a derivada da função y = x + x2.
2- Determine a derivada da função f(x) = - x2. 
3- Determine a derivada da função f(x) = - 2,5. x2.
4- Determine a derivada da função y = x1/2.
3- Taxas Instantâneas Como Derivadas
 A taxa de variação de uma função f(x) em um instante c qualquer é o valor numérico de sua derivada no ponto c considerado.
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Unidade III: Derivadas
3- Taxas Instantâneas Como Derivadas
 Por essa razão, a velocidade é a derivada da função posição; a aceleração é a derivada da função velocidade; etc.
4- Significado do Sinal de f’(x)
 Se uma função f(x) é derivável em x = c, então:
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Unidade III: Derivadas
4- Significado do Sinal de f’(x)
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Unidade III: Derivadas
5- Notações Para Derivadas
 A derivada de uma função f(x) pode ser representada através de algumas simbologias.
 O valor numérico de uma derivada de uma função f(x), para um ponto c, pode ser representada através de algumas simbologias.
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Regra 1: Função constante.
Regra 2: Função de Potências Inteiras Positivas
Se f tem o valor constante f(x) = c, então
Se n for um positivo inteiro, então
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Exemplo 1: Determine as derivadas das seguintes funções:
a) f(x) = 8.
b) f(x) = -π/2.
c) f(x) = 31/2.
Solução
a) f(x) = 8.
b) f(x) = -π/2.
c) f(x) = 31/2.
Pratique:
d) f(x) = k2.
e) y = a3
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Exemplo 2: Determine as derivadas das seguintes funções:
a) f(x) = x2.
b) f(x) = x7.
c) f(x) = x1/2.
Solução
a) f(x) = x2
b) f(x) = x7.
c) f(x) = x1/2.
Pratique:
d) f(x) = x5.
e) y = x3
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Regra 3: Multiplicação Por Constante.
Observação
 Se u é uma função derivável de x e c é uma constante, então:
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Exemplo 3: Determine as derivadas das seguintes funções:
a) f(x) = 2.x2.
b) f(x) = - x7.
c) f(x) = 2.x1/2.
Solução
a) f(x) = 2.x2
b) f(x) = - x7.
c) f(x) = 2.x1/2.
Pratique: d) f(x) = 3.x5. e) y = -2.x3
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Regra 4: Derivada da Soma
 Se u e v são funções deriváveis de x, então a soma das duas u + v é derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Nesses pontos, 
Regra 5: Derivada da Subtração
 Se u e v são funções deriváveis de x, então a soma das duas u - v é derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Nesses pontos, 
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Exemplo 4: Determine as derivadas das seguintes funções:
a) f(x) = x4 + 12x.
b) f(x) = x7 – 5x.
c) f(x) = x2 + 2x - 3.
Solução
a) f(x) = x4 + 12x.
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Solução
b) f(x) = x7 – 5x.
c) f(x) = x2 + 2x - 3.
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Exemplo 5: Determine as derivadas das seguintes funções:
a) f(x) = x5 + 2x.
b) f(x) = x9 – 15x.
c) f(x) = x12 + x - 3.
d) f(x) = -x4 + 2x.
e) f(x) = x2 + 3x.
f) f(x) = x3 + 3x - 4.
Pratique!
Regra 6: Derivada do Produto de Funções
 Se u e v são funções deriváveis de x, então o produto das duas u . v é derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Nesses pontos, 
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Regra 7: Derivada da Divisão de Funções
 Se u e v são funções deriváveis de x, então o quociente das duas u / v é derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis e v  0. Nesses pontos, 
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Exemplo 6: Determine as derivadas das seguintes funções:
a) f(x) = x3.senx
b) f(x) = cosx.senx
c) f(x) = cosx/senx
Solução
a) f(x) = x3.senx
g(x) = x3
h(x) = sen x
g’(x) = 3x2
h(x) = cos x
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
b) f(x) = cos x. sen x
Solução
g(x) = cos x
h(x) = sen x
g’(x) = - sen x
h’(x) = cos x
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Solução
c) f(x) = cosx/senx
g(x) = cos x
h(x) = sen x
g’(x) = - sen x
h’(x) = cos x
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Solução
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de
Derivação
Regra 8: Derivada da Função Seno
A derivada da função seno é a função cosseno.
Regra 9: Derivada da Função Cosseno
A derivada da função cosseno é a função seno vezes -1.
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Regra 10: Derivadas de Outras Funções Trigonométricas
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Regra 11: Derivada da Função Exponencial
Observação: Para a base dos números e:
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Regra 12: Derivada da Função Logarítmica
Observação: Para a base dos números e:
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Exemplo 7: Determine as derivadas das seguintes funções:
Solução
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Unidade III: Derivadas
6- Regras de Derivação
Exemplo 8: Determine as derivadas das seguintes funções:
Solução
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Unidade III: Derivadas
7- Regra da Cadeia
 Quando uma função f(x) é uma composição de duas ou mais funções, isto é, quando f(x) é uma função de função, se tem:
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Unidade III: Derivadas
7- Regra da Cadeia
Exemplo 9: Determine as derivadas das seguintes funções:
Solução
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Unidade III: Derivadas
7- Regra da Cadeia
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Unidade III: Derivadas
7- Regra da Cadeia
Exemplo 10: Determine as derivadas das seguintes funções:
Pratique!
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Unidade III: Derivadas
8- Derivadas de Ordem Superior
 Se f’ for derivável, então sua derivada é denotada por f’’ e é denominada de derivada segunda de f. 
 Essas derivadas em sucessão são denotadas por:
 A derivada f’ de uma função f é novamente uma função, que pode ter sua própria derivada. 
 Enquanto tivermos diferenciabilidade, podemos conti-nuar o processo de derivação para obter as derivadas terceira, quarta, quinta, e até derivadas superiores de f. 
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Unidade III: Derivadas
8- Derivadas de Ordem Superior
Exemplo 11: Determine as derivadas terceiras das seguintes funções:
 As regras para se determinar uma derivada de ordem superior são as mesmas para a derivada de 1ª ordem!
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Unidade III: Derivadas
8- Derivadas de Ordem Superior
Solução
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Unidade III: Derivadas
8- Derivadas de Ordem Superior
Solução
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Unidade III: Derivadas
8- Derivadas de Ordem Superior
Exemplo 12: Determine as derivadas quartas das seguintes funções:
Pratique!
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.1- Velocidade Instantânea
 Em Física, define-se velocidade média como sendo a taxa temporal de variação da posição de um corpo: 
onde x é a posição do móvel e t o tempo considerado de movimento do corpo.
 Quando o interesse é a velocidade do móvel em um intervalo de tempo muito pequeno, isto é, quando t tende a zero, a velocidade média passa a ser a velocidade instantânea:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.1- Velocidade Instantânea
Exemplo 1: Seja x(t) = t3 – 6.t2 a função posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo x, onde x está em metros, enquanto t é dado em segundos. Encontre a função velocidade instantânea para esse movimento.
Solução
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.1- Velocidade Instantânea
Exemplo 2: Seja x(t) = t5 – 4.t4 a função posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo x, onde x está em metros, enquanto t é dado em segundos. Encontre a função velocidade instantânea para esse movimento.
Exemplo 3: Seja x(t) = e-4.t a função posição de uma partí-cula movendo-se ao longo de um eixo x, onde x está em metros, enquanto t é dado em segundos. Encontre a fun-ção velocidade instantânea para esse movimento.
Exemplo 4: Encontre a velocidade instantânea para t = 3 s para o móvel do exemplo 2 e para o móvel do exemplo 3.
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.2- Aceleração Instantânea
 Em Física, define-se aceleração média como sendo a taxa temporal de variação da velocidade de um corpo: 
onde v é a velocidade do móvel e t o tempo considerado de movimento do corpo.
 Quando o interesse é a aceleração do móvel em um intervalo de tempo muito pequeno, isto é, quando t tende a zero, a aceleração média passa a ser a aceleração instantânea:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.2- Aceleração Instantânea
 Como a velocidade instantânea em sí já é a primeira derivada temporal da função posição, então a aceleração instantânea pode também ser vista como sendo a derivada segunda da posição em relação ao tempo.
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.2- Aceleração Instantânea
Exemplo 1: Seja x(t) = t3 – 6.t2 a função posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo x, onde x está em metros, enquanto t é dado em segundos. Encontre a função aceleração instantânea para esse movimento.
Solução
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.2- Aceleração Instantânea
Exemplo 2: Seja x(t) = t5 – 4.t4 a função posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo x, onde x está em metros, enquanto t é dado em segundos. Encontre a função aceleração instantânea para esse movimento.
Exemplo 3: Seja x(t) = e-4.t a função posição de uma partí-cula movendo-se ao longo de um eixo x, onde x está em metros, enquanto t é dado em segundos. Encontre a fun-ção aceleração instantânea para esse movimento.
Exemplo 4: Encontre a aceleração instantânea para t = 3 s para o móvel do exemplo 2 e para o móvel do exemplo 3.
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.2- Aceleração Instantânea
Exemplo 5: Seja v(t) = t5 – 4.t4 a função velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo x, onde v está em m/s, enquanto t é dado em segundos. Encontre a função aceleração instantânea para esse movimento.
Exemplo 6: Seja v(t) = e-4.t a função velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo x, onde v está em m/s, enquanto t é dado em segundos. Encontre a fun-ção aceleração instantânea para esse movimento.
Exemplo 7: Encontre a aceleração instantânea para t = 3 s para o móvel do exemplo 2 e para o móvel do exemplo 3.
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.3- Esboço de Gráficos de Funções
 A construção do esboço de um gráfico de uma função segue, de forma rigorosa, os seguintes passos:
1º Passo: Determinar o domínio da função.
2º Passo: Calcular os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados.
3º Passo: Calcular os pontos críticos.
4º Passo: Determinar se existem pontos de máximo e mínimo.
5º Passo: Estudar a concavidade e determinar os pontos de inflexão.
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.3- Esboço de Gráficos de Funções
6º Passo: Determinar se a curva possui assíntota.
7º Passo: Faça o esboço do gráfico.
Exemplo 1: Esboce o gráfico da seguinte função:
Solução
1º Passo: Determinar o domínio da função.
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.3- Esboço de Gráficos de Funções
Solução
2º Passo: Calcular os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados.
 Não ocorre interseção do gráfico com os eixos coordenados.
3º Passo: Calcular os pontos críticos.
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.3- Esboço de Gráficos de Funções
Solução
3º Passo: Calcular os pontos críticos.
Pontos de inflexão
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.3- Esboço de Gráficos de Funções
Solução
4º Passo: Determinar se existem pontos de máximo e mínimo.
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.3- Esboço de Gráficos de Funções
Solução
4º Passo: Determinar se existem pontos de máximo e mínimo.
Mínimo relativo de f(x). 
Máximo relativo de f(x). 
5º Passo: Estudar a concavidade
e determinar os pontos de inflexão.
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.3- Esboço de Gráficos de Funções
Solução
5º Passo: Estudar a concavidade e determinar os pontos de inflexão.
Por outro lado: 
f é côncava para cima em A e côncava para baixo em B. 
O gráfico não possui pontos de inflexão.
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.3- Esboço de Gráficos de Funções
Solução
6º Passo: Determinar se a curva possui assíntota.
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.3- Esboço de Gráficos de Funções
Solução
7º Passo: Faça o esboço do gráfico.
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.3- Esboço de Gráficos de Funções
Exemplo 2: Esboce o gráfico das seguintes funções:
Pratique!
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
Exemplo 1: Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, medindo 8 cm de largura e 15 cm de comprimento. Uma caixa sem tampa é construída virando os lados cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo.
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
▪ A altura da caixa é x;
▪ A largura é 8 - 2x;
▪ O comprimento é 15 – 2x;
▪ Observa-se que:
 0 < x < 4.
▪ O volume será dado por:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
▪ Derivando e igualando a zero:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
▪ Como 6 não pertence ao intervalo [0; 4], logo apenas a raiz 1,67 serve!
Ponto de Máximo!
▪ O estudo do sinal de V’(x) para esse ponto será:
▪ Então:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
O volume máximo conseguido será igual a 90,74 cm3
Exemplo 2: Um tanque cônico de aço, sem tampa, tem capacidade de 1000 m3. Determine as dimensões do tanque que minimiza a quantidade de aço usada na sua fabricação.
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
▪ A figura a seguir ilustra a geometria do problema.
▪ A área A do cone é:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
▪ A área A do cone é:
▪ O volume do tanque é:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
▪ Substituindo-se h na equação da área A:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
▪ Elevando-se ao quadrado A:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
▪ Derivando f(r) e igualando a zero:
Ponto de Mínimo!
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
▪ O valor da altura h correspondente será:
Prove!
▪ As dimensões do tanque serão: r ≈ 8,773 m e h ≈ 12,407 m e A ≈ 418,8077 m2.
Prove!
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
Exemplo 3: Implante de Vasos Sanguíneos.
 Suponha que um cirurgião necessite implantar um vaso sanguíneo em uma artéria, a fim de melhorar a irrigação em uma certa área. Como as quantidades envolvidas são pe-quenas, podemos considerar que vasos e artérias tem for-mato cilíndrico não elástico. Denotemos por A e B o início e o final da artéria e suponhamos que se deseje implantar o vaso em um ponto da artéria, de modo que a resistência ao fluxo sanguíneo entre A e B seja a menor possível. A lei de Poiseuille afirma que a resistência R do sangue no vaso é dada por:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
onde d é o comprimento do vaso, r é o raio do vaso e k é uma constante positiva que depende da viscosidade do sangue.
Qual o melhor ângulo para o implante?
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
Solução
▪ Sem que haja perda de generalidade, pode-se supor que r1 > r2 e α pertença ao intervalo [0, π/2].
▪ Considerando d0 o comprimento do segmento BD, d1 o comprimento do segmento AC, d2 o comprimento do segmento CD, x o comprimento do segmento CB e β o ângulo < CAD:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
▪ A resistência total será:
▪ Observa-se que d0, r1, r2 e β são constantes.
▪ Considerando-se o desenho ilustrativo e se escrevendo R em função de α:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
e
▪ Logo:
▪ Então:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
▪ Onde:
e
▪ Então:
Ponto crítico
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
▪ Encontrando a 2ª derivada de R:
▪ Sabendo que:
▪ Tem-se que:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.4- Maximização de Funções
▪ Onde:
▪ Logo, o melhor ângulo para se fazer o implante é:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.5- Teorema de L’Hôpital
▪ Comumente, ao se estudar limites, aparecem expressões indeterminadas, como, por exemplo:
▪ Tal expressão apresenta a indeterminação do tipo 0/0. 
▪ O teorema de L’Hôpital indica um método possível para se fazer tal tipo de indeterminação e se calcular o limite da expressão. 
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.5- Teorema de L’Hôpital
▪ Sejam f e g duas funções deriváveis em um domínio D que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos, exceto possivelmente em um ponto a e g(x)  0, para todo x  a.
1- Se:
e
então:
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.5- Teorema de L’Hôpital
2- Se:
e
então:
▪ Este teorema também é válido para os limites laterais e para os limites no infinito.
▪ Este teorema também é válido as sucessivas derivadas das funções.
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.5- Teorema de L’Hôpital
Exemplo 1: Calcule o seguinte limite:
Solução
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.5- Teorema de L’Hôpital
Exemplo 2: Calcule o seguinte limite:
Solução
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.5- Teorema de L’Hôpital
Exemplo 3: Calcule o seguinte limite:
Solução
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Unidade III: Derivadas
9- Aplicações de Derivadas
9.5- Teorema de L’Hôpital
Exemplo 4: Calcule os seguintes limites:
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Unidade III: Derivadas
Prof. Antonio dos Santos Silva