Aula 03 Derivada da Função Inversa e Derivadas Sucessivas [Modo de Compatibilidade]

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1
Prof. Adalberto Santos
x y
y)x(f =
xy)x(f == −− 11
Teorema da Função Inversa:
35
32
x)x(f)b
x)x(f)a
=
+=
Qual a função inversa de f(x), 
nos casos abaixo?
)x(sen)x(f)c =
Teorema da Função Inversa:
Qual a derivada da função inversa de f(x)?
( ) 011 ≠=− )x('f,)x('f)y(f
35
32
x)x(f)b
x)x(f)a
=
+=
A função arco seno é definida como a
função inversa da função seno:
x
y
1
2
pi
2
pi
−
y arcsen x=
1−
2
pi
2
pi
−
1−
1
y sen x=
−pi/2 pi/2
−pi/2
pi/2
x
y
Qual a derivada da função inversa de f(x)?
)x(sen)x(f =
[ 1,1] ,x ∈ − ( )y arcsen x=
( )sen y x=
A função inversa do arco seno é o seno
2
1( ) ( )y f x arcsen x−= =
1 1( )´ ( ( ))´
´( )y f x f y
−
= =
1
´( )
´( )arcsen x sen y=
Pelo Teorema da Função Inversa: 1 1
´( )
´( ) cosarcsen x sen y y= =
Mas,
= −
2cos 1y sen y
1
´( )
´( )arcsen x sen y=
)y(sen)y(cos
)y(cos)y(sen
22
22
1
1
−=
=+
Logo,
2
1
´( )
1
a rcse n x
se n y
=
−
2cos 1y sen y= −
( )sen y x=Como,
( )y arcsen x=
cos( )=y arc x
( )y arctg x=
( )y arccotg x=
Calcule a derivada da função 
2( ) ( ) 1.f x arctg x no ponto=
2( ) ( )f x arctg x=
[ ]'( ) 2 ( ) ( ) 'f x arctg x arctg x=
2
12 ( )
1
arctg x
x
 
=  + 
2
2 ( )
1
arctg x
x
=
+
( ) ( )2
2 (1)
' 1
1 1
arctgf =
+
2
4
2
pi
=
4
pi
=
3
( )f f′′ ′′=
( )f f′′′ ′′′=
Sendo a derivada de temos que: ′f f
� A derivada segunda de é dada por:f
� A derivada terceira de é dada por:f
Seja calcule2( ) ln(1 )f x x= + (2)f ′′
2 2
2
2 2
1( ) ln(1 ) (1 )
1
1 22
1 1
f x x x
x
x
x
x x
′
′ ′ = + = ⋅ + =  +
= ⋅ =
+ +
Primeira Derivada:
( ) 25
6
21
2222 22
2
−=
+
−
=
.)(''f
( ) ( )22
22
22
2
1
22
1
422
x
x
x
xx)x(''f
+
−
=
+
−+
=
( )
( )22
2
1
2212
x
x.xx.)x(''f
+
−+
=
Segunda Derivada
( ) ( ) ( )′ ′′′ = + = +
= −
2 2( ) cos cos
cos 2cos .
f x sen x x sen x x
x x sen x
Seja calcule2( ) cosf x sen x x= + )(pif ′′
2)1.(20.20
cos22)(
cos22
)cos.cos..(2)(
2
22
22
−=−−+=
−+−=′′
−+−=
+−−−=′′
pipipipi sensenf
xxsenxsen
xxxsenxsenxsenxf
�FLEMMING, Diva Maria. Cálculo A. São 
Paulo: Makron Books, 1992. 
�LEITHOLD , Louis. O cálculo com 
Geometria Analítica. v. 1. Harbra, 1976.
�STEWART, James. Cálculo. v. 1, 5 ed. São 
Paulo: Pioneira, 2005.