Aula16e17 - Base e Dimensão definição, exemplos e propriedades.

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Aulas 16 e 17 – Base e Dimensão: definição, exemplos e propriedades. 
 
Definição 1: Seja um espaço vetorial real. Um subconjunto { } é uma base de se 
i) geram . 
ii) são LI. 
 
Exemplo 1: O conjunto { }, onde ( ) ( ), é uma base de 
 . Mostre que {( ) ( )} 
também é uma base de . Dado um vetor ( ) , escreva como combinação linear dos vetores de . 
 
Teorema 1: Sejam um espaço vetorial real. Então, { } é uma base de se, e somente se, todo 
vetor pode ser escrito de maneira única como combinação linear dos vetores de , isto é, se, e somente se, 
existem únicos tais que 
 
 
Exemplo 2: O conjunto { } é uma base de 
 , chamada base canônica de , pois todo vetor 
 ( ) 
 se escreve de maneira única como 
 . 
 
Exemplo 3: Usando o Teorema 1, responda quais dos seguintes conjuntos formam uma base de . Para os que 
formarem, escreva um vetor genérico ( ) como combinação linear dos vetores do conjunto. 
a) {( ) ( ) ( )} 
b) {( ) ( ) ( )} 
c) {( ) ( ) ( )} 
 
Teorema 2: Seja um espaço vetorial. Se é uma base de com vetores e é uma base de com vetores 
então ou seja, toda base de tem exatamente vetores. 
 
Definição 2: Seja um espaço vetorial que tem uma base com vetores. A dimensão de , denotada por 
 , é o número de vetores de . Neste caso dizemos que a dimensão de é finita. 
 
Definição 3: Caso um espaço vetorial não possua uma base com um número finito de vetores, dizemos que ele 
possui dimensão infinita. 
 
Teorema 3: Seja um espaço vetorial com . 
i) Qualquer subconjunto de com mais de vetores é necessariamente LD. 
ii) Se são vetores LI, então { } é uma base de . 
iii) Se geram então { } é uma base de . 
 
Exemplo 4: Determine quando os vetores abaixo formam um não uma base de 
a) ( ) ( ) ( ) 
b) ( ) ( ) 
c) ( ) ( ) ( ) ( ) 
d) ( ) ( ) ( ) 
 
Teorema 4: Seja um espaço vetorial com . 
i) Se { } um conjunto LI, então , ou seja, todo subconjunto LI de possui no 
máximo vetores. Além disto, podemos adicionar vetores a de modo a obter uma base de que 
contêm . 
ii) Se { } é tal que , então , ou seja, todo subconjunto de 
que gera possui no mínimo vetores. Além disto, podemos eliminar vetores de de modo a obter 
uma base de que está contida em . 
 
Exemplo 5: No exemplo 4b, estenda o conjunto { } a uma base de 
 Depois, no exemplo 4c, verifique se o 
conjunto { } contêm uma base de 
 e, em caso afirmativo, determine-a. 
 
Exemplo 6: Determine se os vetores ( ) ( ) ( ) ( ) formam ou não uma base de . Se 
não formarem uma base, determine uma base e a dimensão do subespaço gerado por eles. 
 
Exemplo 7: Estenda o conjunto {( ) ( )} a uma base de . 
 
Proposição 1: Sejam um espaço vetorial de dimensão finita e e subespaços de . Então: 
 ( ) ( ) 
 
Exemplo 7: Determine uma base dos subespaços ( ) ( ) ( ) e ( ) 
( ) ( ) e as dimensões ( ) e ( ). 
 
 
Exercícios: 
 
Exercício 1: Determine uma base e a dimensão do subespaço , onde: 
a) {( ) } b) {( ) } 
 
Exercício 2: Seja ( ) ( ) ( ) . Determine uma base e a dimensão de . 
Estenda esta base de a uma base de 
 
Exercício 3: Seja ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . Determine uma base e 
a dimensão de . Estenda esta base de a uma base de 
Exercício 4: Determine uma base e a dimensão do conjunto solução de cada um dos sistemas homogêneos: 
a) {
 
 
 
 b) {
 
 
 
 
 
Exercício 5: Encontre um sistema linear homogêneo cujo conjunto solução seja gerado por : 
a) ( ) ( ) ( ). 
b) ( ) ( ) ( ) 
c) ( ) ( ) ( ) 
 
Exercício 6: Determine uma base e a dimensão de . 
a) {( ) }, {( ) }. 
b) {( ) } ( ) ( ) . 
 
Exercício 7: Considere os seguintes subespaços de : 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
a) Encontre dois sistemas lineares homogêneos cujos conjuntos solução sejam e , respectivamente. 
b) Encontre uma base e a dimensão de . 
 
Exercício 8: Determine uma base dos subespaços {( ) } e {( ) 
 } e as dimensões ( ) e ( ). 
 
Exercício 9: Mostre que os conjuntos {( ) ( )} e {( ) ( )} geram o mesmo subespaço 
vetorial de (use as propriedades de espaço-linha de uma matriz).