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ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 1 
 
7 – Fundações 
 
7.1 Sapatas 
 
7.1.1 Sapatas Corridas 
7.1.1.1 Introdução 
 
A sapata corrida é normalmente utilizada como apoio direto de paredes, muros, e de 
pilares alinhados, próximos entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.1 
 
Os esforços solicitantes na sapata são considerados uniformes, mesmo para o caso da 
fig.1.1.b onde, de maneira aproximada, a carga do pilar dividida por a, pode ser 
considerada como carga uniformemente distribuída na sapata corrida. Desta forma, a 
análise principal consiste em estudar uma faixa de largura unitária sujeita a esforços n, m 
e v, respectivamente, força normal, momento fletor e força cortante, todos eles definidos 
por unidade de largura. 
 
A fig. 1.2. mostra a seção transversal do muro. As abas podem ter espessura constante h, 
ou variável (de ho a h). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.2 
 
a) apoio de parede 
 em alvenaria 
b) apoio de pilares 
 alinhados e 
 próximos entre si 
pilares
viga de rigidez
sapata corrida 
a
a
a 
h 
hv 
ho
α
solicitações 
distribuídas 
uniformesn 
v m v
n
m
h cm
h
cm
h
h
h
o
o
v
b
≥
≥ 
≤
≥ 
25
20
3
30
0 8
(*)
/
,
α
l
 l b = comprimento de ancoragem da armadura 
 da parede ou do pilar (quando for o caso) 
c 
c = (a - ap) / 2 
 
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As sapatas podem ser classificadas em blocos, sapatas rígidas (incluindo as semi-rígidas) 
e sapatas flexíveis. Para carga centrada e solos deformáveis, os diagramas de tensão na 
interface sapata/solo apresentam o aspecto mostrado na fig. 1.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) sapata rígida b) sapata flexível 
 
 Figura 1.3 
 
 
Na prática, costuma-se relacionar esta classificação com a espessura relativa de suas 
abas. Assim, 
 
ƒ se ( )h c a ap> = −2 tem-se uma sapata muito rígida ou um bloco; 
ƒ se 
( )h c a a
e
h c
a a
p
p
≤ = −
> = −










2
2
3 3
 tem-se uma sapata rígida; 
ƒ se 
h c
a a
e
h c
a a
p
p
< = −
≥ = −










2
3 3
2 4
 tem-se uma sapata semi-rígida; e 
ƒ se h c a ap< = −
2 4
 tem-se uma sapata flexível. 
 
Normalmente, as sapatas utilizadas no projeto de fundações são do tipo rígido. 
 
Costuma-se admitir o diagrama linearizado de tensão normal na interface sapata/solo 
(diagrama retangular para carga centrada - fig. 1.3.a - e diagrama trapezoidal ou triangular 
para carga excêntrica - fig. 1.4). 
 
 
 
 
 
tensões 
normais no 
solo(σsolo) 
 
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 a) e ≤ a / 6 b) e > a / 6 
 
 Figura 1.4 
7.1.1.2 Tensão na interface sapata/solo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2.1 
 
ƒ Quando e ≤ a / 6 tem-se: 
 
 

 −=σ

 +=σ
a
e61
a
n;
a
e61
a
n b
b
b
a 
 
 e, deve-se verificar 
 
 adm
b
c a
e31
a
n σ≤

 +=σ . 
 
 
 
a / 2
1m 
nb
a 
mb
σa σb
σa
Caso em 
que e ≤ a / 6 
Caso em 
que e > a / 6 
nb
nb
e
e
nb 
mb 
Ponto 
e = mb / nb
v 
n
m 
v
n
m
a a
gb gb
tensões 
normais no 
solo (σsolo) 
hv
nb = n + gb + gs 
mb = m + v . hv 
 
e = mb / nb 
 
gb = peso da 
 sapata 
gs = peso do solo 
 sobre a sapata 
solo 
sobre 
a sapata
 
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ƒ Quando e > a / 6, a máxima tensão é dada por: 
 
 
e2/a
n
3
2 b
a −⋅=σ 
 
 devendo ser limitada a [ 1,3 σadm ], isto é: 
 
 adma 3,1 σ≤σ . 
 
Obs.: neste caso, para a atuação da carga permanente, a base deve estar 
inteiramente comprimida, isto é: eg ≤ a/6; adicionalmente, para a situação 
mais desfavorável, deve se ter pelo menos a metade da base comprimida: e ≤ 
a/3. 
7.1.1.3 Estabilidade da sapata (caso de muro) 
 
a) tombamento (rotação em torno do ponto A) 
 
ƒ momento estabilizante: mest = nb . (a / 2) 
ƒ momento desestabilizante: mdesest = mb 
ƒ 5,1
m
mFS
desest
est ≥= . 
 
b) deslizamento 
ƒ força estabilizante = (atrito) + (coesão) = nb . tg [(2 / 3) φ] + a . (2 / 3) c 
 φ = angulo de atrito interno do solo 
 c = coesão do solo 
ƒ força desestabilizante = vb 
ƒ 5,1
v
c
3
2a
3
2tgn
FS
b
b
≥


⋅+

 φ⋅
= . 
7.1.1.4 Verificações de concreto armado (sapata rígida) 
 
7.1.1.4.1. flexão 
 
A flexão pode ser verificada na seção de referência S1 de largura unitária, conforme 
mostra a fig. 4.1. 
 
O momento fletor (m1) na seção S1 contem três parcelas: 
 devido à tensão no solo ( σsolo ); 
 Devido ao peso da aba (gbf); e 
 Devido ao peso do solo sobre a aba (gsf). 
 
 
 
 
 
 
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 Figura 4.1 
 
As duas últimas parcelas são negativas e, eventualmente, podem ultrapassar o valor da 
primeira parcela (positiva) tornando necessária a presença de armadura de flexão junto à 
face superior das abas. 
 
A armadura principal pode ser quantificada de maneira aproximada através da seguinte 
expressão: 
 
 
yd1
d1
s f)d8,0(
m
A ⋅⋅= → (armadura para a faixa de largura unitária) 
 
Onde d1 é a altura útil junto à face do pilar ou parede. Convém observar ρ = ≥Ab d
s
1 1
0 15%, , 
onde b1é a largura unitária da seção. 
 
As barras que compõem a armadura principal de flexão de sapatas devem cobrir toda a 
extensão a da base e ter ganchos de extremidade. Pode-se adotar φ ≥ 10 mm e 
espaçamento s ≤ 20 cm. 
 
Para a armadura secundária pode-se adotar φmin = 6,3 mm e smax = 30 cm. 
 
7.1.1.4.2. cisalhamento 
 
A resistência ao esforço cortante pode ser verificada na seção S2 de largura unitária 
definida na fig. 4.2. 
 
A força cortante (v2) na seção S2 contem três parcelas: 
ƒ Devido à tensão no solo ( σsolo ); 
ƒ O peso da aba (gbf2) além da seção S2; e 
ƒ O peso do solo sobre a aba (gsf2) além da seção S2. 
 
 
 
 
 
tensões 
normais no 
solo (σsolo)
a a
c ap c 
0,15a0,15a
S
gsf 
gb d1≤1,5c
c ap c
0,15ap0,15ap
S
gsf
gbf d1≤1,5c 
gsf 
gbf 
gsf
gbf
 
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 Figura 4.2 
 
 
A tensão de cisalhamento deve ser limitada a τ2u . 
 
u2
22
d2
d2 db
v τ≤⋅=τ 
 
onde 
 
 b2 é a largura unitária da seção. 
 
ƒ Para sapatas corridas rígidas: 






γ⋅=τ c
ck
u2
f
63,0 ou cdu2 f15,0=τ ; 
 
ƒ Para sapatas corridas semi-rígidas pode-se admitir: 
 
c
ck
u2
f
)
h
c945,0048,2( γ⋅⋅−=τ . 
 
Obs.: pode ser dispensada a armadura transversal para sapata corrida flexível quando 
 
c
ck
d2
f
158,0 γ⋅≤τ (valores em MPa). 
 
7.1.2 Sapatas Isoladas 
7.1.2.1 Introdução 
 
A sapata isolada é utilizada como apoio direto de pilares. Geralmente, tem forma 
retangular ou circular centrada no pilar. 
 
 
tensões 
normais no 
solo (σsolo) 
a a
c ap c 
d1/2 
S2 
gsf2 
gbf2 d1≤1,5c
c2 
d2≤1,5c
c ap c
d1/2
gsf2
gbf d1≤1,5c
c2
d2
S2
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 7Figura 1.1 
 
A fig. 1.2. mostra seções transversais usuais de sapatas de base retangular. As abas 
podem ter espessura constante h, ou variável (de ho a h). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.2 
 
 
É desejável, também, que ca ≅ cb para equalizar a resistência das abas à flexão. 
 
Costuma-se admitir o diagrama linearizado de tensão normal na interface sapata/solo 
(diagrama retangular para carga centrada - fig. 1.3.a - e diagrama trapezoidal ou triangular 
para carga excêntrica - fig. 1.4). 
 
 
 
 
 
h
cm
h
cm
h
c
a a
c
b b
b
o
a
o
b
o
a
p
b
p
≥ 


≥ 
≤
≤
= −
= −
25
0 8
20
3
30
30
2
2
,
/
l
α
α
 l b = comprimento de ancoragem da armadura do pilar 
a
b
ap
bp 
pilar
N Ma
Va 
Mb 
N 
Vb 
a 
h ho
αa
Solicitações junto 
à base 
do pilar 
Va N Ma
Va N Ma
a ca a ca
a
b 
h ho
αbVb N Mb Vb N Mb
b cb b cb
b
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) 
6
1
b
e
a
e ba ≤+ b) 
6
1
b
e
a
e ba ≥+ 
 
 Figura 1.4 
7.1.2.2 Tensão na interface sapata/solo 
 
a) Base retangular 
ƒ Quando 
6
1
b
e
a
e ba ≤+ tem-se: 
 
 

 −−⋅=σ

 ++⋅=σ b
e6
a
e6
1
ba
N
;
b
e6
a
e6
1
ba
N babas
b
babas
a . 
 
ƒ Quando 
6
1
b
e
a
e ba ≥+ , a máxima tensão é dada por: 
 
 
ba
Nbas
a ⋅⋅η=σ (η na tab.2.1), ou 
bak
N
1
bas
1a ⋅⋅=σ=σ e 
144b k σ⋅−=σ=σ (fictício) 
 
(k1 e k4 no ábaco da fig. 2.1). 
Va 
N 
Ma Vb
N
Mb
a b
h 
Nbas = N + Gbas + Gs 
Ma,bas = Ma + Va . h 
Mb,bas = Mb + Vb . h 
 
ea = Ma / Nbas 
eb = Mb / Nbas 
 
Gbas = peso da 
 sapata 
Gs = peso do solo 
 sobre a sapata 
Gbas Gbas
solo sobre
a sapata
ea
eb
Nba
b
a
ea 
eb 
Nba
b 
a 
tensões 
normais no solo
σa σa 
σb 
 
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ƒ Num ponto (x,y) a tensão é dada por: 
α⋅+


 α⋅⋅+
⋅σ−σ+σ=σ
tg
a
b1
tg
a
b
b
y
a
x
)( 414 
 
 A tensão σa deve ser limitada a [ 1,3 σadm ], isto é: adma 3,1 σ≤σ . 
 
 ey / b 
 5,55 0,24 
 Área comprimida maior do que 4,77 5,15 5,57 0,22 
 50% da área da base 4,14 4,44 4,79 5,19 5,66 0,20 
 3,61 3,86 4,15 4,47 4,84 5,28 0,18 
 3,17 3,38 3,62 3,88 4,18 4,53 4,94 5,43 0,16 
 2,79 2,97 3,17 3,39 3,64 3,92 4,24 4,63 5,09 0,14 
 2,48 2,63 2,80 2,98 3,18 3,41 3,68 3,98 4,35 4,78 0,12 
 2,20 2,34 2,48 2,63 2,80 2,99 3,20 3,46 3,74 4,08 4,49 4,99 0,10 
 Base totalmente 1,96 2,08 2,21 2,34 2,48 2,64 2,82 3,02 3,25 3,52 3,84 4,23 4,70 0,08 
 comprimida 1,72 1,84 1,96 2,08 2,21 2,34 2,49 2,66 2,84 3,06 3,32 3,62 3,98 4,43 0,06 
 1,48 1,60 1,72 1,84 1,96 2,08 2,21 2,35 2,50 2,68 2,88 3,13 3,41 3,75 4,17 0,04 
 1,24 1,36 1,48 1,60 1,72 1,84 1,96 2,08 2,21 2,36 2,53 2,72 2,95 3,22 3,54 3,93 0,02 
 1,00 1,12 1,24 1,36 1,48 1,60 1,72 1,84 1,96 2,08 2,22 2,38 2,56 2,78 3,03 3,33 3,70 0,00 
 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 
 ex / b 
Tabela 2.1 - Valores de η para base retangular 
 
 
 
 Figura 2.1 
 
 
 
 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 10 
 
Observação: 
 
ƒ neste caso, para a atuação da carga permanente, a base deve estar 
inteiramente comprimida, isto é: 
6
1
b
e
a
e gbga ≤+ ; 
ƒ adicionalmente, para a situação mais desfavorável, deve se ter pelo menos a 
metade da base comprimida (que garante uma segurança contra tombamento 
maior do que 1,5); esta condição é verificada quando 
9
1
b
e
a
e 2b
2
a ≤

+

 ; 
 
b) Base circular 
 
Para base circular, cheia ou oca, tem-se: 
)rr(
N
k
2
i
2
bas
ra −π
⋅=σ (kr na tab. 2.2). 
 
 
 ri / r 
e / r 0,00 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 
 
0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 
 0,05 1,20 1,16 1,15 1,13 1,12 1,11 1,10 
 0,10 1,40 1,32 1,29 1,27 1,24 1,22 1,20 
 0,15 1,60 1,64 1,59 1,54 1,49 1,44 1,40 
 0,20 1,80 1,64 1,59 1,54 1,49 1,44 1,40 100% 
 0,25 2,00 1,80 1,73 1,67 1,61 1,55 1,50 
 0,30 2,23 1,96 1,88 1,81 1,73 1,66 1,60 
 0,35 2,48 2,12 2,04 1,94 1,85 1,77 1,70 
 0,40 2,76 2,29 2,20 2,07 1,98 1,88 1,80 
 0,45 3,11 2,51 2,39 2,23 2,10 1,99 1,90 
 0,50 3,55 2,80 2,61 2,42 2,26 2,10 2,00 
 0,55 4,15 3,14 2,89 2,67 2,42 2,26 2,17 
 0,60 4,96 3,58 3,24 2,92 2,64 2,42 2,26 >50% 
 0,65 6,00 4,34 3,80 3,30 2,92 2,64 2,42 
 0,70 7,48 5,40 4,65 3,86 3,33 2,95 2,64 
 0,75 9,93 7,26 5,97 4,81 3,93 3,33 2,89 
 0,80 13,9 10,1 8,80 6,53 4,93 3,96 3,27 
 0,85 21,1 15,6 13,3 10,4 7,16 4,90 3,77 <50% 
 0,90 38,3 30,8 25,8 19,9 14,6 7,13 4,71 
 0,95 96,1 72,2 62,2 50,2 34,6 19,8 6,72 
 
 área comprimida 
 
Tabela 2.2 - Valores de kr para base circular, cheia ou oca 
 
7.1.2.3 Estabilidade da sapata 
 
a) tombamento 
 
ƒ momento estabilizante = Mest 
ƒ momento desestabiliz. = Mdesest 
ƒ 5,1
M
MFS
desest
est ≥= . 
 
b) deslizamento 
ƒ força estabilizante = Rest 
ƒ força desestabilizante = Rdesest 
ƒ 5,1
R
RFS
desest
est ≥= . 
 
ri 
r 
e Nbas
 
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7.1.2.4 Verificações de concreto armado (sapata rígida) 
 
1.1.2.4.1. flexão 
 
A flexão pode ser verificada nas seções de referência S1 (S1a e S1b), conforme mostra a 
fig. 4.1: 
 
O momento fletor (M1) na seção S1 contem três parcelas: 
 devido à tensão no solo ( σsolo ); 
 devido ao peso da aba; e 
 devido ao peso do solo sobre a aba. 
 
 
 M1a = momento na seção S1a (CG) 
 provocado pelas cargas atuantes 
 na área (CDFG) 
 M1b = momento na seção S1b (AE) 
 provocado pelas cargas atuantes 
 na área (ABDE) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.1 
 
As duas últimas parcelas são negativas e, eventualmente, podem ultrapassar o valor da 
primeira parcela (positiva) tornando necessária a presença de armadura de flexão junto à 
face superior das abas. Quando a solicitação da sapata for excêntrica, pode-se admitir 
uma tensão uniforme σref dado por: 
 
 




σ
σ=σ≥σ
med
maxa
ref 3
2
3
2
 (σmed = média dos valores extremos) 
 
A armadura principal pode ser quantificada através da seguinte expressão: 
 
 
yda1
ad1
sa f)d8,0(
M
A ⋅⋅= e ydb1
bd1
sb f)d8,0(
M
A ⋅⋅= 
 
c ap ca 
0,15a0,15ap
S1
d1a≤1,5c
a
S1b
S1a
A
B C D 
E 
F G
cb 
bp 
cb 0,15b
0,15b
S1b 
d1b≤1,5cb
b
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 12 
 
Onde d1 é a altura útil junto à face do pilar. Convém observar ρ = ≥Ab h
s
1 1
0 10%, . 
1.1.2.4.2. cisalhamento 
 
A resistência ao esforço cortante pode ser verificadana seção S2 (S2a e S2b) definidas na 
fig. 4.3. A força cortante (V2) na seção S2 contém três parcelas: 
 
ƒ Devido à tensão no solo ( σsolo ); 
ƒ O peso da aba (além da seção S2); e 
ƒ Peso do solo sobre a aba (além da seção S2). 
 
 
 
 V2a = resultante sobre a área A2a 
 V2b = resultante sobre a área A2b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.3 
A determinação das forças cortantes pode ser feita admitindo-se tensão uniforme no solo 
igual a σref, definida anteriormente. 
A tensão de cisalhamento deve ser limitada a u2τ . 
 u2
22
d2
d2 db
V τ≤⋅=τ . 
 
ƒ Para sapatas rígidas: 






γ⋅=τ c
ck
u2
f
63,0 ou cdu2 f15,0=τ ; 
ƒ Para sapatas isoladas semi-rígidas pode-se admitir: 
))(3
h
c2( flex,u2u2u2semi,u2 τ−τ−⋅−τ=τ . 
 
Obs.: pode ser dispensada a armadura transversal para sapata isolada flexível (ap <bp) 
quando 
 
c
ck
c
ck
p
p
flex,u2d2
f
315,0
f
)
b
a
5,0(315,0 γ≤γ⋅+⋅=τ≤τ (valores em MPa). 
b
cb
bp
cb
d1b/2 
d1b≤1,5c
c2b 
d2b
S2
a
c ap ca 
S2
d1a≤1,5c
d1a/2 c2
d2a≤1,5c
A2b
A2a d1b/2
d1a/2
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 13 
 
7.2 Blocos sobre Estacas 
 
Para fundações profundas é comum a utilização de estacas, geralmente constituindo um 
grupo, capeado por blocos rígidos de concreto. 
 
É fundamental para o dimensionamento, conhecer os esforços atuantes em cada estaca 
do grupo. Nos casos correntes, os estaqueamentos são simétricos com estacas atingindo 
a mesma profundidade. Admite-se que o bloco seja rígido e costuma-se considerar a 
hipótese das estacas serem elementos resistentes apenas a força axial (elemento de 
treliça), desprezando-se os esforços de flexão. 
 
7.2.1 Determinação das Reações nas Estacas 
 
7.2.1.1 Bloco simétrico sujeito a cargas atuando segundo um plano de simetria 
 
Sejam: 
 
 Nbas (força vertical), 
 Mbas (momento), e 
 Vbas (força horizontal) 
 
Os esforços atuantes no centro do grupo de estacas junto à base (topo das estacas), 
fig. 1.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.1 
 
a) Bloco com estacas verticais iguais (nv estacas) sujeitas a carga vertical Nbas , fig. 1.2 
 
Neste caso, como todas as estacas ficam sujeitas ao mesmo encurtamento (u), a força 
normal numa estaca é dada por: 
 
 Rvert = Nbase / nv , 
 
Pois: ∑ ∑ =⋅=⋅⋅=⋅= basvertvvvert NRn)uk(n)uk(R 
 
Nbas Mbas Vbas
α
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 14 
 
sendo k = coeficiente de rigidez axial da estaca (= l
AE ⋅ ), onde l é a profundidade 
atingida pelas estacas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.2 
 
b) Bloco com estacas verticais (np,vert pares) e estacas inclinadas de α (np,incl pares) 
sujeitas a carga vertical Nbas , fig. 1.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.3 
 
A força normal na estaca vertical é dada por: 
 
 
)cosnn(2
NR 3
incl,ppv
base
vert α+= ; 
 
e na estaca inclinada, por: 
 
 
)cosnn(2
cosNR 3
incl,ppv
2
base
ncli α+
α⋅= . 
 
 
Nbas 
α 
u u
u.cos
Rincl
l l cosαα
Nbas
u
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 15 
 
De fato, devido à simetria, ocorre um recalque vertical constante (u). A reação numa 
estaca vertical é dada por: 
 
 uAEukRvert ⋅⋅=⋅= l . 
 
A reação em uma estaca inclinada vale 
 
 α⋅=α⋅⋅=α⋅⋅


α
⋅=⋅= 2vert2inclinclincl cosRcos)uk()cosu(cos
AEukR l . 
Portanto, 
 
 
vert
3
incl,ppv
inclincl,pvertpvinclvertbas
R)cosnn(2
)cosR(n2Rn2)cosR(RN
⋅α+=
α⋅+=α⋅+= ∑ ∑
 
 
c) Bloco com estacas verticais (np,vert pares) e estacas inclinadas de α (np,incl pares, 
distribuídos em duas linhas) sujeitas a carga vertical Nbas, a momento (Mbas) e a força 
horizontal (Vbas), fig. 1.4.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) (c) 
 Figura 1.4 
 
A força normal na estaca vertical genérica k é dada por: 
 
 ∑+α+=
vert
2
i
k0
3
incl,pvert,p
bas
k,vert
a
aM
)cosnn(2
NR ; 
 
 
 
 
 
Nbas Mba Vbas
α 
O 
ho 
80 40 40 80 
ak1 2 3 4 
M0
Vbas
a a 
θ
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 16 
 
E na estaca inclinada genérica (i), por: 
 
 α±α+
α=
senn2
V
)cosnn(2
cosNR
incl,p
bas
3
incl,pvert,p
2
bas
i,incl 
 
sendo obasbaso hVMM ⋅−= = momento em relação ao ponto O. 
 
De fato, as parcelas devidas a Nbas já são conhecidas. Os demais efeitos resultam como 
se mostra a seguir. 
 
ƒ Efeito isolado de Vbas aplicado em O, fig. 1.4.b: as estacas verticais não são 
solicitadas, pois o momento é nulo, ocorrendo uma translação do bloco; a força Vbas é 
simplesmente decomposta segundo as direções das estacas inclinadas resultando, 
assim, o segundo termo de Rincl.i, pois: 
 
Vbas = 2.np,incl.senα; 
 
ƒ Efeito de Mo , fig. 1.4.c: provoca uma rotação do bloco em torno do ponto O de modo 
que as estacas inclinadas não são solicitadas; o equilíbrio é garantido pelos binários 
correspondentes a cada par de estacas verticais; tem-se: 
 
kk au ⋅θ= ; kkk,v akukR ⋅θ⋅=⋅= 
∑ ∑ ⋅θ⋅=⋅= 2iii,vo a)k()aR(M → ∑=⋅θ 2i
o
a
M
k e, portanto 
k2
i
o
k,v a
a
MR ⋅= ∑ (segundo termo de Rvert,k). 
7.2.1.2 Bloco simétrico sujeito a cargas atuando segundo os dois planos de simetria 
 
Sejam: 
 
 Nbas (força vertical), 
 Mbas,a e Mbas,b (momentos), e 
 Vbas,a e Vbas,b (forças horizontais) 
 
Os esforços atuantes no centro do grupo de estacas junto à base (topo das estacas), 
fig. 2.1. 
 
Sejam, ainda, 
 
 np,vert pares de estacas verticais, 
 np,incl,a pares de estacas inclinadas segundo a direção a, 
 np,incl,b pares de estacas inclinadas segundo a direção b 
 
 
 
 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2.1 
 
Aplicando as idéias desenvolvidas nos itens anteriores, tem-se a reação na estaca vertical 
genérica, k, dada por: 
 
 
[ ]
∑ ∑∑ ∑ ++++
α++⋅=
vert a,incl
2
i
32
i
kb0
vert b,incl
2
i
32
i
ka0
3
b,incl,pa,incl,pvert,p
bas
k,vert
bcosb
bM
acosa
aM
cos)nn(n2
NR
 
 
e nas estacas inclinadas (k), por: 
 
 
[ ]
∑∑ ⋅α+
⋅α+
α±α++
α=
a,incl
2
i
3
vert
2
i
k
2
ob
a,incl,p
a,bas
3
b,incl,pa,incl,pvert,p
2
bas
k,a,incl
bcosb
bcosM
senn2
V
cos)nn(n2
cosNR
 
 
[ ]
∑∑ ⋅α+
⋅α+
α±α++
α=
b,incl
2
i
3
vert
2
i
k
2
oa
b,incl,p
b,bas
3
b,incl,pa,incl,pvert,p
2
bas
k,b,incl
acosa
acosM
senn2
V
cos)nn(n2
cosNR
 
 
 
 
Nbas Mbas,a Vbas,a
α
b 
Mbas,b 
Vbas,b 
α 
a
hob
Ob 
Oa
hoa
ak
bk
80 80 8080
120
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 18 
 
sendo: oaa,basa,basoa hVMM ⋅−= = momento em relação ao ponto Oa 
 obb,basb,basob hVMM ⋅−= = momento em relação ao ponto Ob. 
7.2.2 Verificações de Concreto Armado 
 
Geralmente, os blocos têm forma retangular ou poligonal em planta, fig 3.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.1 
 
 
As abas podem ter espessura constante h, ou variável (de ho a h), fig. 3.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.2 
 
h
cm
h
cm
h
c a a
c
a
c
a a
c
b b
b
o
est est
o
est
s
a
o
b
o
a
p
b
p
≥ 


≥ = ⋅
≥ 
≤
≤
= −
= −
30
0 8
30
3
2 5 3
25
30
30
2
2
,
/
( , )
l
φ
α
α
a 
b 
ap cao
bp 
cbo cb 
ca
co 
co
aes
ces
cest 
h 
ho
αaa ca a ca
a a
cao co cao co
h ho
αbb cb b cb
b b
cbo co cbo co
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 19 
 
Costuma-se fixar a altura do bloco rígido (h) obedecendo as seguintes relações 
geométricas: ii c2hc3
2 ≤≤ ; sendo ci igual ao maior valor entre cao e cbo . 
7.2.2.1 Flexão 
 
Em geral, a flexão pode ser verificada nas seções de referência S1 (S1a e S1b), conforme 
mostra a fig. 3.3. 
 
 
 M1a = momento na seção S1a (CG) 
 provocado pelas estacas 
 posicionadas na área (CDFG) 
 M1b = momento na seção S1b (AE) 
 provocado pelas estacas 
 posicionadas na área (ABDE) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.3 
Obs.: no cômputo dos momentos M1a e M1b pode-ser desprezada a inclinação 
das estacas, (cosα ≅ 1); normalmente, pode-se adotar d1 ≅ h - aest/4. 
 
A armadura principal pode ser quantificada através da seguinte expressão: 
 
 
yd1
ad1
sa f)d8,0(
MA ⋅⋅= e yd1
bd1
sb f)d8,0(
M
A ⋅⋅= 
 
Onde d1 é a altura útil junto à face do pilar. Convém observar %10,0hb
A
11
s ≥=ρ . 
As barras que compõem as armaduras principais de flexão devem cobrir toda a extensão 
da base e ter ganchos de extremidade. Pode-se adotar φ ≥ 10 mm e espaçamento 
s ≤ 20 cm. Normalmente, estas armadura podem ser distribuidas de maneira uniforme por 
toda a base. 
 
 
 
 
 
cb 
bp 
cb 0,15b
0,15b
S1b 
d1b≤1,5c
ca ap ca 
0,15a0,15a
S1 d1a≤1,5
a
b
S1b
S1a
A
B C D 
E 
F 
G
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 20 
 
7.2.2.2 Cisalhamento 
 
Em geral, a resistência ao esforço cortante pode ser verificada nas seções S2 (S2a e S2b) 
definidas na fig. 3.4. 
 
 
 
 
 V2a = soma das reações das estacas 
 posicionadas na área A2a 
 V2b = soma das reações das estacas 
 posicionadas na área A2b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.4 
 
Obs.: quando uma ou mais estacas estiverem situadas a distâncias inferiores a d1 /2 da 
face do pilar, a seção S2 deve ser tomada junto à face deste pilar com largura b2 e altura 
útil d1; e no cômputo das forças cortantes, pode-se desprezar a inclinação das estacas 
(admitir cos α ≅ 1) 
 
A tensão de cisalhamento deve ser limitada a τ2u . 
 
 u2
22
d2
d2 db
V τ≤⋅=τ . 
onde 






γ⋅=τ c
ck
u2
f
63,0 ou cdu2 f15,0=τ . 
 
A resistência ao esforço cortante deve ser verificada, também, junto às estacas de canto, 
fig. 3.5. Deve-se verificar: 
 
 u2
c2c2
f
db
R τ≤γ . 
 
 
b
cb 
bp 
cb 
d1b/2 
d1b≤1,5c
c2b 
d2b
S2
a
c ap ca
S2
d1a≤1,5c
d1a/2 c2
d2a≤1,5c2
A2b
A2a
d1b/2
d1a/2
bp +
ap + d1
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.5 
 
7.2.2.3 Observações 
 
a) em blocos com estacas alinhadas, fig. 3.6, convêm adotar estribos com ρwmin , porta 
estribos de mesmo diâmetro e armaduras de pele; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.6 
 
b) em blocos com estacas em disposição poligonal, as armaduras de tração podem ser 
posicionadas segundo os lados do polígono; em geral, a quantidade de armadura As,l 
sobre cada par de estacas adjacentes pode ser estimada como segue, fig. 3.7: 
 
d1c
aestd1c /2
d2c 
b2c = aest + d1c
R
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 22 
 
 
 
 
 
 
 M1 = Ri . c1 
 
 
 Z = M1 /(0,8 d1) 
 
 Zp = (Z/2) / cos α 
 
 Asl = γn.γf Zp / fyd 
 
 γn = 1,1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.7 
 
c) neste caso, (fig. 3.8), quando cest > 3 aest, convém utilizar armadura de suspensão 
(estribos) enfeixando as barras de tração posicionadas sobre cada par de estacas; a 
força suspender pode ser estimada em 
 n
d
d n5,1
N
Z γ⋅= com γn = 1,1 (aplicar γn, também, ao cálculo da armadura de tração). 
 
 Figura 3.8 
 
 
 
 
 
 
Asl 
Asl 
Asl 
c1 
α 
Z 
Zp 
S1 
Z
Ri
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 23 
 
7.2.3 Blocos sobre duas Estacas pelo modelo Biela-Tirante 
 
a) Verificação do concreto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƒ Fixação das dimensões: 
 tanθ = d / ( 3l /2 - a/4) (45o ≤ θ ≤ 55o) 
 dmin = 0,5 ( l - a/2); dmax = 0,71 ( l - a/2) 
 
ƒ Compressão nas bielas: 
 
cd2
p
d
pbiel,cd, f 1,4
θsenA
Q
σ ≤= 
 
cd2
est
d
estbiel,cd, f 85,0
θsen2A
Q
σ ≤= 
 
 
c) Armadura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƒ Estribos: (Asw/s)min = 0,15 % 
 8cm ≤ s ≤ 15cm 
 
ƒ “Pele”: (As/s) = 0,075% (cada face) 
 10cm ≤ s ≤ 20cm 
 
 
 
 
 
ae bp 
a ae 
b
h 
ao ao 
d
l
Qd 
h 
ao ao 
d
l
Qd 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 24 
 
7.2.4 Blocos sobre três Estacas 
 
a) Verificação do concreto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƒ Fixação das dimensões: 
 tanθ ≅ d / ( 3l /3 - 0,3a) (45o ≤ θ ≤ 55o) 
 dmin = 0,58 ( l - a/2); dmax = 0,83 ( l - a/2) 
 
ƒ Compressão nas bielas: 
 
fcd 75,1
θ2senpA
dN
pbiel,cd,σ ≤=
 
 fcd 0,85
θsen3A
N
estbiel,cd,σ 2
est
d ≤= 
 
b) Armadura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ƒ Estribos: (Asw/s)min = 0,15 % 
8cm ≤ s ≤ 15cm 
 
 
 
 
 
h 
ao ao 
d
l
Qd 
ae 
a
a 
Rest 
θ 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 25 
 
7.2.5 Blocos sobre quatro Estacas – Aplicação ao Edifício Exemplo 
 
Solução para a fundação do pilar P7: quatro estacas pré-moldadas φ40 para 700KN cada. 
 
7.2.5.1 Formas: 
 
 
 
 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 26 
 
 
7.2.5.2 Esforços Solicitantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Peso Próprio do Bloco: 25x(1,80x2,10x0,70)=71 KN 
 
7.2.5.3 Reações nas Estacas: 
 
KN 572
2x00,1
67,21
2x30,1
96,64
4
712358 R1 =−−+= 
KN 622
2x00,1
67,21
2x30,1
96,64
4
712358 R2 =−++= 
KN 593
2x00,1
67,21
2x30,1
96,64
4
712358 R3 =+−+= 
KN 643
2x00,1
67,21
2x30,1
96,64
4
172358 R4 =+++= 
 
Segue que RMAX = 643 KN < Ru,estaca = 700 KN OK! 
 
 
 
 
 
Mx = 21,67 KNm
My = 64,96 KNm
Nk = 2358,3 KN
1 2
3 4
Mx
My
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 27 
 
7.2.5.4 Determinação da altura d: 
 
oo 55θ45 ;
x
darctgθ ≤≤= 
 
Para θ = 45o ⇒ d = 66,5 cm; adotado d = 70 cm ⇒ θ = 46,5o 
 
 
 
 
7.2.5.5 Verificação junto ao pilar 
 
OK! KN/m 37500 
4,1
x250001.2KN/m 13853
5,46xsin65,0x19,0
4,1x643
f 1,2
Apxsin
d,Neq
22
2
d,bp
 cd
2
d,bp
=<==σ
≤
θ
=σ
⇒
 
 
 
 
7.2.5.6 Verificação junto à estaca 
 
OK! KN/m 15179 
4,1
x2500085,0KN/m 13622
5,46xsin
4
40,0x
4,1x643
f 85,0
Aexsin
d,Neq
22
2
2
be
 cd
2
be
=<=
π
=σ
≤
θ
=σ
⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
Rsθ 
Biela comprimida 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 28 
 
7.2.5.7 Determinação das Armaduras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
KN 415cosx
tg
Re1Rs =βθ=KN 447senx
tg
Re2Rs =βθ= 
 
2ykn KN/cm 48,34
1,15
f
σsd ;
σsd
dxRs,As ==γ= 
 
As1 = 2cm7,1448,43
 x4154,1x 1,1 = 
As2 = 2cm 8,1548,43
 x4474,1x 1,1 = (adotado 8φ16 (16 cm2)) 
 
Será adotado a mesma armadura para ambas direções dos blocos. 
 
Ancoragem: φ= 10-lb 0,8l nec,a 
 
Onde lb = lb1 
yd
ef, sd
f
σ 
 
Para fck = 25 MPa e fyk = 500 MPa tem-se que lb1 = 38φ 
 
Portanto: 2ef, sd cmKN/ 39
16
8,15x
15,1x1,1
50 ==σ 
 
E cm 7,273,1710-
1,15
50
3938 0,8l nec,a =φ≈φ








φ= (existente: φe – 3cm = 37cm ok!) 
 
 
 
 
 
Rs1 
Rs2 θ 
Re 
β = 47,1o
β 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 29 
 
7.2.5.8 Detalhamento 
 
 
 
Corte A 
 
 
 
 
 
 
 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:out/2001 fl. 30 
 
Corte B