aula17-Calculo 3 tarefa 8 exercicios resolvido q 1

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Aula 17
Ma´ximo e Mı´nimo Absolutos
O maior e o menor valor de f(x, y), num certo domı´nio, nem sempre existem,
como ilustrado na Figura 1 (domı´nio = R2). Neste caso, na˜o existe ma´ximo abso-
luto. Uma das causas, mas na˜o a u´nica, e´ o domı´nio da func¸a˜o na˜o ser limitado.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Na Figura 2, o domı´nio da func¸a˜o f(x, y) e´ limitado mas continua na˜o existindo
ma´ximo absoluto (note que o valor aparentemente maior, assinalado com um c´ırculo
vermelho, na˜o e´ um valor assumido pela func¸a˜o). Isto ocorre porque o domı´nio da
func¸a˜o na˜o e´ fechado, isto e´, na˜o conte´m todos os pontos da sua fronteira.
Na Figura 3, o domı´nio da func¸a˜o f(x, y) e´ limitado e fechado, e existem mı´nimo
absoluto, que ocorre no interior do domı´nio, e ma´ximo absoluto, que ocorre na
fronteira do domı´nio.
O teorema a seguir da´ condic¸o˜es gerais que garantem a existeˆncia do ma´ximo e
mı´nimo absolutos de uma func¸a˜o f num determinado domı´nio D.
Teorema 1 (Weierstrass). Seja f uma func¸a˜o cont´ınua num domı´nio D limitado
e fechado. Enta˜o f tem ma´ximo e mı´nimo absolutos em D.
Como calcular o ma´ximo e mı´nimo absolutos, caso existam?
Em ca´lculo I, como calcula´vamos o ma´ximo e mı´nimo absolutos de uma func¸a˜o
cont´ınua de uma varia´vel f(x) no intervalo limitado e fechado I = [a, b], assumindo
que f e´ diferenciaa´vel em ]a, b[?
1
2
Pelo Teorema de Weierstrass, o ma´ximo e mı´nimo absolutos de f em I existem.
Existem 2 possibilidades para os pontos onde estes valores ocorrem:
(1) Ou eles ocorrem no interior de I, isto e´, em ]a, b[, e necessariamente ocorrem
em pontos cr´ıticos (por exemplo, se for ponto de ma´ximo absoluto, enta˜o e´
ponto de ma´ximo local e consequentemente ponto cr´ıtico).
(2) Ou algum deles ocorre na fronteira de I, isto e´, em {a, b}.
Portanto, apenas temos de comparar os valores de f nos pontos cr´ıticos e nos pontos
a e b: o ma´ximo absoluto sera´ o maior destes valores e o mı´nimo absoluto sera´ o
menor destes valores.
Para func¸o˜es de duas ou mais varia´veis, acontece o mesmo, o ma´ximo e mı´nimo
absolutos podem ocorrer no interior de D ou na fronteira de D (assumindo que
estamos nas condic¸o˜es de Weierstrass):
Interior de D Fronteira de D
Candidatos 1: pontos cr´ıticos Candidatos 2: duas maneiras:
i) Reduc¸a˜o de varia´vel ou
ii) Me´todo de Multiplicador de Lagrange
Assumindo que (f e´ diferencia´vel no interior de D e) existe um nu´mero finito
de pontos cr´ıticos no interior de D, digamos (x1, y1), · · · , (xn, yn), estes sera˜o os
Candidatos 1 onde o ma´ximo ou mı´nimo absolutos podem ocorrer. Ao contra´rio
do que acontecia em ca´lculo I, a fronteira de D agora e´ um conjunto com infinitos
pontos, enta˜o para tentar obter um nu´mero finito de Candidatos 2, temos que apli-
car algum me´todo. Admitindo que depois de aplicar algum me´todo chegamos a um
nu´mero finito de Candidatos 2, (x¯1, y¯1), · · · , (x¯n, y¯n), o ma´ximo e mı´nimo absolutos
de f em D sa˜o o maior e o menor valor, respectivamente de f(x1, y1), · · · , f(xn, yn)︸ ︷︷ ︸
candidatos 1
,
f(x¯1, y¯1), · · · , f(x¯n, y¯n)︸ ︷︷ ︸
candidatos 2
.
Exemplo 1. Calcule, se existirem, o ma´ximo e mı´nimo absolutos de f(x, y) =
x2 + 2y2 − x no domı´nio x2 + y2 ≤ 1.
D : x2 + y2 ≤ 1
Primeiro notamos que f e´ cont´ınua (polinoˆmio) e D e´ um domı´nio limitado e
fechado. Logo, pelo Teorema Weierstrass, existem ma´ximo e mı´nimo absolutos de
f em D.
3
• Interior de D:
x2 + y2 < 1
Pontos cr´ıticos:

∂f
∂x
= 0
∂f
∂y
= 0
⇔
{
2x− 1 = 0
4y = 0
⇔
(
1
2
, 0
)
.
Note que
(
1
2
, 0
)
∈ interior D. Candidato 1: f
(
1
2
, 0
)
= −1
4
.
• Fronteira de D:
x2 + y2 = 1
Vamos achar os candidatos a ma´ximo e mı´nimo absolutos de f na fron-
teira de duas maneiras distintas. Agora vamos fazer atrave´s de “reduc¸a˜o de
varia´vel”. Vamos utilizar a equac¸a˜o da fronteira para reduzir o problema a
uma varia´vel.
x2 + y2 = 1⇔ y2 = 1− x2
(em geral ter´ıamos de considerar os casos y =
√
1− x2 e y = −√1− x2,
mas como neste caso f so´ depende de y2, isto na˜o e´ necessa´rio).
A restric¸a˜o de f a` fronteira e´
f˜(x) = x2 + 2(1− x2)− x
ou seja
f˜(x) = −x2 − x+ 2, no domı´nio − 1 ≤ x ≤ 1 ou I = [−1, 1].
Agora estamos com um problema de ca´lculo I.
– Interior de I: ]− 1, 1[.
Pontos cr´ıticos de f˜ :
f˜ ′(x) = −2x− 1 = 0⇔ x = −1
2
f˜(−1
2
) =
9
4
.
4
– Fronteira de I: {−1, 1}.
f˜(−1) = 2
f˜(1) = 0.
Logo, o ma´ximo absoluto de f em D e´ 94 (o maior valor entre os candidatos
− 14 , 94 , 2, 0). E o mı´nimo absoluto de f em D e´ − 14 .
Note que o mı´nimo absoluto de f em D ocorre no interior de D, no ponto (− 12 , 0).
Ja´ o ma´ximo absoluto de f em D ocorre na fronteira de D. Em que pontos?
x = −1
2
e y =?
Como estamos na fronteira, x2 + y2 = 1 ⇔ y2 = 1 − x2 ⇔ y2 = 34 ⇔ y = ±
√
3
2 .
Ou seja, o ma´ximo absoluto ocorre nos dois pontos da fronteira (− 12 ,±
√
3
2 ). (O
valor de f nestes dois pontos e´ igual a 94 .)
De modo geral, resolver este tipo de problema na fronteira por reduc¸a˜o de varia´vel
e´ mais complicado que este caso. Em geral, temos de separar a fronteira em “va´rios
pedac¸os”. Ale´m disso, se comec¸a´ssemos com uma func¸a˜o de 3 varia´veis f(x, y, z),
o problema na fronteira seria reduzido a um problema de duas varia´veis. Quando
fossemos considerar o novo problema na fronteira, ter´ıamos de fazer uma nova
reduc¸a˜o de varia´vel.
Vamos agora utilizar o Me´todo de Multiplicadores de Lagrange que permite
resolver o problema na fronteira de outra maneira (sem fazer reduc¸a˜o do nu´mero
de varia´veis), independentemente do nu´mero de varia´veis da func¸a˜o.
Por exemplo, se f(x, y, z) e´ uma func¸a˜o de 3 varia´veis, no domı´nio limitado e
fechado x2 + y2 + z2 ≤ 1, a fronteira deste domı´nio e´ a esfera x2 + y2 + z2 = 1.
Mais geralmente, considere o seguinte problema de determinar o maior/menor
valor da func¸a˜o f(x, y, z) restrita a` superf´ıcie de n´ıvel de S : g(x, y, z) = k, onde f
e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis (assumindo que estes valores existem, por exemplo,
pelo teorema de Weierstrass, se S e´ um domı´nio limitado e fechado):
Maximizar: f(x, y, z)
Restric¸a˜o: g(x, y, z) = k (superf´ıcie de n´ıvel S)
Quais sa˜o os candidatos a pontos de ma´ximo (ou mı´nimo) de f em S?
Note que ~∇f(x, y, z) aponta na direc¸a˜o de maior crescimento de f , no ponto
(x, y, z). Ou seja, partindo de um ponto (x, y, z) de S, se seguirmos na direc¸a˜o de
~∇f(x, y, z), vamos para pontos onde f assume valores maiores. A questa˜o e´ que
na˜o podemos sair de S! Se num ponto (x1, y1, z1) ∈ S, o vetor ~∇f(x1, y1, z1) na˜o
5
for perpendicular a S, enta˜o o vetor ~∇f(x1, y1, z1) se projeta num vetor na˜o-nulo
~t tangente a S (veja a figura acima). Se andarmos dentro de S na direc¸a˜o de ~t,
os valores de f tambe´m aumentam e portanto (x1, y1, z1) na˜o pode ser ponto de
ma´ximo de f em S. De fato, os candidatos (x, y, z) ∈ S a pontos de ma´ximo (ou
mı´nimo) de f em S devera˜o satisfazer
D~tf(x, y, z) = 0, ∀ vetor tangente ~t em S
⇔ ~∇f(x, y, z) · ~t = 0, ∀ vetor tangente ~t em S
⇔ ~∇f(x, y, z) ⊥ S.
Como S e´ a superf´ıcie de n´ıvel k de g(x, y, z), o vetor ~∇g(x, y, z) e´ normal a S
em qualquer ponto (x, y, z) ∈ S (se este vetor for na˜o-nulo). Enta˜o ~∇f(x, y, z) ⊥ S
significa ~∇f(x, y, z) = λ~∇g(x, y, z) para algum λ ∈ R (se ~∇g(x, y, z) 6= ~0).
Enta˜o os candidatos a ma´ximo ou mı´nimo de f em S devera˜o ser soluc¸a˜o do
sistema:
Me´t. Multiplicadores Lagrange:
{
~∇f(x, y, z) = λ~∇g(x, y, z)
g(x, y, z) = k
(se ~∇g(x, y, z) 6= ~0)
Note que, no sistema acima, λ e´ uma inco´gnita, logo temos um sistema na˜o-linear
com 4 equac¸o˜es e 4 inco´gnitas. Se o sistema tiver um nu´mero finito de soluc¸o˜es,
temos um nu´mero finito de candidatos!
Obs.: Embora tenhamos ilustrado comuma func¸a˜o de 3 varia´veis, o Me´todo de
Multiplicadores de Lagrange aplica-se a func¸o˜es de n varia´veis.
Exemplo 2. Vamos refazer o Exemplo 1, agora utilizando o Me´todo de Multipli-
cadores de Lagrange.
• Interior de D: x2 + y2 < 1.
Feito no Exemplo 1 (Pontos Cr´ıticos).
f
(
1
2
, 0
)
=
1
4
.
• Fronteira de D: x2 + y2 = 1.
Vamos utilizar o Me´todo de Multiplicadores de Lagrange.
Ma´ximo/Mı´nimo: f(x, y) = x2 + 2y2 − x
Restric¸a˜o: x2 + y2︸ ︷︷ ︸
g(x,y)
= 1
6
(Note que ~∇g(x, y) 6= ~0 na fronteira de D).
{
~∇f(x, y) = λ~∇g(x, y)
~∇g(x, y) = 1 ⇔

2x− 1 = λ2x
4y = λ2y
x2 + y2 = 1
Da segunda equac¸a˜o, temos:
4y = λ2y ⇔ y(λ− 2) ⇔ y = 0 ou λ = 2
Se y = 0, enta˜o:{
2x− 1 = λ2x
x2 = 1
⇒ x = ±1.
f(1, 0) = 0
f(−1, 0) = 2.
Se λ = 2, enta˜o:{
2x− 1 = 4x
x2 + y2 = 1
⇔
x = −
1
2
y2 = 1− x2 ⇔ y = ±
√
3
2
f
(
−1
2
,±
√
3
2
)
=
9
4
.
Logo, o ma´ximo de f em D e´
9
4
e ocorre na fronteira de D, nos pontos(
−1
2
,±
√
3
2
)
. O mı´nimo de f em D e´ −1
4
e ocorre no interior de D, no ponto(
−1
2
, 0
)
.
Na pro´xima aula continuaremos com mais exemplos de aplicac¸a˜o do Me´todo de
Multiplicadores de Lagrange
Exerc´ıcio 1) Determine os valores de ma´ximo e mı´nimo da func¸a˜o f(x, y) = x4+y4
no domı´nio x2 + y2 ≤ 1.