Apostila Cálculo 1

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CÁLCULO 1
Jeronimo Flors
2CÁLCULO I
SUMÁRIO
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIFTEC
Rua Gustavo Ramos Sehbe n.º 107. 
Caxias do Sul/ RS 
REITOR
Claudino José Meneguzzi Júnior
PRÓ-REITORA ACADÊMICA
Débora Frizzo
PRÓ-REITOR ADMINISTRATIVO
Altair Ruzzarin
DIRETORA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (NEAD)
Lígia Futterleib
Desenvolvido pelo Núcleo de Educação a 
Distância (NEAD)
Designer Instrucional 
Sabrina Maciel
Diagramação, Ilustração e Alteração de Imagem
Igor Zattera, Gabriel Olmiro de Castilhos
Revisora
Ana Clara Garcia
Limites e Continuidade 3
Limites 4
Formas Indeterminadas 6
Limites envolvendo infinitos 9
Cálculo Diferencial 16
Derivadas 17
Derivada de uma Função Constante: 17
Aplicações das derivadas 20
Derivadas de ordem superior 22
Introdução ao cálculo diferencial 
 avançado 29
Hora da Revisão 30
Estudo da variação das funcões 32
Tópicos em Economia 36
Cálculo Integral 41
Integração: uma visão geral 42
Área entre curvas 47
Referências 52
3CÁLCULO I
LIMITES E 
CONTINUIDADE 
Neste capítulo estudaremos dois assuntos 
essenciais para o seu sucesso na disciplina 
de Cálculo
A compreensão dos conteúdos, limites e continuidade 
está diretamente relacionada ao entendimento de funções. 
Faça uma revisão desse conteúdo!
Neste capítulo iremos estudar os fundamentos básicos 
de limites e continuidade de uma função. No decorrer de sua 
trajetória, enquanto estudante de engenharia, você precisará 
se familiarizar com tais assuntos para que possa modelar, 
matematicamente, o seu contexto, seja na empresa ou no seu 
cotidiano. A sistematização lógica do Cálculo Diferencial e 
Integral ocorreu tendo estes assuntos como alguns dos pilares 
estruturantes. Anton (2007, p. 101) argumenta que o conceito 
de limite é a “pedra fundamental sobre a qual se apoia a ideia 
de taxa de variação”, algo aplicável e relevante para distintas 
áreas do conhecimento.
O Cálculo está ancorado em diversos recursos matemáticos, indispensáveis 
para o estudante de engenharia. Álgebra, geometria e interpretação 
textual são algumas das competências que você precisará desenvolver 
no decorrer deste curso. 
4CÁLCULO I
Limites
Podemos entender os limites como 
a descrição do modo como uma função se 
comporta em momentos de aproximação a 
determinados valores (THOMÁS, 2012). 
De um modo geral, considerando uma 
função composta por pares ordenados (x, 
y), devemos observar a função no eixo x, 
analisando ou prevendo o seu comporta-
mento no eixo y. 
Limites a partir da abordagem geométrica
Quando temos o gráfico da função 
basta a observação. Percebemos quando a 
função se aproxima de um determinado 
ponto em x, e qual é a sua “resposta” no 
eixo y. 
Exemplos:
1) Observe o gráfico que segue. Qual 
é o limite da função quando x tende a 2? 
Para responder a pergunta anterior 
devemos pensar: “quando a função se apro-
xima do número 2 no eixo x, de qual ponto 
ela se aproxima em y”? Matematicamente, 
a pergunta pode ser resumida da seguinte 
forma:
2) Observe o gráfico. Qual é o limite 
da função quando x tende a 2?
Perceba que quando nos aproxima-
mos de 2 pelo lado esquerdo, em y a função 
se aproxima do número três. 
3
2
4
3
2
5CÁLCULO I
Observação: a nomenclatura 2 – 
significa dois pelo lado esquerdo. Assim, 
lemos a expressão mostrada como: “limite 
da função quando x tende a dois pelo lado 
esquerdo é 3”.
Já, quando nos aproximamos de 2 
pelo lado direito, em y a função se apro-
xima do número quatro.
Observação: a nomenclatura 2 + 
significa dois pelo lado direito. Assim, 
lemos a expressão anterior como: “limi-
te da função quando x tende a dois pelo 
lado direito é 4”. Caso não tenha sinal no 
lado direito do número significa que é por 
ambos os lados. Logo, podemos afirmar 
que a função plotada no gráfico não tem 
um limite bilateral (por ambos os lados) 
apenas unilateral. 
3) Observe o gráfico a seguir da 
f u n ç ã o . Qual é o limite da 
função quando x tende ao menos infinito?
Lembre-se que o menos infinito está 
à esquerda do eixo x, enquanto o mais 
infinito está a direita. 
Para responder a pergunta realizada, 
observe o gráfico e pense: “quanto mais o 
gráfico no eixo x se aproxima do menos 
infinito (vai para a esquerda no gráfico), 
então, de que ponto está aproximando em 
y”? 
Note que quanto mais o gráfico ten-
de para o menos infinito em x, mais se 
aproxima de zero em y. 
Limites a partir da abordagem algébrica
Há muitas situações em que não te-
mos o gráfico da função ou a sua plota-
gem trabalhosa ou complexa. Além de não 
termos um software adequado, podemos 
encontrar o limite da função a partir de 
uma abordagem algébrica.
3
4
2
22
1
y
x
1 1
(x from -2 to 2)
A expressão “tende” significa aproxima-
se. No gráfico apresentado os valores 
de y se aproximarão de zero, mas nunca 
irão chegar a tal ponto.
6CÁLCULO I
Exemplos: 
1) Calcule: 
Lembre-se que lemos: “limite da 
função f(x)=2x+1 quando x tende (se apro-
xima) a 1 por ambos os lados”.
Na abordagem geométrica basta 
substituir x pelo valor que x tende, no caso 
1, ou seja, 2.1+1= 3
Ou seja, limite da fun-
ção quando x tende a 1 por ambos os lados 
é 3.
2) Calcule:
Basta substituir x pelo valor que x 
tende, no caso 2, ou seja: 
Logo,
Formas Indeterminadas
 Em muitos momentos, quando es-
tamos aplicando a substituição exempli-
ficada anteriormente, deparamo-nos com 
situações que não conseguimos avançar 
algebricamente. São as sete formas clás-
sicas de indeterminação:
Exemplos:
1) Calcule: 
Quando substituímos x por zero 
encontramos uma indeterminação:
Assim, devemos fatorar as expres-
sões algébricas e simplificar se for possí-
vel. Neste caso, fatoramos o numerador 
utilizando o método do termo comum 
e evidência. O denominador já está no 
formato irredutível. Assim:
Podemos cancelar o x do numerador 
com o do denominador. Dessa forma, a 
função pode ser escrita como x+2. . Logo, 
Agora podemos substituir x por 0.
Toda vez que encontrarmos uma destas 
situações no cálculo de limites, devemos 
usar uma “manobra” equivalente a inicial, 
fazendo a substituição e evitando as formas 
indeterminadas. As “manobras” normalmente 
utilizadas são realizadas com o uso de dois 
conteúdos da disciplina de Cálculo Zero: fatoração 
e racionalização de denominadores. Caso você 
não se lembre retome o seu material!
7CÁLCULO I
 2) Calcule:
Quando substituímos x por quatro 
encontramos uma indeterminação: 
Desse modo, devemos fatorar as 
expressões algébricas e simplificar, caso 
seja possível. Nesse caso, o numerador 
está no formato irredutível e não pode 
ser fatorado. O denominador será fato-
rado transformando a expressão em uma 
equação e utilizando a regra do (x-r).(x-r). 
Observe: x²-x-12=0
Resolvemos a equação com a fór-
mula de Bhaskara e encontramos x1= 4 e 
x2= -3. Assim, a forma fatorada do deno-
minador é (x -4) ( x+3). Logo,
Perceba que é possível o cancela-
mento dos termos (x-4) do numerador com 
o denominador, resultando em 
1/(x+3). Podemos reescrever a questão do 
exemplo como:
Substituindo x por 4 temos:
3) Calcule: Quando substitu-
ímos x por três encontramos uma inde-
terminação:
Dessa maneira, devemos fatorar as ex-
pressões algébricas e simplificar, se for 
possível. Neste caso, o numerador estará 
no formato irredutível e não pode ser fa-
torado. O denominador será fatorado com 
a regra da diferença de dois quadrados.
Perceba que é possível o cancelamento 
dos termos (x-3) do numerador com o de-
nominador, resultando em . Então, 
podemos reescrever a questão do exemplo 
como:
Substituindo x por 3 temos: 
4) Calcule: 
Novamente, encontramos uma in-
determinação.
Nesse caso, não conseguimos fatorar 
os termos. O recurso que pode ser utili-
zado é a racionalização. 
Obs. Caso você não lembre da ra-
cionalização volte para a sua apostila de 
Cálculo Zero ou consulte o seu professor. 
Aqui, a racionalização consiste em 
multiplicar o numerador e o denominador 
8CÁLCULO I
pelo termo √x+1, com o objetivo de excluir 
o radicaldo denominador. 
Aplicando a propriedade distributiva 
temos:
Podemos cancelar os termos (x-1) do 
numerador e do denominador chegando 
a √x+1. Logo, 
Substituindo o x por 1, temos
5) Calcule:
Novamente encontramos uma in-
determinação.
Diante disso, não conseguimos fa-
torar os termos. O recurso que pode ser 
utilizado é a racionalização. 
Aplicando a propriedade distributiva 
temos: 
Cancelando o índice pelo radicado 
encontramos:
Podemos cancelar o x do numerador 
com o do denominador, o que resulta em
6 ) 
Calcule: 
Mais uma vez encontramos uma 
indeterminação: 
Perceba que na função em questão 
podemos fatorar o numerador pela dife-
rença de dois quadrados, enquanto o de-
nominador pode ser racionalizado. Então, 
iremos racionalizar primeiro, mas a ordem 
não faz diferença.
Obs. Algumas pessoas pensam que 
é possível racionalizar somente o 
denominador, o que não é verdade. 
Também conseguimos racionalizar o 
numerador, o que ocorre neste exemplo:
2 2 2
2 2
2
Obs. Alguns professores exigem a 
racionalização do denominador também 
na resposta final .
9CÁLCULO I
Perceba, ainda não foi possível fu-
gir da indeterminação. Portanto, iremos 
fatorar a expressão (x²- 16).
Agora podemos cancelar os termos 
(x-4) do numerador e do denominador. 
Logo, 
Limites envolvendo infinitos
É muito comum para o estudante 
de engenharia encontrar dificuldades em 
cálculos envolvendo limites. Isso se deve 
às dificuldades relacionadas à abstração 
e imaginação de quantidades indefini-
damente grandes ou pequenas e a falta 
de contato com este tipo de situação no 
cotidiano. Galileu Galilei já encontrava 
entraves em cálculos dessa ordem. Desse 
modo, para que você não se complique, 
é importante lembrar que o infinito não 
é um número, mas uma projeção de algo 
que cresce ou diminui muito.
Limites envolvendo infinitos a partir da 
abordagem geométrica
Exemplos:
1) Calcule: 
Percebemos que quanto mais a fun-
ção f(x) cresce no eixo x, mais ela se apro-
xima de zero no eixo y. Logo,
 Observe o gráfico da função f(x)=x³ 
e encontre os limites quando x tende ao 
mais e ao menos infinito:
y
x
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
-4 -2 2 4
(x from -4 to 4)
1
y
x
2
-1
-2
0,5 1,0-0,5-1,0
(x from -1 to 1)
10CÁLCULO I
Analisando o gráfico da função g(x) 
percebemos que à medida que os valores de 
x decrescem de forma ilimitada, a função 
g decresce; à medida que os valores de x 
crescem de forma ilimitada, a função g 
cresce. Concluímos, então, que:
Limites no infinito a partir da abordagem 
algébrica
Exemplos: 
1) Calcule:
Perceba que, infinito elevado ao 
cubo, permanece infinito. O infinito mul-
tiplicado por cinco também permanece 
infinito. Subtrair 8, neste contexto, não 
produz diferença. Logo: 
2) Calcule:
Logo, observe a tabela: 
Note que quanto mais o x tende ao 
infinito, mais os valores de y se aproximam 
de zero. Logo: 
3) Calcule 
Perceba que se simplesmente subs-
tituirmos a variável por + ∞ encontramos 
uma forma indeterminada E n t ã o , 
temos dois métodos para a resolução desse 
tipo de situação:
Método Acadêmico: Consiste em 
dividir todos os termos por uma variável 
com o menor grau das expressões.
1
y
x
2
-1
-2
0,5 1,0-0,5-1,0
(x from -1 to 1)
x f(x)=1/x y
1 1/1 1
2 ½ 0,5
10 1/10 0,1
100 1/100 0,01
1000 1/1000 0,001v
11CÁLCULO I
Veja que as expressões 5/x e 8/x ten-
dem a zero. Logo, 
ou seja,
Método Prático: Consiste em ana-
lisar o comportamento da função. 
Pensando no numerador: subtrair 5 
do infinito não altera o infinito. Pensar 
no denominador: somar 8 no infinito não 
altera o infinito. Logo, a função pode ser 
resumida como: 
Simplificando a expressão encontra-
mos 2. Assim, 
4) Calcule:
Método acadêmico: como três é 
o menor grau de denominador quando 
comparamos o numerador, então dividi-
mos toda a expressão por x³.
Os termos 3/x²,5/x³, e 2/x³ tendem a zero. 
Logo: , ou seja, 
Dessa maneira,
Método prático:
Inicialmente, desconsideramos os termos 
5 e -2 por não oferecerem diferença em 
relação ao infinito. Por isso, podemos resu-
mir como . Na sequência, 
pensamos que os termos de menor expo-
ente não oferecem diferença em relação 
ao infinito. Observe a tabela:
Assim, em cálculos de limites no in-
finito podemos considerar apenas o maior 
expoente, ou seja: 
simplificando 
x x² x³
1 1 1
2 4 8
5 25 125
20 400 8.000
100 10.000 1.000.000
12CÁLCULO I
Problemas de aplicações envolvendo 
limites 
Cálculos de limites são utilizados 
em problemas de aplicação, toda vez que 
em uma situação nos aproximamos inde-
finidamente de um determinado valor. 
Exemplo:
Uma empresa do ramo metalúr-
gico concluiu que o procedimento para 
montagem de um determinado motor era 
extremamente complexo e exigia capaci-
tação. Logo, observou-se que após t dias 
de capacitação um mecânico monta M 
motores por dia, modelado pela função 
.Quantos motores um mecâ-
nico sem capacitação consegue montar?
Perceba que um mecânico sem ca-
pacitação significa que a sua capacitação 
se aproxima de zero dias. Isso indica que 
é um cálculo de limites em que t tende a 
zero. 
Substituindo t por zero, temos, 
 ou seja, 
Consequentemente, um mecânico 
sem qualificação é capaz de montar 1/5 
de motor. 
Continuidade
Intuitivamente o gráfico de uma 
função pode ser descrito como uma curva 
contínua se não apresentar “quebras” ou 
“buracos”. Uma função é contínua em um 
intervalo e somente se for contínua em 
cada ponto do intervalo. Nesse contexto, 
existem três condições que devem ser sa-
tisfeitas para assegurar que o gráfico de 
uma função não tenha descontinuidade 
em x = c: 
1. A função deve estar definida no 
ponto, isto é, f(c) existe; 
2. O limite bilateral no ponto deve 
existir, isto é, existe; 
3. O valor da função no ponto e o 
limite bilateral devem ser o mesmo, isto é, 
Exemplos: 
1) Verifique se a função f(x)= x²+3 
é contínua no ponto x=2:
Propriedade 1
f(2)= 2²+3
f(2)= 7 Sim, a função está definida 
em x=2
Propriedade 2 
Sim, existe um 
limite bilateral.
Propriedade 3
7=7 Sim, O valor da função no ponto 
e o limite bilateral são os mesmos. Assim, 
podemos concluir que a função é contínua 
no ponto x=2.
13CÁLCULO I
2) Verifique se a função 
é contínua no ponto x=0:
Propriedade 1
A função não está definida no ponto, 
pois não podemos dividir por zero. Desse 
modo, como falhou a primeira condição, 
dizemos que a função não é contínua no 
ponto x=0.
3) Verifique se a função a seguir é 
contínua no ponto x= 5:
Propriedade 1
A função está definida em x=5?
Sim, f(5) =5+5=10
Propriedade 2 
Existe limite quando x tende a 5? 
Perceba que tende significa se aproxima, 
ou seja, não é =5. Logo, utilizamos a ex-
pressão:
Sim, existe limite.
Propriedade 3 
F(5)=lim
10=10
Sim, a função a continua no ponto 
x=5
4) Verifique se a seguinte função é 
contínua no ponto x= 4:
Propriedade 1 
Verificar o ponto f(4). Note que de-
vemos usar a função 2x+3.
Propriedade 2
Verificar o limite. Perceba que de-
vemos utilizar ambas as expressões, pois 
x≤4 significa se aproxima pela esquerda 
e x>4 se aproxima pela direita.
Propriedade 3
f(4)=lim
11=11
Sim, a função é contínua no ponto 
x=4
14EXERCÍCIOS - CALCULO I
Exercícios
1) Calcule os limites das funções a 
seguir: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
2) Resolva os problemas de aplicação 
envolvendo limites: 
a) Uma empresa do ramo eletrônico 
estima que um empregado após x dias 
de treinamento, monta m computadores 
por dia, onde . Logo, 
qual é o comportamento de um 
funcionário com treinamentos longos? 
b)Uma empresa de consultoria 
ambiental determina que o custo para 
despoluir x% de metais pesados que 
contaminam uma reserva de água doce 
é dado por: . Qual é 
o custo da despoluição quando o 
governo tentar despoluir o total da 
água?
c) A função de produção de um certo 
bem em relação à quantidade de 
matéria-prima, em quilogramas, é dada 
por: . Determine e 
interprete a produção quando se tem2 
quilogramas de matéria-prima.
d) Modelou-se a evolução da população 
de uma certa cidade, após t anos, a 
partir de 2009 por:
. Qual é o 
comportamento a longo prazo?
3) ) Determine se as seguintes funções 
são contínuas no ponto x = 2. Justifique 
sua resposta:
a) 
b) 
15EXERCÍCIOS - CALCULO I
c)
16CÁLCULO I
CÁLCULO 
DIFERENCIAL 
O Cálculo Diferencial refere-se ao estudo 
de derivadas, uma poderosa ferramenta 
aplicável nas mais diversas situações
O estudo de derivadas é um dos grandes eixos estruturais 
do Cálculo, sendo aplicável em distintas áreas como Admi-
nistração, Biologia, Economia e Engenharia, por exemplo. 
A partir delas podemos encontrar a taxa de variação de uma 
grandeza, fornecendo uma base eficiente para a modelagem 
do mundo que nos circunda. O seu cálculo nos permite por 
exemplo, encontrar retas tangentes, estimar pontos de máxi-
mos e mínimos e a velocidade e aceleração de móveis. Stewart 
(2013) afirma que listar a aplicabilidade do Cálculo Diferen-
cial seria o mesmo que listar tudo no planeta que depende de 
uma chave de fenda. 
A palavra Cálculo vem do latim calculus, fazendo referência às pequenas 
pedras que eram utilizadas para contar.
17CÁLCULO I
Derivadas 
O conceito de derivada pode ser 
entendido a partir de duas perspectivas: 
a física e a geométrica. A física está inti-
mamente relacionada à taxa de variação 
instantânea de uma função e está presente 
em nossas vidas como, por exemplo, no 
crescimento de bactérias, na mudança no 
nível de oxigênio de um manancial, no 
crescimento de um osso, na variação de 
temperaturas, dentre várias outras situ-
ações que representam uma função va-
riando. 
Já, a interpretação geométrica pode 
ser entendida com a inclinação da reta 
tangente a uma curva em determinado 
ponto e também têm diversas aplicações 
na matemática, dentre as quais o esta-
belecimento dos pontos de máximo e de 
mínimo de uma função. 
Notações: 
Se y = f(x), então a sua derivada é 
denotada por y’. 
Outras notações comuns são: 
 ou 
Assim, quando encontrarmos a ex-
pressão y’, lemos “derivada da função y”. 
Dessa maneira, quando encontrarmos a 
expressão lemos derivada de y em re-
lação a x.
Derivada de uma Função 
Constante: 
A derivada de uma função constante 
é zero. Sendo c, um número real qualquer, 
então, 
Se y= c então y’ = 0
A derivada de uma função constante 
sempre será zero, pois não existem varia-
ções, independentes do ponto. Observe o 
gráfico da função f(x) = 4:
Assim:
f (x)=4 f ’(x)=0
f (x)=7 f ’(x)=0
f (x)=√3 f ’(x)=0
Regras de Derivação 
As regras de derivação são as técnicas 
utilizadas para fazer a derivada. 
Cada “tipo” de função tem uma regra 
específica. 
Revise o conteúdo funções. Ele é 
indispensável para o estudo de 
derivadas. 
18CÁLCULO I
Regra da Potência: 
Se n for um número inteiro positivo, 
então, 
Essa regra será utilizada quando ti-
vermos uma variável elevada a uma dada 
potência. É uma técnica muito importante 
e serve de base para outras regras que ve-
remos na sequência.
Exemplos: 
Exemplos: 
1) Variável no denominador: deve-
mos “trazer” a variável para o numerador. 
Isso é possível a partir da troca do sinal 
do expoente da variável. 
 primeiramente, ajusta-
mos a função 
Assim, 
2) Radicais: devemos transformar o 
radical em um expoente fracionário.
primeiramente, ajustamos a 
função.
Se em nossa pergunta havia um ra-
dical, a nossa resposta final deve ser dada 
na forma de um radical. Assim:
Fique atento! Existem duas situações em 
que você precisa ajustar a função antes 
de aplicar a técnica. São as funções que 
apresentem radicais e também as que 
tenham a variável no denominador. 
Recomenda-se que a resposta deva 
“combinar” com a pergunta, ou seja, 
se na pergunta a variável estava no 
denominador, na resposta final este 
deve ser o mesmo formato.
Este resultado pode ser racionalizado. 
A técnica de racionalização foi vista na 
disciplina de Cálculo Zero.
A técnica de transformação de 
radicais em expoentes fracionários 
foi trabalhada na disciplina de Cálculo 
Zero. É muito importante termos 
clareza disso! 
19CÁLCULO I
Regra do Múltiplo Constante: É 
similar à regra da potência, porém existe 
uma constante antes da variável, que per-
manece do modo como está.
Exemplos:
Regra da Soma: Quando duas fun-
ções ou mais estão sendo somadas, aplica-
mos uma regra em cada função, de acordo 
com as suas características. Se f e g forem 
ambas diferenciáveis, então:
Regra da Diferença: É similar à 
regra da soma, porém com a subtração. 
Assim, se f e g forem ambas diferenciá-
veis, então:
Exemplos:
Taxa de variação em um ponto específico 
Como sabemos, a derivada nos for-
nece a taxa de variação instantânea de uma 
função. Para sabermos a taxa de variação 
em um ponto específico, basta calcular-
mos a deriva de substituirmos os valores 
da variável pelo ponto.
Exemplo:
 Seja h(t)= -4,9t²+29t+34, calcule a 
taxa de variação no ponto t=7:
 h’(t)= -4,9.2t+29
 h’(t)=-9,8t+29
 h’(7)=-9,8.7+29
 h’(7)=-39,6
É muito comum as regras da soma e 
da diferença aparecerem no mesmo 
exercício.
20CÁLCULO I
Aplicações das derivadas
Aplicações na Física 
Suponha que um corpo em movi-
mento retilíneo tenha a função horária 
definida por s(t)= 12t -2t², e no instante 
t(0) ele inicia o movimento. Consideran-
do-se o espaço em metros e o tempo em 
segundos, encontre a velocidade média do 
corpo no intervalo no instante t=1: 
Passo 1: Derivar a função: s(t)= 12t -2t² 
s’(t)= 12- 4t
Passo 2: substituir pelo instante con-
siderado, no caso t=1.
V(1)= 12-4.1
V(1)= 8 m/s
Aplicações na Economia 
Seja o custo de produção de um 
determinado bem modelado por C(x)= 
0,01x³ - 0,5x² +300x +100. Qual é o custo 
marginal para a produção de 10 unidades? 
Passo 1: Fazer a derivada da função 
com a regra apropriada,
 C(x)= 0,01x³ - 0,5x² +300x +100.
C' (x)=0,03x^2-1x+300
Passo 2: substituir pelo valor de x 
desejado, no caso x=10
C' (10)=0,03.10²-1.10+300=293
Aplicações na Biologia 
Um estudo ambiental realizado em 
um certo bairro revela que daqui a t anos 
a concentração de monóxido de carbono 
no ar será Q (t)= 0,05t²+0,1t+3,4 partes 
por milhão. Calcule taxa de variação de 
concentração de monóxido de carbono 
com o tempo de dois anos: 
Q(t)= 0,05t²+0,1t+3,4
Q'(t)=0,1t+0,1
Q'(2)=0,1.2+0,1=0,3
A aplicação de derivadas refere-se à taxa de variação de um fenômeno 
e estende-se às diversas áreas do conhecimento. A resolução de 
problemas envolvendo derivadas depende da interpretação, troca 
para linguagem simbólica matemática e resolução do cálculo. 
Observe que temos uma função que nos fornece 
o deslocamento (s). A derivada do deslocamento 
fornece a velocidade.
A expressão “marginal” é um termo específico da 
área de economia e refere-se à taxa de variação. 
Ou seja, queremos a taxa de variação do custo, 
que é dada pela derivada da função.
21CÁLCULO I
Regra do Produto: É utilizada 
quando temos uma função multiplicada 
por outra. Assim, se f e g forem diferen-
ciáveis, então:
Exemplo: Derive a função a seguir: 
h(x)=(x-1)(3x-2)
f(x)= x-1 f '(x)=1
g(x)= 3x+2 g'(x)=3
h’(x)=f ’(x).g(x)+f(x)g’(x)
h’(x)= 1.( 3x-2) + (x-1).3
h’(x)=3x-2+3x-3
h’(x)=6x-5
Regra do Quociente: É utilizada 
quando temos uma divisão de uma função 
por outra. Assim, se f e g forem diferen-
ciáveis, então:
Exemplos:
1) Derive a função a seguir:
f(x)= x²- 3 f ’(x)=2x
g(x)= x²+4 g’(x)=2x
2) Derive a função a seguir:
f(x)= 2x³+4 f ’(x)=6x²
g(x)=x²-4x+1 g’(x)= 2x-4
Atenção! Muito cuidado com o 
sinal de menos no meio da fórmula!
Quando duas funções são multiplicadas, a primeira 
será chamada de f(x) e a segunda de g(x).
Quando duas funções são divididas, a primeira 
será chamada de f(x) e a segunda de g(x).
22CÁLCULO I
Derivada da função expoente na-
tural: É utilizada quando a base é a cons-
tante e.
Exemplos: 
Derive as funções a seguir:
Derivadas de ordem superior
Você deve ter percebido que a de-
rivada f ’ de uma função f é também umafunção, sendo assim, pode ter a sua própria 
derivada. Se f ’ for derivável, então, sua 
derivada é denotada por f ” e é chamada 
derivada segunda de f. Dessa forma, en-
quanto tivermos possibilidades de deriva-
ção, podemos continuar os processos com 
as derivadas sucessivas.
Se y = f(x), então as derivadas su-
cessivas são denotadas por y’, y”, y’”, y(4) 
, y(5), etc.
Outras notações comuns são:
Derivada ou derivada 
primeira
Derivada segunda
 Derivada terceira
Chamamos essas derivadas de deri-
vada primeira, derivada segunda, derivada 
terceira e assim por diante. O número de 
vezes que f for diferenciável é chamado 
ordem da derivada.
Exemplo 1: Se f(x)= 3x4 – 2x³ + 
x² - 4x + 2, então:
f '(x)= 12x³- 6x² + 2x - 4 
f ’’(x)= 36x² - 12x + 2
f ’’’(x)= 72x -12 
f(4)(x)= 72
f(5) (x)= 0 
Exemplo 2: 
Se a posição de um corpo que está se 
movendo em linha reta é dada por s(t)=t³-
-3t²+4t no instante t, encontre as funções 
que determinam a velocidade e a acelera-
ção do corpo: 
23CÁLCULO I
s(t)=t³-3t²+4t é a função que deter-
mina a posição 
s'(t)= 3t²- 6t+4 é a função que de-
termina a velocidade
s’’(t)=6t – 6 é a função que determina 
a aceleração 
Exemplo 3: 
Calcule a derivada quinta da função 
f(x)= 4x³ + 5x² + 6x -1 
f '(x) = 12x² + 10x + 6
f ’’(x)= 24x+10
f ’’’(x) = 24
f(4) (x) = 0
f(5) (x) = 0 
Derivada logarítmica: É utilizada 
quando temos uma função com logaritmo 
natural.
Exemplo 1: 
Encontre a derivada de f(x)=lnx 
Neste caso, u = x e u’=1. Aplicando 
a fórmula temos: 
Exemplo 2: 
Encontre a derivada de f(x)=xln(x)
Como temos um produto de x por 
ln(x) devemos utilizar a regra do produto.
f ' (x)=f ' (x).g(x)+f(x).g'(x)
f(x)=x f ' (x)=1
g(x)=ln (x) g' (x)=1/x
f ' (x)=1.ln (x)+x.1/x
f '̂ (x)=ln(x)+1
Derivada de funções trigonomé-
tricas: É utilizada quando temos uma fun-
ção trigonométrica. No final da apostila 
você encontra uma tabela completa com 
as regras de derivação.
Algumas regras de derivação para funções 
trigonométricas
Importante! Lembre-se que a velocidade 
e a derivada da função deslocamento (s). 
A aceleração é a derivada da velocidade. 
Assim, a aceleração é a derivada segunda 
do deslocamento. 
Importante! Na disciplina de Cálculo Zero 
estudamos funções trigonométricas. 
Caso você não esteja lembrado é muito 
importante retomar este conteúdo!
Função Derivada
f(x) = cos (x) f’ (x)= -sem (x)
f(x)=sem (x) f’(x)=cos(x)
f(x)=tg(x) f’(x)=sec²(x)
f(x)=cos sec (x) f ’ ( x ) = - c o s s e c ( x )cotg(x)
f(x)=sec(x) f’(x)=sec(x)tg(x)
f(x)=cot(x) f'(x)=-cossec²(x)
24CÁLCULO I
Exemplos:
1) Dada a função y=3cos(x), calcule 
y’:
y'=3(-senx)
y'=-3senx
Perceba que nesse exemplo basta 
manter a constante e aplicar a regra ade-
quada conforme a tabela mostrada.
2) Dada a função w=2tgx+3senx, 
calcule w’:
w'=2sec² x+3cosx
Perceba que, nesse caso, basta cui-
dar separadamente de cada uma das duas 
partes da função, mantendo a constante 
e aplicando as regras. 
2) Dada a função f(x) = x²senx , 
calcule f ’(x).
Note que temos um produto de x² 
por senx, o que nos leva a aplicar a regra 
do produto. Logo: 
f(x)=x² f ' (x)=2x
g(x)=senx g' (x)=cosx
Assim: 
f ' (x)=f ' (x).g(x)+f(x).g'(x)
f ' (x)=2x.senx+x^2.cosx
f ' (x)=x(2senx+xcosx)
Interpretação geométrica da de-
rivada: A derivada como inclinação da 
reta tangente
A interpretação geométrica da deri-
vada de uma função é a inclinação de uma 
reta tangente à curva em um determinado 
ponto.
Exemplo: 
Encontre as inclinações das retas 
tangentes à curva y=√x nos pontos x0=1, 
x0=4 e x0=9. 
Obs. A última etapa dessa questão foi 
quando colocamos o x em evidência, 
onde utilizamos o método de fatoração 
termo comum e evidência. Caso não 
tenha clareza desse processo, retome 
a apostila de Cálculo Zero. x
y
Tangente
P
y=f(x)
25CÁLCULO I
Solução
Sabemos que a derivada da função 
produz a inclinação da reta tangente em 
um ponto arbitrário x0. Logo, calculamos 
a derivada da função e substituímos pelos 
pontos desejados:
Logo,
Encontrando a equação da reta tangente
Sendo: 
x0 a coordenada x do ponto
y0 a coordenada y do ponto 
x uma variável 
y uma variável 
f ’(x0) o coeficiente angular, que será 
dado pela derivada da função no ponto 
Exemplo 1: 
Qual é a equação da reta t, que tan-
gencia a parábola y = x², no ponto P = 
(-1; 1)?
y’=2x
y’(-1)=2.(-1)
y”(-1)= - 2 este é o coeficiente an-
gular da reta
Sendo a fórmula, 
y-y0=f ’(x0)(x-x0) temos:
y-1=-2(x-(-1))
y-1=-2(x+1)
y-1=-2x-2
y=-2x-2+1
y=-2x-1
Obs. Sempre iremos escrever 
a equação da reta tangente com o 
formato y=ax +bDefinição: Se f for contínua em x0, então, 
a equação da reta tangente ao gráfico de 
f no ponto xo é dada por y-y0=f’(x0)
(x-x0)
P
-1-1 1
1
y
r
t
26CÁLCULO I
Exemplo 2: 
Determine a equação da reta tan-
gente ao gráfico de f(x) = 4 − x2, no ponto 
(1, 3).
Seja, y-y0=f ’(x0)(x-x0)
f ’(x0)= -2x
f ’(1)=-2.1=-2 este é o coeficiente 
angular da reta. 
y-y0=f ’(x0)(x-x0)
y-3=-2.(x-1)
y-3=-2x+2
y=-2x+2+3
y=-2x+5
Exemplo 3: 
Determine a equação da reta tan-
gente à curva f(x)=x², se xo=3/2:
Perceba que não temos o valor de yo, 
e este é indispensável para encontrarmos 
a reta tangente. Dessa maneira, devemos 
substituir o valor de x0 na função para 
encontrar o y0. 
Se f(x)=x² e xo=3/2, então, 
y=f(x)=(3/2)² y= 9/4
O ponto será (3/2,9/4).
f ’(x)= 2x
f ’(3/2)= 6/2
f ’(3/2)=3
y-y0=f ’(x0)(x-x0)
y - 9/4= 3 (x - 3/2)
y=3x - (9)/2 +9/4
y= 3x - 9/4
Pontos em que a reta tangente é 
horizontal
Em determinados pontos de um 
gráfico a reta tangente à curva pode ser 
horizontal. Identificar esses pontos é es-
sencial para o cálculo de máximo e mínimo 
da função, bem como, para problemas de 
otimização. Veja o esboço de gráfico a 
seguir:
27CÁLCULO I
Retas tangentes horizontais tem in-
clinação zero em relação ao eixo x. Assim, 
para encontramos os pontos em que a reta 
tangente é horizontal (caso existam), de-
vemos encontrar aqueles valores de x para 
os quais y’(x)=0. Resumidamente, deve-
mos fazer a derivada da função, igualar 
a função encontrada na derivada zero, e 
resolver a equação para encontrar o valor 
da variável. 
Exemplo 1: 
Em quais pontos, se em algum, o 
gráfico de y=x³-3x+4 tem uma reta tan-
gente horizontal?
y’(x)=3x²-3 , logo, 
3x² - 3=0
3x² =3
x² = 3/3
x² =1
x = ±√1 = ±1
Identificamos que a função tem dois 
pontos em que a reta tangente é horizon-
tal, em x1= -1 e x2= +1. Encontramos os 
valores de x, agora precisamos encontrar 
os de y para termos os pontos descritos 
no formato (x,y).
y=x³-3x+4
y=(-1)³-3.(-1)+4
y=-1+3+4=6
A(-1,6)
y=x³-3x+4
y=1³-3.1+4
y=2
B(1,2)
Exemplo 2: 
Em quais pontos, se em algum, o 
gráfico de y=2x+1 tem uma reta tangente 
horizontal?
y’=2 logo, 2=0 perceba que não exis-
te solução para a sentença formada. Desse 
modo, não existem pontos em que a reta 
tangente seja horizontal, consequentemen-
te, podemos confirmar esta informação 
plotando o gráfico: 
y
x
-1
-0,5 0,5 1-1
1
2
3
(x from -1 to 1)
28EXERCÍCIOS - CALCULO I
Vamos aos exercícios propostos! 
1) Resolva os problemas de aplicação: 
a) Os registros mostram que x anos, 
após o ano 2000, o imposto predial médio que 
incidia sobre um apartamento de 3 quartos em 
um certo município era dado por T(x)=20x²+40x 
+600 reais. Sendo assim, qual era a taxa de 
aumento do imposto predial no início do ano 
2000? 
b) Uma pesquisa mostra que t dias após 
uma epidemia começar, temos N(t)= 10t³+5t+√t 
pessoas infectadas. Desse modo, com que taxa 
o número de pessoas infectadas aumentou no 
nono dia? 
c) A receita anual bruta de uma certa 
empresa foi A(t)= 0,1t²+10t+20 milhares de 
reais, em t anos, após a empresa ser fundada 
no ano de 2000. A que taxa a receita anual 
bruta da empresa estava aumentando com o 
tempo em 2004?
d) O modelo n= mede a per-
centagem do nível de oxigênio em uma lagoa; 
t é o tempo em semanas, após o lançamento 
de detritos orgânicosna lagoa. Conforme os 
dados, encontre a taxa de variação de N em 
relação a t quando t= 0,5.
e) Uma peça de carne foi colocada num 
freezer no instante0 t =. Após t horas, sua 
temperatura, em graus centígrados, é dada 
por: t=30-5t+4/t+1 . Qual será a taxa de variação 
da temperatura após 2h?
2) Encontre a equação da reta tangente: 
a) f(x)=x² considerando x0=1
b) f(x)=7-2x considerando x0=5
c) f(x)= -2/x considerando x0= -1 
d) f(x)=2√x considerando x0=4 
e) f(x)= -x³-5x²+3x-1 no ponto P (-1,-8)
3) Derive as funções a seguir:
c) f(x)=x9-5x8+x+12
d) f(x)= -0,02x³+0,3x
4) Encontre os pontos em que a reta 
tangente é horizontal, caso existam: 
a) f(x)=(x+1)(x²-x-2)
c) f (x)= -8x+7
29CÁLCULO I
INTRODUÇÃO AO 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
AVANÇADO 
O Cálculo diferencial é uma poderosa 
ferramenta com vasta aplicabilidade utilizada 
em distintas áreas do conhecimento
O Cálculo diferencial nos remete à velha rivalidade 
histórica entre Newton e Leibniz, em que ambos os cientis-
tas trabalharam de forma similar, porém quando separado 
desenvolveram uma base conceitual utilizada até os dias de 
hoje. Neste Capítulo, iremos trabalhar aplicações do Cálculo 
Diferencial, assim como técnicas mais avançadas, as quais 
serão muito importantes para o seu sucesso na disciplina. 
A Matemática é gradual: mesmo que o capítulo trate de aspectos 
avançados, a sua base conceitual proveniente do Ensino Fundamental e 
Médio será indispensável.
30CÁLCULO I
Hora da Revisão
Composição de funções 
 Existem muitas situações em que 
uma grandeza é dada como uma função de 
variável, que por sua vez, pode ser escrita 
como uma função de outra variável. Com-
binando as funções de maneira apropriada 
pode ser possível expressar a grandeza 
original em função da segunda variável. 
Exemplos: 
 Seja f(x)=x³ e g(x)=x+1, então a com-
posição de funções será 
f(g(x))=(x+1)³. 
A partir disso, observe que o pro-
cesso consistiu em substituir a variável 
x da função f(x) por toda a função g(x), 
formando a função f(g(x)). Logo, outra 
notação utilizada é fog.
2) Seja f(x)=√x e g(x)=2x+1 , a com-
posição de f(x) em g(x) será: 
fog=√(2x+1)
3) Seja f(x)=cosx e g(x)=8x a com-
posição de f(x) em g(x) será: 
fog=cos8x
Derivada de funções compostas - Regra 
da cadeia
A regra de cadeia é uma fórmula 
para calcular a derivada de funções com-
postas (THOMAS, 2012). Assim, se f 
e g forem diferenciáveis e F = f .g for a 
função composta definida por F(x) = f 
(g(x)) , então F é diferenciável e F’é dada 
pelo produto
F' (x)=f' (g(x))g'(x)
Agora, pense na regra da cadeia 
como um repolho. Achou estranho? Como 
a gente desfolha um repolho? Da folha 
mais externa para o centro, correto? Se esta 
ordem mudar o repolho ficará estragado. 
Na regra da cadeia devemos também tirar 
as “folhas” da função partindo de fora para 
dentro. “Tirar a folha” na função é fazer 
a derivada.
Exemplos:
1) Dada a função f(x)=(x³-1)100, cal-
cule f ’(x). 
Podemos entender a composição de 
funções como “uma função dentro da 
outra”.
31CÁLCULO I
f ' (x)=100(x³-1)99.(3x²)
f ' (x)=300x²(x³-1)99
 Observe que a “primeira folha” é a 
potência 100. Ela foi tirada sem se mexer 
no resto. A “segunda folha” é o centro 
(x³-1) ela foi tirada como segundo passo. 
2) Dada a função f(x)=sen(3x), cal-
cule f ’(x).
f ' (x)=cos(3x).3
Observe que a “primeira folha” é 
sen (3x). Ela foi retirada sem com o uso 
da tabela. A “segunda folha” é o 3x, que 
foi retirada na sequência.
3) Dada a função f(t)=√(2t²+5t), cal-
cule f ’(t):
f(t)=(2t²+5t)1/²
f '(t)=1/2(2t²+5t)-1/².(4t+5)
Outro detalhe: se em nossa pergunta 
temos um radical, a nossa resposta deve 
voltar para o radical. Caso não lembre 
dessa manipulação, retome a sua apostila 
de Cálculo Zero.
4) y=cos(lnx+1)³
A “primeira folha” é o cosseno. O 
resto é copiado igual. 
y'=-sen(lnx+1)³
A “segunda folha” é a potência três.
y'=-sen(lnx+1)³.3(lnx+1)²
A “terceira folha” é o lnx +1 
y'=-sen(lnx+1)³.3(lnx+1)².1/x+0
Por último, basta ajustar a função.
 
Quando temos um quociente de 
funções e o numerador é uma constante, 
a regra da cadeia é uma alternativa para a 
regra do quociente. 
Primeiro passo: passar o denominador 
para cima, trocando o expoente.
y=1.(x²-8)-³ ou seja y=(x²-8)-³
Segundo passo: aplicar a regra da cadeia.
y'=-3(x²-8)-4(2x)
y'=-6x(x²-8)-4
Terceiro passo: ajustar a função devolven-
do a resposta em acordo com a pergunta. 
Lembre-se que comentamos anteriormente 
que os radicais devem ser transformados em 
expoentes fracionários antes de aplicar-se 
qualquer técnica de derivação.
32CÁLCULO I
Estudo da variação das funções
O estudo de pontos de máximo e 
de mínimos de funções tem uma ampla 
aplicabilidade na Matemática. Para obter 
pontos de máximo ou de mínimo de uma 
função, basta construir o gráfico da função 
e identificar tais pontos. O problema é a 
dificuldade em construir os gráficos de 
muitas funções, razão pela qual, utilizamos 
as derivadas das funções.
Ponto crítico de uma função 
O ponto crítico de uma função pode 
ser entendido como o ponto em que a fun-
ção muda o seu comportamento. Basta 
fazer a derivada e igualar a função a zero. 
Exemplo: 
Seja f(x)=x², encontre o seu ponto 
crítico. 
f '(x)=2x
2x=0 x=0/2 x=0 
Logo, o ponto crítico está no ponto 
de coordenada x=0. Para sabermos se este 
ponto é de máximo ou de mínimo preci-
samos plotar o gráfico ou fazer o estudo 
do sinal da função por intermédio dos 
intervalos de crescimento e decrescimento.
O gráfico nos indica que é um ponto 
de mínimo, pois ela não irá “baixar” ja-
mais deste ponto. Agora, vamos supor que 
não seja possível fazer o gráfico. Ainda é 
possível encontrar os pontos críticos com 
uma abordagem mais analítica.
Máximo e mínimos de funções e 
relaciona aos pontos em que a reta 
tangente é horizontal. Caso não lembre 
deste conteúdo, faça uma retomada!
1
1
-1
-1
-2-3 2
2
3
3
4
4
5
5
6
33CÁLCULO I
Intervalos de crescimento e 
decrescimento
Exemplos: 
 Determine os intervalos de cresci-
mento e decrescimento da função f(x)=x^-
2-4x+3: 
Passo 1: determinar o ponto crítico 
da função. 
f(x)=x²-4x+3
f '(x)=2x-4
2x-4=0
x=4/2
x=2 
Passo 2: considere um valor aleató-
rio antes do ponto crítico e outro depois. 
Considere valores que facilitem seus cálcu-
los. Neste exemplo, utilizamos os valores 
1 e 3. Substituir tais valores em f ’(x). 
f ' (1)=2.1-4
f ' (1)=2-4
f ' (1)=-2
Como f '(1) é < 0, pelo teorema, 
podemos considerar que antes do ponto 
crítico a função é decrescente. 
f '(3)=2.3-4
f '(3)=6-4
f '(3)=2
Como f ' (3) > 0, pelo teorema, po-
demos considerar que após o ponto crítico 
a função é crescente. 
Passo 3: Esboçar as considerações 
anteriores em uma reta.
Pelo esboço podemos perceber que:
No primeiro intervalo a função é 
decrescente.
No segundo intervalo a função é 
crescente.
O ponto x=2 é um ponto de mínimo. 
Teorema: Seja f uma função contínua 
em um intervalo I.
a) Se f'(x)>0 para todo x pertencente a 
I, então f será estritamente crescente 
em I.
b) Se f'(x)<0 para todo x pertencente a I, 
então f será estritamente decrescente 
em I.
2 31
Lembre-se que o que temos não é o 
gráfico da função. Trata-se de um esboço 
para compreender o comportamento da 
função.
34CÁLCULO I
Exemplo 2: Determine os intervalos 
de crescimento e decrescimento da função 
f(x)=x^3. Verifique sua resposta através do 
seguinte gráfico:
Passo 1: encontrar os pontos crí-
ticos.
f ' (x)=3x²
3x²=0
x=0 ponto crítico 
Passo 2: testar um ponto antes e 
outro após o ponto crítico. Utilizaremos 
-1 e 1. 
Seja x1= -1 e x2= 1
f ' (-1)=3(-1)²
f ' (-1)=3
Intervalo crescente.
f ' (1)=3(1)²
f ' (1)=3
Intervalo crescente.
Passo 3: traçar o esboço. 
Perceba que em ambos intervalos a 
função é crescente, o que nos leva a con-
cluir que a função não tem ponto nem de 
mínimo nem de máximo. Em decorrência 
disso, chamamos de ponto ordinário.
Exemplo 3: 
Determine os intervalos de cres-
cimento e decrescimento da funçãof(x)=x³-3x²-9x+7.
Passo 1: encontrar os pontos críticos.
f '(x)=3x²-6x-9
3x²-6x-9=0
x1=3; x2=-1
Perceba que temos dois pontos crí-
ticos.
-2
-1
1
2
1,00,5-0,5-1,0 x
y
(x from -1 to 1)
3
35CÁLCULO I
Passo 2: testar um ponto antes e ou-
tro após cada ponto crítico. Neste exemplo 
utilizaremos -2, 0 e 4.
f '(-2)=3(-2)²-6(-2)-9
f '(-2)=12+12-9=15
Intervalo crescente.
f '(0)=3(0)²-6.0-9= -9
Intervalo decrescente. 
f '(4)=3(4)²-6.4-9=15
Intervalo crescente. 
Passo 3: traçar o esboço. 
Perceba que o ponto x=-1 é um pon-
to de máximo, enquanto x=3 é um ponto 
de mínimo.
Aplicações de Máximos e Mínimos de 
funções 
Os problemas de aplicações que fa-
zem referência a maximização ou mini-
mização, independente do contexto, po-
dem ser resolvidos com os recursos vistos 
anteriormente. 
Exemplos: 
1) Com a finalidade de estudar a 
quantia de ônibus que deve operar em 
uma cidade, a empresa pública de trans-
portes modelou a função S(x)=-1/3 
x^3+5x^2+75x-125, sendo x a quantia de 
linhas de ônibus e S o índice de satisfação 
das pessoas. Logo, quantas linhas produ-
zem a maior satisfação?
Passo 1: encontrar os pontos crí-
ticos.
-x²+10x+75=0
Resolvendo a equação encontramos 
x1= -5 e x2= 15.
Nesse exemplo não foi preciso ana-
lisar qual ponto seria de máximo e qual 
seria de mínimo, pois tratando-se de linhas 
de ônibus somente são admitidas somente 
respostas positivas. Assim, 15 linhas ma-
ximizam a satisfação das pessoas.
-1 0 3 4-2
Obs. Como o problema fala em maior 
satisfação, entendemos que é um 
problema de máximo e mínimo da 
função.
Obs. Caso você não lembre como 
resolver a equação, retome o seu 
material de Cálculo Zero.
36CÁLCULO I
Tópicos em Economia
O Cálculo é amplamente utilizado 
na área de Economia, por isso é impor-
tante termos clareza de alguns conceitos 
pertencentes a essa ciência.
Alguns conceitos de economia 
Função Custo
Podemos entender o custo como a 
saída de caixa de uma empresa, ou seja, 
os gastos envolvidos em determinada ope-
ração. Ele pode ser composto por duas 
partes: o fixo e a variável. Descrevemos a 
função custo da seguinte maneira: C(x) = 
Cf + Cv, onde Cf: custo fixo e Cv: custo 
variável.
Função Receita
Podemos entender a receita como a 
entrada de caixa de uma empresa, ou seja, 
o faturamento envolvido em determinada 
operação, ligado diretamente ao número 
das vendas. Logo, descrevemos a função 
receita da seguinte maneira: R(x) = px , 
onde p é o preço de mercado do produto 
e x é o número de unidades vendidas. 
Função Lucro
Podemos entender o lucro como 
a “sobra” de caixa de uma empresa, ou 
seja, a subtração entre a receita e o custo. 
Também, descrevemos a função lucro da 
seguinte forma: L(x) = R(x) – C(x). Os 
valores de x para os quais o lucro é nulo 
são chamados de pontos de nivelamento. 
Exemplo: 
Uma metalúrgica gaúcha fabrica pe-
ças metálicas para montadoras de motores 
automotivos. O custo envolve R$ 1.200,00 
fixos e mais R$ 50,00 por unidade, depen-
dendo da produção. A peça é vendida por 
R$ 120,00. Encontre: as funções custo, 
receita e lucro. 
Função Custo 
C(x) = Cf + Cv 
C(x)= 1.200 + 50x 
Função Receita 
R(x)= px
R(x)= 120x 
Função Lucro 
L(x)= R(x) – C(x) 
L(x) = 120x – (1200 +50x) 
L(x)= 120x -1200 -50x 
L(x)= 50x -1200 
37CÁLCULO I
Exemplo 2: 
A empresa Vende Bem produz 
um determinado produto, com um cus-
to mensal dado pela função c(x)=1/3 x^-
3-2x^2+10x+20 , sendo x a quantidade 
produzida. Cada unidade desse produto 
é vendida por R$31,00. Qual é o lucro 
marginal para a venda de 10 unidades? 
Passo 1: montar a função lucro
R(x)= 31 x função receita
c(x)=1/3 x³-2x²+10x+20 função custo 
L(x)= R(x) – C(x) 
L(x)=31x-(1/3x³-2x²+10x+20) 
L(x)= 31x-1/3 x³+2x²-10x-20
L(x) = -1/3 x³+2x²+21x-20
Passo 2: fazer a derivada da função 
L' (x)=-x³+4x+21
Passo 3: substituir o x por 10
L’(10) = -10² + 4.10 +21 
L’(10)= -100 +61= -39 
Problemas de otimização 
Podemos entender um problema de 
otimização como uma situação em que 
procuramos determinar os valores de uma 
função para os quais queremos obter os 
melhores valores. 
Exemplos: 
1) Uma caixa vai ser manufaturada a 
partir de um pedaço de papelão quadrado 
de 30 polegadas de lado, cortado e dobrado 
conforme mostra a figura seguinte: 
Quais são as dimensões que produ-
zem o maior volume?
Passo 1: encontrar a expressão da-
quilo que queremos maximizar.
Queremos maximizar o volume de 
um paralelepípedo. Para isso, sabemos 
que pela geometria plana o volume de um 
paralelepípedo é dado pela área da base 
vezes a altura. 
v=ab.h
A base é um quadrado de lado 30 
– 2h. Conseguintemente, a sua área será: 
Ab=(30-2h).(30-2h)
Ab=(30-2h)²
Lembre-se que as expressões lucro 
marginal, custo marginal e receita 
marginal referem-se à taxa de variação 
de tais funções, ou seja, dependem da 
derivada delas.
Figura 1: problema de otimização. Fonte: Ryan, 2009.
38CÁLCULO I
Desse modo, o volume será dado 
por: 
v=(30-2h)².h 
Desenvolvendo o produto notável 
temos:
v=(900-120h+4h² ).h
Aplicando a propriedade distributiva 
temos:
v=4h³-120h²+900h . Esta é a ex-
pressão algébrica do volume. 
 Passo 2: Encontrar os pontos crí-
ticos da função: 
v=4h³-120h²+900h
v '̂=12h²-240h+900
12h²-240h+900=0 
Resolvendo a equação encontramos 
os pontos críticos que serão 15 e 5. 
Passo 3: interpretar os pontos crí-
ticos. 
Para esta interpretação basta pe-
garmos qualquer uma das expressões que 
modelam o volume e substituir os valores.
v=(30-2h)².h 
Substituindo por 15: 
v = (30-30)².30= 0 
Substituindo por 5: 
 V= (30-10)².5 = 2.000 polegadas 
cúbicas
Logo, a dimensão para h que produz 
o maior volume é de 5 polegadas.
Exemplo 2: 
Um fazendeiro tem recursos para 
acomodar 300 metros de cerca para fazer 
um curral dividido em dois retângulos, 
conforme a figura a seguir (RYAN, 2009): 
 Quais dimensões produzem a 
maior área possível?
Passo 1: encontrar a expressão da-
quilo que queremos maximizar.
Queremos maximizar a área. Pela 
geometria plana sabemos que a área de um 
retângulo é dada pela base vezes a altura. 
a=(2x).y 
Figura 2: problema de otimização. Fonte: Ryan, 2009.
39CÁLCULO I
Passo 2: considerar o limitador 
Neste problema específico temos 
um limitador, ou seja, o fazendeiro tem 
ao seu dispor apenas 300 metros de cer-
ca. Consideramos que o perímetro será o 
limitador. Logo: 
300=x+x+y+x+x+y+y 
300=4x+3y
Passo 3: ajustar a função 
A função que encontramos no passo 
2 deve ter o y isolado.
-3y=4x-300 
3y= -4x+300
Passo 4: fazer a composição das 
funções 
Devemos fazer uma composição de 
funções entre aquilo que queremos otimi-
zar (área) e o limitador (perímetro). 
a=(2x).y 
a=2x(-4x /3+100)
Passo 5: encontrar os pontos críticos
O ponto crítico é x= 37,5
Podemos concluir que x=37,5m ma-
ximiza a área do curral. 
Passo 6: descobrir o valor de y. 
Para descobrir o valor de y substi-
tuímos na função: 
300=4x+3y
Se x= 37,5 
300=4.37,5+3y 
300-150=3y 
 y=50
Assim, x= 37,5 e y=50 são os valores 
que otimizam as dimensões do curral. 
40CÁLCULO I
Vamos aos exercícios propostos!
1) A posição de uma partícula que se 
desloca ao longo de uma coordenada é dada 
por s=√1+4t, com s em metros e t em segun-
dos. Determine a velocidade da partícula em 
t=6 segundos:
2) Um corpo se move em linha reta de 
acordo com a equação S=√4+3t², onde S é 
dado em metros e t em segundos. Determine 
a velocidade do corpo no instante t = 2s
3) Derive as funções a seguir usando a 
regra da cadeia:
a) f(x)=(x³+4x)7
b) f(x)=(x²-x+1)³
c) f(x)=sec(5x)
d) y=cos(2x²-9)
e) y=√(3x-1)
4) Certa empresa estima que o custo de 
produção de uma peça é dado por C(x)=3x²+5x 
+10. Se o preço de venda é R$ 45,00, qual é o 
lucro marginal para a produção de 10 peças? 
5) Seja o custo de produção de um de-
terminado bem modelado por C(x)= 0,01x³- 
0,5x²+300x+100. Qual é o custo marginal para 
a produção de 10 unidades?
6) A função receita de uma determinada 
empresa é dada por R(x)=2x²+1000x. Qual 
é a receita marginal para a produção de 50 
unidades? 
7) Um hospital estimou que a sua recei-
ta mensal seja dada por R(x)= -30x²+6.000x, 
sendo o custo dado por C(x)= 1.200x +8.000, 
sendo x a quantidade de pacientes atendidos. 
Qual é o lucro marginal no atendimento de 20 
pacientes?
8) Uma indústria estima que, para certo 
produto a receita é modelada por R(x)= -50x² 
+2.000x e que o custo é C(x)= 300x + 6.000, 
sendo x a quantia vendida. Qual é o lucro mar-
ginal na venda de 8 unidades? 
9) Temos uma chapa quadrada com 
6m de lado e queremos montar uma caixa, 
dobrando as bordas. Qual é o valor de x que 
promove o maior volume? 
10) Quero fazer um jardim retangular 
usando minha casa como um dos lados. En-
contre as dimensões do maior jardim possível 
que pode ser feito com 40m de cerca: 
11) Uma loja quer construir um cercado 
retangular com 600m². Três lados serão de 
madeira com um custo de R$ 14,00 o metro. 
No quarto lado será usado concreto com R$ 
28,00 de custo o metro. Quais são as dimensões 
que minimizam o custo? 
41CÁLCULO I
CÁLCULO INTEGRAL 
Calcular áreas, volumes e regressar 
à função primitiva são algumas das 
aplicações das integrais. 
Calcular áreas de curvas que não formam uma figura 
geométrica conhecida pela geometria plana intrigou os ma-
temáticos durante muito tempo. Os gregos antigos já buscam 
soluções para este problema, trabalhando a partir de quadratu-
ras, ou seja, efetuando comparações com quadrados. Distintos 
pensadores como Kepler, Fermat e Cavalieri, por exemplo, 
foram gradativamente agregando ideias e chegando ao que 
conhecemos hoje em dia por Cálculo Integral. 
O Cálculo integral é um dos eixos estruturantes do Cálculo, tendo uma 
vasta aplicabilidade em situações práticas.
42CÁLCULO I
Integração: uma visão geral 
Podemos entender a integral como 
o processo inverso da derivada, ou seja, 
quando uma função for derivada e efetuar-
mos a integral dela, estaremos retornando 
à função primitiva. A integral pode ser 
indefinida quando não conhecemos os 
limites de integração, ou definida quando 
conhecemos os limites. A seguir temos um 
resumo de algumas regras de integração. 
Desse modo, ao final dessa apostila, você 
encontrará uma tabela completa, que será 
utilizada, também na disciplina de Cál-
culo II.
Exemplos:
1) Integre a função ∫x³ dx=
Perceba que a função se enquadra 
na segunda regra. Assim:
Não se esqueça da constante!
2) Integre a função ∫3x4 dx=
Novamente, a função se enquadra na 
segunda regra. A diferença para o exem-
plo anterior é que temos uma constante 
multiplicando. Neste caso, primeiramente 
“tiramos” a constante da integral e apli-
camos a regra. Assim: 
3) Integre a função ∫(4x5+7)dx=
Diante disto, podemos considerar 
que temos duas funções somadas. Neste 
caso, podemos fazer a integral, separada-
mente, em cada uma das partes.
Perceba que a primeira parte se en-
quadrou na regra 2, enquanto a segunda 
parte na regra 1. Assim:
Observando a tabela podemos 
identificar o símbolo ∫ , que significa 
integral indefinida. A integral definida 
será escrita como os limites ∫ de 
integração a e b definidos. Como a 
tabela anterior é uma tabela de integrais 
indefinidas, temos uma constante C, pois 
como veremos a seguir, ela gera uma 
família de funções.
a
b
43CÁLCULO I
 Integre a função ∫(5+3x²-7x³ )dx=
Aqui, podemos considerar que te-
mos duas funções somadas. Neste caso 
podemos fazer a integral separadamente 
em cada uma das partes. Assim: 
Perceba que a primeira parte se en-
quadrou na regra 1, enquanto o restante 
na regra 2.
 Integre a função ∫√x dx=
A primeira etapa consiste em trocar 
o radical para um expoente fracionário. 
Caso você não esteja lembrado, retome 
seu material de Cálculo Zero. 
A segunda etapa consiste em aplicar 
a regra indicada para o caso. Perceba que 
a função se enquadra na regra 2.
É prática entregar a resposta no 
mesmo formato que ganhamos a pergunta. 
Logo, se na pergunta havia um radical, en-
tão no final devemos retornar a expressão 
para um radical.
6) Integre a função 
Perceba que temos um x no deno-
minador. Se você faz a inversão trazendo 
esta variável para o numerador, terá uma 
potência -1. Repare que na regra dois te-
mos uma restrição: ela pode ser usada se 
p≠ -1. Assim, neste exemplo, aplicamos 
a regra 3. 
Obs. Não é possível o uso da regra 2, 
pois ela produziria uma divisão por zero.
7) Integre a função ∫4cos(x)dx=
Primeiramente, devemos destacar a 
constante da integral.
4∫cos(x)dx=
Agora, basta aplicar a regra segundo 
a tabela. Note que utilizaremos a regra 4.
4sen(x)+c
8) Integre a função 
Perceba que não existe regra que en-
quadre a função apresentada. Dessa forma, 
precisamos “ajustá-la” de modo que seja 
possível, de alguma forma, a aplicação dos 
parâmetros da tabela.
Seus conhecimentos de trigonometria serão 
indispensáveis para o sucesso nesta matéria!
44CÁLCULO I
Passo 1: “Abrir” a função. A expres-
são sen²(x) pode ser escrita como sen(x).
sen(x). Já a expressão cos(x) pode ser es-
crita como 1.cos(x). Assim:
Passo 2: Fazer as trocar necessárias. 
Considere que 
Também considere que 
Substituindo na função temos:
Passo 3: Utilizar a tabela. Perceba 
que a função agora se enquadra na regra 9.
∫cossec(x).cotg(x)dx=-cossec(x)+c
Aplicações das integrais: A integral como 
anti-derivada
Uma das aplicações do cálculo in-
tegral é o fato de retornar para a função 
original (primitiva). Por exemplo, conhe-
cemos a função que dá o custo marginal e 
queremos a função custo ou conhecemos 
a função que dá a variação do crescimen-
to, além disso, queremos a função cres-
cimento. Um dos detalhes importantes 
é encontrar a constante para que, desse 
modo, tenhamos a função exata. Para que 
isso seja possível, precisamos conhecer um 
par ordenado (x, y) da função original.
Exemplos: 
1) A função lucro marginal da pro-
dução de um certo bem é dada por L’(x)= 
18. Sabemos que o lucro da produção de 10 
unidades é de R$ 130,00. Assim, encontre 
a função lucro: 
Perceba que como a função é 
f(x)=18x+c e não conhecemos, a princí-
pio, a constante, como ela poderia assu-
mir infinitos valores se ela é considerada 
uma família de funções? Para uma solução 
particular, precisamos considerar o par 
ordenado (10, 130) da função original para 
encontrar o valor de c. Assim, 
L(x) = 18x + c.
130 = 18. 10 + c 
C= 130 -180 
C = - 50 
L(x) = 18x – 50 Esta é a função 
lucro.
2) Um fabricante constatou que o 
custo marginal é Cm = 3q² - 60q +400 
reais por unidade, sendo q a quantia de 
unidades produzidas. Sabemos que o custo 
de 2 unidades é R$ 900,00. Assim, o custo 
de 5 unidades será: 
Aplicando as regras de integração 
temos: 
Simplificando:
Precisamos encontrar o valor da 
constante a partir do par ordenado (2, 
900) da função original.
45CÁLCULO I
900=2³-30.2²+400.2+c 
c = 212
C=q³-30q²+400q+212 Esta é a fun-
ção custo. 
Como o exercício quer saber o cus-
to de 5 unidades, basta substituir o x da 
função custo por 5. 
C(5)=5³- 30.5²+400.5+212=R$ 
1.587,00 
Integrais definidas
O símbolo é lido como 
“a integral definida de f de a até b”. Os 
números a e b são denominados limites 
de integração. Nos cálculos que envolvem 
as integrais definidas, é frequente e con-
veniente usar o símbolo:
 para a diferença F(b) – F(a).
Interpretação geométrica
Vamos supor que desejamos conhe-
cer a área da seguinte curva:
Como a curva não forma uma figura 
geométrica definida pela geometria plana, 
durante muito tempo os matemáticos não 
tinham clareza de como fazer isso. Então, 
um dos primeiros processos que cumpriam 
este objetivo foi o método da soma de 
Riemann. Esse consiste em completar a 
figura como retângulos, calculando a área 
deles e, finalmente, somá-las. Observe o 
gráfico anterior e note que a utilização 
desse método não é simples e também 
não é preciso.
Teorema fundamental do Cálculo
Teorema Fundamental do Cálcu-
lo: Se y=f(x) é uma função contínua no 
intervalo [a,b] e F’(x)= f(x) [isto é,F(x) é 
uma primitiva ou antiderivada f(x)], então
Exemplos: 
1) Integre a função a seguir: 
Passo 1: fazer a integral da função.
f(x)
a xj b
Aj= f(xj) x
46CÁLCULO I
Passo 2: substituir o valor de x pe-
los limites de integração. Fazer o limite 
superior menos o limite inferior.
2) Integre a função a seguir:
Passo 1: integrar as funções com as 
regras já vistas.
Passo 2: substituir o valor de x pe-
los limites de integração. Fazer o limite 
superior menos o limite o inferior.
[2³-2²]-[1³-1²]=
8-4-(0)=4 
Aplicações das integrais definidas: O 
cálculo de áreas 
Uma das aplicações mais utilizadas 
das integrais é o cálculo de áreas. Basta 
utilizar o teorema fundamental do Cálcu-
lo considerando os limites de integração, 
como os extremos da função que se quer 
calcular. 
Exemplos: 
1) Encontre a área da região taxada: 
Iremos iniciar com figuras conhe-
cidas para que possamos verificar a vera-
cidade do teorema. Pela geometria plana, 
poderíamos calcular multiplicando a base 
pela altura e encontraríamos 3x2=6 u.a. 
Muita atenção aos sinais negativos. Eles 
costumam causar alguns problemas!
A
3
2
1
0
-1
0 1 2 3 4 5 6
D
cb
47CÁLCULO I
Agora, faremos por integrais defi-
nidas. Vamos considerar que o polígono é 
limitado, de forma superior, pela função 
f(x)=2, tendo x=1 e x=4 como os limites 
de integração. Logo: 
Perceba que o resultado encontra-
do foi o mesmo.
2) Seja f(x)=x+2 a função que limita 
superiormente, encontre a área taxada:
Novamente, poderíamos utilizar o 
processo geométrico, calculando a área do 
triângulo ((3x3)/2)= 4,5 e a do retângulo 
(3x1)=3 e encontrando um total de 7,5 u.a. 
Ou pelo processo da integração:
Área entre curvas 
Quando temos uma determinada 
área limitada por duas curvas utilizamos 
o seguinte teorema:
considerando f(x) a função que limi-
ta a curva superiormente e g(x) a função 
que limita inferiormente. 
Exemplos: 
1) Calcule a área da região limita-
da pelas curvas y=x² e y=4, destacada no 
gráfico seguinte. 
a
1
2
3
5
1-1-2 2 3 4 5
b c
d
2-2 x
x=4
y=x²
48CÁLCULO I
Observado o gráfico, percebemos 
que ele é limitado superiormente pela reta 
f(x)= 4 e inferiormente pela parábola g(x)= 
x². Assim:
2) Determinar a área limitada pelas 
curvas y=5x−x² e y=2x.
Analisar o gráfico é indispensável 
para identificarmos f(x) e g(x). Nesse caso, 
temos a parábola f(x) = 5x – x² limitando 
superiormente e g(x) = 2x inferiormente. 
Assim:
3) Encontre a área taxada no gráfico 
que segue, sendo a função f(x)=sen(x):
Sempre que tivermos uma região 
localizada acima do eixo x e outra abaixo, 
precisamos encontrar uma área de cada 
vez e somar o módulo dos resultados. Isso 
ocorre, porque a área abaixo do eixo x será 
negativa. No caso desse exemplo, você en-
contraria zero se calculasse em uma única 
vez, o que seria um erro grave.
Área 1: 
Área 2: 
Observe que o sinal de menos indica 
apenas que a área está abaixo do eixo x. 
Assim, precisamos considerar o seu mó-
dulo, ou seja, 2 unidades de área. 
Assim, a área total será = 2+2 =4 u.a. 
3 5 x
y
y=5x-x²
y=2x
3
22
x
1
-1
y
2
49CÁLCULO I
Quando não conhecemos os limites de 
integração
Em muitas situações não temos 
informações em relação aos limites de 
integração das áreas entre curvas. Nesse 
caso, consideramos que os limites da área 
serão os pontos em que as curvas se tocam. 
Assim, basta igualar uma função a outra 
e encontrar os valores de x, os quais for-
necerão os limites de integração. 
Exemplo: 
Calcule a área limitada superior-
mente por y=x+2 e inferiormente por y=x²:
Como não conhecemos os limites de 
integração, vamos igualar uma função a 
outra. A ordem não interfere no resultado. 
Neste exemplo optamos por colocar na 
frente aquela de maior grau para facilitar 
a manipulação algébrica. 
x²=x+2 
x²-x-2=0
x1=2 x2=-1
50EXERCÍCIOS - CALCULO I
Vamos aos exercícios propostos
1) Resolva os problemas envolvendo 
integrais: 
a) A taxa de crescimento de uma certa 
população é dada por ha-
bitantes. Sabemos que a população inicial era 
de 10.000 habitantes. Logo, a população em 8 
meses será de:
b) Um fabricante estima que o custo 
marginal na produção de um certo bem é dado 
por Cm= 3q² -24q +48 reais por unidade. O 
custo de produção de 10 unidades é de R$ 
5.000,00. Logo, o custo para a produção de 
30 unidades será:
c) O lucro marginal para a venda de 
um produto é dado por L'= 100 - 2q reais por 
unidades, quando q unidades são produzidas. 
A produção de 10 unidades produz um lucro de 
R$ 700,00. Assim a função lucro será:
2) Integre as funções a seguir:
3) Encontre a área entre as curvas no 
intervalo entre 0 e 1: 
4) Encontre a área limitada de cima por 
y=x+6, abaixo por y=x², tendo x=0 e x=2 como 
os limites:
5) Encontre a área englobada por y=x² 
e y=x+6. 
6) Determine a área limitada por y=5x 
–x² e pelo eixo x, conforme ilustra a figura a 
seguir: 
p
x
y y=x³
y= x
0 5
y = 5x - x²
51CÁLCULO I
Gabarito - Páginas 14 e 15
1 a) 0
b) -1 
c) 7/6 
d) -3/4
e) -2
f) 1/2 
g) 0 
h) 0 
i) 4 
j) 4 
2) a) 20 
b) infinito 
c) Tende a 4 
d) 20.000 
3) a) Não, pois f(x) não está indefinida 
em x=2.
B )Não, pois a função está definida em 
x=2, mas o valor do limite difere de f(2).
c) O valor da função em x = 2 é x(2) = 4, 
que é o mesmo que o limite naquele ponto. 
Portanto, f é contínua em x = 2.
Página 28
1) a) R$ 40,00 b) Aprox. 2435,16 
c) 10,8 d) -0,48 e) Aprox. -5,44
2) a) y= 2x – 1 
b) y= -2x +7 
c) y= 2x+4 
d) y=x/2+2
e) y= 10x +2
3) a) y'= 13/((x+5)²)
b) w'=(3t²+8t-8)/((3t+4)²)
c) f ’(x)=9x8-40x7+1
d) f ’(x)=-0,06x²+0,3
e) g’(t)=-(1 )/t² - 2/t³ - 1/(2√(t³))
4) a) (-1, 0 ) 
b) A (0,1), B(-2,-1/3)
c) Não existem pontos.
Página 50
1) 0,4 
2) 1,5
a) f ' (x)=(x³+4x)² (21x²+28)
b) f ' (x)=(x^2-x+1)² (6x-3)
c) f ' (x)=5 tan(5x)sec(5x)
d) y'= -4xsen(2x²+9)
e) y'=3/(2√(3x-1))
4) -20 
5) 293
6) 1200
7) 3.600
8) 900
9) 1
10) r. 20 por 10 
11) r. 20 por 30 
52CÁLCULO I
ANTON, Howard. Cálculo. Tradução de Claus Ivo Doering. 8.a ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
RYAN, M. Cálculos para Leigos. 2.a ed. Rio de Janeiro, Alta Books, 2009. 
STEWART, Ian. Dezessete equações que mudaram o mundo. Tradução de George Schlesinger. Rio de Janeiro: Zahar, 
2013. 
THOMAS, G.B. Cálculo Volume 1. Tradução de Kléber Pedroso e Regina Simille de Macedo. 12.a ed. São Paulo, Pearson 
Education do Brasil: 2012.
REFERÊNCIAS
	Limites e Continuidade 
	Limites
	Formas Indeterminadas
	Limites envolvendo infinitos
	Cálculo Diferencial 
	Derivadas 
	Derivada de uma Função Constante: 
	Aplicações das derivadas
	Derivadas de ordem superior
	INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL AVANÇADO 
	Hora da Revisão
	Estudo da variação das funcões
	Tópicos em Economia
	Cálculo Integral 
	Integração: uma visão geral 
	Área entre curvas 
	Referências