aula 12 PGA 07 08 STER

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Conceitos básicos de transferência de Calor: 
Condução - Lei de Fourier 
Fórmula geral para 3 dimensões: 
 
 ρ ∂∂
∂
∂ λ
∂
∂
∂
∂ λ
∂
∂
∂
∂ λ
∂
∂C
T
t x
T
x y
T
y z
T
zp x y z
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
com ρ - densidade (Kg/m³). 
 λi - condutividade térmica na direcção i (x, y ou z) (W/(m K)). 
 Cp - Calor específico (J/(Kg K)). 
 
Equação para um cilindro finito (lata) em coordenadas cilíndricas, 
considerando propriedades térmicas constantes 
 
 1α
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
T
t r
T
r
T
r
T
x
= + +1
2
2
2
2 
com α - Difusividade térmica (m²/s). 
 r - coordenada radial (m). 
 
1 Dimensão: 
 
 ( )∂∂
∂
∂ α
∂
∂γ
γT
t r r
r T
r
= ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟−
−1
1
1
( ) 
 
Placa Infinita, γ =1 
Cilindro Infinito, γ =2 
Esfera, γ = 3 
Soluções analíticas: 
Condições: 
1. Temperatura inicial homogénea: t=0, ∀x,y,z ,T(x,y,z)=T0. 
2. Temperatura de aquecimento constante: t>0, Tsurf=T1. 
3. Coeficiente de transferência de calor infinito: Tsurf=T1. 
Quando o coeficiente de transferência de calor é finito: 
 ( )− = −λ ∂∂Tx h T Tsurf 1 (t>0) 
com: h - coeficiente de transferência de calor (W/m²/K). 
 
TABELA 1 Soluções analíticas para a equação de Fourier considerando um 
coeficiente de transferência de calor infinito. 
Geometria Solução Analítica 
Placa 
Infinita 
T x t T
T T n
n x
L
n t
L
n
n
( , ) ( ) cos ( ) exp ( )
−
− = −
−
+
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
∞∑0
1 0
2 2
2
0
1 4 1
2 1
2 1
2
2 1
4π
π π α 
Cilindro 
Infinito 
T r t T
T T
J r R
J
t
Rn
( , ) ( / )
( )
exp
−
− = −
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
∞∑0
1 0
0
1
2
1
1 2
β
β β
α βn
n n
n
2
 (*) 
 
 
Esfera 
( )
( )
T r t T
T T
R
r n
n r
R
n t
R
r R
n t
R
r
n
n
n
n
( , )
sin exp
exp
−
− =
+ − ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ < <
+ − −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
=
∞
=
∞
∑
∑
0
1 0
2 2
2
1
2 2
2
1
1 2
1
0
1 2 1 0
π
π π α
π α
 for 
 for =
 
Cilindro 
finito 
T t r x T
T T
x
L
J r R
J L R
t
m
m
m
n
n n
m n
nm
( , , ) ( ) cos
( / )
( )
exp
−
− = −
− ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
+
=
∞
=
∞ ∑∑0
1 0
1
0
1
2
2
2
2
11
1 4 1λ λ
β
β β
λ β α (#)
 
(*) βn raízes positivas da equação Jo(βn)=0. Jn(x) são funções de Bessel: 
J x
i i n
x
n
i n i
i
( ) ( )
!( )!
( )
= −+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
=
∞∑ 1 2
2
0
 
(#) λ πm m= −( )2 1 2 
 
Convecção - Agitação Completa 
 
 
 U A T T
d VC T
dt
p
0 1( )
( )− = ρ 
 
 
com U0 - coeficiente global de transferência de calor (W/m²/K) 
 A - Área para transferência de calor (m²) 
 ρ - densidade (kg/m3) 
 V - volume (m3) 
 Cp - calor específico (J/(Kg K)) 
 T1 - Temperatura de aquecimento (ºC) 
 T - Temperatura do produto 
 
 
Solução Analítica: 
 
T T
T T
U At
mCp
−
− = −
1
0 1
0exp( ) 
 
com m - massa (Kg) 
(notar que : m = ρ * V) 
Equações empíricas 
 
 
10
100
1000
0 20 40 60
Time (min)
Pr
od
uc
t -
 C
oo
lin
g 
W
at
er
 T
em
pe
ra
tu
re
 (°
C
)
j T T
T Tc
B cw
g cw
= −−T TcwB −
Cooling Curve
T Tg cw−
1
10
100
1000
0 20 40 60 80 100
Time (min)
R
et
or
t -
 P
ro
du
ct
 T
em
pe
ra
tu
re
 (°
C
)
j T T
T Th
= −−
1 0
1 0
'
fh
Heating Curve
 Experimental
 Exponential
T T1 0−
T T1 0− '
 Experimental
 Exponential
 
 
T t T
T T
jh
t
fh( ) −
− = ⋅
−⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟1
0 1
10 
 
 
TABELA 2 Valores teóricos para fh e j 
Geometria fh j (centro) j (fora do centro) 
 Condução 
Placa Infinita 0.933 L
2
α 1.27324 127324 2. cos
πy
L
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
Cilindro Infinito 0 398
2
. Rα 1.60218 160218 0
1. J r
R
β⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
Esfera 0 233
2
. Rα 2.000 0 63662. sin
R
r
r
R
π⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
Cilindro Finito 0 398
0 427 1
2 2
.
.
L R
+⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟α
 2.03970 2 03970
20
1. cosJ r
R
y
L
β π⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
Paralelepípedo 0 933
1 1 1
.
² ² ²a b c
+ +⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟α
 2.06410 2.06410cos cos cosπ π πx
a
y
b
z
c2 2 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
 
Convecção 
2 303
0
. ρVC
U A
p 1 1 
 
 
Propriedades de fh e j 
⇒ fh e j são independentes de T0 e T1 
⇒ fh é dependente da difusividade térmica, do coeficiente de tranferencia de calor, da 
geometria e dimensões 
⇒ fh é independente da posição no recipiente, da distribuição inicial de temperaturas e 
do CUT (come up time, tempo de subida) da autoclave. 
⇒ j é dependente da geometria,posição no recepiente, distribuição inicial de 
temperaturas e CUT 
⇒ j é independente da difusividade térmica. 
O Método Matemático - Método de Ball 
Derivação do Método de Ball: 
Equações para descrever a evolução Temperatura(tempo): 
(1) Aquecimento : 
0<t<th (t=tempo no aquecimento) 
Logarítmico, 
 ( )T t T j T Th o
t
fh( ) = − − ⋅
−⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 1 10 
 j
T T
T Th
= −−
1 0
1 0
'
 
(2) Arrefecimento: 
(a) 0<t<tx , Hiperbólico (t=tempo no arrefecimento) 
 
( )[ ]
( )[ ] ( )
T T T T t
T T
t
f
g g cw
g cw h
+ − −
−
− =0 3
0 3 0175
1
2
2
2
2
. ( )
. .
 
 ou, T t T a t
bg
( ) = − + ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟1 1
2
 
com: 
a T Tg cw= −0 3. ( ) ; b tx= ⋅05275. ; t f jx c c= ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟log .0 675 
(b) t>tx , Logarítmico, 
 T T j T Tcw c g cw
t
fc= + − ⋅
−⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟( ) 10 
 j T T
T Tc
B w
g w
= −− 
Vimos anteriormente que o “valor de processamento” é dado por, 
 F L dt
t p
= ⋅∫
0
 
com, L
T t Tref
z=
−
10
( )
 
Considerando as diferentes fases do processo, temos: 
 F L dt L dt L dt
th
th
th tx
th tx
t p
= ⋅ + ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫
+
+0
 
i.e., F F F Fh c c= + +1 2 
Considerando a contribuição da fase de aquecimento: 
Vimos que: 
 ( )T t T j T Th o
t
fh( ) = − − ⋅
−⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 1 10 
equivalente a, 
 t f j f T T f T T th h h h= ⋅ + ⋅ − − ⋅ −log( ) log( ) log( ( ))1 0 1 
dt
dT
= ? 
 ( )
dt
dT
f
T T th
= + − ⋅ ⋅ − ⋅ −0 0
1
2 303
1 1
1. ( )
( ) 
Tendo em atenção que quando t=0, T=T0 e que quando t=th, T=Tg, temos: 
 ( )F
f
T T
dTh h
T Tref
z
T
Tg
= − ⋅
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟∫ 2 303 1010 .
 
Considerando ainda que T-Tref= T-Tg+Tg-Tref , temos: 
 ( )F f T T dTh h
Tg Tref
z
T Tg
z
T
Tg
= ⋅ ⋅ − ⋅
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟∫10 12 303 1010 .
 
ou, 
 F f L Ch h g= ⋅ ⋅ 1 
Por analogia podemos determinar para as restantes fases: 
 F f L Cc c g1 2= ⋅ ⋅ 
 F f L Cc c g2 3= ⋅ ⋅ 
Tendo assim expressões para todos os termos necessários ao cálculo do valor F na 
equação: 
 F F F Fh c c= + +1 2 
De modo a simplificar os cálculos dos integrais e reduzir o número de tabelas e gráficos 
necessários para os cálculos, Ball fez as seguintes assunções: 
(a) f=fh=fc 
(b) jc=1.41 
(c) L≈0 para T<80ºC 
Então, 
 F f L Cg= ⋅ ⋅ 
com, C(T1-Tg, T1-Tw, z). 
(De acordo com a notação utilizada por Ball, T1-Tg = g e T1-Tw= m+g) 
Considerando ainda que, Tg-Tref=Tg-T1+T1-Tref, 
 F f L C= ⋅ ⋅1 ' 
Definindo os seguintes símbolos: 
• F
Li
Tref T
z= =
−
10 1
1
1
 
• U F F F
Li
= ⋅ =
1
 
• f
U C= 1
'
 
O Valor F pode ser então calculado a partir da equação, 
 F ff
U
Fi
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
Existem gráficos que nos permitem a determinação de 
f
U
em função de g, m+g e z. 
Aplicação do Método de Ball: 
Cálculo de F0 
(1) Calcular log g considerando a seguinte equação: 
 log logg jI B
f
B
h
= − 
sendo I - T1-T0 (ºC). 
 BB-Tempo de processamento de Ball: 
 BB= th+0.42*CUT 
(2) Calcular fh/U nos gráficos de fh/U vs. log g. 
(3) Calcular F0 como: 
 ( )F
f
f U F
h
h i
0 = / 
onde Fi é dado por, 
 Fi
Tref T
z=
−
10
1
 (1) 
Cálculo do tempo de processamento para um dado valor F 
 (1) Calcular fh/U, 
 f U f
F Fh
h
i
/ =
0
 (2) 
(2) Determinar log g a partir dos gráficos fh/U vs. log g. 
(3) Calcular BB usando a equação, 
 B f jI gB h= −(log log ) (3) 
 
 
T1 T0 j fh BB
I=T1-T0
log (g)=log (j I) - (BB/fh)
Calcular fh/U a partir 
dos gráficosFi
Tref T
z=
−
10
1
( )F
f
f U F
h
h i
=
/
 Fig. 1. Cálculo do valor F 
 
 
 
 
F fh T1 T0 j
I=T1-T0
BB= fh (log (jI) -log (g))
Calcular log(g) a 
partir dos gráficos
Fi
Tref T
z=
−
10
1
f
U
f
FF
h h
i
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
 
Fig. 2. Cálculo do tempo de processamento 
Método de Ball . Exemplo 1. 
Calcular o valor F para o seguinte processo, considerando z= 16 ºF e Tref=250ºF 
Parâmetros do Processo: 
CUT = 10 min 
Holding = 58.5 min 
Temperatura de Processamento = 245ºF (118.3ºC) 
Temperatura Inicial do Produto = 180ºF (82.2ºC) 
Temperatura Água de Arrefecimento = 65ºF (18.3ºF) 
Parâmetros de aquecimento do Produto 
fh= 49.0 min e jhb = 2.0 
Resolução: 
T1= 245ºF T0= 180ºF 
 BB= 0.42 * CUT + 58.5 = 0.42 * 10 + 58.5 = 62.7 min 
 I=T1-To= 245-180 = 65 ºF 
 log (g) = log (jI)- BB/fh = log (2.0 * 65) - 62.7/49.0 = 0.834 
 F
Li
Tref T
z= =
−
10 1
1
1
= 2.054 
 m+g = T1-Tw = 245 - 65 = 180 ºF 
No gráfico : z=16ºF; log (g)= 0.834; m+g=180º então fh/U= 8.0 
F ff
U
Fi
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 49/(8*2.054) =2.98 min 
Método de Ball . Exemplo 2. 
Cálculo do tempo de processamento necessário para se atingir um valor F0 = 3.5 min. 
z= 10ºC (18 ºF) e Tref=121ºC (250ºF) 
Parâmetros do Processo: 
CUT = 8 min 
Temperatura de Processamento = 248ºF (120ºC) 
Temperatura Inicial do Produto = 120ºF (48.8ºC) 
Temperatura Água de Arrefecimento = 118ºF (47.7ºF) 
Parâmetros de aquecimento do Produto 
fh= 11.4 min e jhb = 0.98 
Resolução: 
F
Li
Tref T
z= =
−
10 1
1
1
 = 1.2915 
I = 248 - 120 = 128ºF 
fh/U= 11.4/ (3.5 * 1.2915) = 2.52 
m+g= T1-Tw=248-118=130ºC 
No Gráfico : m+g= 130ºF ; fh/U=2.52; z= 18ºC então log(g)= 0.47 
BB= fh (log (jI)-log(g))= 18.56 
th = BB - 0.42 *CUT = 18.56- 0.42 * 8= 15.2 min