Módulo 1 Aula 3 Teste de Significância de Correlação alunos

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11/03/2015 
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Aula 3 
Correlação de Pearson e Spearman 
Teste de Significância para 
Correlação 
Prof. Cesar Alexandre de Souza 
 
Material desenvolvido pela Profa. Adriana Backx Noronha Viana 
EAD0655 – Técnicas Estatística de Projeção 
Agenda 
• Discussão Atividade 2 
• Fórmulas e Macros para correlação no Excel 
• Testes de Significância - Correlação 
• Atividade 3 
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Atividade 2 - Correção 
Gastos com 
Publicidade Faturamento 
(x) (y) 
1 19 
2 32 
4 44 
6 40 
10 52 
14 53 
20 54 
Situação problema 3 Parte 1 – calcular o coeficiente de 
correlação de Pearson usando a 
fórmula não padronizada 
Parte 2 – calcular o coeficiente de 
correlação de Spearman 
𝑟𝑠 = 1 − 
6 ∗ 𝑑𝑖2𝑛𝑖=1
𝑛3 − 𝑛
 
Situação Problema 3 
Gastos com 
Publicidade Faturamento X^2 Y^2 X*Y 
(x) (y) 
1 19 1 361 19 
2 32 4 1024 64 
4 44 16 1936 176 
6 40 36 1600 240 
10 52 100 2704 520 
14 53 196 2809 742 
20 54 400 2916 1080 
Somatórias 57 294 753 13350 2841 
 
 
Parte Superior da 
equação 
447 
Parte Inferior da 
equação 
537,992 
r = 0,8309 
447
7
29457
2841 


   
992,537
7
294
13350
7
57
753
22













8309,0
992,537
447

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Situação Problema 3 
Gastos com 
Publicidade Faturamento 
X 
padronizado 
Y 
padronizado 
X * Y 
(x) (y) 
1 19 -1,03 -1,78 1,832 
2 32 -0,89 -0,77 0,685 
4 44 -0,60 0,15 -0,092 
6 40 -0,31 -0,15 0,048 
10 52 0,27 0,77 0,207 
14 53 0,84 0,85 0,719 
20 54 1,71 0,93 1,587 
Média 8,14 42,00 
Desvio-
padrão 
6,94 12,92 
SOMATÓRIA 4,985 
N-1 6 
r = 0,830868141 
 
1
1



n
yx
 = r
n
i
ii
xy
No Excel as fórmulas para média e desvio padrão são: MÉDIA(faixa) e DESVPAD.A(faixa) 
A fórmula para a somatória é SOMA(faixa); 
A fórmula para obter o tamanho da amostra é CONT.NÚM(faixa) 
Demonstração 
• Demonstre que pontos alinhados em uma reta apresentam 
coeficiente de correlação de Pearson Máximo 
 
 
 
 
 
 
• Se os pontos estão alinhados em uma reta, podemos 
considerar que Y = bX + a 
 
1
1



n
yx
 = r
n
i
ii
xy
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Correlação de Spearman 
Gastos com 
Publicidade Faturamento
(x) (y) (x) (y) d d^2
1 19 7 7 0 0
2 32 6 6 0 0
4 44 5 4 1 1
6 40 4 5 -1 1
10 52 3 3 0 0
14 53 2 2 0 0
20 54 1 1 0 0
Soma d^2 2
r de spearman 0,964285714
Postos
Situação Problema 3 𝑟𝑠 = 1 − 
6 ∗ 𝑑𝑖2𝑛𝑖=1
𝑛3 − 𝑛
 
Postos 
x - y 
No Excel há uma fórmula para identificar o ranking de um número em uma lista: 
= ORDEM.MÉD(valor; faixa da lista; 1) – o número 1 indica lista em ordem crescente 
QUIZ 
• Por que a correlação de Spearman apresentou 
valor maior do que a de Pearson para os 
dados da situação problema 3? 
 A amostra é pequena 
 Os dados são ordinais 
 A relação entre as variáveis não é linear 
 As variáveis não tem distribuição normal 
 
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Situação Problema 4 
• Que variáveis (peso, potência e velocidade) estão 
relacionadas e qual é a intensidade da relação? 
Carros Peso (libras) Potência (HP) Velocidade após 1/4 de milha (mph)
Acura Integra 2577 195 90,7
Acura 3066 290 108
BMW 2844 189 93,2
Chevrolet Camaro 3439 305 103,2
Chevrolet Corvette 3246 345 102,1
Dodge 3319 450 116,2
Ford Mustang 3227 225 91,7
Honda Prelude 3042 195 89,7
Mercedes-Benz C 3240 215 93
Mercedes-Benz SL 3025 185 92,3
Mitsubishi 3737 320 99
Nissan 2862 155 84,6
Pontiac 3455 305 103,2
Porsche 2822 201 93,2
Toyota 3505 320 105
Volvo C70 3285 236 97
Situação Problema 4 
Peso 
(libras) 
Potência 
(HP) 
Velocidade após 1/4 de 
milha (mph) 
Peso (libras) 
 
1,0000000 
 
0,6657770 
 
0,5578626 
Potência (HP) 
 
0,6657770 
 
1,0000000 
 
0,9343263 
Velocidade após 1/4 de 
milha (mph) 
 
0,5578626 
 
0,9343263 
 
1,0000000 
Matriz de Correlações 
No Excel há uma fórmula para calcular o coeficiente de correlação de Pearson entre 
duas faixas de valores: CORREL(faixa1;faixa2) ou PEARSON(faixa1;faixa2) 
Há também uma ferramenta de análise de dados que gera a matriz de correlações em 
Dados / Análise de Dados / Correlações 
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Teste de Significância – Correlação 
• Coeficiente de correlação populacional é um 
parâmetro ou característica da população, em geral 
representado pela letra grega  e desconhecido. 
 
• Dada uma amostra aleatória simples (x1, y1), (x2, 
y2), ..., (xn, yn) do par de variáveis aleatórias (X, Y), o 
coeficiente r pode ser considerado uma estimativa 
do verdadeiro e desconhecido coeficiente . 
 
Amostragem: 
Estatística vs. Probabilidades 
4
mean: 14.0000
24
std dev: 3.4157
0.1127
prob
0.0000
14
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
P(x) 
x 
Distribuição de Probabilidades 
(teórico) 
Distribuição de Frequências ou 
Distribuição Amostral 
 (experimental) 
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 1314 15 1617 18 19 2021 22 23
Gráfico obtido a partir de 100 lançamentos de 4 dados 
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Lembrando... algumas definições 
• População = Conjunto de 
indivíduos que possuem ao menos 
uma característica em comum. A 
população pode ser finita ou 
infinita. É o conjunto completo de 
elementos sobre os quais 
desejamos fazer algumas 
inferências 
• Parâmetro = Valor que caracteriza 
a população sendo habitualmente 
estimado. Os parâmetros são, 
representados por letras gregas. 
• Censo = é a contagem de todos os 
elementos da população 
• Amostra = É um subconjunto da 
população, selecionado por algum 
método de amostragem, para o 
estudo de algum fenômeno. 
• Estatística = Valor que caracteriza 
a amostra sendo representadas 
por letras latinas. 
• As estatísticas de amostra são 
utilizadas como estimativas para 
os parâmetros da população 
• A distribuição de frequências dos 
valores das estatísticas obtidos em 
amostras é também conhecido 
como distribuição amostral das 
estatísticas em questão 
• Inferência sobre  - Podemos usar o coeficiente de 
correlação amostral, r, para fazer inferências sobre . 
• Uma população que tenha duas variáveis não-
correlacionadas, pode produzir uma amostra com 
coeficiente de correlação diferente de zero? 
• Uma população que tenha duas variáveis correlacionadas, 
pode produzir uma amostra com coeficiente de correlação 
próximo a zero? 
 
Teste de Significância – Correlação 
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Significância Estatística: Revisão 
• Erro tipo I – obter “positivo” em um teste quando na verdade não 
há o efeito (falso positivo) 
• Erro tipo II – não obter o “positivo” em um teste quando na 
verdade há o efeito 
• Ho: não há o “efeito”; rejeição de Ho significa “positivo” 
 
 
 
 
 
 
• A probabilidade de cometer um erro do tipo I num teste de 
hipóteses é denominada significância do teste e representa-se 
pela letra grega α (1- α é chamado de “nível de confiança”) 
Fonte: Hair et al. (2004) 
• Situação Problema 5 (Anderson, pág. 105 – ex.49) 
• A revista PC World publicou a avaliação de 15 notebooks 
(Fev/2000). A pontuação do desempenho é uma medida de 
como o computador executa uma variedade de aplicativoscomuns de negócios em comparação com uma máquina de 
referência. Por exemplo, um PC com desempenho igual a 
200 é duas vezes mais rápido que a máquina de referência. 
Para avaliação global foi utilizada uma escala de 100 
pontos. Pontuação na casa dos 90 é excepcional. 
• Existe relação entre pontuação de desempenho e 
classificação global? 
Teste de Significância – Correlação de 
Spearman 
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Situação Problema 5 
Notebook Pontuação de Desempenho Classificação Global
A 115 67
B 191 78
C 153 79
D 194 80
E 236 84
F 184 76
G 184 77
H 216 92
I 185 83
J 183 78
K 189 77
L 202 78
M 192 78
N 141 73
O 187 77
Teste de significância – Correlação de Spearman 
• H0:  = 0 (as variáveis X e Y são não correlacionadas) 
• HA:   0 (as variáveis X e Y são correlacionadas) 
(pode também ser unilateral) 
 
 
 
Coeficiente de correlação 
de Spearman 0,6741 
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• H0:  = 0 (as variáveis X e Y são não correlacionadas) 
• HA:   0 (as variáveis X e Y são correlacionadas) 
(pode também ser unilateral) 
 
 
 
0,6741 
0,5341 
0,7111 
0,6049 
0,6344 
0,5341 
0,2341 
      




      




(x,y) 
Distribuição 
amostral de rs (x,y) 
p/ amostras de 
tamanho n 
Teste de significância – Correlação de Spearman 
da curva normal padrão 
  = 0,10 corresponde a z = 1,65 
  = 0,01 corresponde a z = 2,58 
• H0:  = 0 (as variáveis X e Y são não correlacionadas) 
• HA:   0 (as variáveis X e Y são correlacionadas) 
(pode também ser unilateral) 
 
 
 (x,y)=0 
Teste de significância – Correlação de Spearman 
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Valores Críticos do Coeficiente de 
Correlação por postos 
• O valor obtido para a situação problema 5 foi 
de 0,674. 
• Considerando 5% de significância e o tamanho 
da amostra é 15, o coeficiente de correlação 
crítico é 0,525. 
• O valor obtido é maior do que o valor crítico. 
• Logo, ao nível de 5% de significância, podemos 
rejeitar a hipótese Ho. 
Teste de significância – Correlação de Spearman 
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Teste de significância – Etapas 
• Passos em um teste de hipótese: 
– Definir as Hipóteses: 
– Definir Estatística do teste (distribuição amostral 
da estatística em estudo) 
– Identificar a região crítica (rs ≥ rcrit ou rs ≤ -rcrit ) 
– Levantar o resultado da amostra 
– Conclusão (se rejeita ou não a hipótese nula e 
qual o significado disso) 
 
 
• Situação Problema 6 
– Desejamos testar se existe ou não correlação entre o número de 
clientes (Y) e os anos de experiência de agentes de seguros (X). Foram 
sorteados cinco agentes e observamos as duas variáveis em cada 
agente, cujos resultados foram: 
– Agentes A B C D E 
– Anos 2 4 5 6 8 
– Clientes 48 56 64 60 72 
 
– Teste a hipótese de não haver correlação entre número de clientes e 
anos de experiência. Utilize nível de significância de 10% (=0,10) e 
estime a correlação utilizando o coeficiente de correlação de 
Spearman. 
Atividade 3 
Teste de significância – Correlação de Spearman