Gabarito Lista 4 Casa

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MAE 116 - Noções de Estatística
Grupo D - 2
◦
semestre 2014
Gabarito da Quarta Lista de Exercícios
Exercício 1. Um chimpanzé fêmea teve um filhote. Não se sabe qual dos dois machos é
o pai. Antes de qualquer análise genética, tinha-se a impressão de que a probabilidade do
macho 1 ser o pai era p, e, portanto, do macho 2 ser o pai era 1− p. O DNA recolhido da
mãe, do macho 1 e do macho 2 indicou que, em uma localização específica do genoma, a
mãe tem o par de genes (A,A), o macho 1 tem o par (a, a) e o macho 2 tem o par (A, a).
Se o teste de DNA mostra que o filhote tem o par (A, a), qual é a probabilidade de que o
macho 1 seja o pai?
Solução. Sejam B : o chimpanzé filhote tem o par de genes (A, a) e X definida
como:
X =
{
0, se o macho 1 é o pai;
1, se o macho 2 é o pai.
Pelos dados fornecidos no enunciado, vamos assumir que:
P (B|X = 0) = 1, P (B|X = 1) = 1
2
e P (X = 0) = p.
Por outro lado:
P (B) = P (B|X = 0)P (X = 0) + P (B|X = 1)P (X = 1)
= 1× p+ 1
2
× (1− p)
=
1
2
× (1 + p)
Assim:
P (X = 0|B) = P (B|X = 0)P (X = 0)
P (B)
=
1× p
1
2
× (1 + p)
=
2× p
1 + p
1
Exercício 2. Considere o lançamento de três moedas (C : cara e R : coroa). Se ocorrer
CCC dizemos que ocorreu uma sequência e se ocorrer CRC dizemos que ocorreram duas
sequências e assim por diante. Considere X o número de sequências e Y o número de
caras. Encontre a distribuição de probabilidade de X e de Y . Encontre E(X) e E(Y ).
Solução. Listando todos os resultados possíveis do experimento, podemos montar
a seguinte tabela:
Ocorrências Valor de X Valor de Y
CCC 1 3
CCS 2 2
CSC 3 2
SCC 2 2
CSS 2 1
SCS 3 1
SSC 2 1
SSS 1 0
Se juntarmos os valores repetidos para X podemos montar essa tabela que descreve a sua
distribuição (Tabela 1):
Valor de X Probabilidade
1 1/4
2 1/2
3 1/4
Tabela 1: Distribuição de probabilidade de X.
Na Tabela 2 que descreve a distribuição de Y .
Valor de Y Probabilidade
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
Tabela 2: Distribuição de probabilidade de Y.
Com a tabela 1 podemos calcular a esperança de X como:
E(X) = 1× 1
4
+ 2× 1
2
+ 3× 1
4
=
8
4
= 2.00
E com a tabela 2 podemos calcular a esperança de Y como:
E(Y ) = 0× 1
8
+ 1× 3
8
+ 2× 3
8
+ 3× 1
8
=
12
8
= 1.5
2
Exercício 3. Um vendedor de equipamentos eletrônicos pode visitar, num dia, um ou
dois clientes, com probabilidade 1/3 ou 2/3, respectivamente. De cada contrato, pode
resultar a venda de um equipamento de R$ 3000, 00 com probabilidade 1/10 ou nenhuma
venda. Indicando por Y o valor total das vendas diárias desse vendedor, encontre a dis-
tribuição de probabilidades de Y e calcule E(Y ).
Solução. Sejam V : o número de visitas e X definida como:
X =
{
0, se não vender
1, caso contrário.
Pelos dados fornecidos no enunciado, vamos assumir que:
Figura 1: Diagrama de arvore de probabilidades.
Portanto:
P (Y = 0) =
1
3
× 9
10
+
2
3
× 9
10
× 9
10
= 0.84
P (Y = 3000) =
1
3
× 1
10
+
2
3
× 9
10
× 1
10
+
2
3
× 1
10
× 9
10
= 0.1533
P (Y = 6000) =
1
3
× 0 + 2
3
× 1
10
× 1
10
= 0.0067
Assim, a distribuição de probabilidade de Y é:
Valor de Y Probabilidade
0 0.8400
3000 0.1533
6000 0.0067
Tabela 3: Distribuição de probabilidade de Y.
Com a tabela 3 podemos calcular a esperança de Y como:
E(Y ) = 0× 0.84 + 3000× 0.1533 + 6000× 0.0067 = 500.1
3
Exercício 4. Ao responder uma questão de múltipla escolha, um estudante sabe a res-
posta com probabilidade p ou a chuta. Suponha que o estudante que não sabe a questão
acerta com probabilidade 1/m, em que m é o número de alternativas em cada questão
de múltipla escolha. Qual é a probabilidade de que o estudante sabia a resposta se ele
acertou a questão?
Solução. Sejam A e B os eventos, respectivamente, "Acertar a questão" e "Saber
a resposta da questão". Então, pelos dados fornecidos no enunciado, vamos assumir que:
P (A|Bc) = 1
m
e P (B) = p.
Por outro lado:
P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|Bc)P (Bc)
= 1× p+ 1
m
× (1− p)
= p+
1
m
× (1− p)
Assim:
P (B|A) = P (A|B)P (B)
P (A)
=
1× p
p+ 1
m
× (1− p)
=
m× p
1− p+m× p
4
Exercício 5. Três bolas são sorteadas de uma urna contendo 3 bolas brancas, 3 bolas
vermelhas e 5 bolas pretas. Suponha que ganhemos 1 real para cada bola branca sorteada
e percamos 1 real para cada bola vermelha sorteada. Seja X o prêmio final, por exemplo,
se retirarmos 3 bolas brancas ficamos com +3 reais. Encontre E(X).
Solução. Pelos dados fornecidos no enunciado, vamos assumir que:
Figura 2: Diagrama de arvore de probabilidades.
Portanto:
P (Y = −3) = 3
11
× 2
10
× 1
9
= 0.0061
P (Y = −2) = 3
11
× 2
10
× 5
9
+
3
11
× 5
10
× 2
9
+
5
11
× 3
10
× 2
9
= 0.0909
P (Y = −1) = 3
11
× 3
10
× 2
9
+
3
11
× 3
10
× 2
9
+
3
11
× 2
10
× 3
9
+
+
3
11
× 5
10
× 4
9
+
5
11
× 3
10
× 4
9
+
5
11
× 4
10
× 3
9
+
= 0.2364
P (Y = 0) =
3
11
× 3
10
× 5
9
+
3
11
× 5
10
× 3
9
+
3
11
× 3
10
× 5
9
+
+
3
11
× 5
10
× 3
9
+
5
11
× 3
10
× 3
9
+
5
11
× 3
10
× 3
9
+
+
5
11
× 4
10
× 3
9
= 0.3333
5
P (Y = 1) =
3
11
× 2
10
× 3
9
+
3
11
× 3
10
× 2
9
+
3
11
× 5
10
× 4
9
+
+
3
11
× 3
10
× 2
9
+
5
11
× 3
10
× 4
9
+
5
11
× 4
10
× 3
9
+
= 0.2364
P (Y = 2) =
3
11
× 2
10
× 5
9
+
3
11
× 5
10
× 2
9
+
5
11
× 3
10
× 2
9
= 0.0909
P (Y = −3) = 3
11
× 2
10
× 1
9
= 0.0061
Assim, a distribuição de probabilidade de X é:
Valor de X Probabilidade
-3 0.0061
-2 0.0909
-1 0.2364
0 0.3333
1 0.2364
2 0.0909
3 0.0061
Tabela 4: Distribuição de probabilidade de X.
Com a tabela 4 podemos calcular a esperança de X como:
E(X) = (−3)× 0.0061 + (−2)× 0.0909 + (−1)× 0.2364 + 0× 0.3333+
+ 1× 0.2364 + 2× 0.0909 + 3× 0.0061 = 0
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