Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - 2o semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 4 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito) Exerc´ıcio 1. (2,0 pontos) De uma urna contendo 5 bolas brancas e 3 bolas pretas retiramos duas bolas aleatoriamente. Sejam os eventos: A: a primeira retirada resulta em bola branca; e B: a segunda retirada resulta em bola branca. Se as retiradas sa˜o sem reposic¸a˜o, especifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas, e justifique sua resposta. (a) (1,0 pontos) P(A) = P(B). Resposta: A afirmac¸a˜o e´ VERDADEIRA, pois P (A) = 5 8 e pela Figura 1, temos que, a probabilidade Figura 1: Diagrama de a´rvore. da segunda bola, retirada sem reposic¸a˜o, ser branca e´ dada por: P (B) = P (A) · P (B|A) + P (Ac) · P (B|Ac) = 5 8 · 4 7 + 3 8 · 5 7 = 20 + 15 56 = 35 56 = 5 8 = P (A) . � (b) (1,0 pontos) A e B sa˜o eventos independentes. Resposta: A afirmac¸a˜o e´ FALSA, pois se A e B fossem independentes enta˜o, ter´ıamos P (B|A) = P (B). No entanto, P (B|A) = 4/7 e P (B) = 5/8 (calculado no item (a)). Logo a ocorreˆncia do evento A afeta a probabilidade de B, e portanto sa˜o eventos dependentes. � Pa´gina 1 de 8 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - 2o semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 4 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito) Exerc´ıcio 2. (2,0 pontos) Numa cidade do litoral de Sa˜o Paulo, estima-se que cerca de 20% dos habitantes teˆm algum tipo de alergia. Sabe-se que 50% dos ale´rgicos praticam alguma atividade esportiva, enquanto que entre os na˜o-ale´rgicos essa porcentagem e´ de 40%. Para um indiv´ıduo escolhido aleatoriamente nessa cidade, obtenha a probabilidade de (use 4 casas decimais). Considere os seguintes eventos: • E = { habitante pratica esporte } e, portanto, Ec = { habitante na˜o pratica esporte }; • A = { habitante e´ ale´rgico } e, portanto, Ac = { habitante na˜o e´ ale´rgico }. (a) (1,0 pontos) Ele na˜o praticar atividade esportiva; Resposta: A probabilidade de na˜o praticar esporte e´ denotada por P (Ec). Pelo texto temos as seguintes probabilidades: P (A) = 0, 2 =⇒ P (AC) = 0, 8 P (E | A) = 0, 5 =⇒ P (EC | A) = 0, 5 P (E | AC) = 0, 4 =⇒ P (EC | AC) = 0, 6 . Portanto, P (Ec) = P (Ec ∩ A) + P (Ec ∩ Ac) = P (A) · P (Ec | A) + P (AC) · P (Ec | Ac) = 0, 2 · (0, 5) + 0, 8 · (0, 6) = 0, 10 + 0, 48 = 0,58 . A probabilidade de um habitante, escolhido ao acaso, na˜o praticar esporte e´ 0,58. � (b) (1,0 pontos) Ele ser ale´rgico, dado que na˜o pratica atividade esportiva. Resposta: A probabilidade solicitada e´ probabilidade condicional e corresponde a P (A | Ec) = P (A ∩ E c) P (Ec) = P (A) · P (Ec | A) P (Ec) = 0, 2 · (0, 5) 0, 58 = 0, 10 0, 58 = 0,1724 ; para obter o resultado, foi aplicado a regra do produto de probabilidades. � Pa´gina 2 de 8 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - 2o semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 4 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito) Exerc´ıcio 3. (2,0 pontos) Numa cidade do interior do pa´ıs existem treˆs operadoras de telefonia mo´vel: A, B e C. Constatou-se que entre 1000 famı´lias que tem telefone celular, 370 tem celular da operadora A; 230 tem celular da operadora B; 140 tem celular da operadora C; 57 tem celular das operadoras A e B; 73 tem celular das operadoras A e C; 85 tem celular das operadoras B e C e 45 tem celulares das treˆs operadoras. ATENC¸A˜O monitores e alunos: O enunciado do exerc´ıcio da´ margem a 2 inter- pretac¸o˜es. Na correc¸a˜o sera˜o consideradas as 2 interpretac¸o˜es, cujas soluc¸o˜es esta˜o abaixo. Ale´m disso, os enunciados dos itens foram levemente alterados para um melhor entendimento do texto. O ponto principal sa˜o os operadoras, e na˜o a quantidade de celulares na famı´lia. As mudanc¸as esta˜o em ita´lico. Considere os eventos: • A = { famı´lia tem celular(es) da operadora A } ; • B = { famı´lia tem celular(es) da operadora B } ; • C = { famı´lia tem celular(es) da operadora C } ; 1a.INTERPRETAC¸A˜O: No total de 1.000 famı´lias com celulares, ha´ famı´lias que possuem aparelhos de outras operadoras ale´m das operadoras A, B e C; e os valores fornecidos represen- tam o nu´mero de famı´lias que sa˜o usua´rias (pelo menos) da(s) operadora mencionada. Assim, por exemplo, 370 e´ o nu´mero de famı´lias que usam (pelo menos) a operadora A. Os resultados seguem do diagrama de Venn em anexo (a) (1,0 pontos) Qual e´ a probabilidade de que uma famı´lia escolhida ao acaso tenha celular de pelo menos duas operadoras? (Use 4 casas decimais). Resposta: Como n(A ∩B ∩ C) = 45; enta˜o temos que: n(A ∩B) = 57− 45 = 12; n(A ∩ C) = 73− 45 = 28; e n(B ∩ C) = 85− 45 = 40 e n(A) = 370− (28 + 12 + 45) = 285; n(B) = 230− (12 + 40 + 45) = 133 e n(C) = 140− (28 + 40 + 45) = 27 . Pa´gina 3 de 8 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - 2o semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 4 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito) A Figura 2 ilustra o diagrama de Venn com as respectivas quantidades associadas aos eventos e seus subconjuntos. Figura 2: Diagrama de Venn. O evento D = { celular(es) de pelo menos duas operadoras } corresponde a D = {(A ∩B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)} (note que inclui o evento A ∩B ∩ C). Assim P (D) = 12 + 40 + 28 + 45 1000 = 125 1000 = 0,125 . � (b) (1,0 pontos). Qual e´ a probabilidade de que uma famı´lia escolhida ao acaso tenha celulares de exatamente duas operadoras ? (Use 4 casas decimais). Resposta: Seja, o evento E = { famı´lia tem celular(es) de exatamente duas operadoras }. Note que esse evento e´ parecido com o evento D, exceto que a famı´lia na˜o pode ter celulares de 3 operadoras. Enta˜o, P (E) = 12 + 40 + 28 1000 = 80 1000 = 0, 0800 = 0,08 . � 2a.INTERPRETAC¸A˜O: As quantidades mencionadas no enunciado correspondem ape- nas ao evento, por exemplo, 370 e´ o nu´mero de famı´lias que usam APENAS a operadora A, 230 APENAS a operadora B, 85 APENAS as operadoras B e C, e assim por diante. Nesse Pa´gina 4 de 8 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - 2o semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 4 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito) caso, so´ operam as 3 companhias A, B ou C e todas as 1.000 famı´lias esta˜o inclusas (note que a soma dos valores e´ 1.000). Os ca´lculos sa˜o mais fa´ceis e seguem abaixo. (a) (1,0 pontos) Qual e´ a probabilidade de que uma famı´lia escolhida ao acaso tenha celular de pelo menos duas operadoras? (Use 4 casas decimais). Resposta: Temos que: • n(A) = 370;n(B) = 230;n(C) = 140; • n(A ∩B) = 57; n(A ∩ C) = 73; n(B ∩ C) = 85 e n(A ∩B ∩ C) = 45. D = {(A ∩B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)} (note que inclui o evento A ∩B ∩ C). Assim P (D) = 57 + 73 + 85 + 45 1000 = 260 1000 = 0, 2600 = 0,26 . � (b) (1,0 pontos). Qual e´ a probabilidade de que uma famı´lia escolhida ao acaso tenha celulares de exatamente duas operadoras ? (Use 4 casas decimais). Resposta: Seja, o evento E = { famı´lia tem celular(es) de exatamente duas operadoras }. Note que esse evento e´ parecido com o evento D, exceto que a famı´lia na˜o pode ter celulares de 3 operadoras. Enta˜o, P (E) = 57 + 73 + 85 1000 = 215 1000 = 0, 2150 = 0,215 . � Exerc´ıcio 4. (2,0 pontos). No Brasil, a probabilidade de que um indiv´ıduo, aleatoriamente sorteado, goste de futebol e´ 3/4, enquanto que a probabilidade dele gostar de novela e´ 1/2. Determine a probabilidade de que goste de futebol e na˜o de novela, nos seguintes casos (use 4 casas decimais): Considere os seguintes eventos: • F = { indiv´ıduo gosta de futebol } e, portanto F c = { indiv´ıduo na˜o gostade futebol }; • N = { indiv´ıduo gosta de novela } e, portanto N c = { indiv´ıduo na˜o gosta de novela }. Pa´gina 5 de 8 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - 2o semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 4 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito) e lembre-se que para quaisquer dois eventos A e B temos que P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩BC) ATENC¸A˜O alunos e monitores: houve erro no enunciado, deveria ser P (F ) = 1/4. Como P (F ) = 3/4 e´ maior que P (NC) = 1/2, os itens (a) e (c) tem resoluc¸a˜o muito particular, dada abaixo. Portanto, esses 2 itens sera˜o desconsiderados na correc¸a˜o. (a) (0,0 pontos). Se gostar de futebol e novela sa˜o eventos disjuntos; Resposta: Pede-se o ca´lculo de P (F ∩NC). Usando a expressa˜o acima para este problema, P (F ) = P (F ∩N) + P (F ∩N c) =⇒ P (F ∩N c) = P (F )− P (F ∩N) Eventos disjuntos significa que F ∩ N = ∅ (e, portanto P (F ∩ N) = 0) e implica que F ⊂ NC o que significa que F ∩N c = F , no caso geral; e a probabilidade solicitada deveria ser P (F ∩N c) = P (F ) . No entanto, neste caso, na˜o ha´ como F ⊂ NC pois 3/4 = P (F ) > P (NC) = 1/2. Assim, com essa informac¸a˜o na˜o ha´ como F e N serem disjuntos. � (b) (1,0 pontos). Se gostar de futebol e novela sa˜o eventos independentes; Resposta: Se F e N sa˜o eventos independentes, enta˜o P (F ∩N) = P (F ) · P (N). Assim, pela expressa˜o do item anterior P (F ∩N c) = P (F )− P (F ∩N) = P (F )− P (F )P (N) = 3 4 − 3 4 · 1 2 = 6 8 − 3 8 = 3 8 . � (c) (0,0 pontos). Se a probabilidade de gostar, simultaneamente, de futebol e de novela e´ 1/16; Resposta: Pa´gina 6 de 8 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - 2o semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 4 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito) No caso geral, se temos a informac¸a˜o sobre o valor de P (F ∩N), enta˜o P (F ∩N c) = P (F )− P (F ∩N) . � No entanto, a probabilidade de P (F ∩ N) = 1 16 e´ muito pequena, o que leva a P (F ∪N) = 3 4 + 1 2 − 1 16 > 1 o que e´ absurdo! (d) (1,0 pontos). Se dentre os que na˜o gostam de novela, a probabilidade de na˜o gostar de futebol e´ 1/4. Resposta: O texto afirma que 1/4 e´ a probabilidade condicional de na˜o gostar de futebol, dado que na˜o gosta de novela, isto e´, P (F c | N c) = 1/4. Se P (F c | N c) = 1/4, enta˜o pela propriedade de evento complementar, P (F | N c) = 3/4. Aplicando a fo´rmula de probabilidade condicional P (F | N c) = P (F ∩N c) P (N c) =⇒ P (F ∩N c) = P (N c) · P (F | N c) = 1 2 · 3 4 = 3 8 . � Exerc´ıcio 5. (2,0 pontos). Os 10000 estudantes da Universidade, cuja a´rea de estudo e geˆnero foram regis- trados, responderam a` seguinte questa˜o: ↪→ Voceˆ e´ a favor (sim), contra´rio (na˜o), ou na˜o tem opinia˜o (nto) sobre a “democratizac¸a˜o do acesso a` Universidade para estudantes da Escola Pu´blica”? Os resumos das respostas esta˜o no quadro a seguir. A´rea Geˆnero Opinia˜o Sim Na˜o Na˜o tem opinia˜o Total Exatas Masc 550 1000 550 2100 Fem 350 500 750 1600 Humanas Masc 100 1000 750 1850 Fem 400 600 550 1550 Biolo´gicas Masc 280 550 570 1400 Fem 220 850 430 1500 Total – 1900 4500 3600 10000 Se dentre os 10000 alunos escolhermos um aleatoriamente, qual e´ a probabilidade de (use 4 casas decimais): Pa´gina 7 de 8 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - 2o semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 4 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito) Considere os seguintes eventos: • F = { estudante e´ do sexo feminino }; • S = { estudante e´ favora´vel (respondeu SIM) a questa˜o }; • N = { estudante e´ contra´rio (respondeu NA˜O) a questa˜o }; • W = { estudante na˜o tem opinia˜o sobre a questa˜o }; • E = { estudante e´ de exatas }; • B = { estudante e´ de biolo´gicas }. (a) (0,6 pontos). Ser do geˆnero feminino e ser favora´vel a` questa˜o; Resposta: P (F ∩ S) = 350 + 400 + 220 10000 = 970 10000 = 0,0970 . � (b) (0,7 pontos). Ser contra´rio a` questa˜o, sabendo-se que e´ da a´rea de exatas; Resposta: O evento que desejado e´ {N | E}. P (N | E) = 1000 + 500 2100 + 1600 = 1500 3700 = 15 37 = 0,4054 . � (c) (0,7 pontos). Ser do geˆnero feminino e da a´rea de biolo´gicas, sabendo-se que na˜o tem opinia˜o. Resposta: O evento que desejado e´ {F ∩B | W}. Enta˜o, P (F ∩B | W ) = 430 3600 = 0,1194 . � Pa´gina 8 de 8 http://www.ime.usp.br/~mae116
Compartilhar