Gabarito Lista 9 Casa

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MAE 116 - Noções de Estatística
Grupo D - 2o semestre de 2014
Gabarito da Nona Lista de Exercícios
Exercício 1
O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 20 minutos, com um desvio
padrão de 15 minutos. Introduziu-se uma modificação com o objetivo de diminuir esse tempo,
e, após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução
de cada um. O tempo médio da amostra foi de 12 minutos.
(a) Formule as hipóteses adequadas para verificar se houve melhora de desempenho.
(b) Calcule o nível descritivo do teste e conclua ao nível de significância de 5%.
(c) Descreva as suposições básicas para resolver o problema.
(a) (0,5 pts) Denotemos por µ o valor esperado para o tempo, em minutos, que um funcionário demora para
executar essa tarefa depois da modificação. Vamos considerar como hipótese nula (H) que esse tempo não
diminuiu com a modificação, enquanto que a hipótese alternativa (A) afirmará que o tempo médio diminuiu.
Isso é:
H : µ “ 20 A : µ ă 20
(b) (1 pt) Denotemos por X1, X2, . . . , Xn, com n “ 16, os tempo que cada um dos 16 operários demora para
realizar a tarefa.
Sabemos que se denotarmos por Z “ ĎX´µ
σ{?n , então Z - sob as condições descritas no próximo item - terá
distribuição aproximadamente normal padrão. Vamos utilizar esse fato para calcular o nível descritivo.
Assumindo a hipótese nula (µ “ 20), calculamos:
p “ PHp sX ă 12q
“ PH
ˆ sX ´ µ
σ{?n ă
12´ 20
15{?16
˙
« P pZ ă ´2, 13q “ PpZ ą 2, 13q “ 1´ PpZ ď 2, 13q
“ 0, 0166
Ao nível de significância α “ 0, 05, como p ă α, nós rejeitamos a hipótese nula e afirmamos que a amostra
nos dá evidências que indicam que o tempo de execução da tarefa diminuiu com a mudança adotada.
(c) (1 pt) Para fazer o cálculo do item anterior nós assumimos que as observações X1, X2, . . . , Xn são inde-
pendentes. Isso é, um operário ter demorado um certo tempo para realizar a tarefa não vai influenciar no
tempo de realização dessa tarefa para o outro funcionário.
Também fizemos a suposição que todas as observações têm a mesma distribuição, sendo que essa distribuição
tem esperança µ e desvio padrão σ “ 15, sendo que esse segunda não se alterou depois da modificação.
Exercício 2
A precipitação pluviométrica (em mm) anual numa certa região tem distribuição normal com
média desconhecida. Pesquisadores acreditam que, nos últimos anos, a precipitação pluviométrica
anual média aumentou. Para os últimos nove anos, foram obtidos os seguintes resultados: 30,5;
34,1; 27,9; 35,0; 26,9; 30,2; 36,3; 31,7; 32,8. Construa um teste de hipóteses estatístico para saber
se a média da precipitação pluviométrica anual é maior que 30 mm.
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(a) Formule as hipóteses adequadas e descreva as suposições básicas para resolver o problema.
(b) Calcule o nível descritivo do teste e conclua ao nível de significância de 5%.
(a) (1,5 pts) Vamos denotar a precipitação pluviométrica observada em cada ano por X1, X2, . . . Xn, n “ 9.
Vamos assumir que essas observações são independentes e identicamente distribuídas, com valor esperado
µ e variância σ2.
Vamos adotar como hipótese nula a suposição de que a precipitação média anual é de 30mm, enquanto que
a hipótese alternativa diz que essa média aumentou.
H : µ “ 30 A : µ ą 30
(b) (1 pt) Sob as suposições do item anterior, sabemos que a estatística de teste:
Z :“ sX ´ µa
S2{n,
tem distribuição aproximadamente normal de média 0 e variância 1. Calculamos a média e desvio padrão
da amostra observada como:
sxobs “ x1 ` x2 ` . . .` xn
n
“ 31, 71
s2obs “ px1 ´ sxobsq2 ` . . .` pxn ´ sxobsq2n´ 1 “ 10, 02.
Dessa forma, sob a hipótese nula, o valor observado para a estatística de teste é dada por:
z “ sxobs ´ µa
s2obs{n
“ 31, 71´ 30a
10, 02{9 “ 1, 62.
Portanto o nível descritivo pode ser calculado como:
p “ PHp sX ą sxobsq « PpZ ą 1, 62q “ 1´ PpZ ď 1, 62q “ 0, 0526.
Dessa forma, ao nível de significância α “ 0, 05, nós não rejeitamos hipótese nula, dizendo não haver
evidências na amostra que indiquem que a média das precipitações pluviométricas nos últimos anos seja
maior do que 30mm.
Exercício 3
Dados estatísticos históricos na linha de produção de certo tipo de automóvel mostram que o
tempo para a montagem do painel de instrumentos tem tido uma média de 134 segundos. Para
avaliar se houve mudança nesses parâmetros com a instalação de novos equipamentos na linha de
produção observou-se a montagem de painel de vinte veículos escolhidos ao acaso, cujos tempos
tiveram média igual a 129,40 segundos e variância igual a 55,41 seg2. Teste se houve alteração
no tempo médio de montagem. Calcule o nível descritivo deste teste e conclua com α “ 0, 05.
(2,5 pts)
Vamos supor que a os tempos de montagem para esse tipo de veículo sejam independentes e identicamente
distribuídos, com média µ e variância σ2.
Queremos testar as hipóteses nula e alternativa dadas por:
H : µ “ 134 A : µ ‰ 134
Sob as suposições adotadas, o Teorema Central do Limite diz que:
Z :“ sX ´ µa
S2{n,
tem distribuição próxima da normal padrão.
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A estatística de teste observada, sob a hipótese nula, pode ser calculada como:
z “
ˇˇˇˇ
ˇ sxobs ´ µas2obs{n
ˇˇˇˇ
ˇ “
ˇˇˇˇ
ˇ129, 40´ 134a55, 41{20
ˇˇˇˇ
ˇ “ 2, 76.
Portanto o nível descritivo pode ser calculado como:
p “ PHpZ ą z ou Z ă ´zq “ 2PpZ ą zq “ 2PpZ ą 2, 76q
“ 2 p1´ PpZ ď 2, 76qq “ 2ˆ 0, 0029
“ 0, 0058.
Dessa forma, sob o nível de significância α “ 0, 05, nós rejeitamos a hipótese nula e afirmamos que a amostra
nos forneceu evidência para dizer que houve alteração no tempo médio de montagem.
Exercício 4
A empresa Peso-Leve afirma que as pessoas que participam de seu programa de dieta perdem,
em média, 19 kg. Para colocar esta afirmação à prova, submeteram-se duzentas pessoas escolhidas
ao acaso àquela dieta, que com isto perderam, em média, 18,4 kg com desvio padrão de 3,6 kg.
A afirmação da Peso-Leve é válida? Especifique as hipóteses em discussão e conclua a um nível
de significância de 5%.
(2,5 pts)
Vamos supor que o peso que cada pessoa que participa do programa de dieta perca é uma variável aleatória
de média µ e variância σ2. Vamos supor ainda que a distribuição dessa variável seja a mesma para todas as
pessoas e o quanto que cada pessoa perde é independente das demais.
A hipótese nula que queremos testar é dada por H : µ “ 19, contra a alternativa que µ ‰ 19. Sob as
suposições do primeiro paragrafo, temos que Z “ X´µ?
S2{n tem distribuição aproximadamente normal padrão.
A estatística de teste pode ser calculada como:
z “
ˇˇˇˇ
ˇ sxobs ´ 19as2obs{n
ˇˇˇˇ
ˇ “
ˇˇˇˇ
18, 4´ 19
3, 6{?200
ˇˇˇˇ
“ 2, 36
O nível descritivo do teste pode ser calculado como:
p “ PHp|Z| ą zq “ 2PpZ ą 2, 36q “ 2p1´ PpZ ď 2, 36qq
“ 0, 0182.
Portanto, ao nível de significância α “ 0, 05, nós rejeitamos a hipótese nula, e dizemos que a amostra contêm
evidências que dizem que os participantes do programa não perdem, em média, 19kg.
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