Lista 7 Classe Gabarito

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MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo D - 2º semestre de 2014 
Lista de exercícios 7 – Aproximação Normal – C L A S S E 
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Exercício 1 
A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg. Se o peso X dos usuários tem distribuição 
normal com média 70 kg e variância 100 kg2 
(a) Qual é a probabilidade de 7 passageiros ultrapassarem esse limite? 
 
Seja S7 a soma dos pesos dos sete passageiros. Queremos achar P(S7 ≤ 500). Supondo estes pesos 
independentes entre si (o que seguiria da suposiçãod e que os passageiros formam uma amostra 
escolhida aleatoriamente da população com reposição, por ex.), então S7 ~ N(490 ; 700). Logo 
 
35.065.01)38.0(1)38.0()700/)490500(()500( 7  AZPZPSP
 
 
(b) E seis passageiros? 
 
Similarmente, 
 
 
09995.01)27.3()600/)420500(()500( 6  ZPZPSP
 
 
 
 
 
Exercício 2 
A prática de overbooking em voos intercontinentais é comum entre linhas aéreas. Numa 
companhia, para aviões com capacidade de 300 passageiros aceita-se 320 reservas. Se em geral 
10% de passageiros com reserva aérea deixam de comparecer em seus voos, qual é a 
probabilidade de que pelo menos um passageiro com reserva fique sem assento num voo 
qualquer? 
 
Seja X o número de passageiros dentre os 320 com reserva que não comparecem ao voo. 
Queremos determinar P(X ≤ 19). Com as suposições usuais, podemos dizer que X ~ Bin(320 ; 
0.10). Usando a aproximação da distribuição binomial pela distribuição normal, e supondo que Y 
~ N(32 ; 28.8), temos que 
 
 
%1008.0992.01)42.2()8.28/)3219(()19()19(  ZPZPYPXP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 3 
O tempo de vida útil de aparelhos de TV de uma dada marca segue uma distribuição normal de 
média 5 anos e desvio padrão 2,4 anos. O fabricante dá a garantia de 2 anos e troca os aparelhos 
com dano eletrônico nesse período. 
(a) Se um aparelho é sorteado ao acaso da produção, qual é a probabilidade de que ele venha a 
ser trocado na garantia? 
 
Seja T a duração do aparelho sorteado. Podemos dizer que T ~ N(5 ; 2.42). Queremos determinar 
 
 
%6.10106.0894.01)25.1()4.2/)52(()2(  ZPZPTP
 
 
(b) Em um lote de 100 aparelhos vendidos, qual é a probabilidade de que no máximo 8 
aparelhos sejam trocados no período de garantia? 
 
Seja X o número de aparelhos do lote de 100 que falham antes do final do período garantido. 
Queremos determinar P(X ≤ 8). Podemos dizer que X ~ Bin(100; 0.106) ≈ N(10.6; 9.48). Logo 
 
 
%202005.07995.01)84.0()48.9/)6.108(()8(  ZPZPXP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 4 
A distribuição dos pesos de certo grupo de pessoas é normal com média 70 kg e desvio padrão 10 
kg. Uma pesquisa na área de nutrição tem como objetivo classificar os indivíduos em: abaixo do 
peso, adequados e obesos. O critério classifica como obesos os indivíduos com peso acima do 3o 
quartil e abaixo do peso os indivíduos abaixo do 1o quartil. 
(a) Quais os limites (em kg) para essa classificação? 
 
Vamos denotar por X o peso. Sabemos que X ~ N(70, 102). Queremos achar x1 e x2 tais que 
P(X ≤ x1) = 0.25 e P(X ≤ x2) = 0.75. Sejam 
 
 
.
10
70
;
10
70 2
2
1
1




x
z
x
z
 
 
Então P(X ≤ x1) = P(z ≤ z1) = 0.25, onde Z ~ N(0,1), e da tabela normal padrão, achamos que 
z1 = - 0.67; logo, x1 = 70 – 6.7 = 63.3. 
 
Similarmente, P(X ≤ x2) = P(z ≤ z2) = 0.75, e z2 = 0.67 e x2 = 70 + 6.7 = 76.7. 
 
(b) Se um indivíduo desse grupo possui peso entre 50 kg e 60 kg ele precisará apenas de uma 
dieta complementar. Qual é a probabilidade de um indivíduo desse grupo precisar desse 
reforço complementar? 
 
 
1359.08413.09772.0)1()2()12(
)10/)7060(10/)7050(()6050(


AAZP
ZPXP
 
 
(c) Se escolhermos 100 indivíduos desse grupo, qual é a probabilidade de que no máximo 15 
precisem de dieta complementar? 
 
Seja X o número de indivíduos dentre os 100 que precisam de dieta complementar. Queremos 
determinar P(X ≤ 15). Podemos supor que X ~ Bin(100,0.1359) ≈ N(13.59; 11.74). Logo 
 
 
 
%666591.0)41.0()74.11/)59.1315(()15(  ZPZPXP