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Banco de Questões

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Exercícios solucionados de Estatística para os cursos de Economia e
Engenharia
Monitor: Lucas de Mattos Martins
Prof: Jony Arrais Pinto Júnior
Prof: Luz Amanda Melgar Santander
Conteúdo
1 Introdução 2
2 Probabilidade 3
3 Estatística Descritiva 19
4 Variáveis Discretas e Algumas Distribuições 33
5 Variáveis Alteatórias Contínuas e Algumas Distribuições 45
6 Intervalo de Confiança & Teste de Hipótese 60
1
Tópico 1
Introdução
Este trabalho é fruto do projeto de monitoria do Departamento de Estatística da Universidade
Federal Fluminense. O banco de questões foi idealizado a fim de ajudar de maneira didática
os alunos dos cursos de Economia e Engenharias. Foram escolhidas questões das listas de
exercícios dos professores que ministraram a matéria de Estatística nos períodos de 2019.1 e
2019.2 e assim foi tomando forma este trabalho.
Desejo a todos um bom estudo!
Caso encontre algum erro, peço que possa fazer a gentileza de entrar em contato comigo via
email: lucasmattosmartins@id.uff.br.
Atenciosamente, Lucas de Mattos Martins
2
Tópico 2
Probabilidade
2.1. De quantas maneiras pode-se pintar uma tábua com 4x4 campos se dois campos deverão
ser brancos, quatro deverão ser pretos e dez deverão ser vermelhos?
Solução:
Queremos saber o número total de possibilidades de pintar a tábua, portanto temos um
experimento em etapas.
ε : pintar tábua 4x4
Etapa 1: Alocar 2 campos da tábua para pintar de branco, isto é dentre os 16 campos
vamos escolher 2.
n1 =
(
16
2
)
= 120
Etapa 2: Alocar 4 campos da tábua para pintar de preto, isto é dentre os 14 campos
restantes vamos escolher 4.
n2 =
(
14
4
)
= 1.001
Etapa 3: Alocar 10 campos da tábua para pintar de vermelhos, isto é dentre os 10 campos
vamos escolher 10.
n3 =
(
10
10
)
= 1
Logo, pelo princípio da multipliação, temos que o número de maneiras de pintar todos os
campos da tábua é N = n1×n2×n3 =
(
16
2
)
×
(
14
4
)
×
(
10
10
)
= 120.120
2.2. Uma cidade tem 100 veradores, dos quais 60 são a favor de um plano da prefeitura. Numa
pesquisa, 10 vereadores serão selecionados. Pergunta-se
(a) Quantas diferentes seleções de 10 vereadores podem ser feitas?
(b) Quantas das possíveis seleções incluem 6 ou mais vereadores a favor do plano?
(c) Quantas das possíveis seleções incluem 5 ou menos vereadores a favor do plano?
Solução:
3
(a) Queremos determinar N, onde N = número total de diferentes seleções de 10 vereadores
podemos fazer. Ou seja, dentre os 100 vereadores que a cidade possui vamos escolher
10 de forma aleatória.
Logo, temos que N =
(
100
10
)
(b) Queremos saber o número total de seleções que possuem 6 ou mais vereadores a favor
do plano. Observe que temos alguns cenários onde temos experimentos associados a
este cenários que são realizados em etapas:
• Primeiro cenário: O experimento em etapas é ter 6 vereados a favor.
Etapa 1: Escolher 6 vereadores dentre os 60 que são a favor do plano da prefeitura
para estar dentre os 10 selecionados.
n1 =
(
60
6
)
= 50.063.860
Etapa 2: Escolher 4 vereadores dentre os 40 que são contra o plano da prefeitura
para estar entre os 10 selecionados.
n2 =
(
40
4
)
= 91.390
Pelo príncipio da multiplicação temos, N1 = n1×n2 =
(
60
6
)
×
(
40
4
)
= (50.063.860)(91.390)
• Segundo cenário: O experimento em etapas é ter 7 vereados a favor.
Etapa 1: Escolher 7 vereadores dentre os 60 que são a favor do plano da prefeitura
para estar dentre os 10 selecionados.
n1 =
(
60
7
)
= 386.206.920
Etapa 2: Escolher 3 vereadores dentre os 40 que são contra o plano da prefeitura
para estar entre os 10 selecionados.
n2 =
(
40
3
)
= 9.880
Pelo príncipio da multiplicação temos, N2 = n1×n2 =
(
60
7
)
×
(
40
3
)
= (386.206.920)(9.880)
• Terceiro cenário: O experimento em etapas é ter 8 vereados a favor.
Etapa 1: Escolher 8 vereadores dentre os 60 que são a favor do plano da prefeitura
para estar dentre os 10 selecionados.
n1 =
(
60
8
)
= 2.558.620.845
Etapa 2: Escolher 2 vereadores dentre os 40 que são contra o plano da prefeitura
para estar entre os 10 selecionados.
n2 =
(
40
2
)
= 780
Pelo príncipio da multiplicação temos, N3 = n1×n2 =
(
60
8
)
×
(
40
2
)
= (2.558.620.845)(780)
4
• Quarto cenário: O experimento em etapas é ter 9 vereados a favor.
Etapa 1: Escolher 9 vereadores dentre os 60 que são a favor do plano da prefeitura
para estar dentre os 10 selecionados.
n1 =
(
60
9
)
Etapa 2: Escolher 1 vereador dentre os 40 que são contra o plano da prefeitura
para estar entre os 10 selecionados.
n2 =
(
40
1
)
= 40
Pelo príncipio da multiplicação temos, N4 = n1×n2 =
(
60
9
)
×
(
40
1
)
• Quinto cenário: O experimento em etapas é ter 10 vereados a favor.
Etapa 1: Escolher 10 vereadores dentre os 60 que são a favor do plano da prefeitura
para estar dentre os 10 selecionados.
n1 =
(
60
10
)
Etapa 2: Escolher 0 vereadores dentre os 40 que são contra o plano da prefeitura
para estar entre os 10 selecionados.
n2 =
(
40
0
)
= 1
Pelo príncipio da multiplicação temos, N5 = n1×n2 =
(
60
10
)
×
(
40
0
)
Portanto, pelo princípio da adição temos que o total das possíveis seleções que incluem
6 ou mais vereadores a favor do plano é
N =N1 +N2 +N3 +N4 +N5 =
4∑
i=0
(
60
6 + i
)(
40
4− i
)
(c) Queremos o número total de seleções que incluem 5 ou menos vereadores a favor do
plano da prefeitura. Observe que o que estamos indo determinar é a quantidade “con-
trária” do item b. Portanto, como já sabemos o número de diferentes seleções de 10
vereadores podem ser feitas independentes da quantidade de vereadores contra ou fa-
vor(item a). E como também já sabemos quantas possíveis seleções incluem 6 ou mais
vereadores a favor do plano da prefeitura(item b).
Veja que, o valor que queremos encontrar neste item é exatamente o complementar do
que calculamos no item b.
Portanto, para calcularmos o número total de seleções que incluem 5 ou menos verea-
dores a favor do plano da prefeitura, será exatamente o valor da seguinte diferença:
N =
(
100
10
)
−
4∑
i=0
(
60
6 + i
)(
40
4− i
)
2.3. Se P(A) = 1/3 e P(B) =1/4 , A e B podem ser mutuamente exclusivos?
Solução:
5
Dados do exercício: P(A) = 13 = 0 ; P(B
c)= 14 . Então, como P (B
c) = 14 ⇔ 1− P (B) =
1
4 ⇔ P (B) =
3
4 .
Se A e B são mutuamente exclusivos, então,
P (A∪B) = P (A) +P (B) = 13 +
3
4 = 0,33 + 0,75 = 1,08> 1
Portanto A e B não são mutuamente exclusivos.
2.4. Se P(B) = 0,4; P(A) = 0,7 e P (A∩B) = 0,3; calcule P (A|Bc).
Solução:
Dados do exercício: P (A) = 0,7;P (B) = 0,4; e P (A∩B) = 0,3
Vamos então calcular P (A|Bc):
P (A|Bc) = P (A∩B
c)
P (Bc)
Veja que nós não sabemos qual é probabilidade associada ao evento {A∩Bc}. Vamos então
fazer o diagrama de Venn para encontrar esta probabilidade.
Portanto, P (A∩B) = 0,4. E, como P (Bc) = 0,4⇔ 1−P (B) = 0,4⇔ P (B) = 0,6.
Logo,
P (A|Bc) = P (A∩B
c)
P (Bc) =
0,4
0,6 =
2
3
2.5. Sejam A, B e C três eventos de um espaço amostral. Exprima os eventos abaixo usando
as operações união, intersecção e complementação:
(a) Somente A ocorre.
(b) A, B e C ocorrem.
(c) Pelo menos um ocorre.
(d) Exatamente dois ocorrem.
6
Solução:
(a) Queremos que somente o evento A ocorra, olhando para o diagrama de Venn nos
auxilia na visualização da ocorrência desse evento.
Então nosso interesse está em todos os elementos pertencentes ao conjunto A mas
que não pertencem aos conjuntos B e C. Sendo assim, podemos expressar o evento
proposto da seguinte maneira:
A∩ (Bc ∪Cc)
(b) Queremos que os três eventos ocorram simultaneamente. Abaixo, veja o diagrama de
Venn:
Nosso interesse esta em todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto
B e ao conjunto C. Logo, podemos expressar o evento proposto da seguinte maneira:
(A∩B ∩C)
(c) Queremos que pelo menos um evento ocorra, então queremos que ocorra ou o evento
A ou o evento B ou o evento C. Abaixo, veja o diagrama de Venn:
7
Logo, podemos expressar o evento proposto da seguinte maneira:
(A∪B ∪C)
(d) Queremos que ocorram exatamente dois eventos, então estamos interessados nas se-
guintes possibilidades: