Medidas de Dispersão na Estatística

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ESTATÍSTICA APLICADA 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Aline Purcote 
 
 
 
 
 
2 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Vimos que as medidas de posição representam uma sequência por um 
único número, dando uma ideia de todo o conjunto, no entanto, estas medidas 
não descrevem detalhadamente o comportamento do conjunto de dados. 
Segundo Ribeiro, no estudo na Estatística dispomos de algumas 
estratégias para verificar se os valores apresentados em um conjunto de dados 
estão dispersos ou não e o quão distante um do outro eles podem estar. Assim 
surgem as chamadas medidas de dispersão, que segundo Castanheira, são 
medidas utilizadas para verificar o quanto os valores encontrados em uma 
pesquisa estão dispersos ou afastados em relação à média. 
 
CONTEXTUALIZANDO 
Já estudamos algumas situações em que as medidas de posição podem 
ser utilizadas, mas nem sempre apenas o cálculo da média nos fornece a melhor 
base para tomada de decisão; desta forma, podemos utilizar as medidas de 
dispersão para complementar nossa análise e tomar decisões mais assertivas. 
Por exemplo, vamos considerar as notas de dois alunos na disciplina de 
Estatística: 
 Aluno A: 6 5 6 5 
 Aluno B: 8 2 6 6 
 
Se calcularmos a média das notas teremos média igual a 5,5 para os dois 
alunos. Mas será que o desempenho dos dois foi igual? Qual deles obteve as 
notas com menor variação? Para responder a estas questões será necessário 
utilizar as medidas de dispersão, pois apenas as medidas de posição não são 
conclusivas. (Adaptado de http://alunosonline.uol.com.br/matematica/medidas-
de-dispersao.html) 
Outro exemplo ocorre quando se compra na internet, em que verificamos 
qual o tempo médio de entrega das compras efetuadas. Ao analisarmos apenas 
a média, não conseguimos concluir se a empresa realiza as entregas conforme 
o informado, mas com a análise das medidas de dispersão conseguimos concluir 
se as entregas são, realmente, realizadas conforme informações dadas no ato 
 
 
3 
da compra. Se a medida de dispersão fornece um valor pequeno significa que a 
empresa é mais confiável quanto a manter o tempo médio das entregas, caso 
contrário, ela não é tão confiável quanto à sua pontualidade: por vezes é muito 
rápida, e em outras vezes demora muito. Desta forma, se no ato da compra for 
informada uma medida de posição e uma de dispersão, conseguimos analisar e 
concluir o quão constantemente pontual é a empresa, e se vale a pena realizar 
a compra com relação a prazos. 
Com base nos exemplos trabalhados, vamos estudar como calcular as 
medidas de dispersão e como interpretar os resultados obtidos. 
 
TEMA 1 – MEDIDAS DE DISPERSÃO 
A informação fornecida pelas medidas de tendência central pode ser 
complementada com a utilização das medidas de dispersão. Segundo 
Castanheira, as medidas de dispersão servem para verificar com que confiança 
as medidas de tendência central resumem as informações fornecidas pelos 
dados obtidos em uma pesquisa. 
As medidas de dispersão servem para indicar o quanto os dados se 
apresentam dispersos em torno da região central. Portanto, caracterizam o grau 
de variação existente em um conjunto de valores e indicam se os valores estão 
relativamente próximos uns dos outros ou separados e servem para medir a 
representatividade da média. 
 
As principais medidas de dispersão são: amplitude total, desvio médio, 
variância e desvio padrão. 
 
TEMA 2 – AMPLITUDE TOTAL 
A amplitude total – também conhecida como intervalo total – é calculada 
pela diferença entre o maior e o menor valor de uma série de dados, e 
considerada a medida de dispersão mais simples, calculada pela fórmula: 
 
A = maior - menor 
 
 
 
4 
Exemplo 1: 
Considere os valores: 40, 45, 48, 62 e 70 e calcule a amplitude total. 
Para encontrar a amplitude precisamos do maior e menor valor para 
depois realizar a diferença: 
Maior valor = 70 
Menor valor = 40 
Amplitude = 70 - 40 = 30 
 
Exemplo 2: 
Qual a amplitude da série: 10, 12, 20, 22, 25, 33, 38? 
Maior valor = 38 
Menor valor = 10 
Amplitude = 38 - 10 = 28 
 
Segundo Castanheira (2010), para o caso de os dados estarem 
agrupados em classes, o cálculo da amplitude total pode ser realizado de duas 
formas: 
1. Pelos pontos médios das classes: neste caso, a amplitude total é igual 
ao ponto médio da última classe, menos o ponto médio da primeira classe. 
2. Pelos limites das classes: neste caso, a amplitude total é igual ao limite 
superior da última classe, menos o limite inferior da primeira classe. 
 
Exemplo 3: 
Qual a amplitude da seguinte distribuição? 
 
Vamos calcular a amplitude considerando as duas formas citadas 
anteriormente: 
1. Ponto médio das classes: Neste caso, para calcular a amplitude total 
precisamos encontrar o ponto médio da última classe e o ponto médio da 
 
 
5 
primeira classe para depois realizar a diferença. Lembrando que o ponto 
médio é calculado pela fórmula: 
2
LiLs
Pm


 
 
Ponto médio da última classe: 
172
2
344
2
170174


Pm
 
Ponto médio da primeira classe: 
152
2
304
2
150154


Pm
 
Amplitude = 172 – 152 = 20 cm 
 
2. Limites das classes: Para calcular a amplitude total precisamos 
encontrar o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira 
classe para depois realizar a diferença: 
Limite superior da última classe = 174 
Limite inferior da primeira classe = 150 
Amplitude = 174 – 150 = 24 cm 
 
Se o resultado encontrado para amplitude for um número elevado, 
significa que os valores da série estão afastados uns dos outros. Caso o valor 
encontrado seja baixo, os valores da série estarão próximos entre si. 
A amplitude total apresenta algumas restrições, pois considera apenas os 
valores extremos da série, desprezando os valores intermediários. Assim, a 
utilização desta medida de dispersão é limitada e não capta possíveis variações 
entre seus limites. 
 
TEMA 3 – DESVIO MÉDIO 
O desvio médio é uma medida da dispersão que analisa a média dos 
desvios em torno da média de cada um dos valores da série e é calculado pela 
média aritmética dos valores absolutos dos desvios. Chamamos Dm de desvio 
médio e calculamos pela fórmula: 
Dm = 
N
f.xx  
 
 
6 
 
Onde xx é o módulo de cada desvio em relação à média e N é igual a 
soma das frequências. O módulo (| |) utilizado no cálculo do desvio médio possui 
a função de tornar o número positivo; assim, se a diferença entre o dado e a 
média resultar em um número positivo, ao retirar o módulo ele continuará 
positivo, e se for negativo torna-se positivo. 
Como o desvio médio verifica o afastamento em relação à média, o 
primeiro passo é calcular a média para depois calcular o desvio de cada valor da 
série e aplicar a fórmula encontrando o desvio médio. 
 
Exemplo 1: 
Suponha o conjunto de tempo de serviço de 5 funcionários e determine o 
desvio médio deste conjunto de dados: 
 3 7 8 10 11 
Para calcular o desvio médio vamos calcular primeiramente a média. 
Lembrando que para calcular a média em dados não agrupados somamos todos 
os valores e dividimos pelo número de observações: 
N
X
X


 
8,7
5
39
5
1110873


X
 
O segundo passo é calcular o desvio de cada valor em relação à média, 
ou seja, cada dado menos a média, que é 7,8. O valor encontrado 
multiplicaremos pela frequência, que é o número de vezes que o valor aparece. 
Por exemplo, se considerarmos o primeiro valor – que é 3 – teremos |3 – 7,8|.1, 
ou seja, o número3 menos a média que é 7,8 vezes 1, pois o número 3 aparece 
apenas uma vez. Este processo repetimos para cada valor da série: 
Dm = 
N
f.xx  
 
 
 
 
 
5
18,71118,71018,7818,7718,73 
Dm
5
12,312,212,018,018,4 
Dm
 
 
7 
Agora precisamos retirar os valores do módulo; se o número for positivo, 
continuará positivo e o número negativo torna-se positivo. Assim: 
 
 
 
Multiplicamos os valores pela frequência e somamos para após dividir por 5: 
 
 
 
 
 
Este resultado indica que, em média, o tempo de serviço deste grupo de 
funcionários se desvia em 2,24 anos em torno do tempo médio de serviço que é 
de 7,8 anos. 
 
Exemplo 2: 
Em um determinado dia, foi registrado o número de veículos negociados 
por uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis, como 
mostra a tabela abaixo. Calcule o desvio médio. (Adaptado de Shiguti & Shiguti, 
2006). 
 
 
Verificamos que neste exemplo temos uma distribuição de frequência e 
precisamos calcular o desvio médio, logo, o primeiro passo é o cálculo da média. 
Lembrando que a média em uma distribuição de frequência é calculada pela 
fórmula: 
N
fX
X


. 
 
 
5
1.2,31.2,21.2,01.8,01.8,4 
Dm
5
2,32,22,08,08,4 
Dm
24,2
5
2,11
Dm
 
 
8 
 
6,2
10
26
X
 
 
Agora vamos calcular o desvio em relação à média. Para facilitar, vamos 
incluir uma nova coluna na tabela identificando o cálculo |x – média|; assim, para 
o primeiro valor da tabela temos |1 – 2,6| = |-1,6| = 1,6. Seguimos este mesmo 
processo para os demais valores da tabela: 
 
 
Encontrados os valores dos desvios, devemos multiplicá-los pelas suas 
respectivas frequências, assim valor incluir mais uma coluna chamada |x – 
média|*f. Para o primeiro valor, temos: 1,60 * 1 = 1,60. Seguimos este processo 
para os demais valores da tabela, e em seguida somamos todos os valores 
encontrados: 
 
 
 
 
 
 
9 
Para finalizar, aplicamos a fórmula do desvio médio: 
Dm = 
N
f.xx  
 
 
 
A quantidade de veículos negociados por cada vendedor possui uma 
distância de 0,68 em torno dos 2,6 veículos comercializados em média. 
Para dados agrupados em classes ou intervalos, substituímos o X na 
fórmula pelo ponto médio de cada classe (Pm). 
N
fxPm
Dm
 

. 
 
Desta forma, para calcularmos o desvio médio, seguimos os seguintes 
passos: 
1. Calcular o ponto médio de cada classe; 
2. Calcular a média; 
3. Calcular o desvio em relação à média:  fxPm . 
4. Calcular o desvio médio. 
 
Exemplo 3: 
A tabela a seguir representa as notas obtidas por um grupo de 58 alunos 
matriculados em uma determinada disciplina. Calcule o desvio médio. (Adaptado 
de Shiguti & Shiguti, 2006). 
O primeiro passo é calcular o ponto médio de cada classe. Lembrando 
que para calcular o ponto médio utilizamos a fórmula: 
2
LiLs
Pm


 
 
Considerando a primeira classe temos: 
40
2
3545


Pm
 
 
68,0
10
80,6
Dm
 
 
10 
Seguindo o mesmo processo para as demais classes temos: 
 
 
No próximo passo calculamos a média da distribuição de frequência 
utilizando a fórmula: 
N
fPm
X


. 
 
 
 
 
Encontrada a média, precisamos calcular os desvios em relação a este 
valor:   fxPm . 
Por exemplo, para primeira classe temos: 
|40 – 62,24|*5 | -22,24|*5 = 22,24*5 = 111. 
Seguindo este cálculo para as demais classes e somando os valores 
obtidos temos: 
 
 
24,62
58
3610
X
 
 
11 
Agora aplicamos a fórmula do desvio médio: 
N
fxPm
Dm
 

. 
 
 
A nota de cada aluno deste grupo possui uma distância de 10,29 pontos 
em torno do desempenho médio, que foi de 62,24 pontos. 
 
TEMA 4 – VARIÂNCIA 
A dispersão dos dados também pode ser calculada considerando os 
quadrados dos desvios médios. Segundo Castanheira, à média aritmética dos 
quadrados dos desvios damos o nome de variância, que pode ser calculada de 
duas formas, considerando uma população ou uma amostra. 
Sua fórmula, quando se trata de uma população é: 
N
f.)xx(
S
2
2  
 
 
Já no cálculo da variância de uma amostra, o denominador deverá ser (N-
1), ou seja: 
1N
f.)xx(
S
2
2



 
 
Onde x representa os dados, 
x
é a média dos conjunto de dados, f é a 
frequência com que o dados aparecem e N é a quantidade de observações. 
A utilização de uma ou outra fórmula dependerá de se os dados 
representam uma população ou amostra. Como a variância utiliza o quadrado 
dos desvios médios o primeiro passo é calcular a média para depois aplicar as 
fórmulas indicadas. 
Ao analisarmos o resultado da variância, temos que quanto maior for o 
seu valor, mais distantes da média estarão os valores, ou quanto mais próximos 
os valores estarão da média. 
 
 
29,10
58
597
Dm
 
 
12 
Exemplo 1: 
Suponha o conjunto de tempo de serviço de 5 funcionários e determine a 
variância deste conjunto de dados considerando uma amostra. 
3 7 8 10 11 
 
O primeiro passo é calcular a média. Lembrando que para dados não 
agrupados somamos os dados e dividimos pela quantidade de observações: 
N
X
X


 
8,7
5
39
5
1110873


X
 
 
Depois de encontrado a média vamos calcular a variância verificando que 
o enunciado solicita a variância considerando uma amostra, assim utilizamos a 
seguinte fórmula: 
1N
f.)xx(
S
2
2



 
15
1.)8,711(1.)8,710(1.)8,78(1.)8,77(1.)8,73( 222222


S
 
4
1.)2,3(1.)2,2(1.)2,0(1.)8,0(1.)8,4( 222222 S
 
4
1.24,101.84,41.04,01.64,01.04,232 S
 
4
24,1084,404,064,004,232 S
 
7,9
4
80,382 S
 
 
 Exemplo 2: 
 Considere os seguintes dados e calcule a variância considerando uma 
população. 
 40 45 48 52 54 62 70 
 
Vamos calcular a média deste conjunto de dados: 
53
7
371
7
70625452484540


X
 
 
 
13 
Depois de encontrada a média, vamos calcular a variância verificando que 
o enunciado solicita a variância considerando uma população, assim utilizamos 
a seguinte fórmula: 
N
f.)xx(
S
2
2  
 
7
1)².5370(1)².5362(1)².5354(1)².5352(1)².5348(1)².5345(1)².5340(2 S
7
289811125641692 S
 
90
7
6302 S
 
 
Exemplo 3: 
Em um determinado dia foi registrado o número de veículos negociados 
por uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis como mostra 
a tabela abaixo. Calcule a variância. (Adaptado de Shiguti & Shiguti, 2006). 
 
 
Neste exemplo temos uma distribuição de frequência, e precisamos 
calcular a variância. Logo, o primeiro passo é o cálculo da média. Lembrando 
que a média em uma distribuição de frequência é calculada pela fórmula: 
N
fX
X


. 
 
 
6,2
10
26
X
 
 
 
14 
Após o cálculo da média, calculamos o quadrado dos desvios em relação 
à média e multiplicamos o valor encontrado pela sua respectiva frequência. Para 
o primeiro valor temos: 
 (1 – 2,6)². 1 = (-1,6)² . 1 = 2,56 . 1 = 2,56 
 
Seguindo este cálculo, para os demais valores da distribuição temos: 
 
 
Somamos e valor encontrado em (x – 
x
)².f e aplicamos a fórmula da 
variância para uma amostra encontrando o seguinte valor: 
1N
f.)xx(
S
2
2



 
71,0
9
4,6
110
4,62 

S
 
 
Para uma distribuição de frequência por classe ou intervalos, substituímos 
na fórmulada variância o valor de x pelo ponto médio (Pm) de cada classe. Desta 
forma o primeiro passo será o cálculo do ponto médio, para depois calcular a 
média e a variância. 
População: 
N
fxPm
S
 

.)( 2
2
 
Amostra: 
1
.)( 2
2




N
fxPm
S
 
 
Exemplo 4: 
A tabela abaixo representa as notas obtidas por um grupo de 58 alunos 
matriculados em uma determinada disciplina. Calcule a variância da amostra. 
(Adaptado de Shiguti & Shiguti, 2006). 
 
 
15 
 
 
Neste exemplo temos uma distribuição de frequência por classe e 
iniciamos calculando o ponto médio (Pm) e a média da distribuição: 
 
N
fPm
X


. 
 
 
Agora calculamos os desvios: (Pm – 
x
) ² e o resultado multiplicamos pela 
frequência. Para a primeira classe temos: 
(40 – 62,24) ² = (-22,24) ² = 495 
495 . 5 = 2.473 
 
Seguindo o mesmo processo para as demais classes e somando os 
valores obtidos, temos: 
 
 
 
24,62
58
3610
X
 
 
16 
O último passo é calcular a variância solicitada da amostra: 
1
.)( 2
2




N
fxPm
S
 
158
94092

S
 
1,165
57
94092 S
 
 
TEMA 5 – DESVIO PADRÃO 
O desvio padrão é definido como a raiz quadrada da variância, e é a 
medida mais utilizada na prática, desta forma, o cálculo da variância é 
considerado um passo intermediário para o cálculo do desvio padrão. 
Para o cálculo do desvio padrão de uma população temos: 
N
f.)xx(
S
2 

 
 
A fórmula para o cálculo de desvio padrão de uma amostra é: 
1N
f.)xx(
S
2



 
 
Podemos utilizar as fórmulas acima ou calcular a variância e após tirar a 
raiz quadrada, assim: 
²SS 
 
 
Para o cálculo do desvio padrão temos os seguintes passos: 
1. Calcular a média; 
2. Calcular a variância; 
3. Tirar a raiz quadrada da variância. 
 
Exemplo 1: 
Suponha o conjunto de tempo de serviço de 5 funcionários e determine o 
desvio padrão deste conjunto de dados considerando uma amostra. (Adaptado 
de Shiguti & Shiguti, 2006). 
 3 7 8 10 11 
1. Calcular a média: 
 
 
17 
8,7
5
39
5
1110873


X
 
 
2. Calcular a variância: 
15
1.)8,711(1.)8,710(1.)8,78(1.)8,77(1.)8,73( 222222


S
 
7,9
4
80,382 S
 
 
3. Tirar a raiz quadrada da variância. 
11,37,92  SS
 
 
Exemplo 2: 
Em um determinado dia foi registrado o número de veículos negociados 
por uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis como mostra 
a tabela abaixo. Calcule o desvio padrão. (Adaptado de Shiguti & Shiguti, 2006). 
 
1. Calcular a média: 
6,2
10
26
X
 
 
 
2. Calcular a variância: 
71,0
9
4,6
110
4,62 

S
 
 
 
18 
 
 
3. Tirar a raiz quadrada da variância: 
84,071,02  SS
 
 
Exemplo 3: 
A tabela abaixo representa as notas obtidas por um grupo de 58 alunos 
matriculados em uma determinada disciplina. Calcule o desvio padrão. 
(Adaptado de Shiguti & Shiguti, 2006). 
 
1. Calcular a média: 
 
 
 
 
2. Calcular a variância: 
1,165
57
94092 S
 
24,62
58
3610
X
 
 
19 
 
 
3. Tirar a raiz quadrada da variância: 
85,121,1652  SS
 
 
No desvio padrão obtemos valores altos sempre que ocorrem mudanças 
consideráveis nos dados analisados, e obtemos valores baixos quando os dados 
são mais estáveis. 
 
TROCANDO IDEIAS 
Nesta aula trabalhamos com as medidas de dispersão que 
complementam as medidas de posição, e estas podem ser utilizadas em várias 
situações dentro e fora das organizações. Você se recorda de alguma situação 
em que tenha ouvido falar ou utilizado algumas das medidas citadas nesta aula? 
Nas organizações, em quais situações poderíamos utilizar estas medidas? 
 
NA PRÁTICA 
As medidas de dispersão possuem vasta aplicação, pois servem para 
avaliar o grau de variabilidade do fenômeno estudado. Quando o desvio é 
pequeno, a amostra é homogênea, ou seja, mais parecidos são os valores da 
série, e quando o valor é alto, a amostra é heterogênea. Com esta informação 
podemos definir indicadores, estratégias, comparar valores e realizar análises 
que geram informações para tomada de decisão dentro das organizações. 
Vamos analisar algumas situações onde a utilização das medidas de 
dispersão fornece informações para tomada de decisão: 
 Ferramentas básicas de análise financeira – o desvio-padrão: 
<https://www.portal-gestao.com/artigos/7343-ferramentas-
b%C3%A1sicas-de-an%C3%A1lise-financeira-o-desvio-
padr%C3%A3o.html>. 
 
 
20 
 Variância e desvio padrão: 
<http://matemagica10.blogspot.com.br/2015_10_01_archive.html>. 
 Risco e volatilidade: conceitos fundamentais na hora de investir: 
<http://www.infomoney.com.br/educacao/guias/noticia/480519/risco-
volatilidade-conceitos-fundamentais-hora-investir>. 
 A Estatística e sua importância na avaliação de risco e retorno dos 
investimentos: <http://www.rhportal.com.br/artigos-rh/a-estatistica-e-sua-
importncia-na-avaliao-de-risco-e-retorno-dos-investimentos/>. 
 
FINALIZANDO 
Nesta aula apresentamos a diferença entre as medidas de posição e de 
dispersão, as principais medidas, seus cálculos, aplicações e interpretação dos 
resultados obtidos. 
 
REFERÊNCIAS 
CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2010. 
MARTINS, G. de A. Estatística geral e aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: Pearson, 
2004. 
RIBEIRO, A. G. Medidas de dispersão: variância e desvio padrão. Brasil Escola. 
Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-
variancia-desvio-padrao.htm>. Acesso em: 14 mar. 2017. 
SHIGUTI, W. A.; SHIGUTI, V. da S. C. Apostila de estatística. Brasília: UFSC, 
2006. Disponível em: 
<http://www.inf.ufsc.br/~paulo.s.borges/Download/Apostila5_INE5102_Quimica.
pdf>. Acesso em: 24 fev. 2017.