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Permeabilidade Formulas e Exemplos

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MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-1 
 
PERMEABILIDADE DOS SOLOS 
 
É A PROPRIEDADE DOS SOLOS DE PERMITIR A PASSAGEM DA ÁGUA PELOS VAZIOS 
INTERLIGADOS DE SUA ESTRUTURA. 
 
 
 
 
Problemas de Engenharia Envolvendo a Permeabilidade 
 x estimativa da quantidade de água que percola no subsolo sob várias condições 
hidráulicas. x problemas de rebaixamento do lençol dágua para construções enterradas. x análise de estabilidade de barragens de terra e estruturas de arrimo, sujeitas à 
forças de percolação. 
 
 
 
 
TIPOS DE ESCOAMENTO 
 
TURBULENTO LAMINAR 
Movimentos caóticos e irregulares das 
partículas do fluido.Velocidades relati-
vamente grandes e tubulações de grande 
diâmetro. 
As partículas movem-se de forma suave e 
ordenada na direção do escoamen-
to.Baixas velocidades e tubos de pequenas 
dimensões. 
O ESCOAMENTO DA ÁGUA NOS SOLOS OCORRE EM REGIME LAMINAR, EXCETO 
NOS PEDREGULHOS DE MAIORES DIÂMETROS. 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-2 
LEI DE DARCY 
 
Em 1806, o físico francês DARCY publicou o resultado de suas experiências, realizadas com 
um dispositivo semelhante ao da figura. 
 
 
L - comprimento da amostra 
 
A - seção transversal da amostra de solo 
!h - desnível entre os níveis d' água dos 
reservatórios de entrada e saida da 
água. 
 
Darcy constatou que o volume de água escoado no tubo, na unidade de tempo ( q ) era 
proporcional à área da seção transversal do tubo e a relação 'h / L . 
q k A
h
L
 ˜ ˜ ' 
 
K - COEFICIENTE DE PERMEABILIDADE 
É uma constante de proporcionalidade, 
também denominada condutividade 
hidráulica, que depende das características 
dos solos. 
K
qL L T L
LT � �3 1 1
A h L L˜ ' 2 
O COEFICIENTE DE PERMEABILIDADE É HOMOGÊNEO A UMA VELOCIDADE 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-3 
'h - PERDA DE CARGA i - GRADIENTE HIDRÁULICO 
Desnível entre as superfícies da água de 
entrada e de saida.Corresponde à diferen-
ça entre os valores da equação de 
Bernouilli, nas seções de entrada e saida 
do escoamento. 
 Relação entre a perda de carga e o 
comprimento percorrido. 
i
h
L
 ' 
A PERDA DE CARGA É A ENERGIA 
GASTA PELA ÁGUA PARA VENCER A 
RESISTÊNCIA OFERECIDA PELO SOLO 
À SUA PASSAGEM: VISCOSIDADE E 
ATRITO 
 
 
 
EXPRESSÕES USUAIS DA LEI DE DARCY : 
q K A
h
L
q K Ai q v A
onde
v K i
 Ÿ Ÿ
 
'
: 
 
 
 VELOCIDADE DE PERCOLAÇÃO - v 
Representa o volume de água escoado na unidade de tempo, pela unidade de área. 
EMBORA ( v ) REPRESENTE UM VOLUME ESCOADO, SUA UNIDADE É A DE UMA 
VELOCIDADE,DENOMINADA VELOCIDADE DE PERCOLAÇÃO. 
 
Diferença entre velocidade de percolação ( v ) e ( vp ) velocidade real de percolação da 
água, pelos vazios do solo. 
q = vA = Av vp 
 
 
A = Av + As 
 
q = v( Av + As ) 
q = Av. vp 
 � �
v
sv
p
A
AAv
v
� 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo: Vv = volume de vazios da amostra e Vs = volume de sólidos da amostra 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-4 
� � � �
n
v
e
e
v
V
VVv
LA
LAAv
v
v
sv
v
sv
p ¹¸·©¨§ � � � 1 
onde: e = índice de vazios 
 n = porosidade 
 
 
NOS PROBLEMAS PRÁTICOS, CONHECE-SE ÁREAS, CARGAS HIDRÁULICAS E 
PERDAS DE CARGAS, NECESSITANDO-SE CONHECER DESCARGAS EMPREGANDO-
SE q = vA 
 
 
VALIDADE DA LEI DE DARCY i A lei de Darcy é válida para o escoamento laminar, verdadeiro para quase todos os tipos 
de solos ( areias, siltes e argilas ) 
 i Solos saturados 
 
A quantidade de água que percola através da camada de areia foi estimada em 12m3/dia/m; 
instalados piezômetros foram medidas as pressões indicadas.Calcular o coeficiente de 
permeabilidade dessa areia, em cm /s. 
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO DA LEI DE DARCY 
 
DADOS: 'h = 4m =400 cm t = 1s L = 100m = 1o4 cm A = 2m x 1 = 2m2 
 A = 2 x 104 cm2 
Q = 12m3 / dia = 12 000 000 / 86400 = 138.9 cm3 /s 
 
SOLUÇÃO: scm
hAt
QL
K /1074.1
1104102
109.138
.
1
24
4 �˜ u˜u˜ u ' 
 
 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI u APLICAÇÕES 
 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-5 
De acordo com a equação de Bernoulli, a energia da água, por unidade de peso, em 
qualquer ponto do escoamento, compõe-se de três parcelas: 
g
V
hZh p 2
2�� 
 
ENERGIA DE POSIÇÃO OU POTENCIAL 
Medida pela distância do ponto a um plano qualquer de referência.(NR). 
É representada pelo comprimento (Z). 
 
ENERGIA PIEZOMÉTRICA 
É decorrente do excesso de pressão que a água possui sobre a pressão atmosférica e que 
faz com que ela se eleve a uma altura hp , num piezômetro colocado no ponto considerado. 
Sendo u a pressão da água, a altura piezométrica será u / Ja. 
 
ENERGIA CINÉTICA 
Decorre da velocidade da água e seu comprimento representativo é V2 / 2g 
 
NOS SOLOS A CARGA CINÉTICA PODE SER DESPREZADA E A EQUAÇÃO DE 
BERNOULLI ASSUME O SEGUINTE ASPECTO: h Z h ou h Z
u
p
a
 � � J 
CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES: 
 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-6 
 
p O valor da carga total depende do plano de referência escolhido (NR) para a 
determinação de Z. Qualquer plano pode ser escolhido como plano de referência. 
 
p A carga total é representada por um comprimento igual à distância vertical do plano 
atingido pela água no piezômetro e o plano de referência. 
 
p O escoamento se dá de um ponto de maior carga para outro de menor carga. As cargas 
inicial e final são diferentes e a diferença de cargas representa a perda de energia 
durante o escoamento. 
 
p Todas as perdas de carga ocorrem no solo. 
 
p Nos casos em que hp não é evidente, recomenda-se que hp seja calculada pela di-
ferença hp = h - Z 
 
p Podem ocorrer pressões neutras negativas, isto é, abaixo da pressão atmosférica,em 
alguns pontos do escoamento. 
 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-7 
Traçar os diagramas das cargas total, piezométrica e de posição, 
para os pontos 1, 2, 3 e 4 da figura. (cotas em cm)
EXERCÍCIO:
1
2
NR
3
3.6
2.4
4 1.2
 
PONTO CARGAS
TOTAL (h) POSIÇÃO (z) PRESSÃO (hp)
2,4 + 3,6 + 1,2 = 7,2
7,2
7,2
3,6 3,6
1,2 h = -1,2p0
0
0 0 0
1
2
3
4
pontos
(1)
(2)
(3)
(4)
1.2
1.2 3.6
3.6
7.2
7.2-1.2 0
0
hp Z
cargas
h
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-8 
ENSAIOS DE LABORATÓRIO PARA A DETERMINAÇÃO DO 
 COEFICIENTE DE PERMEABILIDADE 
 
p PERMEÂMETRO DE CARGA CONSTANTE 
 
 
No dispositivo para o en-
saio de permeabilidade 
com carga constante, a 
alimentação de água é 
feita de tal modo que a 
diferença de carga entre a 
entrada e a saida da água 
é mantida constante, 
durante o período do 
ensaio. 
Quando o fluxo estiver em 
regime permanente, a 
água que atravessa o solo 
é recolhida, durante um 
certo tempo, num recipi-
ente graduado. 
 
DETERMINAÇÕES DURANTE O ENSAIO: 
Q - volume de água recolhido 
A - seção da amostra 
L - comprimento da amostra 
t - duração da coleta de água 
 
CÁLCULO DO ENSAIO: 
Pela lei de Darcy: Q = qt = Avt = A (Ki)t como i
h
L
 ' 
Ath
QL
K ˜ 
 
APLICAÇÃO: 
 Estes ensaios são mais adequados para os solos de granulação grossa como pedregulhos 
e areias. 
 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-9 
p PERMEÂMETRO DE CARGA VARIÁVEL 
 
No dispositivo para a determinação da perme-
abilidade com carga variável, a água provem de 
uma pipeta de vidro e atravessa o solo. 
 
Registra-se a diferença de carga h1 no tempo 
 t = 0 e após a água ter percolado através do 
solo, de tal modo que no tempo t = tf a diferença 
de carga é h2 
pedra 
 
DETERMINAÇÕES DURANTEO ENSAIO: 
h - diferença de carga no tempo t 
a - área do tubo de vidro 
A - área da seção de solo 
L - comprimento da amostra 
 
CÁLCULO DO ENSAIO: 
Pela lei de Darcy: 
¹¸·©¨§� 
� ˜ 
h
dh
AK
aL
dt
ou
dt
dh
aA
l
h
Kq 
Integrando os dois membros da equação: 
2
1
0
log303.2
2
1
h
h
At
aL
K
h
dh
AK
aL
dt
h
h
t
 ¹¸
·©¨§� ³³
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-10 
 
FATORES QUE INFLUENCIAM O VALOR DO COEFICIENTE DE 
PERMEABILIDADE 
 
 
FORMA E DIMENSÕES DAS 
PARTÍCULAS 
 
ÍNDICE DE VAZIOS 
A permeabilidade cresce com o índice de 
vazios 
GRAU DE SATURAÇÃO 
A permeabilidade aumenta com a o grau de 
saturação. 
ESTRUTURA DO SOLO 
Os solos de granulação fina, com estrutura 
floculada, possuem coeficiente mais 
elevado do que os de estrutura dispersa. 
VISCOSIDADE DA ÁGUA 
O coeficiente de permeabilidade é uma função do peso específico e da viscosidade da 
água, os quais são funções da temperatura em que o ensaio é realizado. 
COMPOSIÇÃO DOS SOLOS 
Nas areias e siltes este fator é irrelevante. 
Nos solos com argilas minerais, este é um dos mais importantes fatores.Nesses casos a 
permeabilidade depende: espessura da água adsorvida, capacidade de troca catiônica, 
valência dos cations e espessura da camada difusa( K diminui com o aumento da camada)
 
 
 x A PERMEABILIDADE DOS SOLOS É REFERIDA A 20°C. 
 x QUANDO É DETERMINADA EM OUTRA TEMPERATURA, É NECESSÁRIA A 
CONVERSÃO 
No escoamento laminar idadeviságuadaespecíficopesoK a
a cos v KJKJ 
20
20
20
20
20
20
2020 1
KKKK
JJJKKJ
T
T
T
T
aT
a
aT
Ta
T
KK
K
K
K
K
˜ 
#˜ 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-11 
ESTIMATIVAS DO VALOR DE K 
 
Algumas tentativas tem sido feitas para correlacionar o coeficiente de permeabilidade com 
outras propriedades dos solos, em especial com sua granulometria. Para areias uniformes 
HAZEN (1930) propos uma correlação empírica na forma: 
 
K (cm / s) = c (D10)2 
 
onde c = uma constante que varia entre 1.0 e 1.5 
 D10 = diâmetro efetivo em mm 
 
 
 
 
 
 
INTERVALOS DE VARIAÇÃO DO COEFICIENTE DE PERMEABILIDADE 
 
TIPO DE SOLO K (cm / s) Condições de 
Drenagem 
Pedregulhos 1 - 102 Muito boa 
Areia grossa 1 - 10-2 Boa 
Areia fina 10-2 -10-3 Fraca 
Silte 10-3 - 10-5 Fraca 
Argila < 10-6 Praticamente 
impermeável 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-12 
PERMEABILIDADE EQUIVALENTE DE SOLOS ESTRATIFICADOS 
 
 
ESCOAMENTO HORIZONTAL 
 
 No escoamento horizontal a 
descarga q divide-se em 'q1, 'q2 e 'q3. 
As perdas de carga entre a 
entrada e saida de cada 
camada são as mesmas, 
consequentemente, são 
também iguais os gradientes 
hidráulicos. 
q = 'q1 + 'q2 + 'q3 
 
h1 = h2 = h3 = h 
 
i1 = i2 = i3 = i 
 
Aplicando-se a lei de Darcy q =(D1 + D2 + D3).B .KH.i e 
 
 'q1 = A1. K1. i1 ; 'q2 = A2. K2. i2; 'q3 = A3. K3.i3 
 
q =(D1 + D2 + D3).B .KH.i = A1. K1. i1 + A2. K2. i2 + A3. K3.i3 
 
K
D K D K D K
D D D
H � �� �1 1 2 2 3 31 2 3 
 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-13 
ESCOAMENTO VERTICAL 
 
A descarga será a mesma em todas as 
camadas. 
Em cada camada ocorrerá um gradiente 
hidráulico: 
 
 i1 = h1 / D1 i2 = h2 / D2 i3 = h3 / D3 
e a perda de carga total 
 h = h1 + h2 + h3 
Aplicando a lei de Darcy 
K h
D
K h
D
K h
D
D D D
 
 � �
1 1
1
2 2
2
3 3
3
1 2 3
q
Kh
D
onde D
 
¸¸¹·��
¸¸¹·¨¨©§ ��˜
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
vvv
vvv
K
D
K
DD
D
K
D
K
D
K
D
¨¨©§
 
 
V
v
K
K
D
hK
h
 
As fórmulas podem ser generalizadas para um solo com n camadas: 
Escoamento Horizontal: � �nHnHHH DKDKDK
D
K ˜��˜�˜ !22111 
Escoamento Vertical: 
 
K
D
D
K
V
n
Vn
 ¦ 
 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-14 
EXERCÍCIO: 
A situação abaixo esquematiza um lago, cuja alimentação de água foi interrompida. 
Verificar quanto tempo levará para que o lago seque; admite-se que essa situação será 
atingida quando a água, infiltrando-se pela camada de silte, atinge a cota 0,0.. 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
Durante a secagem a carga é variável, portanto, a situação assemelha-se a um 
permeâmetro de carga variável. 
K
a
A
L
t
h
h
 ˜ ˜2 3 1
2
. log h1 = 14m = 14.10
2
 cm 
h2 = 4m = 4.10
2
 cm 
K = 2.10-
5
 cm / s 
a = A = 1 cm
2
L = 4m = 4.10
2 
cm 
 
CÁLCULO DE t: 
t
La
KA
h
h
t
t o
t
s
dias
 
 u ˜
 u u u u
 u 
�
2 3
2 3 4 10
2 10
14 10
4 10
4 6 10 3 5 4 6 10 544
2 5024 10
86400
290
1
2
2
5
2
2
7 7
7
.
log
. .
.
log
.
. log . . .
.
 
 
 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-15 
 
TENSÕES EM SOLO SATURADO COM PERCOLAÇÃO 
ESCOAMENTO UNIDIRECIONAL 
A tensão efetiva, em qualquer ponto (C) de uma massa de solo, sofrerá alterações devido à 
percolação da água.Ela aumentará ou diminuirá, dependendo do sentido do escoamento. 
!’ ҏ= ! - u u Þ determinado pela equação de Bernoulli 
hC = u / ҏ!a + ZC = hX - ҏ!hXC = hX - L.i 
hX = carga total no plano ( XX) de entrada da água. 
L = distância do plano de entrada ao ponto (C) 
EXEMPLOS: -Determinar os gráficos de variação das pressões efetivas, neutras e totais em 
função da profundidade, para o escoamento indicado na figura. 
Determinações no ponto C: 
 
Pressão Total V�= H1.Ja + z.Jsat 
Pressão Neutra: 
ZC = H2 - z hB = H1 + H2 + 'h 
i =�'h / H2 
 'h BC = L.i = (H2 - z). �'h / H2 
u =( hB - L.i - ZC).Ja = (H1 + z +zi)Ja 
Pressão Efetiva: V’ �= V - u = z(Jsat - Ja ) - izJa 
 �V’ = zJsub - izJa 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-16 
Traçar os mesmos gráficos pedidos no exemplo anterior, para o escoamento abaixo. 
Determinações em C: 
 
Pressão Total: V�= H1.Ja + z.Jsat 
Pressão Neutra: 
ZC = H3 + H2 - z 
hA = H1 + H2 + H3 'hAC = i.z i = 'h / H2 
u = (H1 + z - iz)�Ja 
Pressão Efetiva: �V’ = zJsub + izJa 
Determinações em B: V = H1Ja + H2Jsat 
zB = H3 hB = 0 u = -H3.Ja �V’ = H1 Ja + H2 Jsat + H3 Ja 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-17 
FORÇA DE PERCOLAÇÃO 
 
A água para conseguir percolar nos vazios do solo, consome energia e aplica uma força F à 
estrutura sólida, denominada força de percolação. 
Essa perda de energia, por unidade de peso da massa de água, é representada pela 
diferença da carga total na equação de Bernouilli, no início e fim do escoamento, traduzida 
pelo comprimento !h (perda de carga). 
 
 AB = Trajetória da água 
 Elemento de solo: L = comprimento 
A = área média 
V = volume 'h = perda de carga por unidade de 
peso 
 
PERDA DE ENERGIA ( 'h ) = TRABALHO EXECUTADO PELA FORÇA F 
 'h. V. Ja = F. L Ÿ F = ( 'h / L ). V. Ja 
 
 
F = i. V. Ja ou F = 'h. A.�Ja 
 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-18 
RUPTURA HIDRÁULICA u GRADIENTE CRÍTICO 
Diz-se que um solo, não coesivo, está numa condição de RUPTURA HIDRÁULICA, 
LEVITAÇÃO ou de AREIA MOVEDIÇA quando as condições de percolação da água anulam 
a tensão efetiva e, consequentemente, sua resistência ao cisalhamento.Neste caso: 
V = u x As partículas ficarão suspensas, como se estivessem fervendo. x Os solos coesivos, apresentando ainda resistência quando !’ = 0 não sofrem, obrigato-
riamente, ruptura hidráulica nessa situação. 
 
 
p SITUAÇÕES USUAIS ONDE OCORREM RUPTURASHIDRÁULICAS 
a) Escoamento vertical ascendente, de modo que a força total exercida pela água sobre as 
partículas sólidas, anula o peso submerso das mesmas. 
 
b) Choques em solos fofos, causando a diminuição de volume do esqueleto sólido, pro-
vocando transferência da tensão efetiva para o fluido dos poros.
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-19 
GRADIENTE CRÍTICO 
 
Destaque-se o volume de solo sofrendo percolação e efetue-se a análise de uma situação 
crítica no plano XX. 
W - peso total 
u - pressão da água 
A - seção de vazão 
 
Na situação crítica V = u e W = u A 
L.A.Jt = (L + Hc) Ja.A 
L (Jt - Ja) = Hc.Ja 
L.Jsub = Hc Ja 
ic = Hc / L = Jsub / Ja 
 
 
O gradiente crítico pode ser expresso: 
i
e
c ��G 11 Para a maioria dos solos ic varia de 0.9 a 1.1, com uma média de 1 
 
 
FORÇA DE PERCOLAÇÃO: 
 
Ws - peso da partícula 
sólida 
F - força aplicada ao 
solo pela água 
E - empuxo 
 
A análise de uma situação crítica pode ser tambëm efetuada , 
sob o aspecto microscópico, comparando as forças atuantes 
nas partículas. Nesse caso conclui-se que: V’�A = F 
F = i.V.Ja 
e neste caso o gradiente assumirá o valor crítico i
e
c ��G 11 
Para a unidade de volume de solo F = i.Ja 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-20 
EXERCÍCIO: 
Uma grande escavação foi executada numa camada de argila com sat = 18.0 kN / m3. 
As investigações realizadas, antes da escavação, indicaram a presença de um horizonte de 
areia a uma profundidade de 12.0m abaixo da superfície do terreno. 
Num dos furos de sondagem a água elevou-se a uma altura de 4.5m abaixo do NT. 
Calcular a profundidade crítica da escavação após a qual o fundo fissuraria e existiria uma 
situação de borbulhamento. 
 
 
SOLUÇÃO: 
1ª SOLUÇÃO: V’.A = F 2ª SOLUÇÃO: V = u 
V’ = (Jsat - Ja). ( 12 – H ) 
 F = 'h.Ja . A 'h = ( H - 4.5 ) 
( 12 - H ).8 = ( H - 4.5 ). 10 
H = 7.80 m 
 
 V = ( 12 - H ).Jsat 
u = 7.5 Ja 
 ( 12 - H ).18 = 75 
 
H = 7.80 m 
 
 
 
MECÂNICA DOS SOLOS PERMEABILIDADE DOS SOLOS-21 
EXERCÍCIO: 
Dois solos (1) e (2) foram colocados , superpostos, num permeâmetro de carga constante, 
como esquematizado na figura. 
As densidades dos grãos de solo e os índices de vazios são: 
solo 1 solo 2 G� 2.65 G� 2.69 
e = 0.60 e = 0.69 
Se 25% da perda de carga hidráulica ocorre ao percolar através do solo 1, calcular o 
gradiente crítico no qual ocorre a instabilidade. 
 
Solução: 
a) Gradientes hidráulicos 
i1 = h1 / L1 = 0.25h / L = (0.25 x 40) / 40 = 0.25 
i2 = h2 / L2 =(0.75 x 40) /40 = 0.75 
Como o maior gradiente ocorre no solo 2, se houver situação crítica será nesta camada. 
b) Gradiente crítico no solo 2 
ic = (Gҏ- 1) / (1 + e) = ( 2.69 - 1) / (1 + 0.69) = 1.0 
Como ic > i2 não há condição de instabilidade.

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