Estatística - Material - Parte 2

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FACULDADE PITÁGORAS DE SÃO LUÍS 
CURSO DE engenharia de produção 
Estatística E PROBABILIDADE 
Prof. Oton ribeiro 
Material parte 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO LUÍS – MA 
2014 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 2 
 
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
1. Introdução 
No assunto anterior vimos a distribuição de valores para uma variável, com isso conhecemos as medidas 
de Tendência Central e de Dispersão. 
Mas quando observamos duas ou mais variáveis, surge um problema: as relações que podem existir entre 
elas, e se existir, qual o grau de relação. Portanto as medidas estudadas não são suficientes. 
Assim, quando consideramos variáveis como grau de escolaridade e renda, número de horas trabalhadas 
e o número de acidentes, procuramos verificar se existe alguma relação e o grau entre as variáveis. Para isso, 
é necessário o conhecimento de novas medidas. E a medida usada para descobrir o grau dessa relação chama-
se correlação, e uma vez estabelecida tal relação, procuramos descrer, por meio de um modelo matemático os 
parâmetros dessa relação, e a medida usada para determinar esses parâmetros é a regressão linear. 
 
2. Correlação 
Se relacionarmos o tempo de permanência em um estacionamento e o valor cobrado, é fácil perceber que 
essas variáveis estão perfeitamente definidas e pode ser expressa por uma sentença matemática. 
Se considerarmos agora variáveis como peso e altura, uso do cigarro e incidência do câncer é evidente 
que essas variáveis não tem a mesma relação das anteriores, pois pode acontecer de estaturas diferentes 
corresponderem a pesos iguais ou vice-versa. Portanto, variáveis valor cobrado e tempo são chamadas de 
relações funcionais e do tipo peso-altura são chamadas de relações estatísticas. 
Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemos que existe uma correlação 
entre elas. 
 
2.1 Diagrama de Dispersão 
Consideramos uma amostra formada por dez dos 98 alunos do 3° período do curso de engenharia de 
produção e pelas notas obtidas em Matemática e Estatística, conforme a tabela abaixo: 
 
 
 
 Representando no sistema ortogonal os pares ordenados (xi, yi), obtemos uma nuvem de pontos que 
denominamos diagrama de dispersão. 
 
 
 
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 Observando os pontos, percebemos que os mesmos em conjunto dão ideia de uma elipse em diagonal, 
e quanto mais fina for essa elipse, mais ela se aproxima de uma reta. Dizemos, que a correlação de forma 
elíptica tem como “imagem” uma reta, por isso é chamada de correlação linear. 
 
 
 
 A correlação pode ser: 
• Linear positiva: se os pontos têm como “imagem” uma reta ascendente. 
• Linear negativa: se os pontos têm como “imagem” uma reta descendente. 
• Não linear: se os pontos têm como “imagem” uma curva. 
 
 
 
 
 
Obs. Se os pontos apresentam-se dispersos, não oferecendo uma “imagem” definida, concluímos que não há 
relação alguma entre as variáveis em estudo. 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos 
1) O faturamento de uma empresa e o nível de utilização do seu sistema computacional é Linear Positiva. 
2) A quantidade de memória RAM e o tempo de processamento é Linear Negativa. 
 
2.2 Coeficiente de Correlação Linear (Correlação de Pearson) 
 O coeficiente de correlação linear nos indica o grau de relação entre duas variáveis estatísticas e 
ainda o sentido dessa relação (positivo, negativo ou nulo). 
 O cálculo para o coeficiente de correlação linear é dado por: 
 
 
𝒓 = 
𝒏 ∙ ∑ 𝒙𝒊𝒚𝒊 − ∑ 𝒙𝒊 ∙ ∑ 𝒚𝒊
√[𝒏 ∙ ∑ 𝒙𝒊
𝟐 − (∑ 𝒙𝒊)𝟐] ∙ [𝒏 ∙ ∑ 𝒚𝒊
𝟐 − (∑ 𝒚𝒊)𝟐]
 
 
 
onde 𝒏 é o número de observações, isto é, de pares ordenados. 
 Os valores de r estão no limite de – 1 a +1, isto é, o valor de r pertence ao intervalo [−1, +1]. 
Portanto: 
I. Se r = + 1 a relação entre as duas variáveis é perfeita e positiva. 
II. Se r = – 1 a relação entre as duas variáveis é perfeita e negativa. 
III. Se r = 0, não existe relação entre as variáveis ou a relação entre elas não é linear. 
 
Obs. Para retirarmos algumas conclusões significativas sobre o comportamento simultâneo das variáveis 
analisadas, é necessário que: 
 
 Se 0,6 ≤ |𝑟| ≤ 1há uma relação altamente significativa entre as variáveis, isto é, a relação é forte. 
 Se 0,3 ≤ |𝑟| ≤ 0,6 há uma relação relativamente fraca entre as variáveis. 
 Se 0 ≤ |𝑟| ≤ 0,3 há relação entre as variáveis é muito fraca, e praticamente, nada podemos concluir 
sobre a relação entre as variáveis. 
 
 
 
Exemplo 
Vamos calcular o coeficiente de correlação relativo à tabela 11.1. O modo mais prático para obtermos r 
é acrescentarmos na tabela colunas correspondentes as valores 𝑥𝑖 ∙ 𝑦𝑖 , 𝑥𝑖
2, 𝑦𝑖
2. 
 
 
Matemática 
(xi) 
Estatística 
(yi) 
xiyi xi2 yi2 
5 6 30 25 36 
8 9 72 64 81 
7 8 56 49 64 
10 10 100 100 100 
6 5 30 36 25 
7 7 49 49 49 
9 8 72 81 64 
3 4 12 9 16 
8 6 48 64 36 
2 2 4 4 4 
∑ = 65 ∑ = 65 ∑ = 473 ∑ = 481 ∑ = 475 
 
 
 
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Substituindo os valores na fórmula, temos: 
r = 
n ∙ ∑ xiyi − ∑ xi ∙ ∑ yi
√[n ∙ ∑ xi
2 − (∑ xi)2] ∙ [n ∙ ∑ yi
2 − (∑ yi)2]
 
 
r =
10 ∙ 473 − 65 ∙ 65
√[10 ∙ 481 − 652][10 ∙ 475 − 652]
= 0,911 
 
 Resultado que indica uma correlação linear positiva altamente significativa entre as variáveis. 
 
3. Regressão 
 A regressão está intimamente relacionada à correlação, visto que ainda estamos interessados na força 
de associação entre duas variáveis, como por exemplo número de faltas de um aluno e sua nota. Na regressão, 
entretanto, estabelecemos que uma variável é dependente, e a outra, independente, isto é, acreditamos que uma 
variável influencia a outra, nesse caso a nota do aluno é a dependente e o número de faltas a independente. 
 Na análise de regressão, usamos uma equação matemática para prever o valor da variável dependente 
(indicada por Y) com base na variável independente (indicada por X): 
 
𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏 
onde 𝑎 e 𝑏 são os parâmetros. 
 Como na correlação linear os pontos se aproximam de uma reta, então a equação acima representa 
justamente essa reta, que recebe o nome de reta regressão linear. 
 Para traçarmos o gráfico da reta regressão é necessário obter os valores dos parâmetros 𝒂 e 𝒃, que são 
dados pelas fórmulas: 
 
𝒂 = 
𝒏 ∙ ∑ 𝒙𝒊𝒚𝒊 − ∑ 𝒙𝒊 ∙ ∑ 𝒚𝒊
𝒏 ∑ 𝒙𝒊
𝟐 − (∑ 𝒙𝒊)𝟐
 𝒆 𝒃 = �̅� − 𝒂�̅� 
 
 
 
onde: 
 n é o número de observações. 
 �̅� é a média dos valores de 𝒙𝒊. 
 �̅� é a média dos valores de 𝒚𝒊. 
 Vamos encontrar a equação de regressão da tabela abaixo: 
 
 
 
Devemos então, acrescentar as colunas 𝒙𝒊𝒚𝒊 e 𝒙𝒊
𝟐, assim temos a tabela de valores: 
 
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Temos: 
 
 
 
 
Como: 
 
 
Vem, 
 
Logo: 
 
Portanto, para traçarmos o gráfico da reta regressão, basta determinar dois dos seus pontos: 
 
 
 
 
 
Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎 = 
10 ∙ 473 − 65 ∙ 65
10 ∙ 481 − 652
= 0,8632 
�̅� =
65
10
 e �̅� =
65
10
 , 
𝑏 = 6,5 − 0,8632 ∙ 6,5 = 0,8892 
𝑌 = 0,86𝑋+ 0,89 
 𝑋 = 0 e Y= 0,89 
𝑋 = 5 e 𝑌 = 0,86 ∙ 5 + 0,89 = 5,19 
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Exemplos: 
1) Certa empresa, estudando a variação da demanda de seu produto em relação à variação de preço de venda, 
obteve a tabela: 
Preço 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110Demanda 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208 
Calcule: 
a) Determine o coeficiente de correlação e comente a qualidade de ajuste. 
b) Estabeleça a equação da reta ajustada. 
2) A partir do período 2013 – 2, na Faculdade Pitágoras – São Luís, foi elaborado um teste matemático de 
colocação para todos os calouros que entraram para os cursos das engenharias. Um estudante que recebe uma 
nota abaixo de 6 terá que cursar aulas de reforço. As notas dos testes de colocação e as notas finais de 6 alunos 
que cursaram o 1° período foram registradas como segue a tabela: 
Teste 
de colocação 
Nota 
do curso 
5,0 6,0 
7,5 7,0 
6,5 8,0 
4,0 6,5 
2,5 7,0 
8,0 9,0 
 
Encontre o coeficiente de determinação, a reta de regressão e comente a qualidade do ajuste. 
3) Uma pesquisa mostrou que há uma relação entre o número de horas que os alunos passam on-line durante 
o fim de semana e a nota em um teste realizado na segunda feira seguinte. Os dados são mostrados na tabela. 
7 alunos foram escolhidos aleatoriamente. Há evidência suficiente para o instrutor concluir que há correlação 
linear entre os dados? Justifique sua resposta. (Use o valor do coeficiente de correlação). 
 
Horas gastas on-
line, x 
1 2 4 5 6 7 8 
Nota do teste 41 51 75 93 84 90 95 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROBABILIDADE 
1. Introdução 
No estudo da Estatística, estamos interessados, basicamente, na apresentação e interpretação dos 
possíveis resultados que ocorrem em um estudo planejado ou em uma investigação científica. Por exemplo, 
podemos classificar itens que saem da linha de produção como ‘defeituosos’ ou ‘não defeituosos’. Portanto, o 
estatístico frequentemente lida com dados experimentais por meio de observações. Por isso, a justificativa de 
estudarmos o cálculo das probabilidades, pois a maioria dos fenômenos de que trata a estatística são de natureza 
aleatória ou probabilística. Consequentemente, o conhecimento de aspectos fundamentais do cálculo da 
probabilidade é uma necessidade fundamental para o estudo da Estatística indutiva ou inferencial. 
 
2. Experimento aleatório 
Dentro de certas condições, é possível prever a que temperatura a água ferve. Esse tipo de experimento, 
cujo resultado é previsível, recebe o nome de determinístico. 
No entanto da afirmação “é provável que meu time ganhe hoje” pode resultar: 
a) que, apesar do favoritismo, ele perca; 
b) que, como pensamos, ele ganhe; 
c) que empate. 
Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esse são chamados de fenômenos 
aleatórios ou experimentos aleatórios. 
Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles, que mesmo, repetidos várias vezes sob as 
mesmas condições, apresentam resultados imprevisíveis. 
NOTA: Experimentos onde qualquer resultado pode ocorrer com a mesma chance, são chamados de 
experimentos aleatórios equiprováveis. 
 
3. Espaço Amostral ou Conjunto Universo 
É o conjunto U de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório equiprovável. O número 
de elementos desse conjunto é indicado por n(U). 
Exemplos 
1°) O lançamento de um dado. 
 
2°) O lançamento de duas moedas. 
 
3°) O sorteio da Mega Sena, considerando palpite simples, isto é, com cartões com apenas 6 números. 
 
4. Evento 
 É qualquer subconjunto do espaço amostral U. 
Assim, no lançamento de um dado, por exemplo, o evento obter um número maior ou igual a 5 é dado 
por A = {5, 6}, subconjunto de U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 
Obs. Quando A = U, o evento é certo e quando A = Ø, o evento é impossível. 
 
Exemplos 
1°) No lançamento de uma moeda, A = {cara, coroa} é um evento certo, pois n(A) = n(U). 
 
2°) Obter 7 no lançamento de um dado é impossível. 
 
Obs. Quando A ∪ A ̅̅ ̅ = 𝑈 e A ∩ A ̅̅ ̅ = ∅, os eventos A e A̅ são complementares. 
 
 
 
 
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Exemplos 
1°) Determinar o espaço amostral do experimento aleatório lançamento simultâneo de dois dados e o evento 
soma dos pontos obtidos é maior que oito. 
 
2°) Considerando o experimento aleatório nascimento de 3 filhos de uma casal, determine o espaço amostral 
e o subconjunto que representa o evento nascimento de exatamente 2 meninos em 3 filhos do casal. 
 
 
5. Definição de Probabilidade 
 Se, num experimento aleatório equiprovável, o número de elementos do espaço amostral U é n(U) e o 
número de elementos do evento A é n(A), então a probabilidade de que ocorra o evento A é dada pelo número 
real P(A), tal que: 
 
 
 
Portanto, a probabilidade de um evento é dada pelo quociente da divisão do número de casos favoráveis 
pelo número de casos possíveis. 
 
Exemplos 
1°) Um grupo de 20 pessoas é formado por 12 homens e 8 mulheres. Em relação ao sorteio de um elemento 
deste grupo, calcule: (a) a probabilidade de ser homem; (b) a probabilidade de ser mulher. 
2°) Um dado e uma moeda são lançados. Pede-se: 
a) Construir o espaço amostral; 
b) enumerar os eventos: 
(i) sair cara e par; (ii) sair coroa e impar; (iii) sair múltiplo de 3 e cara; 
c) Calcule as probabilidades da letra b. 
3°) Numa caixa há 6 bolas brancas e 4 bolas vermelhas. Qual é a probabilidade de, ao acaso, retirar: 
a) uma bola vermelha? b) uma bola branca? 
 
 
 
6. Propriedades 
I. Se A = ∅, então n(A) = 0 e, portanto, P(A) = 0 (probabilidade do evento impossível). 
II. Se A = U, então n(A) = n(U) e P(A) = 1(probabilidade do evento certo). 
III. Se A ⊂ U, então 0 ≤ n(A) ≤ n(U). 
 
7. Eventos Complementares 
 Sabemos que um evento pode ocorrer ou não ocorrer. Sendo p a probabilidade que ele ocorra (sucesso) 
e q a probabilidade que ele não ocorra (insucesso ou fracasso), para um mesmo evento existe sempre a relação: 
 
 
 
Assim, se a probabilidade de ocorrer um evento é 𝑝 =
1
5
, a probabilidade que ele não ocorra é: 
𝑞 = 𝑝 − 1 ⟶ 𝑞 = 1 −
1
5
⟶ 𝑞 =
4
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(A) = 
n(A)
n(U)
 
p + q = 1 → q = 1 – p 
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8. Eventos Independentes 
 Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou não-realização de um dos 
eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. 
 Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado de um deles independe do resultado obtido no 
outro. 
 Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles ocorram simultaneamente é igual ao 
produto das probabilidades de realização dos dois eventos. 
Assim, sendo p1 a probabilidade de realização do 1° evento e p2 a probabilidade de realização do 2° evento, a 
probabilidade que tais eventos se realizem simultaneamente é dada por: 
 
 
 
 
Obs. Nesse caso trata-se de probabilidade do produto. 
 
Exemplos 
1°) Uma empresa que fabrica caixas de papelão descobre que a probabilidade de produzir uma caixa com furos 
é de 0,05, a probabilidade de produzir uma caixa com um canto amassado é de 0,08. Se um inspetor de 
qualidade selecionar duas caixas aleatórias, a probabilidade de encontrar uma caixa amassada e outra com furo 
é? 
 
2°) Numa certa comunidade 52% dos habitantes são mulheres e destas 2,4% são canhotas. Dos homens, 2,5% 
são canhotos. Calcule a probabilidade de que um indivíduo escolhido ao acaso seja canhoto. 
 
 
9. Eventos Mutuamente Exclusivos 
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos, quando a realização de um exclui a 
realização do(s) outro(s). 
Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e “tirar coroa” são mutuamenteexclusivos, 
já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza. 
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade que ou outro se realize é igual à soma das 
probabilidades de que um deles se realize. 
 
 
 
Nota: A probabilidade de eventos mutuamente exclusivos é um caso particular de soma de probabilidades, 
quando a intersecção entre os eventos é o conjunto vazio. 
Exemplos 
1°) Lançando um dado a probabilidade de se sair 4 ou 6 é: 
 
2°) As chances de as vendas de uma determinada empresa superarem, igualarem ou ficarem abaixo de R$ 
400.00,00/mês são iguais respectivamente a 30%, 50% e 20%. Calcule a probabilidade de: (a) a empresa 
vender R$ 400.00,00/ ou mais; (b) a empresa vender R$ 400.00,00/ ou menos. 
 
3°) Uma loja de material de construção possui 2 caixas de conexões. Na primeira, das 30 conexões 11 são 
defeituosas. Na segunda caixa, de 12 conexões, 4 apresentam defeitos. Uma conexão retirada aleatoriamente 
de cada caixa. Calcule a probabilidade de: 
a) apenas uma ser defeituosa; 
b) ambas serem defeituosas. 
 
 
 
 
p = p1 x p2 
p = p1 + p2 
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10. Soma de Probabilidade 
 Se A e B são dois eventos de um espaço amostral U, podemos escrever: 
 
 
Obs. Se A ∩ B = ∅, temos: P(A∪ B) = P(A) + P(B) 
Exemplos 
1°) Sorteando um número de 1 a 30, qual a probabilidade de que ele seja par ou múltiplo de 3. 
 
2°) Uma empresa possui 350 funcionários. Destes, 280 possuem plano de saúde particular, 180 possuem plano 
de saúde coletivo e 30 não possuem plano de saúde de nenhum dos dois tipos. Calcule a probabilidade de um 
funcionário escolhido ao acaso: 
a) não possuir nenhum plano; 
b) possuir pelo menos um dos planos; 
c) possuir ambos os planos. 
Obs. Exemplos desse tipo, precisaremos do cálculo da união de conjuntos, isto é: 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B), daí, temos: 
n(A ∪ B)
n(U)
=
n(A )
n(U)
+
n(B)
n(U)
−
n(A ∩ B)
n(U)
⟹ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
 
11. Probabilidade Condicional 
 Denomina – se probabilidade de A condicionada a B, a probabilidade de ocorrência do evento A, 
sabendo – se que vai ocorrer ou já ocorreu o evento B. 
 A probabilidade condicional é dada por: 
 
 
 
 
Exemplos 
1°) Consideremos um grupo de 250 alunos que cursam o primeiro período da Faculdade Pitágoras. Destes 
alunos 100 são homens. Das mulheres, 80% cursam Enfermagem e as demais Engenharia e dos homens 10% 
cursam enfermagem. Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando Engenharia 
dado que é mulher. 
 
2°) Num certo pais, 20% das declarações de imposto de renda são suspeitas e submetidas a uma análise 
detalhada; entre estas verificou-se que 30% são fraudulentas. 
Entre as não suspeitas, 4% são fraudulentas. 
a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser não suspeita e fraudulentas. 
b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade de ela ter sido suspeita? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
P(A ∕ B) = 
P(A ∩ B)
P(B)
 
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Exercícios de fixação 
1°) Uma empresa resolveu comparar o número de horas de treinamentos preventivos com o número de 
acidentes verificados nas suas instalações. Observe os números apresentados da tabela seguinte. Pede-se: 
a) Calcule o coeficiente de determinação e comente a qualidade de ajuste; 
b) construa o modelo de ajuste linear entre os pontos (equação da reta de regressão linear). 
 
Treinamento 14 12 18 25 32 44 17 28 
Acidentes 49 52 45 46 41 35 49 44 
 
2°) Encontre o coeficiente de correlação linear para cada tabela seguinte: 
a) 
X 2 3 4 5 6 7 8 
y 1,6 1,2 1,0 1,2 1,4 1,0 1 
 
b) 
 
 
 
 
 
3°) Numa indústria é feito um acompanhamento sistemático do percentual de elementos defeituosos 
produzidos a cada intervalo de 1/2 hora. Após um mês de produção, os valores médios de percentuais de 
defeitos a cada horário foram marcados na tabela abaixo: 
Verifique a existência de correlação linear entre o horário e o percentual e, em seguida construa o modelo de 
ajuste linear entre os pontos. 
 
4°) Uma empresa de telefonia resolveu analisar a relação entre a idade do seu consumidor e sua conta média 
mensal. Analisou os dados de uma amostra formada por oito consumidores, apresentada a seguir. Analise o 
modelo de ajuste linear entre a idade(x) e a conta(y) e comente a associação existente entre as varáveis. 
 
 
Idade (em anos) 32 17 26 36 34 53 31 29 
Conta média 
(em R$/mês) 
85 84 36 82 77 70 52 95 
 
5°) Um dado e uma moeda são lançados. Pede-se: 
a) Construir o espaço amostral; 
b) enumerar os eventos: 
(i) sair cara e par; (ii) sair coroa e impar; (iii) sair múltiplo de 3 e cara; 
c) Calcule as probabilidades da letra b. 
6°) Calcule a probabilidade de cada um dos eventos: 
a) uma conta a receber, escolhida ao acaso, estar atrasada. Sabendo que das 1.800 contas a receber existentes 
20% estão atrasadas. 
b) um funcionário, escolhido ao acaso, não ter mais que 25 anos. Do universo de 560 funcionários, 340 
possuem 25 anos ou mais. 
 
X - 12 - 10 - 8 - 6 - 4 
y 3 18 21 40 34 
horas 7:00 7:30 8:00 8:30 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 
% 0,12 0,09 0,14 0,16 0,13 0,18 0,15 0,18 0,15 0,19 0,20 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PROF. OTON RIBEIRO Página 13 
 
7°) Suponha que 20% dos homens e 15% das mulheres de certa característica genética. Essa característica 
somente pode ser herdada por uma criança se ambos os pais forem portadores. Qual a probabilidade de uma 
criança nascer com essa característica genética? 
 
8°) Victon e Enzo estão jogando dardos. A probabilidade de Victon acertar o alvo é de 70% e de Enzo 80%. 
Se os dois atirarem uma vez, qual a probabilidade de que: 
a) ambos atinjam o alvo? b) pelo menos um atinja o alvo? 
 
9°) Suponha que 2% de todos os criminosos condenados sejam, na realidade, inocentes. 
a) Se uma pessoa é condenada por um crime, qual a probabilidade de ela ser culpada? 
b) Se duas pessoas são condenadas por crimes, qual a probabilidade de pelo menos uma ser culpada. 
 
10°) Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A 
probabilidade que N seja menor do que 4 é? 
 
11°) Uma empresa possui 350 funcionários. Destes, 280 possuem plano de saúde particular, 180 possuem 
plano de saúde coletivo e 30 não possuem plano de saúde de nenhum dos dois tipos. Calcule a probabilidade 
de um funcionário escolhido ao acaso: 
a) não possuir nenhum plano; 
b) possuir pelo menos um dos planos; 
c) possuir ambos os planos. 
 
12°) Em uma prova caíram dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro, 86 erraram o 
segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, 
escolhido ao acaso: 
a) não tenha acertado nenhum problema? 
b) tenha acertado apenas o segundo problema? 
 
13°) Dos alunos de uma faculdade que cursam Engenharia, 60% já fizeram outra graduação. Dos que não 
fizeram outra graduação, 10% pensam em continuar estudando até a pós-graduação. Dos demais, esta 
probabilidade aumenta para 30%. Pede-se: 
a) qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso desejar cursar a pós-graduação? 
b) se um aluno desejar cursar a pós-graduação, qual a probabilidade de nunca ter feito outra graduação antes? 
 
14°) Uma prova de múltipla escolha possui cinco alternativas, das quais apenas uma é correta.A probabilidade 
de que um determinado aluno saiba a resposta certa é igual a 35%. Supondo a inexistência da possibilidade de 
obtenção da resposta através de fraude, pergunta-se: 
a) se ele acertou a questão, qual a probabilidade de ele realmente saber a resposta? 
b) qual a probabilidade de ele acertar a questão?