Probabilidade e Estatística: Guia da Disciplina

Prévia do material em texto

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
Dr. Marcos Antonio S. de Jesus 
GUIA DA 
DISCIPLINA 
 2021 
 
 
1 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Objetivo Geral 
 A disciplina Probabilidade e Estatística tem como objetivo geral no curso de Análise 
e Desenvolvimento de Sistemas, apresentar fundamentos matemáticos básicos de análise 
combinatória, probabilísticos e estatísticos, para servir como ponto de ancoragem dos 
conceitos que serão apresentados nas próximas disciplinas técnicas do curso e que estão 
relacionados à ideias probabilísticas também desenvolvidas no curso, bem como intervir no 
processo de ensino e aprendizagem, como elemento facilitador, nos problemas que 
envolvam procedimentos e ideias probabilísticas e estatísticas no decorrer de todo curso. 
 
Introdução 
Caro participante do Curso de Análise e Desenvolvimento de Sistemas, na 
modalidade EAD da UNISANTA, na disciplina de probabilidade e estatística, você terá 
acesso a alguns tópicos fundamentais de análise combinatória, probabilidades, e estatística 
descritiva, como conhecimentos prévios, de fundamental importância em sua formação 
como Analista de Desenvolvimento de Sistemas. Sabemos que a formação de Analista, 
o tornará apto a exercer suas atribuições técnicas com qualidade, requer conhecimentos 
matemáticos básicos, necessários para interpretação de problemas, criação de variáveis, 
estruturação e resolução através de linguagem matemática. Por esse motivo, essa 
disciplina aparece no começo do curso, como meio de você retomar conhecimentos 
adquiridos no ensino fundamental e médio e dar continuidade no ensino superior, com uma 
formação sólida e consistente no âmbito da Tecnologia da Informação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
1. ANÁLISE COMBINATÓRIA: 1ª AULA 
1.1 Introdução 
A análise combinatória é um dos conteúdos matemáticos que estuda métodos e 
técnicas que possibilitam resolver problemas que estão relacionados com contagem. 
Geralmente a análise combinatória é utilizada em estudos sobre probabilidade, realizando 
análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos. 
 
1.2 Princípio Fundamental da Contagem 
O princípio fundamental da contagem, que também pode ser chamado de princípio 
multiplicativo mostra que: quando um evento é composto por n etapas sucessivas e 
independentes, de tal modo que as possibilidades da primeira etapa é 𝑥 e o número de 
possibilidades da segunda etapa é 𝑦, resulta no número total de possibilidades do evento 
ocorrer é dado pelo produto (𝑥. 𝑦). 
 
Uma pessoa tem três camisetas, dois pares de sapatos e duas calças. Com 
essas peças do vestiário, de quantos formas diferentes ele pode ser vestir, 
usando uma camiseta, um par de sapato e uma calça de cada vez? 
Podemos começar a resolução desse problema, construindo uma árvore de 
possibilidades, conforme ilustrado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sapatos 
Camisetas 
Calças 
 
 
3 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Então o acontecimento se dará de 𝟑. 𝟐. 𝟐 = 𝟏𝟐 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 
O que fizemos foi multiplicar o número de opções de camisetas, sapatos e calças. 
Nesse caso podemos afirmar que a pessoa poderá se vestir de 12 formas distintas, 
somente com essas peças do seu vestuário. Devemos também entender que basta 
trocar uma das peças, já é outra forma diferente de se vestir. 
 
 
 
Numa festa há 8 mulheres e 10 homens. Quantos casais distintos, é possível 
formar parar ensaiar uma dança? 
 
 𝟖 . 𝟏𝟎 = 𝟖𝟎 𝒄𝒂𝒔𝒂𝒊𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒐𝒔 
Mulheres Homens 
 
1.3 Técnicas de Contagem 
O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos 
problemas relacionados com contagem. Em outros problemas utilizamos algumas técnicas 
para resolver problemas com determinadas características. 
 
Antes de conhecermos essas técnicas de contagem, vamos definir um conceito 
muito utilizado em problemas de contagem, que é o fatorial. 
 
O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos 
os seus antecessores. Utilizamos o símbolo (!), para indicar o fatorial de um número. 
 
Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1. 
n! = n. (n − 1). (n − 2)…1 
0! = 1 3! = 3.2.1 = 6 5! = 5.4.3.2.1 = 120 8! = 8.7.6.5! 
(n+1)!
(n−1)!
=
(n+1).n.(n−1)!
(n−1)!
= n. (n + 1) 
https://www.todamateria.com.br/fatorial/
 
 
4 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Observe que que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. 
Então, frequentemente usamos simplificações para efetuar os cálculos de análise 
combinatória. 
1.3.1 Arranjos 
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza 
dos elementos envolvidos. 
 
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a 
seguinte expressão: 
𝑨𝒏,𝒑 =
𝒏!
(𝒏 − 𝒑)!
 
 
 
Com os algarismos {1, 2, 3,4,6 }, quantos números formados por dois 
algarismos distintos (dezenas), existem? 
Devemos considerar, por exemplo, que o número 21 é diferente do número 
12. Assim vamos utilizar da técnica dos arranjos, pois o arranjo 12 é diferente 
do arranjo 21. Então teremos: 
𝑨𝟓,𝟐 = 
𝟓!
(𝟓−𝟐)!
=
𝟓!
𝟑!
=
𝟏𝟐𝟎
𝟔
= 𝟐𝟎 dezenas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
2. ANÁLISE COMBINATÓRIA: 2ª AULA 
 
2.1 Permutações Simples 
As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (𝑛) do 
agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis. 
 
Observe que a permutação é um caso particular dos arranjos, quando o número de 
elementos é igual ao número de agrupamentos. 
 
Assim podemos considerar que a permutação pode ser calculada por: 
𝑨𝒏,𝒏 = 𝑷𝒏 = 𝒏! = 𝒏. (𝒏 − 𝟏). (𝒏 − 𝟐)…𝟏 
 
 
 
De quantas maneiras diferentes 5 pessoas podem se sentar em um banco com 
5 lugares? 
Como a ordem em que irão se sentar importa e o número de lugares é igual ao 
número de pessoas, podemos usar a permutação: 
𝑷𝟓 = 𝟓! = 𝟓. 𝟒. 𝟑. 𝟐. 𝟏 = 𝟏𝟐𝟎. Então existem 120 formas diferentes das 5 
pessoas se sentarem no banco com 5 lugares. 
 
 
 
 
Numa fila indiana com 6 pessoas, duas delas, (Pedro e Joana) não querem se 
separar. De quantas maneiras é possível ficar na fila satisfazendo essa 
condição? 
 
Solução: Vamos considerar os dois como uma única pessoa, já que não querem 
se separar. Assim vamos permutar 5, ou seja, 4 + 1. Mas, os dois podem estar 
juntos independente da ordem que estejam sentados. Dessa forma, poderá 
ser Pedro e Joana ou Joana e Pedro, o que dará 2!. 
∎∎⏟
1
 ∎∎∎∎⏟ 
4
 = 𝟐!. 𝑷𝟓 = 𝟐!. 𝟓! = 𝟐. (𝟏𝟐𝟎) = 𝟐𝟒𝟎 
 
 
 
 
6 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
2.2 Combinações 
As combinações são subconjuntos de um conjunto. Sabemos que em um 
subconjunto, a ordem dos elementos não importa. Dessa forma, para calcular uma 
combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), é utilizada a seguinte expressão: 
𝑪𝒏,𝒑 =
𝒏!
𝒑! (𝒏 − 𝒑)!
 
 
 
 
Dentre um grupo de 12 pessoas, 3 serão escolhidas para formar uma comissão 
organizadora de um evento acadêmico. De quantas maneiras distintas essa 
comissão poderá ser formada? 
Observe que diferentemente dos arranjos, nas combinações a ordem dos 
elementos não importa. Isso quer dizer que uma comissão formada por Pedro, 
José e Telma, é a mesma comissão que é formada por Telma, José e Pedro. 
𝑪𝟏𝟐,𝟑 =
𝟏𝟐!
𝟑!(𝟏𝟐−𝟑)!
 = 
𝟏𝟐!
𝟑!(𝟗)!
 = 
𝟏𝟐.𝟏𝟏.𝟏𝟎.𝟗!
𝟑!.𝟗!
= 
𝟏𝟐.𝟏𝟏.𝟏𝟎
𝟑!
=
𝟏𝟑𝟐𝟎
𝟔
 = 𝟐𝟐𝟎 
Então, podemos afirmar queé possível formar 220 comissões. 
 
Dispomos de 10 tipos produtos para montagem de cestas básicas. Qual é o 
número de cestas distintas que podemos formar com 6 desses produtos, de 
modo que dois determinados produtos sejam sempre incluídos? 
 Explicação: 
 Total de produtos: 10 produtos. 
Condição: os produtos a e b devem sempre estar presente. Então, nesse caso, 
vamos separar dois lugares para sempre colocar esses dois produtos. Desta 
forma sobrarão apenas 8 produtos dos 10 iniciais e apenas 4 espaços para 
colocar os 4 produtos que ainda faltam em cada sexta. Esses 4 produtos serão 
escolhidos entre os 8 restantes. 
 
 
𝑪𝟖,𝟒 =
𝟖!
𝟒!(𝟖−𝟒)!
 = 
𝟖!
𝟒!(𝟒)!
 = 
𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎
𝟓𝟕𝟔
= 𝟕𝟎 
Portanto, é possível formar 70 diferentes tipos de sexta, satisfazendo essa 
condição. 
 
2.3 Permutações com Repetição 
𝑃𝑛
𝑛1,𝑛2,𝑛3…,𝑛𝑛, =
𝑛!
𝑛1.! 𝑛2! … 𝑛𝑛!
 
n é o total de elementos. 
n1., n2,…nn são os elementos repetidos ou não. 
 
 
7 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
Quantos anagramas tem a palavra Perereca? 
Sabemos que um anagrama é qualquer permutação da palavra, mesmo sem 
sentido. Nesse exemplo a palavra perereca tem 8 letras, onde algumas tem 
repetição. Assim temos, 1p, 3e, 2r, 1c e 1a. 
𝑷𝟖
𝟑,𝟐,𝟏,𝟏
=
𝟖!
𝟑!.𝟐!𝟏!𝟏!
= 
𝟒𝟎𝟑𝟐𝟎
𝟏𝟐
= 𝟑𝟑𝟔𝟎. Assim podemos dizer, que a palavra 
perereca, produz 3360 anagramas, ou seja, 3360 permutações da própria 
palavra. 
 
2.4 Agora faça você mesmo! 
 
 
2.4.1Uma comissão de 5 pessoas é formada de membros de uma diretoria que 
é composta por 6 homens e 5 mulheres. De quantas maneiras é possível 
formar a comissão de modo que ela tenha: 
Exatamente 3 mulheres? 
Pelo menos 4 mulheres? 
2.4.2 Dispomos de 12 pessoas para formar equipes com 7 pessoas. Sabendo 
que Pedro e Paula são duas dessas 12 pessoas e que os dois devem sempre 
estar em todas as equipes formadas. Nessas condições, qual é o número de 
equipes distintas que podemos formar? 
2.4.3 Com relação à palavra IMPUT: 
a) quantos anagramas existem que começam com a letra I? 
b) quantos anagramas começam e acaba em vogal? 
c) quantos anagramas tem as letas T e U juntas? 
2.4.4 Um Químico possui 8 (oito) tipos de substâncias. De quantos modos 
possíveis poderá associar 5 (cinco) dessas substâncias se, entre as oito, duas 
somente não podem ser juntadas porque produzem uma mistura explosiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
3. ELEMENTOS E CÁLCULO DE PROBABILIDADES: 1ª AULA 
 
3.1 O experimento aleatório 
Experimento aleatório é todo experimento cujo resultado não seja prioritariamente 
conhecido. Por exemplo: ao jogar um dado, antes de observar a face superior, será 
impossível saber qual das faces do dado ficará voltada para cima, com exceção de casos 
em que dado seja viciado, ou seja, modificado para ter um resultado mais frequente. 
 
3.2 O espaço amostral 
O espaço amostral é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um 
experimento aleatório, ou seja, por todos os seus resultados possíveis. Dessa maneira, o 
resultado de um experimento aleatório, mesmo que não seja previsível, sempre pode ser 
encontrado dentro do espaço amostral referente a ele. 
Como os espaços amostrais são conjuntos de resultados possíveis, utilizamos as 
representações de conjuntos para esses espaços. Por exemplo: O espaço amostral 
referente ao experimento “lançamento de um dado” é o conjunto S, tal que: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} nesse caso temos 6 casos possíveis. N(S) = 6 
Esse conjunto também pode ser representado por um diagrama de venn ou, 
dependendo do experimento, por alguma lei de formação. O número de elementos dos 
espaços amostrais é representado por n(S). Os elementos de um espaço amostral são os 
resultados possíveis de um experimento aleatório. 
3.3 O Evento 
Todos os eventos são subconjuntos de um espaço amostral. Um evento pode 
conter desde nenhum ao total de casos possíveis de um experimento aleatório, ou seja, o 
evento pode ser um conjunto vazio ou o próprio espaço amostral. 
 
3.4. Cálculo de Probabilidades 
As probabilidades são obtidas dividindo-se o número de resultados favoráveis pelo 
número de resultados possíveis, ou seja: 𝑷 =
𝒏(𝑬)
𝒏(𝑺)
. Nesse caso, E é um evento que se quer 
conhecer a probabilidade, e S é o espaço amostral que o contém. 
 
 
9 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
Dado um espaço amostral (S) e um evento (A), a probabilidade ocorrer A 
em S é dada por: 
 
 
 
𝑛(𝐴) = é o número de casos favoráveis ao evento 
que que desejamos investigar. 
𝑛(𝑆) = é o número de casos favoráveis a todo espaço amostral, ou seja, é 
o total de casos possíveis. 
Um dado é lançado uma única vez. Qual a probabilidade de ocorrer face 
virada para cima com número ímpar? 
n(A) = 3 (três números ímpares) {1, 3, 5} 
n(S) = 6 (Total de faces de um dado 
P(A) =
n(A)
n(S)
 = 
3
 6
 = 0,5 ou P = 50% 
Um dado é lançado duas vezes. Qual a probabilidade de ocorrer números 
iguais em nas duas faces que ficarem viradas para cima? 
n(A) = faces iguais {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), 5,5), (6,6)} 
Nesse caso temos 6 casos favoráveis ao que desejamos 
n(S) = 6.6 = 36 casos possíves 
P(A) =
n(A)
n(S)
 = 
6
 36
 = 0,16666 ou P = 16,66% 
 
Você deve ter observado que os valores das probabilidades encontradas sempre 
resultaram em um número dentro do intervalo 0 ≤ x ≤ 1. Isso sempre irá acontecer porque 
A é um subconjunto de S. Dessa maneira, A pode conter desde zero até, no máximo, o 
mesmo número de elementos que S. 
 
3.5. Probabilidade Condicional 
Probabilidade condicional é um segundo evento de um espaço amostral que ocorre 
em um evento depois que já tenha ocorrido o primeiro. Por exemplo, vamos considerar um 
espaço amostral S finito não vazio e um evento A de S, se quisermos outro evento B desse 
espaço amostral S, essa nova probabilidade é indicada por P(B/A) e afirmamos que é a 
probabilidade condicional de A em relação a B. 
 Sempre consideramos que ao calcularmos o valor da probabilidade B, então A 
ocorreu. Essa probabilidade condicional irá formar um novo espaço amostral, pois agora o 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
 
 
 
10 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
espaço amostral será A e os elementos do evento B irão pertencer a intersecção de B e A, 
seja B ∩ A. 
Então temos: 𝐏(𝐁/𝐀) =
𝐧(𝐁∩𝐀)
𝐧(𝐀)
 ou 𝐏(𝐁/𝐀) =
𝐏(𝐁∩𝐀)
𝐏(𝐀)
 
Para calcular a probabilidade P(B∩A) basta multiplicar as probabilidades de A e B: 
𝐏(𝐁 ∩ 𝐀) = 𝐏(𝐁). 𝐏(𝐀) 
 
No lançamento de dois dados não viciados, qual a probabilidade de 
obtermos faces voltadas para cima com a soma entre elas seja 6? 
Nesse caso temos o lançamento de dois dados. O espaço amostral é 
determinado através do produto entre os eventos decorrentes de cada 
universo de resultados possíveis. No dado, o espaço amostral é composto 
de 6 eventos e como são dois dados temos que o espaço amostral terá 6 x 
6 resultados possíveis. Nesse caso, 36 resultados diferentes. 
No lançamento dos dois dados as possibilidades de parceria entre as faces 
para que a soma seja 6, será: 
(1 e 5), (5 e 1), (2 e 4), (4 e 2), (3 e 3). 
𝐏 =
𝟓
𝟑𝟔
→ 𝐏 ≅ 𝟎, 𝟏𝟑𝟗 𝐨𝐮 𝐏 ≅ 𝟏𝟑, 𝟗% 
Então concluímos que no lançamento de dois dados a probabilidade de 
obtermos soma das faces voltadas para cima igual a 6 é aproximadamente 
13,9%. 
Ao lançarmos uma moeda e um dado, qual a probabilidade de obtermos 
o resultado dado por coroa e o número 1? 
Veja que o espaço amostral do dado corresponde a 6 eventos e que o 
espaço amostral da moeda equivale a 2 eventos. Envolvendo o dado e a 
moeda temos um espaço amostral de 12 eventos. A probabilidade de 
obtermos o resultado dado por coroa e onúmero 1 é determinada por: 
𝐏 =
𝟏
𝟏𝟐
→ 𝐏 ≅ 𝟎, 𝟎𝟖𝟑𝟑 𝐨𝐮 𝐏 ≅ 𝟖, 𝟑𝟑% 
Então ao lançarmos um dado e uma moeda, a probabilidade de obtermos 
o par coroa e o número 1 é de aproximadamente 8,33%. 
 
 
11 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
4. ELEMENTOS E CÁLCULO DE PROBABILIDADES: 2ª AULA 
 
4.1. Probabilidade da União de Eventos 
Dados dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral S, a probabilidade de 
ocorrer o evento A ou evento B, é determinada por: 𝐏(𝐀𝐔𝐁) = 𝐏(𝐀) + 𝐏(𝐁) − 𝐏(𝐀 ∩ 𝐁). 
 
P(A OU B) = P(A) + P(B) – P(A∩B), então temos a probabilidade de ocorrer o evento 
A ou evento B. Somamos as probabilidades P(A) mais P(B) e subtraímos a intersecção 
entre ambas, caso exista. 
 
 
 
Uma carta de um baralho com 52 cartas é retirada. Qual a probabilidade de 
ocorrer um ÁS ou uma DAMA? 
Sabemos que em um baralho existe um total de 52 cartas, assim distribuídas: 
13 cartas de paus, 13 cartas de ouro, 13 cartas de espadas e 13 cartas de 
copas. Além disso qualquer carta aparece 4 vezes. Por exemplo: existem 4 
damas, distribuídas da seguinte forma: Uma dama de paus, uma dama de 
ouro, uma dama de copas e uma de espadas. Dessa forma acontece para 
qualquer carta. 
Então, nesse problema queremos: 
P (A ou B) = P (DAMA OU ÁS) = 
4
52
 + 
4
52
 = 
8
52
 = 
2
13
 = 0,1538 ou P = 15,38% 
 
Uma carta de um baralho com 52 cartas é retirada. Qual a probabilidade de 
ocorrer um ÁS ou carta de COPAS? 
Veja que nesse exemplo existe intersecção. Então, nesse problema 
queremos: 
P (A ou B) = P (ÁS ou UMA CARTA DE COPAS) = 
4
52
 + 
13
52
 - 
1
52
 = 
16
52
 = 
4
13
 = 
0,3076 ou P = 30,76% 
 
4.2. Probabilidade da Intersecção de Eventos 
4.2.1 Introdução 
O cálculo da probabilidade de eventos simultâneos determina a possibilidade de dois 
ou mais eventos ocorrerem simultaneamente ou sucessivamente, e irá considerar que o 
evento que antecede aquele que está sendo calculado ocorreu. 
 
 A fórmula para o cálculo dessa probabilidade é decorrente da fórmula para cálculo 
 
 
12 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
da probabilidade condicional, considerando que os eventos sejam independentes 
𝒑(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝒑(𝑩/𝑨) . 𝒑(𝑨) = 𝒑(𝑩). (𝑨/𝑩) 
O fato do evento B não alterar a probabilidade de ocorrer o evento A, a fórmula para 
cálculo da probabilidade condicional é dada por: 𝒑(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝒑(𝑨). 𝒑(𝑩). 
 
Uma moeda é lançada duas vezes. Qual a Probabilidade de ocorrer cara 
nas duas vezes. 
P(A e B) = P(A). P(B/A) = 
1
2
. 
1
2
 = 
1
4
 = 0,25 ou P = 25% 
Uma urna contém duas bolas brancas e uma vermelha. Retiram-se duas 
bolas da urna ao acaso, uma e sem seguida a outra e sem que a primeira 
tenha sido recolocada. Qual a probabilidade de as duas serem brancas. 
P(A) é bola branca na primeira retirada 
P(B) é bola branca na segunda retirada 
P(A e B) = P(A). P(B/A) = 
2
3
. 
1
2
 = 
2
6
 ≅ 0,3333 ou P ≅ 33,33% 
Numa escolha de 3 (três) minhocas de uma amostra com 50 minhocas, 
onde 3/5 das minhocas têm menos que 10 cm de tamanho e o restante 
tem mais que 10 cm de tamanho, qual a probabilidade que as três 
escolhidas tenham mais que 10 cm de tamanho? A escolha é sem 
reposição. 
3
5
 de 50 é 30. Então existem 30 minhocas com menos de 10 cm de 
tamanho. Logo concluímos que 20 minhocas, tem mais de 10 cm de 
tamanho. 
P(3 minhocas com mais de 10 cm) = 
20
50
.
19
49
.
18
48
 = 
6840
117600
= 𝟎, 𝟎𝟓𝟖𝟏𝟔 
Ou P = 5,81% 
 
 
Em dois lançamentos sucessivos de um mesmo dado, qual a probabilidade 
de ocorrer um número maior que 4 e o número 3? 
 
 
13 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Observe que a ocorrência de um evento não influencia a probabilidade de 
outro ocorrer, portanto são dois eventos independentes. Vamos 
diferenciar os dois eventos: 
A: sair um número maior que 4. Como possíveis resultados temos os 
números 5 e 6. 
B: sair o número 3 
Calculemos a probabilidade de ocorrência de cada um dos eventos. 
Observe que no lançamento de um dado, temos 6 valores possíveis. 
𝑝(𝐴) =
2
6
=
1
3
 e 𝑝(𝐵) =
1
6
 
Então teremos, P(A ∩ B) = P(A). P(B/A) = 
1
3
. 
1
6
 = 
1
18
 = 0,055555 ou P = 
5,555% 
 
Numa urna há 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Serão retiradas dessa 
urna duas bolinhas, ao acaso, uma após a outra, sem reposição. Qual a 
probabilidade de sair um múltiplo de 5 na primeira e um número primo 
maior que dez na segunda retirada? 
 
o fato de a retirada das bolinhas ocorrer sem reposição, implica que a 
ocorrência do primeiro evento interfere na probabilidade do segundo 
ocorrer. Portanto, esses eventos não são independentes. Vamos escrever 
cada um dos eventos. 
A: sair um número múltiplo de 5: {5, 10, 15, 20} 
B: sair um número primo maior que dez: {11, 13, 17, 19} 
A probabilidade de ocorrer os dois eventos sucessivamente será dada por: 
Então teremos: 
 P(A∩B)=P(A).P(B/A).Calculando separadamente fica: 𝑝(𝐴) =
4
20
=
1
5
 
 
Para o cálculo de p(B|A) é necessário observar que não teremos mais 20 
bolinhas na urna, pois uma foi retirada e não houve reposição, restando 
apenas 19 bolinhas na urna. 
P(B/A) = 
4
19
 
Portanto, P(A∩B)=P(A).P(B) = 
1
5
 . 
4
19
 = 
4
95
≅ 0,210526 ≅ 21,05 
 
 
 
 
14 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
5. ELEMENTOS E CÁLCULO DE PROBABILIDASDES: 3ª AULA 
 
 5.1 Distribuição Binomial de Probabilidades 
Imaginemos que uma mulher teve 3 filhos e queremos saber qual a probabilidade de 
ter nascido exatamente dois homens? 
 
Poderíamos ter as seguintes situações possíveis para dois homens: MHH, HHM, 
HMH. Então temos 3 casos num total de 8 possíveis. Quem são os oito possíveis? MHH, 
HHM, HMH, MMM, HHH, HMM, MMH e MHM. 
 
Nesse caso a probabilidade será igual a: 𝑝 =
3
8
 = 0,375 ou 37,5% 
 
Na distribuição binomial temos o mesmo problema sendo interpretado de outra forma: 
p é a probabilidade favorável a nascer um homem, que nesse caso é 𝑝 =
1
2
 
q é a probabilidade não favorável, que nesse caso, também é meio, q =
1
2
 
 
Podemos calcular de quantos modos em 3 nascimentos, tem-se 3 homens. 
Assim: 𝐶3,2 =? (Lê-se: Combinação de 3 a 2) ou 𝐶3,2 = (
3
2
) (Lê-se: Binomial de 3 a 2) 
(
𝑛
𝑝) =
𝑛!
𝑝!.(𝑛−𝑝)!
 
 
Lembrando que n! = n.(n - 1).(n - 2).(n - 3)....1 
5! = 5.4.3.2.1 = 120 
3! = 3.2.1 = 6 
6! = 720 Por exemplo: (
𝟓
𝟐
) =
𝟓!
𝟐!.(𝟓−𝟐)!
=
𝟓!
𝟐!.𝟑!
 = 
𝟓.𝟒.𝟑!
𝟐!.𝟑!
 = 10 
 
5.2 Fórmula Para Cálculo em Problemas de Distribuição Binomial 
𝑃 = (
𝑛
𝑥
).(𝑝)𝑥. (𝑞)𝑛−𝑥 
n = total de realizações do evento 
x = número de casos desejados 
p = probabilidade favorável ao evento desejado 
q = probabilidade não favorável ao evento desejado 
 
 
 
15 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
Então o problema apresentado na introdução ficaria assim: 
Uma mulher teve 3 filhos e queremos saber qual a probabilidade de ter 
nascido exatamente dois homens? 
n = 3 
x = 2 homens 
p = 
1
2
 probabilidade favorável a nascer homem 
q = 
1
2
 probabilidade não favorável a nascer homem 
 
𝑷 = (
𝟑
𝟐
).(
𝟏
𝟐
)𝟐. (
𝟏
𝟐
)
𝟑−𝟐
 (
𝟑
𝟐
) =
𝟑!
𝟐!.(𝟑−𝟐)!
=
𝟔 
𝟐
= 𝟑 
 
𝑝 = 3. 
1
4
.
1 
2 
 = 
3
8 
 = 0,375 ou 37,5% 
 
Uma moeda é lançada 5 vezes; qual a probabilidade de se obter 
exatamente duas caras? 
 
𝑝 =
1 
2
𝑒 𝑞 =
1
2
 (𝑛
𝑘
) = 𝐶𝑛,𝑘 =
𝑛!
𝑘!.(𝑛−𝑘)!
 
 
𝑃2 = (
5
2
). (
1
2
)2. (
1
2
)3 𝐶5,2 =
5!
2!.(5−2)!
=10 
 𝑃2 = 10.
1
4
.
1
8
= 0,3125 ou P = 31,25% 
 
 
 
 
Um dado é lançado 6 vezes; qual a probabilidade de ser obter face 5 no 
máximo duas vezes? 
 
𝑝 =1 
6
𝑒 𝑞 =
5
6
 teremos que calcular 𝑃0 + 𝑃1 + 𝑃2 
 
𝑃0 = (
6
0
) . (
1
6
)0. (
5
6
)6 
 
𝑃0 = 1. 1 . (
5
6
)6 = 0,3349 𝑃0 = 33,49% 
 
𝑃1 = (
6
1
) . (
1
6
)1. (
5
6
)5 
 
𝑃1 = 6.
1
6
 . (
5
6
)6 = 0,401877 𝑃1 = 40,19% 
 
 
 
16 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
𝑃2 = (
6
2
) . (
1
6
)2. (
5
6
)4 
 
𝑃2 = 15.
1
36
 . (
5
6
)4 = 0,2009 
 
𝑃2 = 20,09% Então, 𝑃0 + 𝑃1 + 𝑃2 = 93,77% 
 
Cinco peças são extraídas de um lote com peças defeituosas e não 
defeituosas, ao acaso; qual a probabilidade de que todas sejam 
defeituosas, sabendo que 10% das peças do lote são defeituosas? 
 
𝑝 =
10 
100
= 0,1 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑞 = 0,9 Para defeito 
𝑃5 = (
5
5
) . (0,1)5. (0,9)0 
𝑃5 = 1. (0,1)
5. 1 = 0,00001 
𝑷𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏% 
 
De um grupo de 20 pessoas; qual a probabilidade de que exatamente duas 
sejam do gênero masculino? 
𝑝 =
1 
2
𝑒 𝑞 =
1
2
 
 
𝑃2 = (
20
2
) . (
1
2
)2. (
1
2
)18 
 
𝑃2 = 190.
1
4
. (
1
2
)18 = 0,000181198 ou 
 
Aproximadamente igual a 0,0181198120% 
 
 
5.3 Agora faça você mesmo! 
 
 
5.3.1 Na fabricação de placas para computadores, é sabido que 2 em cada 
100 são defeituosas. Qual a probabilidade de que uma amostra casual de 
tamanho dez, contenha: 
a) nenhuma defeituosa; 
b) exatamente duas defeituosas; 
c) exatamente uma defeituosa; 
d) no máximo duas defeituosas. 
 
 
17 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
6. ESTATÍSTICA DESCRITIVA: 1ª AULA 
 
6.1 Introdução 
A estatística é o campo de estudo que procura relacionar fatos e números em que 
há um conjunto de métodos que nos possibilita coletar dados e analisá-los, dessa forma é 
possível realizar alguma interpretação deles. A estatística é dividida em duas 
partes: descritiva e inferencial. A estatística descritiva é caracterizada pela organização, 
análise e apresentação dos dados, enquanto a estatística inferencial tem como 
característica principal o estudo do comportamento de uma amostra de determinada 
população e, com base nela, a realização de análises e a apresentação de dados. 
 
6.2 Medidas de Posição ou Tendência Central 
As medidas de posição são utilizadas em casos em que é possível construir-se um 
rol numérico com os dados ou uma tabela de frequência. Essas medidas indicam a posição 
dos elementos em relação ao rol. As três principais medidas de posição são: Média, Moda 
e Mediana. 
6.2.1 Média 
Considere o rol com os elementos (a1, a2, a3, a4, …, an), a média aritmética desses 
n elementos é dada por: �̅� =
𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯𝑎𝑛
𝑛
 ou �̅� = ∑
𝑎𝑖.𝑓𝑖
𝑛
𝑛
1 
 
 
 
Em um grupo de atletas, as idades dos integrantes foram coletadas e 
representadas no rol: (18, 20, 20, 20, 21, 23, 23, 25, 28, 28). Vamos agora 
determinar a idade média dos integrantes desse grupo de atletas. 
𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑥𝑖 . 𝑓𝑖 
 18 1 18 
20 3 60 
 21 1 21 
23 2 46 
25 1 25 
28 2 56 
Σ 10 226 
�̅� = ∑
𝑎𝑖 . 𝑓𝑖
𝑛
𝑛
1
 
�̅� =
226
10
 
 
�̅� = 22,6 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
 
 
 
18 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
6.2.2 Moda 
É chamado de moda o dado mais frequente de um conjunto de dados. 
 
 
 
Utilizando o exemplo apresentado para cálculo da média, teremos como 
moda a idade de 20 anos, pois é essa idade que mais vezes aparece na 
distribuição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2.3 Mediana 
 
Se o conjunto de informações for numérico e estiver organizado em ordem crescente 
ou decrescente, a sua mediana será o número que ocupa a posição central. A mediana é 
dada pelo elemento central de um rol que possui uma quantidade ímpar de elementos. 
Caso o rol possua uma quantidade par de elementos, devemos considerar os dois 
elementos centrais e calcular a média aritmética entre eles. 
 
 
Veja na Tabela a seguir, que o número de elementos desse rol é igual a 12 
(N = 12), logo, não é possível dividir o rol em duas partes iguais e considerar 
um único dado de ordem central, para isso precisaríamos uma quantidade 
ímpar de dados. Assim devemos tomar dois elementos centrais e realizar a 
média aritmética desses valores. 
 
𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑥𝑖 . 𝑓𝑖 
 18 1 18 
20 3 60 
 21 1 21 
23 2 46 
25 1 25 
28 2 56 
Σ 10 226 
Mo = 20 anos 
 
20 anos é a idade 
de maior frequência 
 
 
19 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
Como o N = 12 (par), devemos identificar quais elementos estão no meio da 
amostra. Nesse caso são dois. Os valores 21 e o próprio 21 ocupam as 
posições de número 6 e 7 respectivamente (6º e 7º) elementos. Esses valores 
dividem a amostra em duas partes iguais. Então temos 𝑀𝑑 =
21+21
2
= 21 
 
 
 
As idades em anos de 25 pessoas presentes nesta sala de aula são: 20, 19, 
22, 24, 25, 26, 18, 19, 18, 20, 21, 22, 23, 21, 19, 20, 19, 22, 21, 23, 24, 25, 22, 
20, 22. Determine a média, moda e mediana de idade desse grupo de 
pessoas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑥𝑖 . 𝑓𝑖 
18 2 36 
20 3 60 
21 2 42 
23 2 46 
25 1 25 
28 2 56 
Σ 12 265 
Idade 
em Anos ( 𝑥𝑖) 
Frequência 
𝑓𝑖 
𝑥𝑖𝑓𝑖 
18 2 36 
19 4 76 
20 4 80 
21 3 63 
22 5 110 
23 2 46 
24 2 48 
25 2 50 
26 1 26 
Σ 25 535 
𝑀𝑑 = 21 anos 
 
21 anos é a idade que ocupa a 
ordem central. 
 
 
20 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Média aritmética (�̅�) = 
∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖 
𝑛
𝑖
𝑛
= 
535
25
= 𝟐𝟏, 𝟒 𝒂𝒏𝒐𝒔 
A moda (𝑴𝒐), nesse caso é 22 anos. Pois é esse valor que aparece com 
maior frequência. 
A mediana (𝑴𝒅), nesse caso, é o valor que ocupa a posição de ordem 
𝑛+1
2
, 
n é ímpar, (N = 25). Assim temos o 13º como o elemento de ordem central. 
Portanto a mediana é 21 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
7. ESTATÍSTICA DESCRITIVA: 2ª AULA 
 
7.1 Medidas de Dispersão 
As medidas de dispersão são utilizadas nos casos em que somente a média já não 
é suficiente. Servem para verificar a representatividade das medidas de posição. É possível 
encontrar séries de valores que têm a mesma média, porém são compostas de forma 
diferentes. 
Sejam as séries abaixo: 
1ª) 10, 15, 25, 10, 5, 25 
2ª) 15, 15, 15, 15, 15, 15 
Façamos a verificação para cada série. 
Média aritmética (�̅�) = 
∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖 
𝑛
𝑖
𝑛
 �̅� = 
90
6
= 15. 
Note que em ambos os casos a média é igual a 15. Observe que, o comportamento 
dos dados, nas duas séries são totalmente diferentes. Assim se faz necessário o uso de 
medidas de dispersão para uma melhor interpretação dos dados. 
As medidas de dispersão nos indicarão o quanto os elementos do rol numérico estão 
afastados da média aritmética. Temos algumas importantes medidas de dispersão. 
 
7.1.1 Variância 𝜎2 
Chamamos de variância a média aritmética dos quadrados da diferença entre cada 
elemento do rol e a média aritmética desse rol. A variância é representada por σ2. 
Consideremos o rol (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥𝑛) e que ele possua média aritmética �̅�. A variância é dada 
por: 𝝈𝟐 = 
∑(𝒙𝒊−�̅�)
𝟐
𝒏
 
 
7.1.2 Desvio - Padrão 𝜎 
O desvio-padrão é dado pela raiz da variância, ele nos indica o quanto um dado está 
disperso em relação à média. O desvio padrão é representado por σ e determinado da 
seguinte forma: 𝝈 = √𝝈𝟐 
 
 
 
 
22 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
7.1.3 Coeficiente de Variação ou de Dispersão 
Este valor é uma medida relativa de dispersão, e é utilizada para comparar em termos 
relativos do grau de concentração em torno da média de um conjunto de dados distintos. O 
coeficiente de dispersão é a razão entre o desvio – padrão e a média (𝐂𝐕 =
𝛔
�̅�
 ). Geralmente 
é expresso em porcentagemCalcular a variância, desvio padrão e o coeficiente de variação da amostra 
descrita abaixo. 
 
 
N = 25 
Média aritmética: (�̅�) = 
∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖 
𝑛
𝑖
𝑛
 �̅� = 
𝟏𝟓𝟒
𝟐𝟓
 = 𝟔, 𝟏𝟔 
 
 
Variância: 𝜎2 = 
∑(𝑥𝑖−�̅�)
2
𝑛
 = 
𝟗𝟓,𝟒𝟒 
𝟐𝟓
 = 3,82 
Desvio – Padrão: 𝝈 = √3,82 = 1,95 
Coeficiente de Variação: 𝐶𝑉 =
𝜎
�̅�
 = 
1,95
6,16
 =𝟎, 𝟑𝟏𝟔𝟓 𝐨𝐮 𝟑𝟏, 𝟔𝟓% 
 
 
 
 
 
 
xi 3 4 5 7 8 10 
if 2 4 6 8 2 3 
Variável ( 𝒙𝒊) Frequência 𝒇𝒊 𝒙𝒊𝒇𝒊 (𝑥𝑖 − �̅�)2. 𝑓𝑖 
3 2 6 (3 − 6,16)2.2 = 19,9712 
4 4 16 (4 − 6,16)2. 4 = 18,6624 
5 6 30 (5 − 6,16)2.6 = 0,1536 
7 8 56 (7 − 6,16)2.8 = 5,6448 
8 2 16 (8 − 6,16)2.2 = 6,7712 
 10 3 30 (10 − 6,16)2.3 = 44,2368 
Σ 25 154 95,44 
 
 
23 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
8. CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS 
 
8.1 Introdução 
Nos estudos estatísticos que envolvem o coeficiente de correlação de Pearson (r), 
que também pode ser chamado de coeficiente de correlação produto-momento, mede a 
relação que existe entre duas variáveis dentro de uma mesma escala métrica. A finalidade 
do coeficiente de correlação é determinar qual é a intensidade da relação que existe entre 
conjuntos de dados ou informações conhecidas sobre duas variáveis expressas 
numericamente. O valor do coeficiente de correlação pode variar entre -1 e 1 e o resultado 
obtido define se a correlação é negativa ou positiva ou nula. 
Condições: 
r é sempre um valor entre 1 e –1 ou seja: -1  r  1 
Se r = 1 as duas variáveis relacionadas têm correlação perfeitamente positivas; 
Se r = -1 as duas variáveis relacionadas têm correlação perfeitamente negativa; 
 
8.2 Diagrama de Dispersão 
É importante lembrar que os gráficos são suposições, o gráfico não é uma análise 
confirmatória, ele é simplesmente uma análise exploratória, ou seja, podemos ter uma ideia 
gráfica do comportamento das variáveis. Mas, quando temos uma quantidade de dados 
muita elevada, nossa visão gráfica pode nos levar a uma interpretação errônea. 
 
Correlação Positiva – Nesse caso costumamos dizer que as variáveis andam 
juntas, ou seja, quando uma delas cresce a outra tende a crescer e quando decresce, a 
outra também tende a decrescer. 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6
Série1
 
 
24 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Correlação Negativa – Nesse caso costumamos dizer que as variáveis andam em 
sentidos opostos, ou seja, quando uma delas cresce a outra decresce e, quando uma delas 
decresce a outra tende a crescer. 
 
Correlação Nula – Nesse caso, dizemos que há uma baixa relação entre as 
variáveis, ou não existe (muito fraca) a relação. Veja que no gráfico a seguir, não é possível 
definir qual o comportamento entre as variáveis. 
 
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
Série1
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7
Série1
 
 
25 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
8.3 Cálculo do Coeficiente de Correlação de Pearson 
 
 
 
Considere os dados contidos nas tabelas a seguir, construa um diagrama 
de dispersão para as variáveis x e y e determine o valor do coeficiente de 
correlação. 
 
X Y X2 Y2 X.Y 
1 2 1 4 2 
2 3 4 9 6 
3 4 9 16 12 
4 5 16 25 20 
5 7 25 49 35 
15 21 55 103 75 
 
 
 
Fórmula de Pearson 
 
 𝒓 =
∑𝒙𝒚−
∑𝒙∑𝒚
𝒏
√(∑𝒙𝟐−
(∑𝒙)𝟐)
𝒏
).(∑𝒚𝟐−
(∑𝒚)𝟐
𝒏
)
 
 
 𝒓 =
75−
15.21
5
√(55−
(15)2
5
).(103−
(21)2
5
)
 
 
r =
75 − 63
√(55 − 45). (103 − 88,2)
 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6
Série1
 
 
26 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
r =
75 − 63
√(55 − 45). (103 − 88,2)
 
 
r =
12
√(10). (14,8)
 
 
r =
12
√148
=
12
12,165525206
= 𝟎, 𝟗𝟖𝟔 (correlação positiva) 
 
 
 
Considere os dados contidos nas tabelas a seguir, construa um diagrama de 
dispersão para as variáveis x e y e determine o valor do coeficiente de 
correlação. 
 
X Y X2 Y2 X.Y 
1 10 1 100 10 
2 8 4 64 16 
3 6 9 36 18 
4 5 16 25 20 
5 1 25 1 5 
15 30 55 226 69 
 
 
Fórmula de Pearson 
 𝒓 =
∑𝒙𝒚−
∑𝒙∑𝒚
𝒏
√(∑𝒙𝟐−
(∑𝒙)𝟐)
𝒏
).(∑𝒚𝟐−
(∑𝒚)𝟐
𝒏
)
 
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
Série1
 
 
27 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
𝒓 =
𝟔𝟗 −
𝟏𝟓. 𝟑𝟎
𝟓
√(𝟓𝟓 −
(𝟏𝟓)𝟐
𝟓
) . (𝟐𝟐𝟔 −
(𝟑𝟎)𝟐
𝟓
)
 
 
𝒓 =
𝟔𝟗 − 𝟗𝟎
√(𝟓𝟓 − 𝟒𝟓). (𝟐𝟐𝟔 − 𝟏𝟖𝟎)
 
 
𝒓 =
−𝟐𝟏
√(𝟓𝟓 − 𝟒𝟓). (𝟐𝟐𝟔 − 𝟏𝟖𝟎)
 
 
𝒓 =
−𝟐𝟏
√(𝟏𝟎). (𝟒𝟔)
 
 
𝒓 =
−𝟐𝟏
√𝟒𝟔𝟎
=
−𝟐𝟏
𝟐𝟏,𝟒𝟒𝟕𝟔𝟏𝟎𝟓𝟗
= − 𝟎, 𝟗𝟕𝟗 Correlação negativa 
 
Assista o vídeo cujo endereço estar a seguir e conheça uma forma de calcular 
o coeficiente de correlação de Pearson no ambiente excel. 
https://www.youtube.com/watch?v=f7psvSOCGS4 
 
 
8.4 Teste “t” para significância da Correlação de Pearson 
8.4.1 Introdução 
O coeficiente de correlação de Pearson (r) varia de -1 até +1. Se o coeficiente de 
correlação entre duas variáveis for igual à zero ou muito próximo desse valor, dizemos que 
há ausência de correlação entre as variáveis. Mas, se o coeficiente de correlação linear 
entre as variáveis for igual a 0,48? Não se pode julgar o valor desse coeficiente sem saber 
o tamanho da amostra. Quando a amostra é muito pequena, mesmo coeficientes de 
correlação com valores altos tem pouco significado. 
 
 
 
Procedimentos para cálculo do teste “T”: 
Estabelecer o nível de significância (𝜶) e considerar 𝒏 o número de 
elementos da amostra. 
Seja 𝒓 = 𝟎, 𝟕𝟓 para uma amostra com n = 20. 
Assim ficará: 
 
 
 
28 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
 𝑡 =
𝑟
√1−𝑟2
√𝑛 − 2 
𝑡 =
0,75
√1 − (0,75)2
√20 − 2 
𝑡 =
0,75
√0,4375
√18 
𝑡 = 4,81 
Para ∝= 5%, temos na Tabela (Anexo 1 na coluna para 5%) com n – 2 
= 20 – 2 = 18 graus de liberdade o valor de t é igual a 2,1. Como o valor 
calculado em valor absoluto é igual 4,81, nesse caso 4,81 > 2,10, então 
concluímos que a correlação é significativa. 
 
 
 
 
Verificar se a correlação r = 0,38 é significativa calculada sobre uma amostra 
de tamanho 40, para ∝= 𝟎, 𝟎𝟓. 
Seja 𝒓 = 𝟎, 𝟑𝟖 para uma amostra com n = 40. 
Assim ficará: 
 𝑡 =
𝑟
√1−𝑟2
√𝑛 − 2 
𝑡 =
0,38
√1 − (0,38)2
√40 − 2 
𝑡 =
0,38
√0,8556
√38 
𝑡 = 2,53. 
 
Para ∝ = 5%, temos na Tabela (Anexo 1 para 5%) com n – 2 = 40 – 2 = 
38 graus de liberdade o valor de t é igual a 2,04 (veja Tabela no anexo 
1 na coluna 5%). Como o valor calculado em valor absoluto é igual 2,53, 
nesse caso 2,53 > 2,04, então concluímos que a correlação é 
significativa. 
 
 
 
 
29 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
9. REGRESSÃO LINEAR 
 
9.1 Introdução 
O que chamamos de regressão linear é uma fórmula matemática usada para fazer 
uma estimativa sobre o possível valor de uma variável dependente ou resposta, geralmente 
chamada de (y), quando são conhecidos os valores de outra variável independente ou 
explicativa (x). 
A regressão linear é usada, principalmente, para verificar como o valor de "y" pode 
sofrer variação em função da variável "x". A reta que contém os valores da verificação da 
variação é denominada de reta de regressão linear e expressa por 𝒚 = 𝒂 + 𝒃𝒙. Quando a 
variável explicativa "x" tem um valor único, a regressão será chamada de regressão linear 
simples. 
A verdadeira ideia central de uma regressão linear é estudar o que temos para 
entender como intervir no futuro. O método garante um aspecto importante no mercado. 
Temos cada vez mais, entrega de produtos mais customizados. O modelo de regressão 
linear é uma técnica que permite fazer previsões de cenários com indicadores 
concretos, otimização de processos, projeções em vários setores de uma empresa, 
tomadasde decisões gerenciais com previsões mais precisas e correção de erros. 
Inicialmente, construímos um gráfico de dispersão, com a finalidade de conhecer o 
comportamento entre as variáveis. A regressão nos diz qual é a melhor curva a ser traçada 
e que se ajusta melhor aos dados, podendo ser uma reta ou uma curva qualquer. 
 
9.2 Ajustamento da reta de regressão do tipo 𝒚 = 𝒂 + 𝒃𝒙 
Quando se estuda a variação de uma variável y em função de uma variável x, diz-se 
que y é a variável dependente e que x é a variável independente ou explanatória. Veja que 
o gráfico a seguir já apresenta a equação da reta que foi determinada a partir dos dados 
que envolvem a idade de um grupo de animais e a massa corporal de cada um deles. 
 
 
 
 
30 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
y = 0,6684x - 1,1582
0,0
3,0
6,0
9,0
12,0
15,0
18,0
21,0
24,0
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
M
A
SS
A
 D
O
 A
N
IM
A
L 
EM
 K
g
IDADE DO ANIMAL EM MESES
REGRESSÃO LINEAR DA MASSA EM FUNÇÃO DA IDADE
Y
Y previsto
Linear (Y previsto)
 
 
No caso expresso no gráfico qual será a massa esperada para um animal, se ele 
tem 38 anos de idade? Basta substituirmos na equação 𝑦 = 0,6684𝑥 − 1,1582 o valor para 
𝑥 = 38 𝑎𝑛𝑜𝑠. 
 
Fica: 𝒚 = 𝟎, 𝟔𝟔𝟖𝟒. (𝟑𝟖) − 𝟏, 𝟏𝟓𝟖𝟐. y = 24,2 𝒂𝒏𝒐𝒔. Essa é a massa esperada para 
quando o animal estiver com a idade de 38 anos. Não esqueça que nesse caso já foi dado 
a equação da reta de regressão linear. Mas, o que queremos mesmo aprender a determiná-
la para uma situação que nos interessa fazer estimativas baseadas no comportamento de 
um conjunto de dados. Portanto, a partir de um conjunto de dados numéricos, 
determinemos os valores dos coeficientes a e b da reta. 
 
 
 
Na questão a seguir a idade de crianças e, seu peso é possível estudar como 
o peso varia em função da idade. 
 
Idade (x) em 
anos 
Altura (y) 
em cm 
1 64,8 
2 94,5 
3 99,4 
 
 
31 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
4 106,5 
5 118,1 
6 118,9 
7 128.5 
8 132.2 
9 137,5 
10 148,3 
 
Vamos ajustar a reta y = a + b.x. Neste caso iremos estabelecer a 
dependência entre as variáveis, Massa e Idade. 
Teremos que calcular os valores dos coeficientes a e b. Em seguida, 
escreveremos a equação: 𝒚 = 𝒂 + 𝒃𝒙 
 𝑏 =
𝑛.∑𝑥.𝑦−∑𝑥.∑𝑦
𝑛.∑𝑥2−(∑𝑥)2
 𝒂 = 𝒚 − 𝒃. 𝒙, 
n é o tamanho da amostra. 
𝑥 é 𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑥𝑖 𝑥 =
∑𝑥𝑖
𝑛
 
𝑦 é 𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑦𝑖 𝑦 =
∑𝑦𝑖
𝑛
 
Vamos ajustar a reta 𝒚 = 𝒂 + 𝒃𝒙, para os dados abaixo. Neste caso iremos 
estabelecer a dependência entre as variáveis, Massa e Idade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n = 10. A tabela contém 10 dados. 
Calculemos primeiramente o valor do coeficiente b 
𝐛 =
𝐧.∑ 𝐱. 𝐲 − ∑𝐱. ∑ 𝐲
𝐧. ∑ 𝐱𝟐 − (∑𝐱)𝟐
 
 
b =
10. (1218,8) − (55). (190,7)
10. (385) − (55)2
 
 
Idade (x) em 
anos 
Massa (y) Kg x.y x2 
1 9,8 9,8 1 
2 12,1 24,2 4 
3 13,8 41,4 9 
4 16,5 66 16 
5 18,1 90,5 25 
6 18,9 113,4 36 
7 22,5 157,5 49 
8 23,2 185,6 64 
9 27,5 247,5 81 
10 28,3 283 100 
55 190,7 1218,9 385 
 
 
32 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
𝑏 =
(12.188) − (10.488,5)
(3850) − (3025)
 
 
𝑏 =
(1700,5)
(825)
 𝒃 = 𝟐, 𝟎𝟔𝟏𝟐𝟏𝟐 
 
Vamos calcular o valor de (a) com o valor de b = 2,06. 
𝑎 = 𝑦 − 𝑏. 𝑥, 
n é o tamanho da amostra. n = 10 
𝑥 é 𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑥𝑖 𝑥 =
55
10
 = 5,5 
𝑦 é 𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑦𝑖 𝑦 =
190,7
10
= 19,07 
𝑎 = 𝑦 − 𝑏. 𝑥, 
a = 19,07 − 2,06. (5,5) 
𝐚 = 𝟕, 𝟕𝟒 
Então a equação da reta de regressão é: 
y = 7,74 + 2,06.x, 
Se quisermos saber a massa esperada de uma criança de 12 anos de idade, 
basta substituir na equação o valor de x por 12. 
y = 7,74 + 2,06.(12) 
y = 32,46 kg 
 
 
 
Os dados apresentados na tabela a seguir, apresentam o preço em dólares 
de um componente eletrônico e o índice de eficiência atribuído pelos 
compradores. 
 
 
Preço Em 
Dólares ($) 
x 
Índice de 
Eficiência 
(Pontos) y 
 
𝑥2 
 
𝑦2 
 
𝑥𝑦 
8 29 64 841 232 
10 32 100 1024 320 
12 33 144 1089 396 
13 32 169 1024 416 
14 33 196 1089 462 
13 34 169 1156 442 
16 36 256 1296 576 
18 39 324 1521 702 
17 40 289 1600 680 
19 44 361 1936 836 
140 352 2072 12576 5062 
 
 
 
33 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
Determine o coeficiente de correlação de Pearson (r) e diga que tipo de 
correlação (positiva ou negativa) existe entre as variáveis Preço e Índice de 
Eficiência. 
r = 
∑xy−
∑x∑y
n
√(∑x2−
(∑x)2)
n
).(∑y2−
(∑y)2
n
)
 
 
𝒓 =
𝟓𝟎𝟔𝟐 −
𝟏𝟒𝟎. 𝟑𝟓𝟐
𝟏𝟎
√(𝟐𝟎𝟕𝟐 −
(𝟏𝟒𝟎)𝟐
𝟏𝟎
) . (𝟏𝟐𝟓𝟕𝟔 −
(𝟑𝟓𝟐)𝟐
𝟏𝟎
)
 
 
𝒓 =
𝟓𝟎𝟔𝟐 − 𝟒𝟗𝟐𝟖
√(𝟐𝟎𝟕𝟐 − 𝟏𝟗𝟔𝟎). (𝟏𝟐𝟓𝟕𝟔 − 𝟏𝟐𝟑𝟗𝟎, 𝟒)
 
 
𝒓 =
𝟏𝟑𝟒
√(𝟏𝟏𝟐). (𝟏𝟖𝟓, 𝟔)
 
 
 𝐫 =
𝟏𝟑𝟒
√𝟐𝟎𝟕𝟖𝟕,𝟐
= 𝟎, 929 Correlação forte positiva. 
 Já que determinamos a correlação, então vamos ajustar a reta de regressão 
linear e confirmar que o sinal da correlação (positivo ou negativo) é e mesmo 
sinal do coeficiente da variável x da reta de regressão, nesse caso estamos 
adotando como b. 
 
Ajuste uma reta de regressão Linear reta 𝒚 = 𝒂 + 𝒃𝒙, para o índice de 
eficiência em função do preço. Faça uma previsão de índice de eficiência 
para um componente de 22 dólares. 
 
n = 10. A tabela contém 10 dados. 
Calculemos primeiramente o valor do coeficiente b 
𝑏 =
𝑛.∑ 𝑥. 𝑦 − ∑𝑥. ∑𝑦
𝑛. ∑ 𝑥2 − (∑𝑥)2
 
 
𝑏 =
10. (5062) − (140). (352)
10. (2072) − (140)2
 
 
𝑏 =
(50620) − (49280)
(20720) − (19600)
 
 
𝑏 =
(𝟏𝟑𝟒𝟎)
(𝟏𝟏𝟐𝟎)
 𝒃 = 𝟏, 𝟏𝟗𝟔4 
 
Vamos calcular o valor de (a) com o valor de 
b = 1,1964. 
𝑎 = 𝑦 − 𝑏. 𝑥, 
n é o tamanho da amostra. n = 10 
 
 
34 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
𝑥 é 𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑥𝑖 𝑥 =
140
10
 = 14 
𝑦 é 𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑦𝑖 𝑦 =
352
10
= 35,2 
𝑎 = 𝑦 − 𝑏. 𝑥, 
a = 35,2 − 1,1964. (14) 
a = 18,45 
Então a equação da reta de regressão é: 
𝒚 = 𝟏𝟖, 𝟒𝟓 + 𝟏, 𝟏𝟗𝟔𝟒𝒙 
 
Assista o vídeo cujo endereço estar a seguir e conheça uma forma rápida de 
ajustar uma reta de regressão linear no ambiente excel. 
https://www.youtube.com/watch?v=KLQjfr0LyG0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
10. RESPOSTAS 
 
2.4.1 a) 150 
b) 31 
2.4.2 252 equipes 
2.4.3 a) 24 
b) 12 
c) 48 
2.4.4 36 associações 
5.3.1 
a) nenhuma defeituosa; aproximadamente igual 81,7072806% 
b) exatamente duas defeituosas; aproximadamente igual a 1,5313734% 
c) exatamente uma defeituosa; aproximadamente igual 16,6749552% 
d) no máximo duas defeituosas. aproximadamente igual a 99,9136092% 
 
 
 
Anexo 1: Tabela dos Valores de t, segundo os graus de liberdade e o valor do 
nível de significância alfa (𝛼 ). 
Referência Bibliográfica: VIEIRA, S. Introdução à bioestatística. 3ª. ed. Rio de 
Janeiro: Campus, 1980. 196 p. 
 
 
36 Probabilidade e Estatística 
Universidade Santa Cecília - Educação a Distância 
DEVORE, J. L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. 
Tradução: Marcos Tadeu Andrade Cordeiro. São Paulo, SP: Cengage 
Learning, 2015. 
 
LEVINE, D. M. et al. Estatística Teoria e Aplicações: usando o Microsoft 
Excel em português. Tradução: Teresa Cristina Padilha de Souza. Rio de 
Janeiro, RJ: LTC editora, 2012. 
 
MORETTIN, L. G. Estatística Básica: probabilidades e inferência. São Paulo, 
SP: Pearson Prentice Hall, 2010. 
 
 
 
 
Caro participante do Curso de Análise e Desenvolvimento de Sistemas na 
modalidade EAD da UNISANTA, como professor responsável poressa 
disciplina, espero que você tenha encontrado facilidade no processo de 
compreensão conceitual dos temas apresentados em videoaulas e textos. 
Esses tópicos de Análise combinatória, probabilidade e Estatística, que foram 
apresentados, discutidos e sugeridos em algumas questões, trarão a você, 
consistência teórica e prática na continuação do curso. Estou a sua disposição 
para eventuais dúvidas. Façam contato: jesusmar@unisanta.br 
Um grande abraço! 
Prof. Dr. Marcos Antonio S. de Jesus