04 Cap II SISTEMA DE FORÇAS Tridimensionais

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SISTEMAS DE FORÇAS 
Capítulo 2 – Aula 4 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Componentes Retangulares 
Seja a força F atuando em um ponto O 
uma força que possui componentes 
retangulares Fx, Fy e Fz. 
 
As seguintes relações podem ser feitas: 
 
 
 
 
 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Componentes Retangulares 
Algumas considerações devem ser feitas: 
 
• Os vetores unitários i, j, k atuam nas direções x, y e z, 
respectivamente; 
• Os co-senos diretores de F são dados por: 
 
 
• Podemos interpretar da seguinte maneira: 
 , onde 
 
 
 
 
 
 
αcos=l βcos=m γcos=n 1²²² =++ nml
)(. nkmjliFnFF F ++== )( nkmjlinF ++=
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Componentes Retangulares 
A direção de uma força pode ser descrita de duas formas: 
 
a) Por dois pontos sobre a linha de ação da força; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo as coordenadas de A e B conhecidas, 
a força F pode ser descrita como: 
 
𝐹 = 𝐹.𝑛𝐹 = 𝐹 𝐴𝐵
𝐴𝐴
= 𝐹 𝑥2 − 𝑥1 𝑖 + 𝑦2 − 𝑦1 𝑗 + 𝑧2 − 𝑧1 𝑘
𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2 + 𝑧2 − 𝑧1 2 
 
 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Componentes Retangulares 
b) Por dois ângulos que orientam a linha de ação da força; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando a geometria da figura, temos: 
 
𝐹𝑥𝑥 = 𝐹. cos ∅ ; 
𝐹𝑧 = 𝐹. sen ∅ . 
Rebatendo 𝐹𝑥𝑥, temos: 
 
𝐹𝑥 = 𝐹𝑥𝑥 . cos 𝜃 = 𝐹. cos ∅ . cos 𝜃 ; 
𝐹𝑥 = 𝐹𝑥𝑥. sen 𝜃 = 𝐹. cos ∅ . sen 𝜃 
 
 
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Produto Escalar 
O produto escalar é utilizado para expressar as componentes 
retangulares de uma força F. 
O produto escalar de dois vetores P e Q é definido pelo produto 
de seus módulos vezes o co-seno do ângulo (𝛼) entre eles: 
𝑃.𝑄 = 𝑃𝑄. cos𝛼 
 
 
Portanto é possível encarar de duas formas o produto escalar: 
𝑃.𝑄 = 𝑃. (𝑄. cos𝛼) na direção de P ou 
𝑃.𝑄 = (𝑃. cos𝛼).𝑄 na direção de Q. 
 
OBS: O produto escalar é uma quantidade escalar 
 
 
 
 
 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Produto Escalar 
Em termos mais gerais, se n é um vetor unitário em uma dada direção, a 
projeção de 𝐹 na direção 𝑛, tem o módulo 𝐹𝑛 = 𝐹.𝑛. 
 
Se quisermos expressar a projeção na direção 𝑛 como uma quantidade 
vetorial, então multiplicamos sua componente escalar, dada por 𝐹.𝑛, pelo 
vetor unitário 𝑛. 
𝐹𝑛 = 𝐹.𝑛 .𝑛 = 𝐹.𝑛.𝑛 ≠ 𝐹. (𝑛.𝑛) 
 
Se os co-senos diretores de n são 𝛼,𝛽 𝑒 𝛾, então podemos escrever n na 
forma de componentes vetoriais, ou seja: 
𝑛 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝛾𝑘 
 
neste caso com o módulo de n sendo unitário. 
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Produto Escalar 
Se os co-senos diretores de 𝐹 em relação aos eixos de referência 
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 são 𝑙,𝑚 𝑒 𝑛, então a projeção de 𝐹 na direção de 𝑛 é: 
 
𝐹𝑛 = 𝐹.𝑛 = 𝐹 𝑙𝑖 + 𝑚𝑗 + 𝑛𝑘 . 𝛼𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝛾𝑘 = 𝐹 𝑙𝛼 + 𝑚𝑗 + 𝑛𝛾 
 
porque 
𝑖. 𝑖 = 𝑗. 𝑗 = 𝑘. 𝑘 = 1 
e 
𝑖. 𝑗 = 𝑗. 𝑖 = 𝑖. 𝑘 = 𝑘. 𝑖 = 𝑗. 𝑘 = 𝑘. 𝑗 = 0 
 
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Ângulo entre dois vetores 
Sendo o ângulo entre a força 𝐹 e a direção especificada pelo vetor 
unitário 𝑛 é 𝜃, então usando o produto escalar, temos: 
 
𝐹.𝑛 = 𝐹𝑛. cos 𝜃 = 𝐹. cos (𝜃) 
onde 
𝑛 = 𝑛 = 1 
desta forma: 
𝜃 = 𝑐𝑐𝑐−1 𝐹.𝑛
𝐹
 
 
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Ângulo entre dois vetores 
De maneira geral, o ângulo entre dois vetores quaisquer 𝑃 e 𝑄 é: 
𝜃 = 𝑐𝑐𝑐−1 𝑃.𝑄
𝑃𝑄
 
 
Se uma força 𝐹 é perpendicular a uma linha cuja direção é 
especificada pelo vetor unitário 𝑛, então cos 𝜃 = 0 e 𝐹.𝑛 = 0. 
 
Isso não significa que 𝐹 ou 𝑛 sejam zero, como seria o caso da 
multiplicação escalar onde (𝐴)(𝐴) = 0 requer que ou 𝐴 ou 𝐴 ou 
ambos sejam 0. 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Ângulo entre dois vetores 
A relação do produto escalar se aplica tanto a vetores que não se 
interceptam como aos que se interceptam. 
 
Assim o produto escalar de dois vetores 
P e Q que não se interceptam é dado por 
Q vezes a projeção de P’ sobre Q, ou seja: 
𝑃′𝑄. cos 𝛼 = 𝑃𝑄 cos 𝛼 
 
Isso porque P’ e P são iguais se tratados como vetores livres. 
Exercícios – Exemplo 2/9 
Uma força F de módulo 100 N é aplicada na origem O dos eixos x-
y-z como mostrado. A linha de ação de F passa por um ponto A 
cujas coordenadas são 3m, 4m e 5m. Determinar: 
 
a) As componentes escalares 𝑥,𝑦 𝑒 𝑧 de 𝐹; 
b) A projeção de 𝐹𝑥𝑥 de 𝐹 no plano 𝑥 − 𝑦; 
c) A projeção 𝐹𝑂𝐵 de 𝐹 ao longo da linha 𝑂𝐴. 
 
Exercícios – Exemplo 2/9 - Solução 
	SISTEMAS DE FORÇAS
	Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS�Componentes Retangulares
	Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS�Componentes Retangulares
	Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS�Componentes Retangulares
	Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS�Componentes Retangulares
	Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS�Produto Escalar
	Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS�Produto Escalar
	Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS�Produto Escalar
	Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS�Ângulo entre dois vetores
	Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS�Ângulo entre dois vetores
	Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS�Ângulo entre dois vetores
	Exercícios – Exemplo 2/9
	Exercícios – Exemplo 2/9 - Solução