05 Cap II SISTEMA DE FORÇAS Tridimensionais

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SISTEMAS DE FORÇAS 
Capítulo 2 – Aula 5 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Momento e Binário 
 
Em análises bidimensionais, determinamos o módulo de um 
momento por multiplicação escalar usando a regra do braço de 
alavanca. 
Em três dimensões a determinação da distância perpendicular 
entre um ponto ou linha e a linha de ação da força pode ser 
bastante trabalhosa. 
Por isso, um enfoque vetorial com o produto vetorial é 
interessante. 
 
 
 
 
 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Momentos em três dimensões 
Considere uma força 𝐹 com uma dada linha de ação, atuando em 
um corpo e qualquer ponto 𝑂 fora dessa linha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto 𝑂 e a linha de 𝐹 estabelecem um plano 𝐴 e então o 
momento 𝑀𝑂 de 𝐹 em relação a um eixo que passa por 𝑂 e é 
perpendicular ao plano tem módulo 𝑀𝑂 = 𝐹. 𝑑 
 
 
 
 
 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Momentos em três dimensões 
O módulo e a direção de 𝑀𝑂 podem ser descritos pelo produto 
vetorial. 
 
O vetor R vai de O a qualquer ponto na linha de ação F e, como já 
visto, é descrito por 𝑟 𝑥 𝐹 e tem módulo 𝑟 . 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝐹 = 𝑀𝑂. 
 
 
 
 
 
A direção e o sentido corretos do momento são estabelecidos pela 
regra da mão direita, respeitando a sequêcia 𝑀𝑂 = 𝑟 𝑥 𝐹. 
 
 
 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Avaliando o Produto Vetorial 
O produto vetorial para 𝑀𝑂 pode ser escrita como: 
 
𝑀𝑂 = 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑖 𝑗 𝑘
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧
 
 
𝑀𝑂 = 𝑟𝑦𝐹𝑧 − 𝑟𝑧𝐹𝑦 𝐢 + 𝑟𝑧𝐹𝑥 − 𝑟𝑥𝐹𝑧 𝐣 + 𝑟𝑥𝐹𝑦 − 𝑟𝑦𝐹𝑥 𝑘 
 
 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Avaliando o Produto Vetorial 
Examinemos agora as três componentes 
do momento de uma força em relação 
a um ponto. 
 
No ponto A é possível ver as 3 componentes 
de uma força F atuando em A localizado 
relação a O por um vetor r. 
 
Os valores escalares dos momentos dessas forças em relação aos 
eixos x, y e z podem ser obtidos pela regra do braço de alavanca: 
 
𝑀𝑥 = 𝑟𝑦𝐹𝑧 − 𝑟𝑧𝐹𝑦 
𝑀𝑦 = 𝑟𝑧𝐹𝑥 − 𝑟𝑥𝐹𝑧 
𝑀𝑧 = 𝑟𝑥𝐹𝑦 − 𝑟𝑦𝐹𝑥 
 
 
 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Avaliando o Produto Vetorial 
É possível ver que os momentos encontrados concordam com os 
respectivos termos na expansão do determinante para o produto 
vetorial 𝑟𝑥𝐹: 
 
• 𝑀𝑂 = 𝑟𝑦𝐹𝑧 − 𝑟𝑧𝐹𝑦 𝐢 + 𝑟𝑧𝐹𝑥 − 𝑟𝑥𝐹𝑧 𝐣 + 𝑟𝑥𝐹𝑦 − 𝑟𝑦𝐹𝑥 𝑘 
 
• 𝑀𝑥 = 𝑟𝑦𝐹𝑧 − 𝑟𝑧𝐹𝑦 , 𝑀𝑦 = 𝑟𝑧𝐹𝑥 − 𝑟𝑥𝐹𝑧 e 𝑀𝑧 = 𝑟𝑥𝐹𝑦 − 𝑟𝑦𝐹𝑥 
 
 
 
 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Momento em relação a um eixo Arbitrário 
Podemos agora obter a expressão do momento em relação a um 
eixo qualquer que passe por O. 
 
 
 
 
 
 
 
Se n é um vetor unitário na direção de l, então é possível utilizer 
a expressão do produto escalar para a componente de um vetor 
para obter Mo.n, que é a component de Mo na direção l. 
 
Esse escalar é o modulo do momento 𝑀lde F em relação a l. 
 
 
 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Momento em relação a um eixo Arbitrário 
Para obter a expressão vetorial para Ml, fazemos novamente a 
multiplicação pelo vetor unitário n. 
 
Ml = (𝑟 𝑋 𝐹. 𝑛)𝑛 
Onde: 
• Mo = 𝑟 𝑋 𝐹 
• O produto escalar triplo 𝑟 𝑋 𝐹. 𝑛 pode também ser escrito como 
um determinante: 
 
 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
O Teorema de Varignon em Três Dimensões 
Como visto para o espaço bidimensional, o Teorema de Varignon 
pode ser estendido para três dimensões, ou seja, é possível 
escrever: 
 
𝐌o = (𝒓 𝑋 𝑭) = r X R 
Onde: 
• Mo representa a soma dos momentos. 
 
É possível então afirmar que a soma dos momentos de um sistema 
de forças concorrentes em relação a um dado ponto é igual ao 
momento de sua soma em relação ao mesmo ponto. 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Binários em Três Dimensões 
O já visto conceito de binário para o espaço bidimensional, pode 
ser estendido para três dimensões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑴 = 𝒓𝑨 𝑋 𝑭 + 𝒓𝑩 𝑋 −𝑭 = 𝒓𝑨 −𝒓𝑩 𝑋 𝑭 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Binários em Três Dimensões 
Se: 
• 𝒓𝑨 −𝒓𝑩 = 𝒓 
 
𝑴 = 𝒓 𝑋 𝑭 
 
É possível então afirmar o momento de um binário é o mesmo em 
relação a todos os pontos. 
 
O momento de um binário é um vetor livre, enquanto o momento 
de uma fora em relação a um ponto é um vetor móvel cuja direção 
está ao longo do eixo que passa pelo ponto. 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Binários em Três Dimensões 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, o vetor do binário 𝑴1, devido a 𝑭1 e −𝑭1 pode ser 
somado ao vetor do binário 𝑴2, devido a 𝑭2 e −𝑭2 para produzir o 
momento 𝑴 que por sua vez pode ser produzido por 𝑭 e −𝑭. 
 
 
Seção B: SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS 
Binários em Três Dimensões 
Também é possível fazer a substituição de uma força F pelo seu 
sistema equivalente força binário 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: O vetor do binário é simplesmente o momento da 
força original em relação ao ponto para o qual a força está sendo 
deslocada. 
Relembrando: o vetor r é um vetor que vai do ponto onde estamos 
calculando o momento parra qualquer ponto na linha de ação da 
força original que passa por A 
 
 
Seção B: 2/9 - Resultantes 
 
Já vimos que a resultante é combinação de forças mais simples 
que pode substituir um dado Sistema de forças sem alterar o efeito 
externo no corpo rígido sobre o qual as forças atuam. 
 
O mesmo pode ser feito para o sistema tridimensional como pode 
ser visto na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Seção B: 2/9 - Resultantes 
 
Desta forma, o Sistema geral de forças é reduzido a: 
 
 
 
 
Podemos ver que os módulos destas resultantes e suas 
componentes são dados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção B: 2/9 - Resultantes 
 
É importante lembrar que: 
 
• O ponto O selecionado como o ponto de concorrência das 
forças é arbitrário e o modulo e direção de M dependem do 
ponto O selecionado. 
• O modulo e a direção de R, no entanto, são os mesmos 
independentemente do ponto selecionado. 
 
• Em estática, o corpo está em completo equilíbrio quando a força 
resultante R é zero e o torque resultante M também é zero. 
 
 
 
 
 
 
 
Seção B: 2/9 – Resultantes – Sistemas de Forças 
Especiais 
 • Forças Concorrentes: Quando as forças são concorrentes em 
um ponto, não existem momentos em relação ao ponto de 
concorrência. 
 
• Forças Paralelas: Para um Sistema de forças paralelas, nem 
todas no mesmo plano, o módulo da força resultante paralela R 
é simplesmente o valor da soma algébrica das forças dadas. 
 A posição da linha de ação é obtida pelo princípio dos 
momentos. 
 
• Forças Coplanares: Ver seção 2/6. 
 
 
 
 
 
 
 
Seção B: 2/9 – Resultantes – Sistemas de Forças 
Especiais 
 
• Torsor Resultante: Quando o vetor de torque resultante M é 
paralelo a força resultante R, a resultante é chamada de torsor. 
 Por definição, o torsor é positive se os vetores de torque e força 
apontam no mesmo sentido e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
Seção B: 2/9 – Resultantes – Sistemas de Forças 
Especiais 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vemos na figura acima que o torsor é a forma mais simples na qual 
a resultante de um Sistema geral de forças pode ser expressa. 
 
Nota: em geral, é mais conveniente usar comoponto de referência 
algum ponto O, tal como o centro de massa do corpo ou outra 
origem conveniente fora do eixo torsor.