Geometria analítica 1

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Carolina de Almeida Santos Pinotti 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Caro aluno, na Geometria Analítica estudamos pontos, retas e planos, 
suas relações e propriedades, bem como alguns conceitos geométricos 
relacionados a tais objetos matemáticos. Suas aplicações encontram-se em 
diversos campos, como física, arquitetura, aviação, engenharias, entre outras. 
Veremos, ao longo da disciplina, algumas aplicações nessas áreas. 
 O programa da disciplina abrange desde conceitos básicos, como planos 
cartesianos, ponto, distância entre pontos, a conceitos mais avançados, como 
produto vetorial, produto escalar, estudo de planos e retas. Algumas aplicações 
surgem no decorrer do texto da disciplina e outras em aulas práticas. 
 Nesta aula, vamos estudar os espaços unidimensionais e bidimensionais, 
objetivando familiarização com algumas relações nesses espaços, e também 
com os sistemas de coordenadas. Vamos trabalhar com conceitos preliminares 
de ponto e reta, o sistema cartesiano, e algumas relações que podem ser 
encontradas nos planos uni e bidimensionais. 
 Por fim, vamos também conhecer os vetores, suas propriedades e 
algumas operações entre dois vetores: adição, subtração e multiplicação por 
escalar. Concluímos o estudo de vetores na próxima aula. 
TEMA 1 – SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 
 Este tema trará algumas definições básicas de ponto e reta, e também 
alguns outros conceitos relacionados e pertinentes, como por exemplo o cálculo 
do baricentro de um triângulo. 
1.1 Notações 
 Como notação para pontos e retas serão utilizadas letras maiúsculas (A, 
B, C, Z) e minúsculas (a, b, c, ...), respectivamente. Um segmento é um pedaço 
de uma reta que une dois pontos, e será denotado por duas letras maiúsculas 
sobrescritas ( , , ,AB AC BC  ). 
 
 
 
 
3 
Uma semirreta é um pedaço de reta que tem origem em um ponto, sendo 
ilimitada em uma direção. A semirreta que inicia em A e passa por B é denotada 
por AB , e a semirreta que inicia em B e passa por A é denotada por BA . 
 
 
Uma reta, ilimitada, que passa por A e B, será denotada por AB . 
 
1.2 Retas 
 Diz-se que uma reta é orientada quando é estabelecido um sentido para 
ela, como pode ser observado na figura abaixo. 
 
 reta não orientada reta orientada 
Sobre reta, veja os itens a seguir: 
 A reta é um conjunto de infinitos pontos; 
 
 
 Toda reta é infinita em seus dois sentidos (sendo orientada ou não). A 
representação gráfica a limita por causa do desenho e do papel; 
 Pontos colineares são pontos que determinam uma única reta. Na figura 
abaixo, A, B e D são colineares. O ponto C não é colinear a A, B e D. 
 
 
4 
 
 
 
Algumas definições pertinentes ao curso: 
 Retas ortogonais são duas retas que formam um ângulo de 90° entre si, 
sem necessariamente se interceptarem. Isso pode ocorrer em um sistema 
tridimensional, não em um plano cartesiano. Na figura a seguir, por 
exemplo, as retas AB e CD são ortogonais. A reta PQ é uma reta 
paralela a CD que intersecta AB . 
 
 Retas perpendiculares são retas que formam 90° entre si, e 
necessariamente se interceptam. Na figura, as retas AB e CD são 
perpendiculares. 
 
 
 
5 
1.3 Sistema Cartesiano Ortogonal 
 Com duas retas orientadas ortogonais, pode-se formar um sistema 
cartesiano ortogonal, conforme a figura abaixo: 
 
 As retas orientadas serão chamadas de eixos, sendo a reta horizontal o 
Eixo das Abscissas (eixo x) e a reta vertical o Eixo das Ordenadas (eixo y). 
Cada eixo tem uma escala de valores, abrangendo todos os valores reais, e 
crescendo no sentido das setas. O ponto onde os eixos se interceptam é a 
origem, de coordenadas x=0 e y=0. 
 
Existem ainda algumas particularidades para pontos sobre os eixos. Se 
um ponto se encontra no eixo x ou plano Ox, a sua ordenada y valerá zero. O 
mesmo ocorre se um ponto se encontra no eixo y ou plano Oy: a sua abscissa x 
valerá zero. Veja na figura a seguir, que o ponto A teve um deslocamento de x1 
no eixo x, o ponto B teve um deslocamento de y1 no eixo y e o ponto C teve um 
deslocamento de x2 no eixo x. O ponto A e o ponto C não deslocaram no eixo y, 
e, portanto, sua ordenada vale 0. Da mesma forma, o ponto B não deslocou no 
eixo x, e, portanto, sua abscissa vale 0. 
y 
x 
 
 
6 
 
Par ordenado são as coordenadas cartesianas de um determinado ponto. 
Por exemplo: o ponto P, na figura abaixo, possui coordenadas  0 0,x y . Sempre 
a primeira coordenada do par ordenado é o valor do Eixo x e a segunda 
coordenada é o valor do Eixo y. 
 
Exemplo: no gráfico abaixo, as coordenadas dos pontos A, B e C são 
(2,3), (-2,-2) e (4,-3), respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Perceba que o ponto A foi encontrado deslocando duas casas para a 
direita e três casas para cima, pois tem abscissa 2 (𝑥 = 2) e ordenada 3 (𝑦 = 3), 
já que suas coordenadas eram (2,3). O ponto B foi encontrado deslocando duas 
casas para a esquerda (𝑥 = −2), e duas casas para baixo (𝑦 = −2). Por último, 
y0 
x0 
y 
x 
P 
 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 
C 
A 
x 
y 
B 
 4 
 3 
 2 
 1 
 
-1 
-2 
-3 
-4 
 
 
7 
o ponto C foi encontrado deslocando quatro casas para a direita (𝑥 = 4) e três 
casas para baixo (𝑦 = −3). Perceba que o eixo x sempre fornece um 
deslocamento horizontal e o eixo y sempre um deslocamento vertical. 
Reta no R2: Uma reta r no plano cartesiano fará a divisão do plano em 
duas partes, de modo que uma outra reta s que não seja paralela a r 
obrigatoriamente intersectará r em algum ponto. Cada uma dessas partes é 
chamada de semiplano. Na figura a seguir pode-se perceber que r dividiu o plano 
em duas partes: uma está colorida e a outra está em branco. 
 
1.4 Operações com pares ordenados 
 Sobre pares ordenados (ou pontos), é possível estabelecer operações de 
adição, multiplicação por escalar ou igualdade. Veja a seguir como efetuar cada 
operação e seu significado graficamente. 
 Adição de pares ordenados: Dados dois pontos  1 1,x y e  2 2,x y 
quaisquer, a adição será realizada coordenada a coordenada: 
     1 1 2 2 1 2 1 2, ,,x y x xy x y y    . Ou seja, devemos somar as entradas 
em x de cada ponto, e tal resultado será inserido na primeira entrada do 
ponto resultante. A mesma ideia seguimos para y. 
Por exemplo: na figura a seguir, o ponto C é resultado da adição entre A 
e B. Temos que A=(2,3), B=(5,2). Ou seja, devemos fazer a soma: 
C=(2,3)+(5,2). 
Cada entrada é somada ao seu par correspondente: 
C=(2+5,3+2). 
Portanto temos que: 
C=(7,5). 
 
 
8 
 
 Multiplicação por escalar: Dados um ponto  ,x y e um escalar k ∈ ℝ, 
a multiplicação do ponto pelo escalar é realizada da seguinte forma: 
   , ,k x y kx ky . Ou seja, o escalar k é multiplicado em cada uma das 
entradas do ponto. Por exemplo: na figura a seguir, o ponto B é resultado 
da multiplicação do ponto A pelo escalar 3. Temos que A=(1,2), logo, 
     1,23 3 3 63 2 ,1,   B . 
 
 Igualdade de pares ordenados: Dados dois pontos  1 1,x y e  2 2,x y 
quaisquer, os pontos serão congruentes se ocorrer, simultaneamente, 
1 2x x e 1 2y y . Por exemplo: na figura a seguir, 𝐴 = (4,2) = 𝐵, ou 
seja, os pontos são iguais. 
 
 
 
 
9 
1.5 Baricentro do triângulo 
 Utilizando as operações entre pares ordenados pode-se encontrar o 
baricentro de um triângulo. Baricentro é o nome dado ao ponto de encontro das 
medianas. Observe a figura abaixo: 
 
 
 Mas o que são medianas? As linhas em azul do triângulo acima são suas 
medianas. Elas unem cada vértice do triângulo (A, B e C) com o ponto médio do 
lado oposto ao vértice (M, N e P respectivamente). O ponto G é o baricentro. 
 Para calcular as coordenadas do baricentro, deve-se fazer a média 
aritmética dos três vértices, ou seja, somam-se as coordenadasdos três pontos 
e divide-as por três. Veja a fórmula abaixo: 
   ,
3
,
3
A B C A B C
G G
x yx x y y
yx
 
  

  


 
 Por exemplo: considere o triângulo definido pelos pontos A=(3,2), B=(-4,-
2) e C=(7,-3), conforme a figura abaixo. Vamos calcular as coordenadas do 
Baricentro do triângulo ABC: 
 
 Na figura, já podemos observar que o baricentro possui coordenadas (2,-
1). Utilizando a fórmula para encontrar as coordenadas do baricentro, temos: 
 
 
10 
 
     
 
,
3 3
3 4 7 2 2 3
,
3 3
3 4 7 2 2 3
,
3 3
6 3
, 2, 1
3 3
,
 
  
 
       
   
 
    
  
 
 
 
   
 
 
A B C A B C
G G
y
y
yx x yx
x
 
Ou seja, o baricentro tem coordenadas (2,-1), conforme indicado na figura. 
TEMA 2 – SISTEMA POLAR 
 Na seção anterior, abordamos o sistema cartesiano ortogonal. Nesta 
seção, veremos um sistema utilizando coordenadas polares. Dada uma reta r, 
um ponto O sobre esta reta e um ponto P, tem-se que O é a origem do sistema, 
chamado de polo do sistema, e o ponto P será descrito por  P ,   : ρ é a 
distância polar e θ o argumento ou ângulo polar de P. 
 
 Em outras palavras, ρ é a distância de O a P (raio de uma circunferência 
de centro O e que passa por P), e θ é o ângulo entre a reta r e o segmento OP. 
Convenção: o argumento θ será positivo quando for medido no sentido anti-
horário, e negativo se medido no sentido horário. 
 Cada ponto do plano tem um único valor de ρ. Já o argumento θ não é 
único, pois existem infinitos valores de ângulos congruentes. Para um valor de θ 
tal que 0 360º   , os ângulos congruentes são todos os valores 360º k   
para ângulos em graus ou se 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋, os ângulos congruentes podem ser 
calculados por 2k   para ângulos em radianos, para cada k ∈ ℤ. Essas são 
as chamadas determinações do argumento. Ou seja, θ=45° pode também ser 
representado por -675° para k=-2, -315° para k=-1, 405° para k=1, 3645° para 
k=10, entre outros. O mais usual será o valor angular entre 0 e 360°: 
 
 
11 
 
 
Por exemplo: considere um ponto A tal que ρ=4 e θ=45°. Se um ou os dois 
valores forem alterados, gerará um outro ponto, como é o caso do ponto B (cujo 
valor de ρ é 5) e do ponto C (cujo argumento α é 120°): 
 
2.1 Sistema polar para sistema cartesiano 
 Muitas vezes, é necessário fazer a transformação de um sistema em 
outro: do sistema cartesiano ortogonal para o sistema polar ou também do 
sistema polar para o sistema cartesiano. Veja a figura a seguir, que representa 
uma junção dos dois sistemas: 
 
 O ponto P pode ser escrito como P=(x,y) ou P=(ρ,θ). As relações entre os 
valores de x e y com os valores de ρ e θ (para 0 60º3   ) são: 
 
2 2 2yx   
 
 
12 
 x cos   
 y sen   
 
y
tg
x
  
 Com base nas equações acima, pode-se transformar um sistema no 
outro, sem perda de generalidade, e de acordo com a aplicação desejada. Veja 
na sequência uma aplicação do sistema polar na aviação. 
2.2 Aplicação na aviação 
 Uma das diversas aplicações de coordenadas polares é na navegação 
aérea. Os aviões podem navegar sob duas regras de voo: visual e por 
instrumentos. A Regra de Voo por Instrumentos (IFR) é quando o comandante 
da aeronave se baseia apenas nos instrumentos no interior da aeronave para 
fazer a viagem, e será utiliza as coordenadas polares. Algumas vezes, o 
controlador de tráfego aéreo pode pedir ao comandante que voe em determinada 
direção magnética por um certo número de milhas náuticas ou quilômetros. 
Observação: 1 milha náutica = 1,852 quilômetros. 
 Suponha que um avião esteja sobre um ponto A e deseja se deslocar a 
um ponto B situado a 20 milhas náuticas de A. O rumo magnético é o 146°. A 
uma velocidade de 120 milhas náuticas por hora, levará aproximadamente 10 
minutos para chegar ao ponto de destino. Nesse exemplo, a distância de 20 
milhas náuticas é a distância polar e o rumo magnético 146° é o argumento. 
 
 Dependendo de qual o rumo magnético do avião no momento, o ajuste 
para o novo rumo vai ser diferente. Observe as figuras a seguir. O avião 
encontra-se no ponto A, com seu rumo na direção de B, e deseja alterar seu 
rumo para C. A Figura 1 exemplifica o primeiro caso, em que o avião está com 
 
 
13 
rumo 140°, e a Figura 2 exemplifica o caso em que o avião está com rumo 210°. 
Em ambos os casos, ele deseja alterar seu rumo para 146°. Perceba que, na 
Figura 1, para mudar de 140° para 146°, ele deve desviar-se 6° para a direita; 
na Figura 2, para alterar de 210° para 146°, deve desviar-se 64° para a esquerda. 
 
 
Figura 1 Figura 2 
 
 Uma outra aplicação na aviação é no cálculo do vento incidindo sobre o 
avião. Supondo que o avião esteja voando no rumo 360°, recebendo um vento 
vindo da magnética 60°, com uma velocidade de 13kt (1kt = 1 nó = 1 milha 
náutica por hora). O manual do avião aponta que o vento máximo de través 
(incidindo perpendicularmente ao avião, em sua lateral) é de 12kt, e o vento 
máximo de proa (incidindo na mesma direção do avião) é de 20kt. Sendo assim, 
com o vento descrito anteriormente, seria permitido decolar o avião de acordo 
com o manual? Veja a figura abaixo. Considere que o avião está no ponto A. 
Como seu rumo é 360°, sua direção é Norte, conforme o sentido da seta, o vento 
está incidindo a 60°, à direita do avião: 
 
 
 
14 
 Para o cálculo das componentes de través e de proa, podemos utilizar o 
gráfico a seguir. Considere que o avião está em O. O vento incide de P a O, com 
uma velocidade de 13kt (comprimento do vetor OP ), com um ângulo de 
incidência de 60°. Devemos calcular os valores de x e y: 
 
 Para calcular o valor de x (componente de través), deve-se utilizar uma 
das fórmulas de conversão de sistema polar para sistema cartesiano: x cos  
. Ou seja: 
cos 13 os3x c 0º    
 Mas, como 
3
cos30
2
  , temos: 
3 13 3
2
x 1
2
3   
 Considerando 3 1,7 , encontramos 
13 1,7
x 11nós
2

  . 
 Para encontrar o valor de y (componente de proa) deve-se utilizar 
y sen   . Portanto: 
sen 13 en3y s 0º    
 Mas como 
1
sen30
2
  , substituindo esse valor encontramos: 
1 13
y 13
2 2
   
 Ou seja, 
13
y 6,5 nós
2
  . 
 Como o vento máximo de través era de 12 nós e o de proa era de 20kt, e 
o resultado para x e y foi aproximadamente 11 e 6,5kt respectivamente, então 
um vento de 13kt vindo da magnética 60° é um vento ainda dentro dos limites 
estabelecidos pelo manual da aeronave. 
 
 
15 
TEMA 3 – VETORES 
 Neste tema da aula, faremos uma introdução a vetores. Veremos a 
definição de vetor, algumas propriedades e vetores especiais, como os versores, 
e também como encontrar o módulo de um vetor. Veremos também alguns casos 
especiais, como paralelismo de vetores, multiplicação de vetor por um escalar e 
quando dois vetores são coplanares. 
3.1 Definição de vetor 
 De acordo com Camargo e Boulos (2005, p. 2), "um segmento orientado 
é um par ordenado (A,B) de pontos do espaço. A é a origem e B é a 
extremidade do segmento orientado (A,B). Um segmento orientado do tipo (A,A) 
é chamado segmento orientado nulo". 
 Um segmento orientado possui três características: comprimento, direção 
e sentido. O comprimento é a distância entre sua origem e sua extremidade. A 
direção de duas retas paralelas é a mesma, mas diferente em duas retas não 
paralelas. Em uma mesma direção, ainda pode-se falar sobre o sentido do 
segmento. Dois segmentos podem ter um mesmo sentido ou sentidos contrários. 
Veja a figura abaixo: 
 
 Os segmentos AB e GH têm o mesmo comprimento e mesma direção, 
mas sentidos contrários. Os segmentos AB e EF têm a mesma direção e o 
mesmo sentido, mas comprimentos diferentes. Já o segmento CD tem direção 
distinta de todos os outros, então não é possível comparar seu sentido. O 
comprimento de CD também é diferente do comprimento dos demais. 
 Um vetor é, portanto,um segmento orientado, mas sem qualquer ponto 
de apoio. Não é preciso determinar uma origem e uma extremidade, pois um 
vetor é um conjunto de segmentos orientados de mesmo comprimento, direção 
 
 
16 
e sentido. A notação para vetores geralmente é uma letra minúscula encimada 
por uma seta: u , v , w , t , x , etc. Veja a seguir alguns casos particulares de 
vetores: 
 O vetor nulo possui comprimento zero e pode ser denotado por 0 . 
 O vetor com sentido oposto ao de u será o vetor u . 
 O módulo u de um vetor é o seu comprimento e pode ser calculado por 
     
2 2 2
A B A B A Bu y zx y zx     , considerando u B A  , com 
 A A A,yA x ,z e  B B B,yB x ,z . 
 Um vetor unitário é um vetor de módulo igual a 1: 1u  . 
 Um versor de u é um vetor unitário que possui mesma direção e sentido 
que u , e será denotado por 
u
ue s
u
v r  . 
 Um vetor pode ser utilizado para deslocar um ponto. Pode ser realizada 
uma adição entre um ponto e o vetor, de forma que a origem do vetor é colocada 
sobre o ponto e sua extremidade determinará um outro ponto. Veja a figura a 
seguir. Foi feita a adição do ponto P com o vetor u , da seguinte forma: P u Q  
ou u Q P  . A origem do vetor é colocada sobre P e o vetor determinará a 
posição de Q: 
 
 Vetores paralelos: dois vetores são paralelos quando apresentam 
mesma direção, podendo ser representados colinearmente. Não 
necessariamente apresentam o mesmo sentido e comprimento. Se 
possuírem mesmo sentido, são ditos equiversos, e se possuírem sentidos 
contrários, são ditos contraversos. Na figura a seguir, os vetores u e v 
são equiversos e os vetores u e w são contraversos: 
 
 
 
 
17 
 Vetores coplanares: dois vetores quaisquer são sempre coplanares, pois 
considerando um ponto P sempre é possível traçar os dois vetores 
determinando um plano em comum. Três ou mais vetores são ditos 
coplanares quando existe algum plano onde estes vetores podem ser 
representados. Se três vetores não são coplanares então eles 
determinam o espaço. A figura a seguir mostra dois vetores coplanares: 
u e v . Os vetores u , v e w não são coplanares pois w . 
 
3.2 Multiplicação de vetor por escalar 
 Uma das operações que podem ser feitas com vetor é multiplicá-lo por um 
escalar. Dado um 𝑘 ∈ ℝ, a multiplicação de um vetor por um escalar é feita 
exclusivamente em seu comprimento e/ou sentido. 
 Se k 0 ou u 0 , então ku 0 . 
 Se k 0 e u 0 , o vetor ku é: paralelo a u , tem mesmo sentido que u , 
se k>0 e sentido contrário se k<0 e, além disso, ku k u 
 A multiplicação por escalar é feita coordenada a coordenada. Ou seja, 
dado um vetor  u x,y,z e um escalar k ∈ ℝ, a multiplicação de k por u será 
   u k x,yk ,z k x,k y,k z       . 
 A multiplicação por escalar ainda satisfaz os seguintes itens, para 
qualquer vetor u e quaisquer escalares a e b reais: Elemento neutro: 
1 u u  
 Associativa:      u u b aua b ab    
 Exemplo 1: Seja u um vetor tal que 4u  . Ao multiplicarmos este vetor 
pelo escalar 3, encontramos um vetor de comprimento 12 e mesmo sentido que 
u ; ao multiplicarmos este vetor pelo escalar -3, encontramos um vetor de 
 
 
18 
comprimento 12 mas com sentido oposto ao de u . O comprimento é o mesmo, 
pois ku uk  , ou seja, como u 4 , temos: 
3 4 3 4 12
u 4
3 4 3 4
k
1
k
2
    
  
    


 
Veja a figura abaixo, que ilustra os três vetores: u , 3u e 3u : 
 
Exemplo 2: um vetor u quando posicionado em A gera uma extremidade 
B. Se as coordenadas de A são  3, 2,5 e as coordenadas de B são  2,1,3 , 
vamos encontrar o valor de u . 
 
Vamos utilizar a fórmula do módulo de um vetor que vai de A a B: 
     
2 2 2
A B A B A Bu x x y y z z    
Ou seja,      
2 2 2
u 3 2 2 1 5 3       . 
Donde,  
22 2u 1 3 2   e então, u 1 9 4 14 u.c.    . 
TEMA 4 – OPERAÇÕES COM VETORES 
 No tema anterior, vimos a definição de vetores e alguns casos 
particulares, como paralelismo, multiplicação por escalar, vetores coplanares, 
vetor nulo, entre outros conceitos importantes para o estudo das operações com 
vetores. 
 Veremos a seguir duas operações mais básicas com vetores: adição e 
subtração. Essas duas operações serão utilizadas para definir dois conteúdos 
importantes que serão abordados no próximo tema. 
 
 
19 
4.1 Adição de vetores 
 Dados dois vetores u e v , podemos realizar a adição de vetores fixando 
o vetor u em um ponto A, obtendo um ponto B em sua extremidade, e fixando o 
vetor v no ponto B, obtendo um ponto C em sua extremidade. O vetor resultante 
da soma dos dois vetores é um vetor com origem em A e extremidade C: 
 
 
 Essa soma pode ser demonstrada utilizando diferença de pontos. Tem-se 
que A u B  , ou seja, u B A  ; B v C  , ou seja, v C B  . Adicionando u 
e v , encontra-se    u v B A C B C A       . 
 A soma de dois vetores colineares ou paralelos é feita colocando-os em 
sequência. O vetor resultante é um vetor que possui mesma direção que os dois 
vetores; o comprimento é a adição ou a subtração dos comprimentos dos 
vetores, dependendo do sentido de cada um. 
 Vejamos algumas propriedades das somas de vetores. 
 Comutatividade: u v v u   
 Perceba que na figura a seguir w u v v u    : 
 
 Associatividade:    u v w u v w     
 A figura abaixo mostra essa associatividade. 
 
 
20 
 
 Elemento neutro: u 0 u  
 Elemento oposto:  u u 0   
 Veja a figura a seguir, que ilustra a soma de um vetor com o seu oposto. 
Perceba que u tem origem em A e extremidade em B. Colocando u na 
extremidade de u , ou seja, B, a extremidade do vetor u será A. Portanto, 
voltará à origem de u : 
 
 
Inserindo agora também algumas propriedades da multiplicação por 
escalar junto à soma de vetores, temos: 
 Distributiva:    a u v au av u v a       
 Veja a figura a seguir que ilustra a propriedade distributiva. 
 
 
Exemplo 1: encontrar o módulo do vetor resultante da soma dos vetores 
u e v tais que A=(2,3) é origem de u com extremidade B=(4,7), que é origem 
de v . A extremidade do vetor v é o ponto C=(9,8). 
 
 
21 
 Para resolver este problema, vamos fazer um desenho dos vetores: 
 
 O módulo do vetor resultante é o comprimento de AC , ou seja: 
   
2 2
A C A Cu v x y yx   , ou seja,    
2 2
u v 2 9 3 8    . 
 Dessa forma, temos    
2 2
u 5v 7     . 
 Elevando os números ao quadrado: 49 2u v 745   . Como 
estamos falando de medida de comprimento, u v 74 u.c.  . 
4.2 Subtração de vetores 
 Dados dois vetores u e v , a subtração de dois vetores é semelhante à 
adição. É definida por  u v u v    . Diferentemente da adição, a subtração de 
vetores não é comutativa. Considere dois vetores u e v da seguinte forma: 
 
 A subtração  u v u v    será graficamente representada por: 
 
 
 
22 
 Ou seja, a subtração é determinada por uma adição de u com o oposto 
de v . Poderá, também, ser representada por: 
 
Os vetores u e v têm extremidade no mesmo ponto, e o vetor u v tem 
origem na origem de u e extremidade na origem de v , como pode-se ver na 
imagem. 
Exemplo: calcular o vetor resultante da subtração entre  u 3,6,1 e 
 v 3,7,1  , ou seja, u v . 
 Para calcular o vetor u v , vamos colocar u em um ponto qualquer. Seja 
A=(0,0,0) origem de u . A sua extremidade estará no ponto B=(3,6,1). Como 
queremos fazer a subtração entre os dois pontos, vamos encontrar o oposto de 
v :    v 3,7,1 3, 7, 1       . 
 Vamos fazer B como origem de v . O ponto C, extremidade de v será:
     v 3,6,1 3, 7 1 CB C ,     . Ou seja,    C 3 3,6 7,1 1 6, 1,0      . 
 Dessa forma, o vetor resultante de u v terá origem em A e extremidade 
C:  A u v C   . Logo,      0,0,0 u v 6,1,0    , donde  u v 6, 1,0   . 
TEMA 5 - COMBINAÇÃO LINEAR E TRIPLA ORDENADA 
 Nos temas anteriores, vimos alguns conceitos básicos de vetores e 
também três operações: multiplicação por escalar, adição e subtração de 
vetores. Utilizando esses conceitos, podemos falar sobre combinação linear de 
vetores, que é o conteúdo que será abordado nesta seção. Além disso, vamos 
ver também os vetores como tripla ordenada, que é a forma como serão vistos 
os vetores na maioria dos conteúdos das próximas aulas. 
 
 
 
23 
5.1 Combinação linear de vetores 
 Uma combinação linear de vetores é uma múltipla adição de vetores 
multiplicados por escalares, ou seja, dados n vetores 1 2 3 nu , u , u , u, e n número 
reais 1 2 3 n, a , a ,a ,a , a combinação desses n vetores é um vetor v tal que 
1 1 2 2 3 3 n nv a u a u a u a u    , com cada ia coeficiente do vetor iu . 
Exemplo 1: Considerando v 4u  , vamos escrever duas diferentes 
combinações lineares de u e v que resultem no vetor nulo. 
 Uma possível combinação linear que resulta no vetor nulo é v 4u pois, 
como v 4u  , ao substituirmos v , teremos  v 4u 4u 4u 0     . 
 Uma outra combinação linear possível é multiplicando todos os 
coeficientes por um mesmo valor. Vamos multiplicar tudo por 3. Encontramos 
então a seguinte combinação linear: 3v 12u . De fato, 
 3v 12u 3 4u 12u 12u 12u 0         . 
 Ou seja, dado como v 4u  , podemos reescrever essa equação da 
forma: v 4u 0  . Assim, já temos a primeira combinação linear. Além disso, 
podemos, sem perda de generalidade, multiplicar a equação inteira por 3: 
 3 v 4u 3v 12u 0     , encontrando a segunda combinação linear. O valor 
multiplicado pode ser qualquer escalar. Existem infinitas combinações lineares 
entre dois vetores linearmente dependentes. 
5.2 Vetores como uma tripla ordenada 
 Em um sistema cartesiano ortogonal, é possível escrever um vetor como 
uma tripla ordenada. A origem desse vetor será sempre a origem do sistema 
cartesiano, e ele será representado como o ponto onde há extremidade. Ou seja, 
o vetor  u 1,3, 2  tem origem em (0,0,0) e extremidade no ponto  A 1,3, 2  . 
 Dividindo cada vetor pelo seu módulo, teremos versores como triplas 
ordenadas, ou seja, vetores unitários. Pode-se ainda estabelecer um versor para 
cada eixo. Chamando de i , j e k os versores dos eixos x, y e z, 
respectivamente, qualquer vetor do espaço com origem em O pode ser escrito 
como uma combinação linear desses versores. O versor i será representado 
pelas coordenadas (1,0,0), o versor j será representado pelas coordenadas 
 
 
24 
(0,1,0). e o versor k será representado pelas coordenadas (0,0,1). Veja a figura 
abaixo: 
 
 É possível escrever um vetor qualquer como combinação linear dos 
versores i , j e k . Essa combinação é dita expressão cartesiana de um vetor. 
As coordenadas do vetor  OP a,b,c podem ser escritas em função de i , j e 
k da seguinte forma: OP a i bj ck   , pois 
       
     
OP a,b,c a,0,0 0,b,0 0,0,c
a 1,0,0 b 0,1,0 c 0,0,1
a i b j ck
   
     
  
 
 Veja a figura a seguir para uma melhor compreensão. 
 
 
Exemplo:  v 1,2,5 possui origem (0,0,0) e extremidade  A 1,2,5 , o 
vetor  w 3,4, 2   possui origem (0,0,0) e extremidade  B 3,4, 2   . Veja que 
esses vetores devem ser representados no espaço tridimensional: 
 
 
25 
 
 Podemos ainda escrever v e w como combinação linear de i , j e k . Ou 
seja, como  v 1,2,5 , fazemos sua decomposição para obter: 
 
     
     
v 1,2,5
1,0,0 0,2,0 0,0,5
1 1,0,0 2 0,1,0 5 0,0,1
i 2 j 5k1

  
     
 
 
 Dessa forma, v i 2 j 5k   . Da mesma maneira, vamos decompor o 
vetor  w 3,4, 2   : 
 
     
         
 
w 3,4, 2
3,0,0 0,4,0 0,0, 2
3 1,0,0 4 0,1,0 2 0,0,1
3 i 4 j 2 k
3 i 4 j 2k
  
    
       
    
   
 
 Logo, podemos escrever w 3i 4 j 2k    . 
FINALIZANDO 
 Nesta aula, relembramos alguns conceitos e conteúdos já estudados 
durante o Ensino Básico, que formam a base para a Geometria Analítica: pontos, 
retas e planos. Vimos também três tipos de sistemas: Sistema Cartesiano 
Ortogonal e Sistema Polar no plano e o Sistema Cartesiano Ortogonal em um 
plano tridimensional. 
 Esta aula é a primeira do curso de Geometria Analítica, portanto são 
conteúdos mais básicos, que servirão de apoio para a construção do curso e 
para um melhor entendimento dos conceitos que vêm na sequência. As demais 
 
 
26 
aulas serão compostas de conteúdos novos, como produto vetorial e escalar. 
Tais conteúdos são a base para as aplicações que serão vistas no decorrer da 
disciplina. 
 
 
 
27 
REFERÊNCIAS 
CAMARGO, I. de; BOULOS, P. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 3. 
ed. São Paulo: Pearson, 2005. 
VENTURI, J. J. Álgebra vetorial e geometria analítica. 9 ed. Curitiba: Livrarias 
Curitiba, 2015. 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson, 2007.