INTRODUÇÃO A DERIVATIVOS

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CURSO
LIGA DE MERCADO FINANCEIRO FEA USP
INTRODUÇÃO A DERIVATIVOS
APOSTILA ELABORADA POR THIAGO L. PESSOA E ÁLVARO CAMPOS
 PARCEIROS
 
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Conteúdo
21 – Derivativos	�
21.1 – Introdução	�
21.2 – Importância dos Derivativos	�
21.3 – História dos Derivativos	�
32 – Mercado a Termo	�
32.1 – Definição	�
32.2 – Características do Mercado a Termo	�
32.3 – Partes envolvidas	�
42.3 – Mercado a Termo – Bovespa	�
43 – Mercado Futuro	�
43.1 – Definição	�
53.2 – Características do Mercado Futuro	�
53.2.1 – Contratos Padronizados	�
53.2.2 – Principais especificações dos contratos	�
53.2.3 – Ajustes Diários	�
63. 3 – Principais Contratos do Mercado Futuro	�
63.3.1 – Contratos de Taxa de Juros	�
63.3.1.1 – DI Futuro	�
63.3.1.2 – Características do DI Futuro	�
73.3.2 – Dólar Futuro	�
93.3.3 – Contrato de Cupom Cambial	�
93.3.3.1 – DDI Futuro ( Cupom Sujo)	�
93.3.3.2 – FRA de Cupom (Cupom Limpo)	�
103.3.4 – Futuros de Índice Bovespa	�
104 – Mercado de Swap	�
104.1 – Introdução	�
114.2 – Definição	�
114.3 – Características	�
124.4 – Tipos de Swaps	�
135 – Mercado de Opções	�
145.1 – Definição	�
145.2 – Tipos de Opção	�
155.3 - Características das Opções	�
23Variável grega “Rho”:	�
23Higher-order and Cross-derivatives	�
24Resumo das gregas:	�
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1 – Derivativos 
1.1 – Introdução
Derivativos são instrumentos financeiros estabelecidos mediante contratos cujo os preços são determinados e variam em função do preço de outro ativo de mercado. Em resumo, podemos dizer que um derivativo é um contrato cujo valor deriva de um outro ativo, chamado de ativo-objeto. Os Derivativos permitem reduzir os riscos inerentes à atividade econômica e existem quatro modalidade de contratos: 
1. Termos
2. Futuros
3. Opções.
4. SWAPS
1.2 – Importância dos Derivativos
Não se conhece bem a dimensão exata desse mercado. O Bank for International Settlements (BIS), com sede na Suíça, divulga trimestralmente os valores referenciais dos contratos negociados em bolsa ou no mercado de balcão (fora da bolsa). 
O boletim disponível em março de 2007 indica o valor referencial de US$57,80 trilhões em bolsas (base setembro de 2006) e US$369 trilhões no balcão (base junho de 2006). Se esses mercados parassem de ser negociados, a economia mundial sofreria bastante, pois todo processo de negociação mundial está ancorado em coberturas (hedge) contra riscos de preços e taxas por meio de derivativos.
Isso quer dizer que o valor de um simples empréstimo negociado junto a um banco pode ter sido anteriormente objeto de uma operação em derivativos. Esses instrumentos fazem parte de uma cadeia de operações que podem estar amparando contratos comerciais em diferentes partes do mundo.
1.3 – História dos Derivativos
É no Japão feudal do século XVII que está a origem da primeira modalidade de derivativo: o contrato a termo (como será visto adiante). Trata-se do primeiro registro de comércio organizado para entrega de bens no futuro. 
Os grandes proprietários rurais e os senhores feudais encontravam-se espremidos entre uma economia monetária em expansão, nas cidades, e sua fonte de recursos, a agricultura primária. Os pagamentos que recebiam dos arrendatários eram feitos na forma de participação na colheita anual de arroz. Essa renda era irregular e sujeita a fatores incontroláveis, como clima e outros fatores sazonais.
Uma vez que a economia monetária exigia que a nobreza tivesse caixa disponível
todo o tempo, a instabilidade nas receitas estimulou a prática do embarque marítimo do arroz excedente para os centros principais, Osaka e Tóquio, onde a mercadoria podia ser armazenada e vendida quando conveniente. Para levantar dinheiro com rapidez, os senhores das terras começaram a vender recibos de armazenagem de bens estocados em armazéns
urbanos ou rurais.
Os comerciantes, por sua vez, compravam esses recibos como meio de antecipar suas necessidades, pois estes também sofriam com a flutuação de safras incertas. Finalmente, para facilitar as transações, os recibos de arroz tornaram-se amplamente aceitos como moeda corrente. Algumas vezes, as reservas de arroz eram insuficientes para suprir as necessidades da nobreza – situação em que os comerciantes emprestavam dinheiro a juros aos senhores de terras, antes da venda efetiva dos recibos de arroz.
Ao final do século XVII, o mercado de Dojima caracterizava-se pelo fato de ser permitido negociar apenas para liquidação futura. Por volta de 1730, o xogunato Tokugawa (governo imperial) designou e reconheceu oficialmente o mercado como cho-ai-mai, literalmente arroz comercializado no livro, ou seja, arroz escritural. Várias normas desse mercado eram surpreendentemente similares às operações atuais a termo.
2 – Mercado a Termo
Você já sabe que o contrato a termo foi a primeira modalidade de derivativo conhecida pela sociedade. Aqueles contratos, ainda primitivos, já apresentavam o conceito básico das negociações a futuro – contrate agora e acerte o pagamento depois.
Atualmente, os contratos a termo são negociados sobre mercadorias, ações, moedas, títulos públicos, dentre outros. 
2.1 – Definição
Promessa de compra/ venda em que as partes contratantes especificam o bem objeto do contrato e o seu volume, estipulam o preço, bem como estabelecem a data de sua entrega, que coincide com o pagamento.
2.2 – Características do Mercado a Termo
Negociação: os contratos a termo podem ser encontrados em bolsa, mas são mais comumente negociados no mercado de balcão (contratos bilaterais negociados fora das bolsas).
Ausência de mobilidade de posições: em geral, os contratos a termo são liquidados integralmente no vencimento, não havendo possibilidade de sair da posição antes disso. Essa característica impede o repasse do compromisso a outro participante. Em alguns contratos a termo negociados em bolsa, a liquidação da operação a termo pode ser antecipada pela vontade do comprador.
2.3 – Partes envolvidas
Comprador a Termo: 
Adquire o direito de receber o ativo em uma data futura estabelecida pelo contrato, com a obrigação de pagar o preço acordado.
Vendedor a Termo:
Adquire o direito de receber na data futura o preço fixado e assume a obrigação de entregar o ativo.
Financiador a Termo:
Investidor que não deseja possuir o ativo objeto e sim retorno sobre o investimento em forma de taxa de juros.
2.3 – Mercado a Termo – Bovespa
Na Bovespa o contrato a termo é feito por duas pontas, o Financiador a termo, que compra as ações no mercado à vista e os vende a termo para o comprador, acrescidos de uma Taxa de Juros, que deverá ser paga no futuro. 
Já o comprador a termo, possibilita a participação no mercado, sem a posse do capital normalmente necessário. 
O prazo do contrato é preestabelecido. Os prazos permitidos para negociação a termo são de no mínimo 16 dias e no máximo 999 dias corridos. Título-objeto é a ação negociada a termo. Todas as ações negociáveis na BOVESPA podem ser objeto de um contrato a termo.
O preço a termo de uma ação resulta da adição, ao valor cotado no mercado a vista, de uma parcela correspondente ao juros, que é fixado livremente em mercado, em função do prazo do contrato.
3 – Mercado Futuro
3.1 – Definição
Tal como no contrato a termo, você se compromete a comprar ou a vender certa quantidade de um bem (mercadoria ou ativo financeiro) por um preço estipulado para liquidação em data futura. A principal diferença é que, no mercado a termo, os compromissos são liquidados integralmente nas datas de vencimento; no mercado futuro, esses compromissos são ajustados financeiramente às expectativas do mercado acerca do preço futuro daquele bem, por meio do procedimento de ajuste diário (que apura perdas e ganhos).
O mecanismo de funcionamentodo mercado futuro imprimiu característica importante na negociação para liquidação futura: a competitividade. A homogeneidade dos produtos, a transparência e a velocidade das informações e a livre mobilidade de recursos permitem que os preços se ajustem conforme as leis de mercado, ou seja, de acordo com as pressões de oferta e procura. Como os participantes podem entrar e sair do mercado a qualquer momento, os futuros tornaram-se muito importantes para as economias em face de sua liquidez.
3.2 – Características do Mercado Futuro
3.2.1 – Contratos Padronizados
São contratos que possuem estrutura previamente padronizada por regulamentação de bolsa, estabelecendo todas as características do produto negociado,
como cotação, data de vencimento, tipo de liquidação e outras. 
A padronização dos contratos é condição imprescindível para que a negociação possa ser realizada em bolsa. Imagine um pregão no qual cada um dos participantes negociasse determinado tipo de boi ou café com cotações e unidades de negociação diferentes. A negociação de pregão seria impraticável. Graças à padronização, os produtos em negociação se tornam completamente homogêneos, tornando indiferente quem está comprando ou vendendo a mercadoria.
3.2.2 – Principais especificações dos contratos
Objeto de negociação: é a descrição do ativo cuja oscilação de preços está em negociação. Exemplo: café, dólar, boi.
Cotação: é a unidade de valor atribuída a cada unidade física da mercadoria em negociação. Exemplo: reais por saca, reais por dólares.
Unidade de negociação: é o tamanho do contrato. Exemplo: o tamanho do contrato de café é de 100 sacas de 60kg, o do dólar é de US$50.000,00.
Meses de vencimento: meses em que serão liquidados os contratos.
Liquidação:forma pela qual o contrato será liquidado.
3.2.3 – Ajustes Diários
Ajuste diário é o mecanismo de equalização de todas as posições no mercado futuro, com base no preço de compensação do dia, resultando na movimentação diária de débitos e créditos nas contas dos clientes, de acordo com a variação negativa ou positiva no valor das posições por eles mantidas.
Assim, os participantes recebem seus lucros e pagam seus prejuízos de modo que o risco assumido pela câmara de compensação das bolsas se dilua diariamente até o vencimento do contrato.
3. 3 – Principais Contratos do Mercado Futuro
3.3.1 – Contratos de Taxa de Juros
1
3.3.1.1 – DI Futuro
As operações com Depósitos Interfinanceiros compõem o universo que é a base de cálculo da taxa média de DI da Cetip. Nesse universo, as operações entre bancos grandes ou pequenos, públicos ou privados, estrangeiros ou nacionais formam uma das taxas referenciais mais importantes do sistema financeiro nacional para várias operações bancárias. Essa taxa é apurada por meio de metodologia estatística definida e divulgada diariamente pela Cetip, como uma taxa de juro ao ano, com base em 252 dias úteis, representando o custo básico de captação bancária para aquele dia específico.
3.3.1.2 – Características do DI Futuro
Cotação
Taxa de juro efetiva anual, base 252 dias úteis, com até três casas decimais. Tome-se como exemplo um contrato para o qual, de hoje ao vencimento, restem 40 dias úteis (61 corridos) e que seja cotado em 16,49% ao ano, correspondendo a 2,45% no período, conforme o cálculo a seguir:
Esse resultado demonstra a expectativa do mercado para a taxa de juro efetiva acumulada entre a data de hoje e o último dia de negociação do contrato (último dia útil do mês).
Objeto Negociado
Compra e Venda de Taxa (Venda e Compra de PU)
Data de vencimento
Primeiro dia útil do mês de vencimento, sendo que os meses autorizados à negociação são: os quatro primeiros subseqüentes ao mês em que a operação é realizada e, a partir daí, os meses que se caracterizarem como de início de trimestre.
Tamanho do contrato
Como o contrato é cotado em taxa de juro efetiva, para efeito da determinação de seu valor financeiro, transforma-se a taxa efetiva em PU e, depois, multiplica-se o resultado pelo valor em reais estabelecido pela BM&F. Cada ponto de PU corresponde a R$1,00. 
Liquidação
A liquidação do futuro de DI é exclusivamente financeira, por meio de operação
inversa à posição original, na data de vencimento do contrato.
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3.3.2 – Dólar Futuro
Ativo-objeto
A taxa de câmbio de reais por dólar dos Estados Unidos, para entrega pronta, contratada em termos da resolução 1690/90, do Conselho Monetário Nacional.
Tamanho do contrato: US$ 50.000,00.
Cotação: Reais por US$ 1000,00.
Vencimentos: todos os meses do ano.
Último dia útil de negociação: último dia útil do mês anterior ao vencimento.
Data de vencimento do contrato: primeiro dia útil do mês de vencimento.
Liquidação: taxa média de venda apurada pelo BACEN, transação PTAX 800, do último dia de negociação
Exemplo de uma operação de hedge (proteção de preços) com Mercados Futuros: 
Uma empresa capta, para capital de giro ou investimento, um empréstimo no valor de US$ 500.000,00. Ao verificar a cotação do contrato futuro de dólar comercial, toma a decisão de assumir uma posição comprada nesse mercado, a fim de se proteger de uma alta nas cotações na moeda estrangeira. Ao fazer isso, ganhará com a alta nas cotações da moeda estrangeira. O contrato futuro de dólar comercial tem como tamanho US$ 50.000,00. Dessa
forma ele deve assumir em 27/10/200X, uma posição comprada em 10 contratos (US$ 500.000,00), no dia D+0, ao preço de R$ 2.875,00/US$ 1.000,00, com vencimento em novembro de 200X. 
Abaixo segue a tabela que mostra como evoluiria a operação com determinados preços de ajuste.
 Como a empresa terá que pagar em reais no vencimento, pagará R$ 1.455.000,00
[500.000 x 2,910 (preço de liquidação)]. Porém, ela recebeu R$ 17.500,00 em
ajustes diários:
Observamos então que a operação serviu para proteger a empresa da volatilidade da Moeda, mesmo com a cotação subindo ele pagou a taxa que fixou no Mercado Futuro.
Uma empresa como essa pode ajustar seu fluxo de caixa a longo prazo que terá a certeza de quanto pagará sem surpresas desagradáveis.
3.3.3 – Contrato de Cupom Cambial
3.3.3.1 – DDI Futuro ( Cupom Sujo)
Ativo-objeto: Diferencial entre a taxa de juro efetiva e a variação cambial.
Preço Unitário : US$ 100.000,00 descontados pela taxa negociada
Vencimento: Primeiro dia útil do mês de vencimento do contrato
Cotação: Cupom Cambial ao ano (linear 360dc)
Objeto-negociado: compra e venda de taxa(venda e compra de PU)
Ajustes: AD t = (PA t – PO) x TC t-1 X N
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3.3.3.2 – FRA de Cupom (Cupom Limpo)
Ativo-objeto: Dois contratos de DDI, um vendido na ponta curta e um comprado na ponta longa.
Vencimento: Todos os meses que tenham contrato de DDI
Cotação: Cupom Cambial ao ano (linear 360dc)
Objeto-negociado: compra e venda de taxa
Ajustes: AD t = (PA t – PO) x TC t-1 X N
�
3.3.4 – Futuros de Índice Bovespa
Objeto de negociação
O índice de ações da Bolsa de Valores de São Paulo, denominado Índice Bovespa ou Ibovespa. 
Cotação
Pontos do Ibovespa, sendo cada ponto equivalente ao valor em reais estabelecido pela BM&F (R$1,00).
Data de vencimento
Toda quarta-feira mais próxima do dia 15 dos meses pares (fevereiro, abril, junho, outubro e dezembro).
Tamanho do contrato
Como o contrato é negociado em pontos de Ibovespa, sua expressão monetária – ou seja, seu valor referencial – resulta da multiplicação da cotação em pontos por R$1,00.
Liquidação
A liquidação do futuro de Ibovespa é exclusivamente financeira, por meio de
operação inversa à posição original, na data de vencimento do contrato, pelo
valor do Ibovespa de liquidação, divulgado pela Bovespa, de acordo com a
seguinte fórmula:
�
4 – Mercado de Swap
4.1 – Introdução
	A força de uma economia competitiva é capaz de revelar riscos inerentes a vários setores e atividades,bem como criar, por meio de segmentos especializados do mercado financeiro, mecanismos cada vez mais apurados e flexíveis para sua gestão. Por esse motivo, os derivativos passaram por grande mudanças. Nesta parte, você conhecerá os derivativos de última geração: os swaps. Apesar de muitos autores considerarem o swap uma evolução, sua estrutura é semelhante à dos antigos contratos a termo.
As transações de swap são uma das inovações mais significativas dos últimos 20 anos no mercado financeiro. Sua importância está no fato de o swap poder ser combinado com a emissão de um título e, dessa forma, viabilizar a troca da natureza da obrigação do tomador do empréstimo. 
Para que você tenha idéia do início dessas transações, volta-se aos anos de 1970. Com o fim do acordo de Bretton Woods, que decretou o fim do padrão-ouro (determinação de que a quantidade de dinheiro em circulação deveria ter lastro em ouro), as moedas dos países tornaram-se muito voláteis, dificultando as transações comerciais. Com a introdução dos swaps de moedas, o comércio internacional passou a ancorar-se em moedas mais fortes, permitindo o fluxo dos negócios.	
4.2 – Definição
Swap consiste em um acordo entre duas partes para troca de risco de uma posição ativa (credora) ou passiva (devedora), em data futura, conforme critérios preestabelecidos. As trocas (swaps) mais comuns são as de taxas de juro, moedas e commodities.
4.3 – Características
No mercado de swap, você negocia a troca de rentabilidade entre dois bens (mercadorias ou ativos financeiros), a partir da aplicação da rentabilidade de ambos a um valor em reais. Por exemplo: swap de ouro × bovespa.
Se, no vencimento do contrato, a valorização do ouro for inferior à variação do Ibovespa negociada entre as partes, receberá a diferença a parte que comprou Ibovespa e vendeu ouro. Nesse exemplo, será a instituição A. 
Se a rentabilidade do ouro for superior à variação do Ibovespa, receberá a diferença a parte que comprou ouro e vendeu Ibovespa. No caso, a instituição B.
Exemplo
Imagine que a empresa GHY possui ativo de R$10.000.000,00 prefixado a 17% ao ano para receber em 21 dias úteis e que quer transformar seu indexador em dólar + 10% sem movimentação de caixa. Para isso, contrata um swap, ficando ativo em dólar + 10% e passivo em 17%, ao mesmo tempo em que o banco X, que negociou o swap com a empresa, fica ativo a uma taxa prefixada em 17% ao ano e passivo em dólar + 10% ao ano.
A empresa GHY está exposta ao risco de alta na taxa de juro prefixada no swap. No vencimento do contrato, sobre o valor referencial, serão aplicadas as variações dos indexadores, conforme demonstrado a seguir. Suponha que, no período, a variação cambio foi de 2%.
 Posição original: 
ativo em taxa pré
 10.000.000,00 × (17/100 + 1)21/252 = R$10.131.696,11
Swap Passivo
 em taxa pré 
10.000.000,00 × (17/100 + 1)21/252 = R$10.131.696,11
Ativo em dólar
10.000.000,00 × 1,02 × [(10/100 × 30/360) + 1] = R$10.285.000,00
Pode-se concluir que a empresa GHY receberá do banco X o valor líquido de
R$153.303,89 (resultado de R$10.285.000,00 – R$10.131.696,00), pois a
variação cambial mais 10% ficou acima dos 17% estipulado pela taxa pré.
4.4 – Tipos de Swaps
Swap de taxa de juro: contrato em que as contrapartes trocam indexadores associados a seus ativos ou passivos e que uma das variáveis é a taxa de juro.
Exemplos
– Swap taxa de DI × dólar: trocam-se fluxos de caixa indexados ao DI por fluxos indexados à variação cambial mais uma taxa de juro negociada entre as partes.
– Swap pré × taxa de DI: trocam-se fluxos de caixa indexados a uma taxa prefixada por fluxos indexados à taxa de DI.
Swap de moeda: contrato em que se troca o principal e os juros em uma moeda pelo principal mais os juros em outra moeda.
Exemplo
– Swap fixed-for-fixed de dólar × libra esterlina: trocam-se os montantes iniciais em dólares e em libras. Durante o contrato, são feitos pagamentos de juros a uma taxa prefixada para cada moeda. 
Swap de índices: contrato em que se trocam fluxos, sendo um deles associado ao retorno de um índice de preços (como IGP-M, IPC-Fipe, INLPC) ou de um índice de ações (Ibovespa, IBrX-50).
Exemplo
– Swap Ibovespa × taxa de DI: trocam-se fluxos de caixa indexados ao
retorno do Ibovespa mais uma taxa de juro negociada entre as partes por fluxos indexados a uma variação ao DI, ou vice-versa.
Swap de commodities: contrato por meio do qual duas instituições trocam fluxos associados à variação de cotações de commodities.
5 – Mercado de Opções
É importante você saber que o desenvolvimento do conceito de opções surgiu de necessidade específica: o controle do risco ligado às flutuações dos preços nos mercados agrícolas.
A primeira documentação sobre o uso de opções ocorreu na Holanda em 1634. As tulipas eram símbolo de status entre a aristocracia holandesa do século XVII. Naquela época, era comum os mercadores venderem tulipas a futuro (para entregar em data futura). Havia, portanto, grande risco em aceitar vender por preço fixo no futuro sem saber ao certo qual seria o preço exato no momento da venda.
Para limitar esse risco e assegurar margem de lucro, muitos mercadores compravam
opções dos plantadores. Essas opções lhes asseguravam o direito, mas não a obrigação, de comprar tulipas dos plantadores por preço predeterminado ao término de período específico de tempo. Em outras palavras, o preço máximo para os mercadores era fixado até que chegasse o momento de entregar as tulipas aos aristocratas e receber o pagamento. 
Se as tulipas passassem a custar mais que o preço máximo (ou predeterminado), os mercadores que possuíam as opções exigiriam do plantador a
entrega pelo preço máximo combinado, assegurando margem de lucro. Se, entretanto, o preço caísse e a opção expirasse sem valor, o mercador ainda poderia ter lucro comprando tulipas por preço mais baixo e, depois, revendendo- as com lucro. Esses contratos de opções possibilitaram que muitos mercadores permanecessem trabalhando durante períodos de extrema volatilidade nos preços daquelas flores.
O conceito importante que fica dessa pequena história é que as opções não
foram criadas para ser o instrumento especulativo do qual muitos fazem uso
nos dias de hoje, mas para ser um instrumento de proteção contra variações
de preços. 
O contrato de seguro é bom exemplo de opção. O segurado (comprador da opção) tem o direito de ser ressarcido caso haja um sinistro, mas não tem obrigação nenhuma. A seguradora (vendedor da opção) tem a obrigação de pagar ao comprador, se o sinistro ocorrer, a critério do comprador. Por adquirir essa obrigação, o vendedor da opção recebe um valor em pagamento, chamado prêmio.
Na forma como são conhecidas hoje, as opções começaram a ser negociadas em bolsa, na Chicago Board Options Exchange, em 1973. Com o lançamento dos contratos de opções sobre títulos do Tesouro norte-americano, o mercado cresceu e difundiu-se por toda a parte, sendo indiscutível sua eficácia como instrumento de hedge.
5.1 – Definição
Pode-se definir opção como o direito de comprar ou de vender certa quantidade de um bem ou ativo, por preço determinado, para exercê-lo em data futura prefixada.
Devido a sua relativa complexidade, o mercado de opções apresenta vocabulário todo particular, que visa representar as características de cada opção. Por esse motivo, você deve conhecer alguns termos importantes:
ativo-objeto: é o bem, mercadoria ou ativo que se está negociando;
titular: é o comprador da opção, aquele que adquire os direitos de comprar
ou de vender a opção;
lançador: é o vendedor da opção, aquele que cede os direitos ao titular,
assumindo a obrigação de comprar ou de vender o objeto da opção;
prêmio: é o valor pago pelo titular ao lançador da opção para ter direito
de comprar ou de vender o objeto da opção;
preço de exercício: preço peloqual o titular pode exercer seu direito;
data de exercício: último dia no qual o titular pode exercer seu direito de comprar ou de vender, conhecido como data de vencimento da opção.
5.2 – Tipos de Opção
Opção de compra (ou call): o titular/comprador adquire o direito de comprar o ativo-objeto do contrato, mas não a obrigação, por preço fixo (preço de exercício), em data futura acordadas pelas partes (data de exercício ou vencimento). Para obter o direito de comprar, paga ao lançador/vendedor um valor chamado de prêmio.
Opção de venda (ou put): o titular adquire o direito de vender o objeto do contrato, mas não a obrigação, por preço fixo (preço de exercício), em data futura acordada pelas partes (data de exercício ou de vencimento). Para ceder o direito de venda ao titular/comprador, o lançador/vendedor recebe um valor chamado de prêmio.
Além disso as opções possuem dois modelos, são eles:
Modelo americano: a opção pode ser exercida a qualquer momento, até a
data de vencimento acordada entre as partes.
Modelo europeu: a opção somente pode ser exercida na data de vencimento
acordada entre as partes.
5.3 - Características das Opções 
A principal característica das opções é seu apreçamento que ocorre ao longo do seu período de maturação. As opções sobre ações vão ficando mais corretamente precificadas de acordo com a aproximação do seu exercício, uma vez que diminuem as incertezas sobre os eventos bons e ruins que podem ocorrem em relação ao seu ativo-objeto.
A valoração das opções ocorre em função do seu valor intrínseco, temporal, macroeconômico e da oscilação do seu ativo objeto.
Valor intrínseco
O valor de uma opção é basicamente dividido em duas partes. O valor intrínseco e a outra parte que engloba várias variáveis tendo como a mais importante a variável temporal. O Valor intrínseco de uma opção é a diferença entre o preço à vista do ativo-objeto e o valor de exercício da opção, o que excede a esse valor é a precificação do prêmio pelo risco e está diretamente relacionado às variáveis implícitas imputadas na opção. Tais como: fatores temporais, macroeconômicos, volatilidade do mercado, e o preço do ativo.
Exemplificando:
Considerando os preços do ativos financeiros:
Preço corrente da opção da VALEJ28: R$2,51
Preço de exercício da opção VALEJ28: R$28,01
Preço atual do ativo VALE5: R$29,20
O valor intrínseco da opção é: R$29,20 – R$28,01 = R$1,19
O valor restante de R$1,32 é o prêmio pelo risco de se exercer a opção que o mercado está julgando justo pagar, como dito anteriormente esse prêmio engloba vários fatores.
5.4 - Modelo de precificação: Black & Scholes
O prêmio da opção é precificado por vários modelos que de acordo com a evolução do mercado foram sendo desenvolvidos, sendo que os modelos mais comuns são o Binomial e o Black & Scholes, esses modelos levam em consideração várias variáveis no momento de se precificar uma opção.
O modelo Black & Scholes por sua simplicidade e eficácia para se elaborar o preço justo das opções é o mais amplamente utilizado pelo mercado. Ele foi elaborado por dois cientistas Fisher Black e Myron Scholes, que adaptaram uma fórmula física para descrever um fenômeno financeiro que é a precificação de derivativos, o modelo foi proposto em 1973, sendo o ganhador do prêmio Nobel de 1997.
Várias alterações nesse modelo já foram realizadas visando a maximizar sua utilidade, estendendo assim sua função de somente precificar e nos dando critérios para analisar os mercados mais a fundo. Um exemplo disso seriam as letras gregas derivadas desse modelo que nos dão uma nova fronteira de possibilidades de análises.
O modelo em si leva em consideração essencialmente cinco variáveis: volatilidade (anualizada, considerando a função financeira de cálculo de juros compostos calculada continuamente), taxa de juro livre de risco (SELIC no caso brasileiro), tempo restante para o exercício da opção, preço do ativo objeto e preço da opção.
Além do fator temporal para o exercício, que é inerente ao processo de precificação uma opção, uma vez que ele elimina as incertezas, a volatilidade é a variável de maior peso na precificação. A partir de seu resultado é possível precificar com grande possibilidade de acerto o valor correto e em certas hipóteses até projetar preços futuros, mas as particularidades dessa variável serão vistas mais a frente.
Calcularemos somente a opção call, uma vez que o calculo da put é realizado da mesma maneira, porém com sinal inverso.
A fórmula de cálculo do modelo BS para calcular o prêmio de uma call européia é:
Em que às variáveis são:
Preço de exercício do ativo K.
Data de exercício. O prazo T medido como fração de uma ano é o tempo a decorrer entre a data da análise e a data de exercício.
Preço da ação S da qual deriva a call.
Taxa de juro livre de risco r com período anual e medida como taxa instantânea no regime de capitalização contínua.
Volatilidade anual medida geralmente como o desvio-padrão dos retornos da ação.
Os fatores N(d) são as probabilidades acumuladas de menos infinito até o valor d correspondente. Os valores obtidos depois de aplicados os conceitos algébricos são submetidos as conceitos estatísticos. Aplicando-se a distribuição normal cumulativa como explica o apêndice desta apostila 
Note que para analisar o prêmio da call a análise é realizada em uma data anterior ao exercício da call.
Preço da ação. Quanto maior for o preço da ação, maior será o prêmio da call. Duas call derivadas da mesma ação com preços de exercício diferentes, a call com maior preço de exercício terá menor prêmio.
Exemplo de cálculo utilizando o método BS para precificar uma call européia:
Calcule o prêmio da call com preço de exercício X=R$100,00 considerandoo prazo de 90 dias até a data de exercício, o preço da ação S=R$100,00, a volatilidade anual dos retornos da ação =50%, e a taxa de juto efetiva livre de risco é de 6% aos 365 dias.
Solução. Começamos por preparar os dados para serem utilizados no modelo BS.
Como a data de exercício ocorrerá em 90 dias da analise, o prazo T é igual a 0,2466, obtido como resultado de dividir 60 por 365 de duração do ano. Portanto, 0,2466 é o tempo a decorrer entre a data de análise e a data de exercício medida como proporção de um ano.
A taxa de juro efetiva livre de risco é 6% aos 365 dias. A taxa instantânea equivalente no regime de capitalização continua é de 5,827 com o mesmo período, resultado obtido com r=ln(1+0,06) sendo ln o logaritmo neperiano, ou logaritmo de base e.
A seguir calculamos os desvios padronizados d1 e d2. O resultado d1 = 0,1820 é obtido com:
d1 = Ln(100 / 100) + (0,0583 + 0,5² / 2) * 0,2466
 0,50 * ( 0,02466)¹/²
 
d1 = 0,1820 ( Essa variável estimada com a função da distribuição normal cumulativa padrão, com média zero e desvio padrão 1, ver tabela de distribuição distribuição e explicação no apêndice ou utilize a função =DIST.NORMP(valor d1).
O resultado d2 é obtido assim:
d2 = 0,1820 – 0,50 * 0,2466¹/² = -0,0663( Essa variável será estimada com a função da distribuição normal cumulativa padrão, com média zero e desvio padrão 1, ver tabela de distribuição e explicação no apêndice ou utilize a função =DIST.NORMP(valor d2).
O prêmio C da call é R$10,54, resultado obtido com:
 -0,05827 * 0,02466 
C = R$100 * 0,572209 – R$100 * e * 0,473569
C = R$10,54
O modelo Black & Scholes é um ótimo dispositivo para calcular opções dentro do dinheiro (próximas ao valor de exercício), porém não é tão bom para calcular opções fora do dinheiro (longe do valor de exercício), dando diferenças substanciais entre o preço que o modelo aponta e o preço real da opção. O modelo geralmente dá valores muito inferiores ao que o mercadoestá negociando.
O modelo como todo modelo que tenta representar quantitativamente a realidade não mensura variáveis subjetivas. Variáveis como: notícias políticas, o achado de uma nova bacia de petróleo ou uma crise de crédito em determinado país, e como as opções fora do dinheiro são as mais sujeitas a variações da volatilidade e pela grande probabilidade de não serem exercidas o modelo geralmente não as precifica corretamente.
5.5 - Volatilidade: uma variável enigmática
A volatilidade tem para os mercados de ações um valor fundamental, uma vez que na escolha de um portfólio ela exerce uma influência indiscutível. Uma vez que segundo a teoria de finanças de que quanto maior o risco maior o retorno e esse risco está ligado diretamente à probabilidade de variação do mercado, portanto inferimos que quanto maior a volatilidade maior será o VaR da carteira, portfólio ou ativo. A partir disso podemos concluir que saber mensurar corretamente a volatilidade é de fundamental importância para qualquer gestor de carteiras, uma vez que a escolha de seu portfólio ou ativo está à mercê dessa variável.
Muito se fala sobre volatilidade, mas pouco se conhece sobre ela, a volatilidade usada no modelo BS é geralmente obtida pelo desvio padrão anualizado do ativo objeto da opção, essa volatilidade é conhecida como volatilidade histórica, muitos são seus problemas. Essa volatilidade só nos revela fatos ocorridos no passado, em função de ser uma medida histórica. Utilizando-nos das variáveis taxa de juro livre de risco, preço corrente do ativo objeto da opção, preço da opção e dias restantes para o exercício, aplicadas ao modelo BS obtemos a volatilidade implícita do ativo objeto, porém a partir do momento da sua obtenção ela passa a ser volatilidade histórica. Voltando ao problema de termos somente informações históricas.
Então qual seria a resolução de nosso problema? Projetar a volatilidade futura.
Nosso problema e de todo Mercado Financeiro, as projeções de volatilidade atuais se baseiam em modernas técnicas estatísticas e econométricas de regressões lineares e múltiplas bem como em séries temporais baseadas em heterocedasticidade. Essas técnicas se utilizam da variável independente(variável conhecida) para projetar a variável dependente que é a volatilidade futura ou a variável projetada.
A primeira técnica de projeção de volatilidade data de 1982 e se chama ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), era uma projeção da inflação americana que foi adaptada para a análise de volatilidade no Mercado de Capitais, para achar a volatilidade de ativos, derivativos, juros entre outros.
Novos modelos de correção da teoria básica foram surgindo e modernizando as projeções, tais como o GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) e o EWMA (Exponentially Weighted Moving Average) ou mais simplesmente suavização exponencial.
O mercado também se utiliza de superfícies 3D de opções para projetar cenários de volatilidade, essa montagem é feita obtendo-se por Black & Scholes todas as volatilidades implícitas de todos os vencimentos existentes e projetando isso no gráfico em função do tempo. Assim obtemos uma superfície de volatilidade das opções como exposto nas imagens abaixo.
Superfície de Volatilidade do Real. Fonte: Reuters
Superfície de Volatilidade da Libra. Fonte: Reuters
As projeções de volatilidade são tão importante para o Mercado Financeiro que grandes Bancos como o JP Morgan e o Bank of America gastam milhões de dólares por ano em pesquisa e desenvolvimento para conseguir desenvolver novas teorias de projeção. Para confirmarmos essa citação o modelo VaR, foi desenvolvido pelo JP Morgan e aberto para o mercado em 1994.
5.6 - As letras gregas
As letras gregas são ferramentas vitais na gestão de risco. Cada grega mede a sensibilidade do valor de uma carteira em relação a determinado parâmetro, de modo que todos os riscos podem ser tratados isoladamente, e reajustados em conformidade com a carteira para conseguir uma exposição pretendida.
As gregas no modelo Black-Scholes são fáceis de calcular, uma propriedade desejável dos modelos financeiros. 
Variável grega “Delta”
O termo DELTA é usado em dois diferentes contextos:
Expressa a variação estimada de preços da Opção para uma variação de 1 ponto do ativo-objeto. O Delta é um numero que varia entre 0 e 1 para Opções de Compra (CALL) e entre 0 e –1 para Opções de Venda (PUT). Delta de Opções de Venda (PUT) são expressos de forma negativa para indicar que os preços destas opções movem-se em direção oposta do ativo-objeto.
Expressa a “Posição-Delta” do portfólio como um todo, mostrando a real relação deste para com o ativo-objeto (Delta = 1)
Posição Delta = q1 * Delta1 + q2* Delta2 + ... + qn * Delta
Matematicamente é a primeira derivada do valor do derivativo, sobre a primeira derivada do valor do ativo-objeto.
Variável grega “Gamma”
O GAMMA mede a sensibilidade do DELTA para alterações do ativo-objeto.
Sabemos que o DELTA de uma Opção de Compra (CALL) cresce à medida que esta opção 
move-se de “fora do dinheiro” para “dentro do dinheiro”.
O GAMMA é meramente uma precisa quantificação de forma e velocidade em que este incremento ocorre.
Na prática, se o ativo-objeto oscilar R$ 10,00 positivos, é esperado que o Delta da Opção de Compra (CALL) deste ativo se altere positivamente em 10,00 * Gamma de Reais. 
Delta Novo = Delta Antigo = ( Variação (R$) + Gamma )
Matematicamente é a segunda derivada do valor do derivativo sobre a primeira derivada do valor do ativo-objeto ao quadrado.
.
Variável grega “Theta”
O THETA quantifica “ajuste do tempo” na formação do preço da Opção representando a curva do “Time-decay”
Na prática significa a PERDA DE VALOR ESPERADA no prêmio das Opções de Compra quando o tempo de 1 dia. Importante analisar que a fórmula de B&S considera tempo como uma fração de ano do número de dias corridos. Portanto é preciso cuidado ao analisarmos o impacto próximo dos fins de semana e feriados.
t = ( dias úteis / 252 )
THETA é igualmente expresso como um número negativo
Matematicamente é a o valor negativo da primeira derivada do valor do derivativo, dividida pela primeira derivada do tempo.
Variável grega “Rho”:
A variável grega Rho mede a sensibilidade do valor do derivativo em relação à taxa de juros livre de risco.
Na prática significa que o preço do derivativo irá variar inversamente proporcional ao aumento da taxa de juro livre de risco.
Matematicamente é a primeira derivada do valor do derivativo sobre a primeira derivada do valor da taxa de juro livre de risco.
Higher-order and Cross-derivatives
Lambda λ é o percentual da mudança do valor da do derivativo em função da mudança do valor do ativo. 
Matematicamente é a primeira derivada do valor do derivativo, sobre a primeira derivada do valor do ativo-objeto multiplicada por 1 dividido pelo valor do derivativo.
O lambda é um derivativo logarítmico.
Vega gamma or volga mede a sensibilidade do valor do derivativo em relação a volatilidade implícita calculada por Black & Scholes
Matematicamente falando é a segunda derivada do valor do derivativo divida pela primeira derivada da variância. Como dito anteriormente a volatilidade implícita é obtida imputando as quatro variáveis conhecidas (preço da opção, preço do ativo, taxa de juros livre de risco e dias para o vencimento) no modelo Black & Scholes, assim obtemos a volatilidade implícita.
Resumo das gregas:
	
	Calls
	Puts
	delta
	
	
	gamma
	
	vega
	
	theta
	
	
	rho
	
	
	volga
	
Onde: 
Em que às variáveis são:
Preço de exercício de K.
Data de exercício. O prazo T medido como fração de uma ano é o tempo a decorrer entre a data da análise e a data de exercício.
Preço da ação S da qual deriva a call.
Taxa de juro livre de risco r com período anual e medida comotaxa instantânea no regime de capitalização contínua.
Volatilidade anual medida geralmente como o desvio-padrão dos retornos da ação.
Estratégias com opções
Estratégias com opções são estratégias em que são combinadas duas ou mais opções em função de se prever o maios prejuízo ou se obter o lucro máximo diminuindo os riscos. Ou seja hedgeando a posição.
POSIÇÃO DELTA NEUTRO
Investimento de R$ 2.680,00 em uma combinação de opções (trava) com:
• Delta Neutro e Posição Gamma Negativo, perco R$ 960,00 R$ para cada R$ de variação positiva da TNLP4 
• Posição Vega Negativa em R$ 400,00 => Estou “vendido” em volatilidade
• Posição Theta Positiva em R$ 340,00 => Ganho R$ 340,00 a cada dia 
BULL SPREAD
(Trava de Alta = Delta Positivo)
BEAR SPREAD
(Trava de Baixa -Delta Negativo)
CALL RATIO SPREAD
CALL BACK SPREAD
BUTTERFLY SPREAD
COMPRANDO VOLATILIDADE
Apêndice:
Calcularmos as variáveis do modelo BS mecanicamente é uma tarefa enfadonha, cansativa e desnecessária e os modelos disponíveis na internet nem sempre são gratuitos ou confiáveis, em função disso uma boa alternativa é o cálculo usando macros do Excel.
O código para se fazer isso é o seguinte:
Public Function CallBS2( PdeEx As Double, Prazo As Double, PdaAção AS Double, Taxa AS Double, d2 As double, Vol As Double) As Double
Dim d1 As Double, d2 As Double, Nd1 As Double, Nd2 As Double
Taxa = Log(1 + Taxa)
d1 = (Log(PdaAção / PdeEx) + (Taxa + Vol ^2 / 2) * Prazo / (Vol * Sqr(Prazo))
CallBS = PdaAção * Application.NormSDist(d1) - PdeEx * Exp(-Taxa * Prazo) * Application.NormSDist(d1 – Vol * Sqr(Prazo))
End Function
Imputando os dados no intervalo, D5;D8 e na celula D10 escrevendo a fórmula: =CallBS(D5;D8;D4;D6;D7) 
	2
	B
	C
	 D 
	3
	Dados
	 
	 
	4
	 
	Preço ação
	 R$ 100,00 
	5
	 
	Preço exercicío
	 R$ 100,00 
	6
	 
	Taxa efetiva
	6%
	7
	 
	Volatilidade
	50%
	8
	 
	Prazo
	 R$ 0,25 
	9
	 
	 
	 
	10
	 
	Premio da call
	 R$ 10,54 
Assim dá para se obter o valor de qualquer uma das variáveis desejadas, porém conhecendo às outras quatro.
Tabela e explicação de distribuição cumulativa normal:
Todas as curvas normais representativas de distribuições de freqüências podem ser transformadas em uma curva normal padrão, usando o desvio padrão (σ) como unidade de medida indicativa dos desvios dos valores da variável em estudo ( x ), em relação à média ( μ ).
A Distribuição Normal Padrão é caracterizada pela média ( μ ) igual a zero e desvio padrão (σ) igual a 1.
A figura anterior mostra também que o desvio-padrão controla o grau para o qual a distribuição se "espalha" para ambos os lados da curva. Percebe-se que aproximadamente toda a probabilidade está dentro de ± 3 σ a partir da média.
Se a variável x tem distribuição normal, pode ser transformada para uma forma padrão, denominada Z, (ou, como comumente se diz, pode ser padronizada) subtraindo-se sua média e dividindo-se pelo seu desvio padrão:
z = ( x - μ) / σ
Quando se estima os coeficientes, usa-se a seguinte notação:
z = ( x x ) / s
A equação da curva de z é:
É importante lembrar que a área sob a curva pode ser entendida como uma medida de sua probabilidade e que a área sob a curva normal é igual a 1 (100%).
Assim, a variável x cuja distribuição é N(μ, σ2) é transformada na forma padronizada z cuja distribuição é N(0,1). Essa é a distribuição normal padrão, que já está tabelada, pois os parâmetros da população (desvio padrão e média) são conhecidos.
Então, se forem tomados dois valores específicos, pode-se determinar a proporção de área sob a curva entre esses dois valores.
Para a distribuição Normal, a proporção de valores caindo dentro de um, dois, ou três desvios padrão da média são:
entre é igual a
μ ± 1 σ 68,26% (1)
μ ± 2 σ 95,44% (2)
μ ± 3 σ 99,74% (3)
Como se chegou a esses valores? Para responder essa pergunta é necessário conhecer a distribuição de z. que já está tabelada.
Note-se que a Tabela de z determina a área a partir do número de desvios-padrão, os quais são lidos assim:
_ , _ _
a , b c
a = número inteiro lido na primeira coluna
b = número decimal lido na primeira coluna
c = número centesimal lido na primeira linha
O valor de z será encontrado na intersecção entre a coluna e a linha, sendo adimensional.
Verificando a tabela, percebe-se que para os valores negativos de z as áreas são obtidas por simetria, ou seja, existe o mesmo conjunto de valores, com sinal negativo, para o lado esquerdo da média, pois a tabela é especular.
Os valores de z permitem delimitar a área sob a curva, pois, como no eixo Y do gráfico está a freqüência da variável, a área sob a curva tem o mesmo valor da probabilidade de ocorrência daquela característica.
Exemplo 1
Qual é a área sob a curva normal contida entre z = 0 e z = 1?
Procura-se o valor 1 na primeira coluna da tabela e o valor da coluna 0,00. O valor da intersecção é de 0,3413, ou seja 34,13%.
Entretanto, lembrando que a curva normal é simétrica, sabe-se que a área sob a curva normal contida entre z = 0 e z = -1 também é 34,13%. Portanto, a área referente a -1 < z < 1 vale a soma de ambas, ou seja, 68,26%.
Recordando que o valor central corresponde a μ, pode-se traçar o seguinte gráfico, onde percebe-se que fora dos valores centrais sobram apenas 15,87% para cada lado da curva..
Procura-se o valor 1 na primeira coluna da tabela e o valor da coluna 0,00. O valor da intersecção é de 0,3413, ou seja 34,13%.
Entretanto, lembrando que a curva normal é simétrica, sabe-se que a área sob a curva normal contida entre z = 0 e z = -1 também é 34,13%. Portanto, a área referente a -1 < z < 1 vale a soma de ambas, ou seja, 68,26%.
Recordando que o valor central corresponde a μ, pode-se traçar o seguinte gráfico, onde percebe-se que fora dos valores centrais sobram apenas 15,87% para cada lado da curva…
Assim sendo, considerando área sob a curva normal, qual é a área correspondente a exatos 95% da curva?
z = 95% = 0, 95
0, 95 / 2 = 0,4750
Procurando esse valor (0,4750) na tabela de z chega-se a 1,96.
Portanto, como o valor da área é o mesmo valor da probabilidade, se uma variável x tem distribuição normal, com média μ e desvio padrão σ a probabilidade de se sortear da população de valores de x um valor contido no intervalo μ ± 1,96 σ é igual a 95% ( 47,5% para cada lado da curva ) e a probabilidade de se sortear da população de valores de x um valor não contido no intervalo μ ± 1,96 σ é igual a 5% ( 2,5% em cada extremo da curva ).
Tabela de distribuição normal padrão:
	x
	0
	0,01
	0,02
	0,03
	0,04
	0,05
	0,06
	0,07
	0,08
	0,09
	0
	0,5
	0,504
	0,508
	0,512
	0,516
	0,5199
	0,5239
	0,5279
	0,5319
	0,5359
	0,1
	0,5398
	0,5438
	0,5478
	0,5517
	0,5557
	0,5596
	0,5636
	0,5675
	0,5714
	0,5753
	0,2
	0,5793
	0,5832
	0,5871
	0,591
	0,5948
	0,5987
	0,6026
	0,6064
	0,6103
	0,6141
	0,3
	0,6179
	0,6217
	0,6255
	0,6293
	0,6331
	0,6368
	0,6406
	0,6443
	0,648
	0,6517
	0,4
	0,6554
	0,6591
	0,6628
	0,6664
	0,67
	0,6736
	0,6772
	0,6808
	0,6844
	0,6879
	0,5
	0,6915
	0,695
	0,6985
	0,7019
	0,7054
	0,7088
	0,7123
	0,7157
	0,719
	0,7224
	0,6
	0,7257
	0,7291
	0,7324
	0,7357
	0,7389
	0,7422
	0,7454
	0,7486
	0,7517
	0,7549
	0,7
	0,758
	0,7611
	0,7642
	0,7673
	0,7704
	0,7734
	0,7764
	0,7794
	0,7823
	0,7852
	0,8
	0,7881
	0,791
	0,7939
	0,7967
	0,7995
	0,8023
	0,8051
	0,8078
	0,8106
	0,8133
	0,9
	0,8159
	0,8186
	0,8212
	0,8238
	0,8264
	0,8289
	0,8315
	0,834
	0,8365
	0,8389
	1
	0,8413
	0,8438
	0,8461
	0,8485
	0,8508
	0,8531
	0,8554
	0,8577
	0,8599
	0,8621
	1,1
	0,8643
	0,8665
	0,8686
	0,8708
	0,8729
	0,87490,877
	0,879
	0,881
	0,883
	1,2
	0,8849
	0,8869
	0,8888
	0,8907
	0,8925
	0,8944
	0,8962
	0,898
	0,8997
	0,9015
	1,3
	0,9032
	0,9049
	0,9066
	0,9082
	0,9099
	0,9115
	0,9131
	0,9147
	0,9162
	0,9177
	1,4
	0,9192
	0,9207
	0,9222
	0,9236
	0,9251
	0,9265
	0,9279
	0,9292
	0,9306
	0,9319
	1,5
	0,9332
	0,9345
	0,9357
	0,937
	0,9382
	0,9394
	0,9406
	0,9418
	0,9429
	0,9441
	1,6
	0,9452
	0,9463
	0,9474
	0,9484
	0,9495
	0,9505
	0,9515
	0,9525
	0,9535
	0,9545
	1,7
	0,9554
	0,9564
	0,9573
	0,9582
	0,9591
	0,9599
	0,9608
	0,9616
	0,9625
	0,9633
	1,8
	0,9641
	0,9649
	0,9656
	0,9664
	0,9671
	0,9678
	0,9686
	0,9693
	0,9699
	0,9706
	1,9
	0,9713
	0,9719
	0,9726
	0,9732
	0,9738
	0,9744
	0,975
	0,9756
	0,9761
	0,9767
	2
	0,9772
	0,9778
	0,9783
	0,9788
	0,9793
	0,9798
	0,9803
	0,9808
	0,9812
	0,9817
	2,1
	0,9821
	0,9826
	0,983
	0,9834
	0,9838
	0,9842
	0,9846
	0,985
	0,9854
	0,9857
	2,2
	0,9861
	0,9864
	0,9868
	0,9871
	0,9875
	0,9878
	0,9881
	0,9884
	0,9887
	0,989
	2,3
	0,9893
	0,9896
	0,9898
	0,9901
	0,9904
	0,9906
	0,9909
	0,9911
	0,9913
	0,9916
	2,4
	0,9918
	0,992
	0,9922
	0,9925
	0,9927
	0,9929
	0,9931
	0,9932
	0,9934
	0,9936
	2,5
	0,9938
	0,994
	0,9941
	0,9943
	0,9945
	0,9946
	0,9948
	0,9949
	0,9951
	0,9952
	2,6
	0,9953
	0,9955
	0,9956
	0,9957
	0,9959
	0,996
	0,9961
	0,9962
	0,9963
	0,9964
	2,7
	0,9965
	0,9966
	0,9967
	0,9968
	0,9969
	0,997
	0,9971
	0,9972
	0,9973
	0,9974
	2,8
	0,9974
	0,9975
	0,9976
	0,9977
	0,9977
	0,9978
	0,9979
	0,9979
	0,998
	0,9981
	2,9
	0,9981
	0,9982
	0,9982
	0,9983
	0,9984
	0,9984
	0,9985
	0,9985
	0,9986
	0,9986
	3
	0,9987
	0,9987
	0,9987
	0,9988
	0,9988
	0,9989
	0,9989
	0,9989
	0,999
	0,999
	3,1
	0,999
	0,9991
	0,9991
	0,9991
	0,9992
	0,9992
	0,9992
	0,9992
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	0,9996
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	x
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	F(x)
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	2[1-F(x)]
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	0.01
	0.002
	0.001
	0.0001
	0.00001
Referências:
Lapponi, Juan Carlos; Modelagem Financeira com Excel e VBA.
J. Elton, Edwin; Moderna Teoria de Carteiras e Análise de Investimentos.
Gonçalves, Eduardo Blank; Palestra Expomoney: Opções, o que são e para que servem!.
UFPA, laboratório de Informática e Biometria; A distribuição Normal.
Terminal Reuters; Dados de mercado e gráficos.
Agência Estado; Dados de mercado.
Intra Corretora; Dados de mercado.
0 
1 
2 
50 du
Ao= $100
At= $106,25
PU = 100.000,00
15 du
Hoje
Ajustes
Vencimento
PU = 98.753,72
23,453% aao
PU = 100.000,00
30 dc
Hoje
Ajustes
Vencimento
PU = 98.985,40
12,3% aa
PTAX 800
A taxa do FRA é uma taxa a termo de cupom
[-DDI Out08]
[+DDI Dez08]
Dez - 2008
Out - 2008
Hoje
R$ 41115
15 du
Hoje
Ajustes
Vencimento
Ao = R$39.822