Calculo Diferencial e Integral II prova 3 1

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Diferencial e Integral II
Resoluc¸a˜o da 3a prova - 25/09/2002 - 9:25h
1. Calcule cada um dos limites abaixo (ou mostre que na˜o existe limite):
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y2√
x2 + y2 + 4− 2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + 5y2
Soluc¸a˜o. (a) Multiplicando pelo conjugado, o limite e´
lim
(x,y)→(0,0)
(x2 + y2)(
√
x2 + y2 + 4 + 2)
x2 + y2 + 4− 4 = lim(x,y)→(0,0)
√
x2 + y2 + 4 + 2 = 2 + 2 = 4.
(b) Consideramos os limites direcionais ao longo de dois caminhos que se aproximam
da origem (0, 0).
Primeiro, se x = y, o limite acima e´
lim
x→0
x2
x2 + 5x2
=
1
6
e, em segundo lugar, se y = 2x, o mesmo limite e´
lim
x→0
2x2
x2 + 20x2
=
2
21
e, portanto, como estes limites direcionais sa˜o diferentes, o limite no enunciado da
questa˜o na˜o existe.
2. Seja f(x, y) = xy2exy. Considere o ponto P = (0,−1).
(a) Determine a direc¸a˜o de maior crescimento de f em P.
(b) Calcule a derivada direcional de f nesta direc¸a˜o.
(c) Determine a reta tangente a` curva de n´ıvel de f que passa pelo ponto P.
Soluc¸a˜o. (a)
{
fx = y
2exy + xy2exyy = y2exy(1 + 2xy),
fy = x2ye
xy + xy2exyx = xyexy(2 + xy)
⇒ fx(0,−1) = 1, fy(0,−1) =
0 ⇒ ∇f(0,−1) = (1, 0)
e a direc¸a˜o de maior crescimento de f no ponto (0,−1) e´
~u = ∇f(0,−1)/|∇f(0,−1)| = (1, 0) .
(b) A derivada direcional de f no ponto p = (0,−1) e na direc¸a˜o de maior crescimento
e´ |∇f(0,−1)| = 1 .
(c) A direc¸a˜o da reta tangente e´ (0, 1) pois e´ perpendicular a` normal. E as equac¸o˜es
parame´tricas da reta tangente no ponto (0,−1) sa˜o
x = 0 + 0t, y = −1 + t, t ∈ R ⇔ x = 0 e´ a equac¸a˜o da reta tangente.
3. Determine os pontos de ma´ximo e de mı´nimo da func¸a˜o
f(x, y) = x2 + y2 − 2y
sobre a curva
x2 + 4y2 − 4 = 0.
Soluc¸a˜o. Pelo me´todo dos multiplicadores de Lagrange, procuramos os (x, y) tais que
∇f(x, y) = λ∇g(x, y), g(x, y) = 0, onde{
f(x, y) = x2 + y2 − 2y (queremos maximizar esta f)
g(x, y) = x2 + 4y2 − 4 = 0 (curva) ⇒

2x = λ(2x)
2y − 2 = λ(8y)
x2 + 4y2 − 4 = 0
Duas possibilidades:
1a) x = 0 → 4y2 − 4 = 0 ⇒ y = ±1 f(0,−1) = 3, f(0, 1) = −1
ou
2a) λ = 1 ⇒ 2y − 2 = 8y ⇒ y = −1
3
.
Substituindo em g(x, y) = 0,
x2 + 41
9
− 4 = 0 ⇒ x2 = 32
9
⇒ y = −1
3
, x = ±4
√
2
3
.
Enta˜o f(±4
√
2
3
,−1
3
) =
32
9
+
1
9
+
2
3
ou seja, f(±4
√
2
3
,−1
3
) =
39
9
e este e´ o valor ma´ximo de f (apo´s a comparac¸a˜o entre os treˆs valores achados). O
valor mı´nimo de f e´ f(0, 1) = −1 .