Apostila - Cálculo Integral e Diferencial I

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Universidade Salgado de Oliveira – Cálculo Diferencial e Integral 1 
 1 
Nome: 
Turma: 
Professor(a): Msc. Adriana Meireles Macedo Abreu 
 
Plano de Curso Cálculo Integral e Diferencial I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL 
 - Gráficos 
 LIMITE E CONTINUIDADE 
 - O limite de uma função 
 - Definição de limite 
 - Limites laterais 
 - Continuidade de uma função em um ponto 
 - Limites no infinito 
 - Limites fundamentais 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS 
 - Taxa de variação 
 - Definição de derivada 
 - Derivada de uma função em um ponto 
 - Derivada de uma função 
 - Regras de derivação 
 - A derivada de uma função composta- regra da cadeia 
 - Derivadas de funções exponenciais 
 - Derivadas de funções logarítmicas e trigonométricas 
 - Aplicações das Derivadas 
 
 
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FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos particulares de funções
1 FUNÇÃO CONSTANTE
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k , onde k 
não depende de x .
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3
Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela 
ao eixo dos x .
Veja o gráfico a seguir:
2 FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , 
onde a  0 .
Exemplos : 
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) 
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).
Propriedades da função do 1º grau :
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta .
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2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se 
b  0 f é dita função afim .
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 
e, portanto, no ponto de abcissa x = - b/a .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é
chamado coeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação 
da reta . 
6) se a  0 , então f é crescente .
7) se a  0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é
uma reta que sempre passa na origem. 
Exercícios:
1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e 
f(3) = -10.
2 - A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e 
f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é
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3 FUNÇÃO DO 2º GRAU
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = 
ax2 + bx + c , com a  0 .
Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre 
uma parábola de eixo vertical .
Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c :
1) se a  0 a parábola tem um ponto de mínimo .
2) se a  0 a parábola tem um ponto de máximo 
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde:
xv = - b/2a
yv = -  /4a , onde  = b
2 - 4ac
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e 
x'' , que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação
x = - b/2a.
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7) ymax = -  / 4a ( a  0 )
8) ymin = -  /4a ( a  0 )
9) Im(f) = { y  R ; y  -  /4a } ( a  0 )
10) Im(f) = { y  R ; y  -  /4a} ( a  0)
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes de f(x) = ax
2 + bx + c 
, então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2) 
Exercícios 
1 - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o 
ponto 
(-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
a) o seu valor máximo é 1,25 
b) o seu valor mínimo é 1,25 
c) o seu valor máximo é 0,25 
d) o seu valor mínimo é 12,5 
e) o seu valor máximo é 12,5.
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SOLUÇÃO:
Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma
fatorada:
y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da 
função.
Portanto, poderemos escrever:
y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3)
y = a(x + 2)(x - 3)
Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem:
8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)
8 = a(1)(-4) = - 4.a
Daí vem: a = - 2 
A função é, então: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3)
y = -2x2 + 6x - 4x + 12
y = -2x2 + 2x + 12
Temos então: a = -2 , b = 2 e c = 12.
Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor 
máximo.
Isto já elimina as alternativas B e D.
Vamos então, calcular o valor máximo da função.
 = b2 - 4ac = 22 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100
Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5
Logo, a alternativa correta é a letra E. 
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2 - Determine o domínio da função y = (x+1) / (x - 2).
3 - Qual o domínio da função y = (x - 4)1/4 ?
4 FUNÇÃO LOGARÍTIMICA E EXPONENCIAL
Considere a função y = ax , denominada função 
exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente 
de 1, definida para todo x real.
Observe que nestas condições, ax é um número positivo, 
para todo x  R, onde R é o conjunto dos números reais.
Denotando o conjunto dos números reais positivos por R+
*
, poderemos escrever a função exponencial como segue:
f: R  R+
* ; y = ax , 0 < a  1
Vamos determinar a função inversa da função y = ax , onde
0 < a  1.
Permutando x por y, vem:
x = ay  y = logax
Portanto, a função logarítmica é então:
f: R+
*  R ; y = logax , 0 < a  1.
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Gráficos das funções exponencial ( y = ax ) e logarítmica 
( y = logax ), para os casos a > 1 e 0 < a  1. Observe que, sendo 
as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em 
relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, 
simétricos em relação à reta y = x.
Da simples observação dos gráficos, podemos concluir 
que:
1 - para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são 
CRESCENTES.
2 - para 0 < a  1, elas são DECRESCENTES.
3 - o domínio da função y = logax é o conjunto R+
* .
4 - o conjunto imagem da função y = logax é o conjunto R dos 
números reais.
5 - o domínio da função y = ax é o conjunto R dos números reais.
6 - o conjunto imagem da função y = ax é o conjunto R+
* .
7 - observe que o domínio da função exponencial é igual ao 
conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da 
função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função 
exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.
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Função Modular 
 
Pela definição de módulo temos que: 
 






0,
0,
)(
xsex
xsex
xxf 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) 1)(  xxf 
 
 
2) 1)(  xxf 
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Exercício: 
 
1) Construa o gráfico e dê o conjunto imagem das seguintes funções de IR em IR 
 
a) 3 xy 
 
b) 55
2  xxy 
 
c) 12  xy 
 
 
d) 









01
0,4
0,13
2 xsex
xse
xsex
y 
 
 
e) 






0,2
0,2
xsex
xsex
y 
 
 
 
f) 






3,4
3,2
2 xsex
xsex
y 
 
 
 
LIMITE E CONTINUIDADE 
 
A Fórmula da Distância 
 
 Pelo teorema de Pitágoras, em umtriângulo retângulo de hipotenusa de 
comprimento c e catetos de comprimentos a e b, temos 
 
 
 
 
222 cba  
 
 
 
 
 
 
 
a 
b 
c 
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Suponha que queiramos determinar a distância entre dois pontos P  11, yx e 
Q ),( 22 yx no plano. Com esses dois pontos, podemos formar um triângulo retângulo, 
conforme a figura abaixo. O comprimento do lado vertical do triângulo é 
12 yy  , e o 
comprimento do lado horizontal é 
12 xx  . Pelo teorema de Pitágoras, podemos 
escrever 
 
 
2
12
2
12
2 yyxxd  
 
 
 
2
12
2
12 yyxxd  
 
 
   212
2
12 yyxxd  (FÓRMULA DA DISTÂNCIA) 
 
 
Exemplo 1: Ache a distância entre os pontos (-2, 1) e (3, 4) 
 
 
 
 
A Fórmula do Ponto Médio 
 
 
 
 
 O ponto médio do segmento que une os pontos P  11, yx e Q ),( 22 yx 
 
 
 
Ponto Médio = 




 
2
,
2
2121 yyxx 
 
 
 
Exemplo 2: Ache o ponto médio do segmento que une os pontos (-5, -3) e (9, 3). 
Represente no plano cartesiano. 
 
 
 
 
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Determinação do coeficiente angular de uma reta 
 
Significado geométrico do coeficiente angular: O coeficiente angular de uma reta é 
o valor da tangente do ângulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas. Se o 
ângulo está no primeiro quadrante ou no terceiro quadrante, o sinal do coeficiente 
angular é positivo e se o ângulo está no segundo quadrante ou no quarto quadrante, o 
sinal do coeficiente angular é negativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dada a equação de uma reta, podemos achar o coeficiente angular escrevendo 
a equação na forma bmxy  . Mesmo que não seja dada uma equação, ainda assim 
podemos achar o coeficiente angular de uma reta. Suponha, por exemplo, que 
queiramos achar o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos  11, yx e 
),( 22 yx , mostrada na figura abaixo. Na medida que nos deslocamos da esquerda para 
direita, uma variação de (
12 yy  ) unidades na direção vertical correspondente a uma 
variação de (
12 xx  ) unidades na direção horizontal. Essas duas variações se 
representam pelos símbolos 
 
12 yyy  = variação de y 
 
12 xxx  = variação de x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A razão de y para x representa o coeficiente angular da reta que passa 
pelos pontos  11, yx e ),( 22 yx 
 
 
12
12..
xx
yy
x
y
angcoef





 , ou seja, 
 
 o coeficiente angular m da reta que passa pelos pontos  11, yx e 
),( 22 yx é 
 
12
12
xx
yy
x
y
m





 com 21 xx  
 
Exercício: 1) Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pares de pontos 
 
a) (-2, 0) e (3, 1) 
b) (-1, 2) e (2, 2) 
c) (0, 4) e (1, -1) 
d) (3, 4) e (3, 1) 
 
2) Determine a equação da reta de coeficiente angular 3 e que passa pelo ponto (1, -2) 
 
 
 
NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 
 
 A idéia de limite é fácil de ser captada intuitivamente. Por exemplo, imagine 
uma placa metálica quadrada que se expande uniformemente porque está sendo 
aquecida. Se x é o comprimento do lado, a área da placa é dada por 2xA  . 
Evidentemente, quanto mais x se avizinha de 3, a área A tende a 9 centímetros. 
Expressamos isto dizendo que quando x se aproxima de 3, 2x se aproxima de 9 como 
um limite. Simbolicamente, escrevemos 
 
2
3
lim x
x
= 9 
 
Exemplo : 1) Se 2)( xxf  mostre graficamente que 2
3
lim x
x
=9 
 
 
 
 
 
 
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2) Determine )75(lim
4


x
x
 
 
 
 
3) Determine 
2
443
lim
2
2 

 x
xx
x
 
 
 
x 1 1,25 1,50 1,75 1,90 1,99 1,999 
F(x)=
2
443 2


x
xx
 
5 5,75 6,5 7,25 7,7 7,97 7,997 
 
 
x 3 2,75 2,50 2,25 2,10 2,01 2,001 
F(x)=
2
443 2


x
xx
 
11 10,25 9,50 8,75 8,30 8,03 8,003 
 
 Fatoração/Simplificação: 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determine o limite das seguintes funções quando x tende a 2: 
 
a) 2)(  xxf 
 
b) 
2
4
)(
2



x
x
xf 
 
c) 






2,6
2,2
)(
xse
xsex
xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  21 xxxxay  
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PROPRIEDADES DOS LIMITES DE FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONTINUIDADE 
 
Dizemos que uma função f é contínua em um número a se e somente se as 
seguintes condições forem válidas 
 
)()(lim)(
,)(lim)(
,)()(
afxfiii
eexistexfii
definidoestáafi
ax
ax



 
 
Exercício 
 
1) Mostre que a função f é contínua para o número a indicado . 
 
a) 0,3)( 2  axxf 
 
b) 










13
1
1
132
)(
2
xse
xse
x
xx
xf 1, a 
 
c) 






35
323
)(
xsex
xsex
xf 3, a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Trace o gráfico das funções das funções dadas, ache os limites laterais das funções 
quando  ax e ax , determine o limite da função quando x tende a a (se o 
limite existe) e use a definição de continuidade e diga se a função dada é contínua em 
a . 
 
a) 






310
312
)(
xsex
xsex
xf 3; a 
 
 
b) 






21
22
)(
xse
xsex
xf 2; a 
 
 
Devemos saber que o )(lim xf
ax
só existe se os limites laterais )(lim xf
ax 
 e 
)(lim xf
ax 
 existirem e tiverem o mesmo valor, ou seja, o limite 
)(lim xf
ax
existe se todos os três limites tem o mesmo valor. 
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c) 







11
13
)(
2
2
xsex
xsex
xf 1; a 
 
 
Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LIMITES ENVOLVENDO INFINITO 
 
Considere a função 
2
1
)(
x
xf  e analise seu domínio e os valores de f(x) 
quando x se aproxima de 0. (preencha a tabela abaixo) 
 
 
x 1 0,5 0,25 0,1 0,01 0,001 0,0001 
2
1
)(
x
xf  
 
 
 
Observando o gráfico acima calcule o valor de 
20
1
lim
xx
 . 
 
 Agora considere a função 
32
4
)(


x
xf , observe o gráfico e calcule seus 
limites laterais. Existe o limite dessa função ? Onde ocorre a descontinuidade ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LIMITES NO INFINITO 
 
Considere a função 
x
xf 1)(  para calcular o 
xx
1lim

 e 
xx
1lim

, (observe o gráfico) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 1) 
32
5
lim
2
2
 x
x
x
 
 
 
2) 
1
1
lim
2
3


 x
x
x
 
 
 
3) 
3 3 37
5
lim
 x
x
x
 
 
 
 
É bastante útil também, ao se trabalha com limites no infinito de funções 
racionais dividir o numerador e o denominador pela variável 
independente elevada à maior potência que apareça na fração. 
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P.77 E 78 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANTENADOS????? 
VAMOS FAZER OS 
EXERCÍCIOS !! 
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	FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
	DERIVADAS
	Função Modular
	LIMITE E CONTINUIDADE
	A Fórmula da Distância
	A Fórmula do Ponto Médio
	Determinação do coeficiente angular de uma reta
	NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
	PROPRIEDADES DOS LIMITES DE FUNÇÕES
	CONTINUIDADE