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Mecânica dos Sólidos José Mauro Marquez, PhD Torção • Previamente em Cisalhamento, estudou-se que a deformação de um elemento plano retangular, cortado em um corpo onde as forças que nele atuam dão origem, no elemento considerado, só a tensões de cisalhamento, τ, como se indica na figura abaixo. Torção • Em Torção, vai-se um pouco mais além e estuda-se a peça como um todo e não apenas a seção de Cisalhamento. Como mostra a figura abaixo: a) Barra em torção b) Deformação por cisalhamento c) Distribuição da das forças de cisalhamento e gráfico de tensões Torção • Ou seja, a uma barra engastada numa extremidade e solicitada na outra por um binário de forças, situadas no plano da seção transversal, é gerado um momento torçor em que: 𝑴𝒕 = 𝑭 𝒙 𝒅 Torção • No caso geral, em diversas seções transversais, atuam binários situados nos planos dessas seções. • A definição de Momento Torçor, para determinada seção transversal, é a soma algébrica dos momentos dos binários que se situam de um dos lados da seção considerada. • A escolha desses lados é arbitrária e conduz ao mesmo resultado. • Para isso, supõe-se que os esforços aplicados à barra estão em equilíbrio. Torção • Portanto, por exemplo, ao se usar uma ferramenta, tipo, chave de parafusos, obtêm- se o resultado da figura abaixo: Torção • No instante em que se torce a chave de parafuso, ocorre uma deformação das fibras da sua haste, como representada abaixo: Torção O Momento Polar de Inércia da peça é determinado por: • Força de cisalhamento: • A tensão de cisalhamento 𝜏 no raio ρ gera um momento elementar: 𝒅𝑴 = 𝝉𝝆𝒅𝑨 = 𝝉𝒎𝒂𝒙 𝒓 𝝆𝟐𝒅𝑨 𝑸 = 𝝉𝒅𝑨 Torção • O momento resultante, igual ao torque, é a soma de todos os momentos elementares sobre a seção transversal: T= 𝑑𝑀 = 𝑑𝐴 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝑟 𝜌2𝑑𝐴 = 𝑑𝐴 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝑟 𝐼o • Onde Momento Polar de Inércia é dado por: 𝐼o= 𝜌 2𝑑𝐴 𝑑𝐴 Torção • Para um círculo de raio r e diâmetro d, o momento de inércia polar é: 𝐼𝑜 = 𝜋𝑟4 2 = 𝜋𝑑4 32 • Para um eixo cirular oco, de diâmetro D0 e diâmetro interno Di o Momento Polar de Inércia da seção transversal em relação ao centro é: 𝐼𝑜 = 𝜋(𝐷0 4 − 𝐷𝑖4) 32 [UC4] UC = Inidade de Comprimento, por exemplo, mm4 Torção • Tensão de Cisalhamento na torção: 𝜏 = 𝑀𝑡 𝐼𝑜 . 𝜌 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑀𝑡 𝐼𝑜 . 𝐷𝑜 2 • Módulo de Elasticidade ao Cisalhamento G = 𝜏 𝛾 donde: 𝛾 = 𝜏 𝐺 Torção • Ângulo de Torção Se um eixo de comprimento L está submetido ao momento torçor Mt, o ângulo θ de que gira uma seção externa, em relação à outra, é: θ = Mt 𝑥 𝐿 𝐺 𝑥 𝐼𝑜 = Mt 𝐿 𝐺 𝐼𝑜 Torção • Exercício 1: Um eixo de seção circular de diâmetro igual a 44,45 mm está submetido a Mt = 1000 Nm. Calcular a tensão máxima de cisalhamento, e o deslocamento angular correspondente a 1m de comprimento. O valor de G = 80 GPa. Solução: 𝐼𝑜 = 𝜋𝑑4 32 = 𝜋(44,45 𝑥 10−3)4 32 = 38,3255 x 10-8 m4 𝜏 = 𝑀𝑡 𝐼𝑜 . 𝜌 = 𝑀𝑡 𝐼𝑜 . 𝐷 2 = 1000 38,3255 𝑥 10−8 x 44,45 𝑥 10−3 2 𝜏 = 579,90 x 10-5 = 580 MPa Torção 580 MPa θ = Mt 𝑥 𝐿 𝐺 𝑥 𝐼𝑜 = 1000 𝑥 1 80 𝑥 109 𝑥 38,3255 𝑥 10−8 θ = 0,0326 rad Torção • Exercício 2 – Um eixo circular de 31,25 mm de diâmetro, está submetido a Mt= 312,5 Nm. Sabendo-se que para l = 1,5 m tem-se θ = 3,120, qual o valor de G? • Exercício 3 – Qual a potência máxima, em HP, que um eixo de aço de 5,72 cm de diâmetro pode transmitir com n=250 rpm, sabendo-se que a tensão admissível, ao cisalhamento, é 77,4 MPa. • Obs: Mt = T = 7256 𝑃 𝑛 P em [HP], n [rpm] Torção • Exercício 4 Um eixo AB bi-engastado de seção transversal circular tem 250 mm de comprimento e 20 mm de diâmetro. No trecho de 125 mm a partir da extremidade B, o eixo tem seção vazada com diâmetro interno de 16 mm. Pede-se determinar o momento torsor em cada apoio quando um torque de 120 Nm é aplicado no ponto médio de AB, como mostrado na figura. Torção • Exercício 5 Considere um eixo de seção circular vazada com 75 mm de diâmetro interno e 125 mm de diâmetro externo. Experimentalmente, determinou-se a tensão de cisalhamento τi = 56 MPa, na face interna. Qual a tensão nas fibras externas? Torção • Exercício 6 A distribuição de tensão máxima em um eixo maciço foi representada em gráfico ao longo de três linhas radiais arbitrárias, como mostra a figura. Determine o torque interno resultante na seção. Torção • Exercício 7 O tubo mostrado na figura abaixo tem diâmetro interno de 80 mm e diâmetro externo de 100 mm. Se sua extremidade for apertada contra o apoio em A usando-se uma chave em B, determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da porção central do tubo quando são aplicadas forças de 80 N à chave. Torção • Exercício 8 O poste maciço de ferro fundido com 50 mm de diâmetro, mostrado na figura, está enterrado no solo até 600 mm de seu comprimento total. Se for aplicado um torque em sua parte superior com uma chave de torque rígida, determinar a tensão na parte superior. Considere que o torque estaria prestes a girar o poste e que o solo exerce uma resistência uniforme à torção t N.mm/mm ao longo dos 600 mm de comprimento que estão enterrados. G = 40 x 103 MPa. Torção • Exercício 9 O eixo de aço A-36 é composto pelos tubos AB e CD e uma seção maciça BC. Está apoiado em mancais lisos que permitem que ele gire livremente. Se as engrenagens presas às extremidades do eixo forem submetidas a torques de 85 N.m, determinar o ângulo de torção da engrenagem A em relação à engrenagem D. Os tubos têm diâmetro externo de 30 mm e diâmetro interno de 20 mm. A seção maciça tem diâmetro de 40 mm. G = 75 GPa. Torção • Exercício 10 O moto-redutor de 2,5 kW pode girar a 330 rev/minuto. Se a tensão de cisalhamento admissível para o eixo for τadm = 56 Mpa, determine, com aproximação de múltiplos de 5mm, o menor diâmetro do eixo que pode ser usado.
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