Testes - MECÂNICA APLICADA A ENGENHARIA CIVIL

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1. 
 
 
Considere uma seção cuja forma seja um semicírculo de raio igual a 3,14 cm. Esta 
seção é colocada tal que o diâmetro encontra-se na horizontal. Um par de eixos x e y é 
colocado tal que x coincida com o diâmetro e y passe pelo centro da seção em estudo. 
Considerando o número irracional pi = 3,14, determine as coordenadas do centroide 
desta área, tendo com base o par de eixos adotado. 
 (0, 4/3) 
 
 (0,0) 
 
 (3/4, 0) 
 
 (0, 3/4) 
 
 (4/3, 0) 
 
 
 
Explicação: Teorema da simetria - eixo y é simétrico, então x = 0 y = 4R/3.pi = 
4x3,14/3x3,14 = 4/3 C(0, 4/3) 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
"Podemos entender o momento estático de uma área como o produto entre o valor 
do(a) _______ e o(a) _________ considerada(o) até o eixo de referência que escolhemos 
para determinar o momento estático." As palavras que melhor representam as lacunas 
que dão o sentido correto da frase são, respectivamente: 
 
 distância do centróide da área ; perímetro da área 
 
 perímetro da área ; área 
 
 volume; área 
 
 momento de inércia; volume 
 área ; distância do centróide da área 
 
 
 
 
 
3. 
 
Considere uma viga cuja seção reta seja um T, conforme a figura. 
Determine as coordenadas (x, y) do centroide C, em milímetros, utilizando 
 
o sistema de eixo s apresentado na figurada figura.
 
 
 (76; 0) 
 
 (0; 40) 
 (0; 76) 
 
 (85; 0) 
 
 (0; 85) 
 
 
 
Explicação: 
Y é eixo de simetria ⇒ x = 0 
y = (40 x 1600 + 95x(3000))/(1600 + 3000) = 75,87 = 76 mm 
Resposta C (0; 76) 
 
 
 
 
 
4. 
 
Uma coluna de aço (E = 200 GPa) é usada para suportar as cargas em 
dois pisos de um edifício. Determine o deslocamento BC, sabendo que 
P1 = 150 kN e P2 = 280 kN e a coluna tem 20 mm de diâmetro: 
 
 
 5,2 x 10
-3 m 
 
 527 mm 
 
 52,7 m 
 
 5270 m 
 52,7 x 10
-3 m 
 
 
 
Explicação: deslocamento = PL/AE deslocamento = 430 kiN. 7,6 m/3,1x10^-
4m2.200x10^6kPa deslocamento = 52,7 x 10^-3 m 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine o momento estático em relação ao eixo x da figura plana composta pelo 
quadrado (OABD) de lado 20 cm e o triângulo (BCD) de base (BD) 20 cm e altura 12 cm. 
 
 
 4000 cm
3 
 
 6880 cm
3 
 5200 cm
3 
 
 9333 cm
3 
 
 6000 cm
3 
 
 
1. 
 
 
Considere uma viga cuja seção reta seja um T, conforme a figura. 
Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo 
horizontal xg que passa pelo centroide da seção, em m4. Considere 
que este eixo esteja localizado a uma altura de 76 mm. 
 
 
 1,23.10
-6 m4 
 
 6,23.10
-6 m4 
 
 3,24.10
-6 m4 
 4,23.10
-6 m4 
 
 2,24.10
-6 m4 
 
 
 
Explicação: 
I = 20.803/12 + 20.80.(76 -40)2 + 100.303/12 + 100.30.(95-76)2 = 4,23.106 mm4 = 4,23.10-
6 m4 
 
 
 
 
2. 
 
 
No estudo da resistência dos materiais dois conceitos/valores são importantes: o 
momento de inércia de uma seçã A em torno de um eixo (Ix) e o produto de inércia (Ixy). 
Com relação aos valores que estas grandezas podem assumir é correto afirmar que: 
 
 Ix é sempre poditivo e Ixy sempre nulo 
 
 Ambas são sempre positivas 
 
 Ambas são sempre negativas 
 
Ix sempre assumirá valores positivos e Ixy quaisquer valores: positivo, negativo 
ou nulo. 
 
 
Ixy sempre assumirá valores positivos e Ix quaisquer valores, positivo, negativo 
ou nulo. 
 
 
 
Explicação: Ix> 0 e Ixy qualquer valor 
 
 
 
 
3. 
 
 
Em algumas aplicações da engenharia, há a necessidade de se 
determinar os eixos principais de uma seção, ou seja, os eixos cujo 
produto de inércia é nulo e que estão associados aos valores 
máximo e mínimo do momento de inércia. Na figura, a seção é um 
hexágono não regular. Um dos eixos principais desta seção faz um 
ângulo com a horizontal igual a: 
 
 
 30º 
 
 75º 
 
 60º 
 45º 
 
 15º 
 
 
 
Explicação: 
A área de uma seção reta tem produto de inércia, em relação aos eixos principais, nulo. Como 
existe simetria na figura, estes eixos são os principais. 
Na figura, um dos eixos está desenhado. Note que o triângulo em destaque é retângulo 
isósceles. Assim, o ângulo é de 45º 
 
 
 
 
4. 
 
 
O produto de inércia Ixy de uma área pode apresentar valores negativos, positivos ou 
nulo. Suponha uma peça localizada no segundo quadrante de um par xy, ou seja, valores 
positivos de y e negativos de x. A respeito do sinal de Ixy é possível afirmar que: 
 
 É sempre positivo 
 
 Pode ser positivo, negativo ou nulo 
 É sempre negativo 
 
 Pode ser positivo ou negativo, porém nunca nulo 
 
 É sempre nulo 
 
 
 
 
5. 
 
 
Analise as afirmativas. I - O raio de giração é a raiz quadrada do momento de inercia da 
área dividido pelo momento de inércia ao quadrado; II ¿ O momento de inércia expressa 
o grau de dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo; III ¿ o produto 
de inércia mede a antissimétrica da distribuição de massa de um corpo em relação a um 
par de eixos e em relação ao seu baricentro. É(São) correta(s) a(s) afirmativa(s) 
 
 I e II, apenas 
 II e III, apenas 
 
 I e III, apenas 
 
 I, II e III. 
 
 I, apenas 
 
 
 
1. 
 
 
Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m de 
comprimento e diâmetros interno e externo, 
respectivamente, iguais a 40 mm e 60 mm. Qual o maior 
torque que pode ser aplicado à barra circular se a 
tensão de cisalhamento não deve exceder 120 MPa? 
 4,08 KN.m 
 
 6,50 KN.m 
 
 5,12 KN.m 
 
 2,05 KN.m 
 
 3,08 KN.m 
 
 
 
Explicação: Resposta 4,08 KN.m 
 
 
 
 
2. 
 
Um motor rotacionando um eixo circular maciço de aço 
transmite 30 kW para uma engrenagem em B. A tensão de 
cisalhamento admissível no aço é de 42 Mpa. Qual é o 
diâmetro necessário do eixo se ele é operado a 500 rpm? 
 
 
 0,0411 mm 
 
 0,0205 m 
 
 0,0205 mm 
 
 20,5 mm 
 41,1 mm 
 
 
 
Explicação: 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Um motor rotacionando um eixo circular maciço de aço 
transmite 30 kW para uma engrenagem em B. A tensão de 
cisalhamento admissível no aço é de 42 Mpa. Qual é o 
diâmetro necessário do eixo se ele é operado a 4.000 rpm? 
 
 20,55 mm 
 
 41,1 mm 
 
 10,27 mm 
 
 0,01027 mm 
 
 0,02055 mm 
 
 
 
Explicação: 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Uma barra homogênea de comprimento L = 1,0 m e seção reta quadrada, de lado 2,0 cm, 
está submetida a uma tração de 200kN. O material da barra possui módulo de 
elasticidade de 200GPa. Qual o valor da deformação da barra, considerando que se 
encontra no regime elástico? 
 
 0,25mm 
 
 25mm 
 2,5mm 
 
 2,5cm 
 
 25cm 
 
 
 
 
5. 
 
 
Sobre o fenômeno da torção em um tubo quadrado de paredes fina de comprimento L, 
área média Am , espessura t e módulo de cisalhamento G, pode-se afirmar que: 
 
 O ângulo de torção aumenta com uma redução do comprimento L do tubo; 
 
 A tensão de cisalhamento média aumenta com o aumento da área média; 
 
 O ângulo de torção diminui com a redução da área média do tubo; 
 
 A tensão de cisalhamento média diminui com o aumento do torque aplicado; 
 
A tensão de cisalhamento média diminui com o aumento da espessura de parede 
do tubo; 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um eixo tubular vazado possui diâmetro interno de 3,0cm e diâmetro externo de 42mm. 
Ele é usado para transmitir uma potência, por meio de rotação, de 90000W as peças que 
estão ligadas as suas extremidades. Calcular a frequência de rotação desse eixo, em 
Hertz, de modo que a tensão de cisalhamento não exceda 50MPa. 
 
 42 Hz 
 
 30,2 Hz 
 
 35,5 Hz 
 26,6 Hz 
 
 31 Hz 
 
 
 
Explicação: f = 26,6 Hz 
 
 
 
 
7. 
 
 
Considere um eixo maciço e homogêneo com seção circular de raio 30 cm. Sabe-se que 
este eixo se encontra em equilíbrio sob a ação de um par de torques T. Devido a ação de 
T, as seções internas deste eixo estão na condição de cisalhamento. Se, na periferia da 
seção, a tensão de cisalhamento é de 150 MPa, determine a tensão de cisalhamento, 
nesta mesma seção circular, a uma distância de 20 cm do centro. 
 
 Não existem dados suficientes para a determinação 
 
 Nula 
 
 150 MPa 
 100 MPa50 MPa 
 
 
 
Explicação: 
A variação da tensão de cisalhamento é linear. Assim, 100/150 = 2/3 e, portanto, 
2/3.(150) = 100MPa 
 
 
 
 
8. 
 
 
Seja uma barra de aço com seção transversal circular de diâmetro 20 cm e comprimento 
21 m, está submetido a um momento torsor de 1000 kN.m. Determine a rotação entre 
os dois extremos do eixo(ângulo de torção). 
Dados: G = 50 GPa; PI = 3 ; 
2,8 rad 
 2,1 rad 
 1,37 rad 
 1,98 rad 
 2,37 rad 
 
 
1. 
 
 
Para o carregamento mostrado na figura, determine na viga AC a 
posição onde o gráfico do esforço cortante tem uma 
descontinuidade, sabendo que a reação em A é RA = 13,75 kN. 
 
 
 8 m 
 5 m 
 
 7,5 m 
 
 2 m 
 
 2,,5 m 
 
 
 
 
2. 
 
 
Para o carregamento mostrado na figura, determine o valor das 
reações verticais nos apoios. 
 
 
 RA = 8,75 kN e RC = 11,25 kN 
 RA = 13,75 kN e RC = 26,25 kN 
 
 RA = 11,25 kN e RC = 8,75 kN 
 
 RA = 26,25 kN e RC = 13,75 kN 
 
 RA = 11,25 kN e RC = 28,75 kN 
 
 
 
 
3. 
 
Uma viga bi apoiada é submetida a um carregamento 
uniformemente distribuído. Em virtude deste carregamento, a viga 
sofre uma flexão. A respeito da condição que ficam "as fibras", ao 
longo de uma seção qualquer desta viga, é correto afirmar que: 
 
 
 
A parte inferior está sob tração (valores negativos) e a parte superior sob 
compressão (valores positivos). Existe uma região de valores nulos, a linha 
neutra. 
 
A parte inferior está sob tração (valores positivos) e a parte superior sob 
compressão (valores negativos). Existe uma região de valores nulos, a linha 
neutra. 
 
 
A parte inferior está sob compressão (valores positivos) e a parte superior sob 
tração (valores negativos). Existe uma região de valores nulos, a linha neutra. 
 
 
A parte inferior está sob tração (valores positivos) e a parte superior sob 
compressão (valores negativos. Não existe região de valores nulos. 
 
 As partes inferior e superior estão sob tração (valores positivos). 
 
 
 
 
4. 
 
 
Para o carregamento mostrado na figura, determine o valor do 
momento fletor máximo na viga AC, sabendo que a reação em A é 
RA = 13,75 kN. 
 
 
 25 kNm 
 
 75 kNm 
 
 26,75 kNm 
 
 13,75 kNm 
 68,75 kNm 
 
 
 
 
5. 
 
 
A viga engastada mostrada na figura possui uma reação em A que se opõe à rotação da 
viga. Determine essa reação. 
 
 180 Nm no sentido anti-horário 
 
 600 N para baixo 
 
 600 N para cima 
 
 180 Nm no sentido horário 
 
 1800 Nm no sentido anti-horário 
 
 
 
 
6. 
 
 
Suponha uma viga de 4m de comprimento apoiadas em suas extremidades A e B. Sobre 
esta viga existe um carregamento de 5kN/m. Considere o ponto M, médio de AB. Neste 
ponto os valores do momento fletor e esforço cortante atuantes na seção valem, 
respectivamente: 
 
 
 5kN.m e 8kN 
 
 8kN.m e 8kN 
 
 8kN.m e 5kN 
 10kN.m e 0kN 
 
 0kN.m e 10kN 
 
 
 
Explicação: 
No ponto M, o momento fletor é máximo e o esforço cortante igual a zero. Mmáximo = q.L2/8 
Mmáximo = q.L2/8 = 5.(4)2/8 = 10kN.m e V = 0 kN 
 
 
 
1. 
 
 
Suponha um eixo cilíndrico homogêneo preso em uma extremidade. Um torque T é 
aplicado ao mesmo e, em consequência, as seções retas estão submetidas ao 
cisalhamento. Escolhendo-se aleatoriamente uma seção, determinam-se os valores de 
tensão de cisalhamento: 100 MPa; 50 MPa e 0. Com relação às posições dos pontos, na 
seção reta, sujeitos a estes valores é verdade que: 
 
 Um desses pontos é o centro e os demais igualmente afastados do centro. 
 
 Estes pontos estão necessariamente alinhados 
 
 
Um destes pontos é o centro e os demais afastados deste. O de 50 MPa mais 
afastado que o de 100MPa 
 
Um destes pontos é o centro e os demais afastados deste. O de 100 MPa mais 
afastado que o de 50MPa 
 
 Nada pode ser afirmado. 
 
 
 
Explicação: 
A variação da tensão de cisalhamento ao longo do raio é linear, sendo zero neste ponto. 
Assim, o ponto de 100 MPa está mais afastado do centro do que o ponto de 50 MPa 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere uma viga reta, homogênea e de seção transversal constrante, inicialmente na 
posição horizontal. A seção transversal em cada extremidade é vertical, ou seja, cada 
elemento longitudinal possui, inicialmente, o mesmo comprimento. A via é fletida única 
e exclusivamente pela aplicação de momentos fletores, e a ação pode ser considerada 
elástica. Para essa situação, com as hipóteses consideradas, analise as afirmações a 
seguir. I- Qualquer seção plana da viga, antes da flexão, permanece plana após essa 
flexão. II - Existem elementos longitudinais da viga que não sofrem deformação, ou seja, 
alteração em seu comprimento. III - Todos os elementos longitudinais da viga 
encontram-se submetidos a tensões de tração. Está correto o que se afirma em: 
 
 I e III 
 
 II e III 
 
 I 
 
 I, II e III 
 I e II 
 
 
 
 
3. 
 
 
Se o torque aplicado ao eixo CD for T´ = 75 N.m, determine a 
tensão de cisalhamento máxima no eixo AB. Os mancais B, C e D 
permitem a livre rotação dos eixos, e o motor impede a rotação 
dos eixos. 
Dados: J = pi.r4/2 e Tensão de cisalhamento = T.r/J 
 
 
 2,66 MPa 
 
 8,91 MPa 
 
 7,66 MPa 
 
 6,91 MPa 
 5,66 MPa 
 
 
 
Explicação: 
Inicialmente devemos utilizar que a força trocada pela engrenagens é igual. 
Eixo CD: T = F.d ⇒ 75 = F.0,125 ⇒ F = 600 N 
Eixo AB: T = F.d = 600.0,050= 30 N.m 
Tensão de cisalhamento = T.raio/J = 5,66 MPa 
 
 
 
 
4. 
 
 
Analise a afirmativas a seguir, sobre torção em uma barra de seção circular cheia. I - A 
torção produz um deslocamento angular de uma seção transversal em relação à outra. II 
- A torção dá origem a tensões de cisalhamento nas seções transversais da barra. III - A 
deformação de cisalhamento em uma seção varia linearmente com a distância ao eixo da 
barra. É(São) correta(s) a(s) afirmativa(s) 
 
 I e III, apenas 
 
 I, apenas 
 I, II e III. 
 
 I e II, apenas 
 
 II e III, apenas 
 
 
 
Explicação: 
Todas estão corretas 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine a tensão máxima cisalhante que ocorre em um tubo cuja seção é um 
quadrado de lado a=45mm, sabendo que o torque aplicado é T=50Nm. 
 19,2MPa 
 
 19,2 kPa 
 
 1,92 kN 
 
 1,92 MPa 
 
 1,92 kPa 
 
 
 
Explicação: 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um eixo maciço circular apresenta raio 30 cm e está, em equilíbrio submetido a um 
momento de torção. Se a tensão de cisalhamento máxima em uma seção interna é de 60 
MPa, determine o valor da tensão de cisalhamento nesta mesma seção, num ponto 
localizado a 12 cm do centro. 
 24 MPa 
 
 60 MPa 
 
 30 MPa 
 
 18 MPa 
 
 6 MPa 
 
 
 
Explicação: 
A tensão é diretamente proporcional à distância do centro. Assim, (12/30)x60 = 24 MPa 
 
 
 
 
7. 
 
 
Como é interpretada a convenção de sinais no diagrama de momento torsor? 
 
 
O sinal do momento torsor é orientado pela regra da mão direita com relação a 
posição dos eixos positivos. 
 
 
Sempre considera-se o momento torsor negativo quando não há rotação entorno 
do eixo. 
 
 No diagrama de momento torsor, representa-se acima da barra torsor negativo. 
 
 
O sinal do momento torsor é orientado pela referência da aplicação de forças 
distribuídas. 
 
 
Pode-se dizer que o sinal do momento torsor positivo é equivalente a direção do 
polegar contrário a posição dos eixos positivos 
 
 
 
Explicação: 
Regra da mão direita, sendo o polegar o vetor momento torsor. Quando estiver "saindo" 
da superfície é positivo, ao contrário, negativo 
 
 
 
 
8. 
 
 
Com respeito ao cisalhamento num eixo circular, pela presença de um torque externo é 
CORRETO afirmar que: 
 
 
Varia linearmente ao longo do raio, a partir dd superfície externa do círculo da 
seção reta 
 Varia linearmente ao longo do raio, a partir do centro do círculo da seção reta 
 
 Varia inversamente ao longo do raio, a partir do centro do círculo da seção reta 
 
 
Varia segundo uma parábola ao longo do raio, a partir do centro do círculo da 
seçãoreta 
 
 É constante ao longo do raio, a partir do centro do círculo da seção reta 
 
 
 
Explicação: Tensão = T.raio/J 
 
 
1. 
 
 
Uma Viga de concreto armado, simplesmente apoiada nas extremidades, de 10 metros 
de comprimento, cuja secção transversal retangular mede 10 cm de base e 20 cm de 
altura, suporta uma carga uniformemente distribuída de 100kg/m (incluindo o seu peso 
próprio). Desta forma qual a intensidade da tensão normal, oriunda da flexão pura? 
Considere g = 10 m/s2. 
 
 12,50 MPa 
 
 2,25 MPa 
 
 25,45 MPa 
 18,75 MPa 
 
 32,55 MPa 
 
 
 
Explicação: 
Aplicar M = q.l2/8 
e Tensão = M.c/I 
 
 
 
 
2. 
 
 
Ocorre flexão pura na viga mostrada abaixo em: 
 
 
 AB 
 
 DB 
 
 CB 
 
 AC 
 CD 
 
 
 
Explicação: 
Analisando a viga e fazendo-se os diagramas de momento e cortante. A flexão pura, ou 
seja, trecho onde somente existe momento fletor é CD. 
 
 
 
 
3. 
 
Um modelo dos esforços de flexão composta, no plano horizontal de um reservatório de 
concreto armado de planta-baixa quadrada e duplamente simétrica, é apresentado 
esquematicamente na figura a seguir por meio do diagrama de momentos fletores em 
uma das suas paredes. Na figura, p é a pressão hidrostática no plano de análise, a é o 
comprimento da parede de eixo a eixo, h é a espessura das paredes (h << A), M1 M2 são 
 
os momentos fletores, respectivamente, no meio da parede nas suas extremidades, e N 
é o esforço normal aproximado existente em cada parede. 
 
Considerando o reservatório cheio de água, verifica-se que, na direção longitudinal da 
parede, os pontos Q, R e S ilustrados na figura estão submetidos às seguintes tensões 
normais: 
 
 Q [tração] - R [tração] - S [tração] 
 
 Q [tração] - R [compressão] - S [nula] 
 
 Q [compressão] - R [tração] - S [nula] 
 Q [compressão] - R [tração] - S [tração] 
 
 Q [tração] - R [compressão] - S [compressão] 
 
 
 
 
4. 
 
 
Márcio é engenheiro calculista e necessita projetar uma viga bi-apoiada de 7 metros de 
comprimento e que apresente deflexão máxima "v" no ponto médio igual a 3,0 mm. 
Sabendo-se que o material deve apresentar momento de inécia "I" igual a 0,001 m4 e 
carregamento constante distribuído "w" igual a 10kN/m, obtenha aproximadamente o 
valor do módulo de elasticidade "E" do material da viga. 
OBS: v=5wL4/384EI ("w" é o carregamento). 
 
 144 MPa 
 
 170 MPa 
 
 154 MPa 
 
 95 MPa 
 104 MPa 
 
 
 
Explicação: 
v=5wL4/384EI → 3,0 x 10-3=5 x 10 x 103 x 74 / (384 x E x 10-3) → E =5 x 10 x 103 x 74 / (384 x 
10-3) x 3,0 x 10-3→ E= 104 MPa aproximadamente. 
 
 
 
 
5. 
 
 
Seja uma haste horizontal AB de seção reta circular apoiada em suas extremidades A e B. 
Considere que seu diâmetro vale 50 mm e o seu comprimento AB vale 5 m. Sobre esta 
haste existe uma distribuição uniforme ao longo de seu comprimento tal que q seja igual 
a 400 N/m. Determine a tensão de flexão máxima. 
Dados: I=pi.(R4)/4 Mmáximo = q.l2/8 Tensão = M.R/I 
 
 
 51 MPa 
 102 MPa 
 
 25,5 MPa 
 
 408 MPa 
 
 204 MPa 
 
 
 
Explicação: 
Mmáximo = q.l2/8 = 400.25/8 = 1250 N.m 
Tensão = M.R/pi.(R4)/4 
Tensão = M/pi.(R3)/4 
Tensão = 1250/3,14.(0,0253)/4 
Tensão = 102 MPa 
 
 
1. 
 
 
Ao estudarmos o tema "flexão composta reta", vemos 
que os esforços combinados de uma tensão longitudinal 
normal e de um momento fletor em uma viga podem ser 
reproduzidos pela aplicação excêntrica de uma força 
longitudinal normal, considerando o eixo centróide como 
referência. 
Nas opções a seguir, que mostram uma viga de perfil H, 
identique aquela que representa estados de tensão 
possivelmente EQUIVALENTES. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
O momento aplicado e a força normal aplicada no eixo centróide provocam tensões 
trativas abaixo do eixo centróide e tensões compressivas acima do eixo centróide, 
condição que é reproduzida pela aplicação de uma única força normal longitudinal 
deslocada em relação ao eixo centróide do corpo e acima do mesmo. 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere uma barra bi-apoiada da figura a seguir submetida a um 
momento fletor. Tem-se que abaixo da linha neutra, a barra encontra-se 
submetida a tensões trativas e acima da mesma, a tensões 
compressivas. 
 
 
Utilizando como base a teoria da "flexão composta reta", assinale a 
opção CORRETA. 
 
 
A aplicação de uma força perpendicular ao eixo longitudinal centróide e voltada 
para baixo minimiza as tensões de tração na região abaixo do eixo mencionado. 
 
A aplicação de uma força longitudinal normal abaixo do eixo longitudinal 
centróide minimiza as tensões de tração nessa região. 
 
 
A aplicação de uma força longitudinal normal acima do eixo longitudinal 
centróide minimiza as tensões de tração nessa região. 
 
 
A aplicação de uma força longitudinal normal abaixo do eixo longitudinal 
centróide aumenta as tensões de tração nessa região. 
 
 
A aplicação de uma força transversal ao eixo longitudinal centróide não altera as 
tensões de tração na viga em questão. 
 
 
 
Explicação: 
A tensão de tração abaixo do eixo centróide é minimizada com a aplicação de uma força 
longitudinal normal abaixo do referido eixo, criando o efeito de um momento fletor devido 
a sua excentricidade em relação ao centróide. A tensão criada é dada por: 
s=N/A ± N.e.yo/I 
Onde: 
- N: esforço normal provocado pelo cabo protendido 
- A: área da seção transversal 
- I: momento de inércia da seção em relação ao centroide 
- yo: distância do bordo considerado até o centroide 
 
 
 
 
3. 
 
 
Uma viga é feita de madeira com tensão de flexão admissível σadm = 12 MPa e tensão de 
cisalhamento admissível τadm = 3,5 MPa. Determine a altura da seção transversal, sendo a 
h=3b, em h é altura e b a largura da seção, e considerando que esta viga está submetida 
a um momento fletor máximo de M=85 kNm e esforço cortante máxima V=65 kN. 
 
 53 cm 
 
 50,30 mm 
 
 28,91 mm 
 
 289,1 mm 
 503,3 mm 
 
 
 
Explicação: 
 
 
 
 
4. 
 
A seção reta de uma viga, que foi projetada para receber cabos de aço 
protendidos no orifício indicado em "B", está representada na figura a 
seguir. Os cabos protendidos são utilizados como um recurso para aliviar 
as tensões na parte inferior da viga e podem provocar no máximo força 
longitudinal normal de compressão igual a 1.000 kN no ponto de sua 
aplicação. A estrutura apresenta área da seção reta tranversal igual a 
4.000 cm2 e momento de inércia igual a 800.000cm4. 
 
 
Ao ser posicionada, a viga ficará submetida a tensões trativas na parte 
inferior, sendo o valor máximo no ponto "A" igual a 15,25 kN/cm2. 
Considerando o contexto anterior e a figura a seguir, determine 
aproximadamente a excetrincidade "e" dos cabos protendidos para que 
o estado de tensão trativa seja anulado. 
Tensão provocada pelos cabos protendidos: s=N/A ± N.e.yo/I 
Onde: 
- N: esforço normal provocado pelo cabo protendido 
- A: área da seção transversal 
- I: momento de inércia da seção em relação ao centroide 
- yo: distância do bordo considerado até o centroide 
 
 150 cm 
 
 200 cm 
 100 cm 
 
 50 cm 
 
 125 cm 
 
 
 
Explicação: 
Os cabos protendidos deverão anular a tensão de tração que surge quando a viga é 
posicionada na estrutura maior da qual faz parte. Desta forma, os cabos deverão produzir 
uma tensão de 15,25kN/cm2, porém de compressão e não de tração. 
Tensão provocada pelos cabos protendidos: s=N/A + N.e.yo/I à 15,25=1.000/4.000 + (1.000 
. e . 120)/800.000 à 15,25 = 0,25+12.e/80 à 15,00=0,15e à e=15,00/0,15 = 100cm 
 
 
 
 
5. 
 
 
As figuras mostradas nas opções a seguir mostram duas situações em que esforços são 
aplicados a uma viga. A parte esquerda da igualdade presente em cada opção representa 
a aplicação combinada de um esforço normal e um momento fletor e a parte direita 
representa a aplicação de uma única carga. 
Com base na teoria estudada em "flexão composta reta", assinale a opção em que a 
igualdade está CORRETA:Explicação: 
O momento aplicado e a força normal aplicada no eixo centróide provocam tensões 
trativas acima do eixo centróide e tensões compressivas abaixo do eixo centróide, 
condição que é reproduzida pela aplicação de uma única força normal longitudinal 
deslocada em relação ao eixo centróide do corpo e abaixo do mesmo. 
 
 
 
 
6. 
 
Considere uma viga de seção em U, cujo eixo centroide localiza-se 
a 60 mm da parte superior (vide figura). O momento de inércia 
desta seção, em relação ao eixo centroide horizontal, é 45.10-6 m4. 
A viga está engastada em uma das extremidades e, na outra, uma 
carga concentrada de valor 26 kN, inclinada de um ângulo com a 
horizontal, é aplicada. Considere que o seno e o cosseno deste 
ângulos valem, respectivamente, 12/13 e 5/13. Determine a 
tensão de flexão máxima na seção a-a 
 
Dados: Tensão = M.c/I 
 
 101,2 MPa 
 
 5,2 MPa 
 
 15,2 MPa 
 
 51,2 MPa 
 151,2 MPa 
 
 
 
Explicação: 
M = 24 x 2 + 10 x 60/1000 = 48,6 kN.m 
Tensão = M.c/T = 48.600 x 0,140/45.10-6 = 151,2 MPa 
 
 
 
1. 
 
Sabendo que o momento mostrado atua em um plano vertical, 
determine a tensão no Ponto A. 
 
 
 -11.52 MPa 
 
 -17.06 MPa 
 
 91.7 MPa- 
 -61.6 MPa 
 
 -9.81 MPa 
 
 
 
Explicação: 
 
 
 
 
2. 
 
O pilar mostrado na figura em corte está submetido a uma força 
longitudinal normal fora dos eixos centróides x e y, gerando o efeito 
de momentos em relação a esses eixos. O estado de tensões é 
complexo, originando regiões submetidas a tensões compressivas,
trativas e nulas, calculadas pela expressão: s=±N/A ± N.ey.x/Iy ± 
 
N.ex.y/Ix
Com base na tabela a seguir, que revela o estado de tensões da área, 
determine o ponto em que as tensões compressivas são máximas 
em módulo. 
Vértice N/A N.ey.x/Iy N.e
A -60 40 
B -60 -40 
C -60 -40 
D -60 40 
 
 
 Nenhum vértice está submetido a compressão. 
 C 
 
 B 
 
 D 
 
 A 
 
 
 
Explicação: 
A soma das componentes fornece a magnitude das tensões. As tensões negativas são 
compressivas e as positivas são trativas. 
Vértice N/A N.ey.x/Iy N.ex.y/Ix Soma 
A -60 40 30 10 
B -60 -40 30 -70 
C -60 -40 -30 -130 
D -60 40 -30 -50 
Observamos que na condição compressiva, o vértice C é o de maior magnitude em 
módulo. 
 
 
 
 
3. 
 
 
Em relação às equações fundamentais da Estática, julgue as afirmativas a seguir: 
 
 
 
a derivada segunda do momento fletor atuante numa seção S de uma viga reta, 
submetida a um carregamento a ela perpendicular, em relação à abscissa que define 
esta seção é igual ao esforço cortante nela atuante; 
 
 
a derivada do esforço cortante atuante numa seção S de uma viga reta, submetida a um 
carregamento a ela perpendicular, em relação à abscissa que define esta seção é igual 
ao valor da taxa de carga aplicada na seção S; 
 
 
a derivada do esforço cortante atuante numa seção S de uma viga reta, submetida a um 
carregamento a ela perpendicular, em relação à abscissa que define esta seção é igual 
ao valor da taxa de carga aplicada na seção S com sinal trocado; 
 
 
a derivada segunda do momento fletor atuante numa seção S de uma viga reta, 
submetida a um carregamento a ela perpendicular, em relação à abscissa que define 
esta seção é igual ao valor da taxa de carga aplicada na seção S. 
 
 
a derivada do momento fletor atuante numa seção S de uma viga reta, submetida a um 
carregamento a ela perpendicular, em relação à abscissa que define esta seção é igual ao 
esforço cortante nela atuante; 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere uma viga homogênea e de seção retangular de largura b e altura h. Suponha 
que este elemento estrutural esteja sob um carregamento tal que em uma dada seção o 
esforço cortante seja igual a V. A distribuição da tensão de cisalhamento nesta seção 
transversal: 
 
 Varia linearmente com a altura sendo seu máximo nas extremidades 
 
 É constante ao longo da altura h 
 Varia de maneira parabólica com a altura sendo seu máximo na metade da altura. 
 
 Varia linearmente com a altura sendo seu máximo na metade da altura. 
 
 Varia de maneira parabólica com a altura sendo seu máximo nas extremidades 
 
 
 
Explicação: 
A variação é parabólica, sendo nula a tensão nas extremidades e máxima à meia altura e 
igual a 1,5V/A 
 
 
 
 
5. 
 
Sabendo que o momento mostrado atua em um plano vertical, 
determine a tensão no Ponto B. 
 
 
 17.06 MPa 
 
 11.52 MPa 
 
 9.81 MPa 
 91.7 MPa 
 
 61.6 MPa 
 
 
 
Explicação: 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere uma viga de madeira cuja seção reta é um retângulo de dimensões: altura 125 
mm e base 100 mm. Sob dado carregamento, o esforço cortante na seção é igual a 4kN. 
Determine o valor de tensão máxima e seu ponto de aplicação, em relação à base da 
seção reta. 
 
 1,00 MPa e 50 mm 
 
 0,48 MPa e 125 mm 
 
 0,96 MPa e 62,5 mm 
 
 0,96 MPa e 125 mm 
 0,48 MPa e 62,5 mm 
 
 
 
 
7. 
 
 
O projeto prevê que o eixo de transmissão AB de um automóvel será um tubo de parede 
fina. O motor transmite 125kW quando o eixo está girando a uma frequência de 1500 rpm. 
Determine a espessura mínima da parede do eixo se o diâmetro externo for 62,5 mm. A 
tensão de cisalhamento admissível do material é 50 MPa. 
Dados: Pot = T.w w = 2pi.f J=pi.(R4 ¿ r4)/2 Tensão de cisalhamento = T.R/J 
 
 2,0 mm 
 
 1,0 mm 
 
 1,5 mm 
 
 2,5 mm 
 3,0 mm 
 
 
 
Explicação: 
f = 1500/60 25 Hz 
Pot = T. w ⇒ 125.000 = T.2pi.25 
T = 796,2 N.m 
J = pi.(31,254 - x4).10-12/2 
Tensão = T.R/J ⇒ 50.106 = 796,2 . 31,25.10-3/ pi.(31,254 - x4).10-12/2 
796,2 . 31,25.10-3.=2,5.pi .(31,254 - x4).10-12. .107 
796,2 . 31,25.102./(2,5.pi) =(31,254 - x4) 
x = 28,25 mm 
T = 31,25 - 28,25 = 3,00 mm 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
Determine a tensão normal para o ponto A da seção a 
seguir submetida a flexão oblíqua devido a um momento 
M=3kNm: 
 
 
 
 
 
 (0,01 tração) 
 
 0,02 (compressão) 
 0,041 (compressão) 
 
 0,041 (tração) 
 
 0,02 (tração) 
 
 
 
Explicação: 
 
 
1. 
 
Em um aparato mecânico, é necessário se projetar uma viga de 
2,0 m de comprimento e momento de inércia igual a 50 cm4, que 
não sofra flambagem quando submetida a um esforço 
compressivo de 40 kN e fator de comprimento efetivo igual a 0,5. 
Considerando a tensão crítica para flambagem igual a Pcr = 
π2.E.I/(kL)2 e a tabela a seguir, em que "E" é o módulo de 
elasticidade dos materiais designados por X1, X2, X3, X4 e X5, 
determine o material que melhor se adequa ao projeto. 
OBS: 
E= módulo de Elasticidade 
I = momento de Inércia 
k = fator de comprimento efetivo 
L = comprimento da viga. 
π= 3,1416 
Material Módulo de Elasticidade "E" (GPa)
 
X1 16 
X2 20 
X3 39 
X4 8 
X5 40 
 
 X4 
 
 X3 
 
 X1 
 
 X2 
 
 X5 
 
 
 
Explicação: 
Como a tensão compressiva é fixa, fazemos Pcr = 40 kN. 
Pcr = π2.E.I/(kL)2 à 40 . 103= π2.E.50.10-8/(0,5. 2,0)2 à 40 . 103= 493,48.E. 10-8/(1,0)2 à 40 . 
103= 493,48.E. 10-8 à E = 40 . 103 / 493,48. 10-8 à E=0,0081 . 1011 = 8,1 . 109 = 8,1 GPa. 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a expressão para a flecha máxima de uma viga simplesmente apoiada de vão 
L submetida a um carregamento uniformemente distribuído, sabendo que a equação da 
linha elástica é dada por: 
v = qx24EI 
 
(x3 - 2Lx2 + L3) 
 
 5qL448EI 
 5qL4384EI 
 
 5qL4768EI 
 
 5qL3384EI 
 
 qL4384EI 
 
 
 
Explicação: 
Sabendo que o deslocamento máximo para uma viga simplesmente apoioada ocorre no 
meio do vão, deve-se substituir na equação da linha elástica x=L/2. Logo: 
v = qx24EI 
(x3 - 2Lx2 + L3) 
v = q(L/2)24EI 
((L/2)3 - 2L(L/2)2 + L3) 
v = 5qL4384EI 
Resposta: letra B 
 
 
 
 
3. 
 
 
Uma determinada viga, com vão L, está submetida a uma carga distribuída de valor q e 
apresenta a seguinte equação da linha elástica: 
 
y = q48EJ 
 
(2x - 3Lx + L x) 
 
onde E é o módulo de elasticidade do material da viga, J seu momento de inércia em 
relação ao eixo de flexão e x defineo eixo logitudinal. A viga está impedida de se deslocar 
horizontalmente em todos os seus apoios. O ponto correspondente a x = 0 
 
 está livre para se deslocar. 
 
 é um apoio do 1° gênero 
 
 é um engaste. 
 
 é uma rótula. 
 é um apoio do 2° gênero 
 
 
 
Explicação: 
Analisando o enunciado da questão verifica-se que os apoios estão impedidos de se 
deslocar horizontalmente. Logo os apoios devem ser no mínimo de primeiro gênero. 
Substituindo x=0 na equação da linha elástica, obtém-se um valor de y=0. 
y = q48EJ 
(2x - 3Lx + L x) y = q48EJ 
(2.0 - 3L.0 + L 0)=0 
Logo o deslocamento está impedido na direção y, podendo ser então apoio de segundo 
gênero. 
Para confirmar se o apoio é do segundo ou do terceiro genero, vamos analisar a equação da 
rotação que é a derivada da flecha, se for igual a zero o apoio é do terceiro e ser for diferente 
de zero o apoio é do segundo gênero, ou seja, a seção estaria livre para girar. 
Derivando a equação da flecha e substituindo x=0, tem-se: 
θ=dydx 
= q48EJ(8x3 - 9Lx2 + L3) θ=dydx = q48EJ(8.(0)3 - 9L(0)2 + L3) θ=dydx = q48EJ 
(L3) 
Verifica-se que a rotação é diferante de zero logo tem-se apoio do segundo gênero. 
Resposta: letra C. 
 
 
 
 
4. 
 
 
Uma determinada viga, com vão L, está submetida a uma carga distribuída de valor q e 
apresenta a seguinte equação da linha elástica: 
 
y = q48EJ 
 
(2x - 3Lx + L x) 
 
onde E é o módulo de elasticidade do material da viga, J seu momento de inércia em 
relação ao eixo de flexão e x define o eixo logitudinal. A viga está impedida de se deslocar 
horizontalmente em todos os seus apoios. Determine o valor absoluto do momento fletor 
para x = L/2. 
 
 qL
2/8 
 
 3qL
2/16 
 qL
2/16 
 
 5qL2/16 
 
 qL
2/4 
 
 
 
Explicação: 
Essa questão pode ser resolvida através de derivadas sucessivas da equação da linha 
elástica. 
y = q48EJ 
(2x - 3Lx + L x) 
A primeira derivada representa a equação da rotação. 
θ=dydx 
= q48EJ 
(8x3 - 9Lx2 + L3) 
A segunda derivada representa a equação do momento. 
M=dy2d2x 
= q48EJ 
(24x2 - 18Lx) 
Então substituindo x=L/2 na equação do momento, obtém-se: 
M=dy2d2x 
= q48EJ 
(24(L/2)2 - 18L(L/2)) 
M=-qL2/16 
Resposta: como a questão pede o valore absoluto então a resposta correta é a letra A. 
 
 
 
 
5. 
 
 
Uma estrutura necessita de uma barra de comprimento "L" esbelta sob força compressiva 
de 30 kN. Considerando os dados relativos a mesma a seguir, determine aproximadamente 
o maior comprimento que a barra deve ter para não sofrer flambagem. 
Carga crítica para ocorrência de flambagem: Pcr = π2.E.I/(kL)2 
Módulo de Elasticidade (E)= 12GPa 
Momento de Inércia (I)=40 cm4 
Fator de comprimento efetivo (k)=0,5 
π= 3,1416 
 250 cm 
 
 2.000 cm 
 
 500 cm 
 
 125 cm 
 
 1.000 cm 
 
 
 
Explicação: 
Como a tensão compressiva é fixa, fazemos Pcr = 30 kN. 
Pcr = π2.E.I/(kL)2 à 30 . 103= π2.12.109.40.10-8/(0,5. L)2 à 30 . 103= 47.374,32/(0,5. L)2 à 30 . 
103= 47.374,32/0,25. L2 à L2 = 6,32 à L=2,52 m ou 252 cm. 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determinar a carga máxima que pode ser aplicada a uma viga biapoiada, de forma a 
atender o limite máximo de deslocamento dado por L/250. Sendo L o vão da viga, E o 
módulo de elasticidade, I o momento de inércia e o valor da flecha máxima no meio do 
vão dado por: 
v=5qL4384EI 
 
 
 q=0,31EIL
4 
 
 q=0,55EIL
-3 
 
 q=1,54EIL
-3 
 
 q=0,31EIL
3 
 q=0,31EIL
-3 
 
 
 
Explicação: 
Igualando a flecha máxima a flecha limite, tem-se: 
v=5qL4384EI=L250 
Resolvendo para q tem-se: 
q=0,31EIL-3 
Resposta: Letra A 
 
 
 
1. 
 
 
A haste é feita de aço A-36(fy=250MPa). Determine, o menor raio da haste que 
suportará a carga P = 25 kN sem flambagem. As extremidades 
estão apoiadas em roletes.Dado E=200GPa 
 
 11mm 
 
 5,65mm 
 
 15,94mm 
 
 18,94mm 
 7,97mm 
 
 
 
Explicação: 
Para colunas presas por pinos k=1. 
 
 
 
 
2. 
 
 
Uma viga constituirá parte de uma estrutura maior e deverá ter carga admissível igual a 
9.000 kN, área igual a 150.000 mm2 e índice de esbeltez igual a 140. Escolha entre os 
materiais da tabela a seguir o mais adequado. 
OBS: sADM = 12π2.E/23(kL/r)2 e π= 3,1416 
 
Material Módulo de Elasticidade (GPa) 
X1 350 
X2 230 
X3 520 
X3 810 
X5 400 
 
 X2 
 
 X1 
 
 X3 
 
 X4 
 
 X5 
 
 
 
Explicação: 
Tensão, de uma forma geral, é igual a razão entre força e área, ou seja, sADM = PADM/A à sADM 
= 9.000. 103/150.000 . 10-6 = 0,060 . 109 = 6,0 . 106 = 6,0 MPa 
Considerando a expressão fornecida no enunciado, tem-se sADM = 12π2.E/23(kL/r)2 à 6,0. 
106 = 12π2.E/23.(140)2 à 6,0. 106 = 2,6.10-5.E à E = 6,0 109 / 2,6.10-5 = 2,31 . 1011 = 231 GPa. 
 
 
 
 
3. 
 
 
O elemento estrutural W250 x 67 é feito de aço A-36 
(fy=250MPa) e usado como uma coluna de 4,5 m de comprimento. Se con-
siderarmos que suas extremidades estão apoiadas por pinos e que ela é 
submetida a uma carga axial de 500 kN, determine o fator 
de segurança em relação à flambagem. Dados: Ix=104x106mm4, Iy=22,2x106mm4 e 
A=8560mm2. 
 
 2,15 
 
 3,44 
 
 2,42 
 
 1,57 
 4,28 
 
 
 
Explicação: 
Visto que o perfil possui momentos de inércia diferetes, sabe-se que a flambagem ocorre em 
torno do menor momento de inércia. 
 
 
 
 
4. 
 
 
A coluna retangular de madeira de 3 m tem as dimensões 50mm por 100mm. Determine 
a carga crítica, se considerarmos que as extremidades estão acopladas por pinos. E = 12 
GPa, σ 
 
e 35 MPa. 
 
 13,7MPa 
 
 0 
 
 13,7N 
 13,7kN 
 
 13,7Pa 
 
 
 
Explicação: 
 
 
 
 
5. 
 
 
Uma haste cilíndrica maciça está submetida a um momento de torção pura. Pode-se 
afirmar que, no regime elástico: 
 
 a tensão de cisalhamento máxima ocorre no interior da haste. 
 
 a tensão de cisalhamento não depende do valor do momento de torção; 
 
 
a distribuição das tensões de cisalhamento na seção transversal tem uma 
variação não linear; 
 
 
a distribuição das tensões de cisalhamento na seção transversal depende do tipo 
de material da haste; 
 
a tensão de cisalhamento máxima ocorre na periferia da haste e tem uma 
variação linear;