Mecânica+dos+Sólidos+ +Tração+e+Compressão

Prévia do material em texto

Mecânica dos Sólidos 
José Mauro Marquez, PhD 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
• Também conhecida como Resistência dos 
Materiais, a Mecânica dos Sólidos estuda o 
comportamento de corpos submetidos a Esforços 
Mecânicos. 
• Entre as principais teorias, envolvem-se a da 
Elasticidade, Plasticidade e Estabilidade. 
• A mecânica dos sólidos é fundamental no 
desenvolvimento de estruturas e elementos de 
máquinas, tais como, engrenagens, árvores 
(eixos), mancais, etc... 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
• Permite estudar as variações de tensões e 
deformações ao longo do sólido (ou peça), 
esseciais ao dimensionamento do mesmo. 
• Para corpos de geometria e carregamento 
(forças externas) complexos, bem como 
aqueles constituidos de materiais não-
isotrópicos. 
 
c 
• Materiais isotrópicos 
– Um material é isotrópico se suas propriedades 
mecânicas e térmicas são as mesmas em todas 
direções. Os materiais isotrópicos podem ter 
estruturas microscópicas homogêneas ou não 
homogêneas. Por exemplo, o aço demonstra 
comportamento isotrópico, apesar de sua 
estrutura microscópica ser não homogênea. 
 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
• Materiais ortotrópicos 
–Um material é ortotrópico se suas 
propriedades térmicas são únicas e 
independentes nas três direções 
mutuamente perpendiculares. Exemplos de 
materiais ortotrópicos são a madeira, vários 
cristais e metais laminados 
 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
• Por exemplo, as propriedades mecânicas da madeira em 
um determinado ponto são descritas nas direções 
longitudinal, radial e tangencial. O eixo longitudinal (1) é 
paralelo à direção da fibra (grã); o eixo radial (2) é normal 
aos anéis de crescimento e o eixo tangencial (3) é 
tangente aos anéis de crescimento. 
 
Queda da Tacoma Narrow Bridge 
Deformação 
• Deformação de um corpo sólido acontece 
quando este corpo está submetido à esforços 
ao longo de sua área ou volume. 
• Denomina-se esses esforços como “Tensão 
Normal” quando em qualquer ponto de sua 
seção transversal é obtida pela resultante F 
dividida pela área da seção transversal. 
Deformação 
• Tensão Normal 
 σ = 
𝐹
𝐴
 onde: 
 
 σ = Tensão normal (Pa) 
 F = Força normal ou axial (N) 
 A = Área do Corpo (m2) 
 
• Caso o corpo esteja comprimido, a tensão normal 
se dá no sentido contrário => σ = - 
𝐹
𝐴
 
 
Deformação 
• Exemplos de uma peça tracionada e comprimida: 
Figura 1 Figura 2 
Deformação 
• Conceito de deformação (ε) 
– Tomando-se o corpo da Figura 1, observa-se que 
neste deverá haver uma deformação linear (ε ) no 
sentido de F: 
 
 F F 
L 
ΔL 
ε = 
ΔL 
L 
 
Deformação 
• Diagrama de Tensão-Deformação 
O 
Deformação – Ensaio Aço SAE 1045 
Deformação 
• A reta OA, representa a resistência do material; 
• A partir do ponto A, o material entra em 
deformação permanente; 
• A partir de A’, a deformação aumenta sem que 
haja um aumento significativo da Tensão; 
• A Tensão obtida no ponto B é a maior atingida no 
ensaio. 
• A Tensão no ponto C corresponde à ruptura do 
material. No ponto C também ocorre a maior 
deformação. 
Deformação 
• Lei de Hooke 
– Em 1660, o inglês Robert Hooke observou que 
sempre havia proporcionalidade entre a força 
aplicada à um sólido e a deformação elástica 
produzida. 
θ 
σ = ε . E 
 
E = OA tag θ = 
σ
ε
 
O 
“E” também é conhecido 
como Módulo de Young 
Deformação 
• Ao fenômeno da variação linear, Hooke denominou 
alongamento, constatando que: 
• Quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento 
inicial da peça, maior o alongamento, e que, quanto maior a 
área da secção transversal e a rigidez do material, medido 
através do seu módulo de elasticidade, menor o 
alongamento, resultando daí a equação: 
Lei de Hooke 
Deformação 
Lei de Hooke 
Como podemos escrever a Lei de Hooke: 
 
 
Onde: 
 - alongamento da peça [m] 
 - tensão normal [Pa] 
r - carga normal aplicada [N] 
A - área da secção transversal [m2 ] 
E - módulo de elasticidade do material [P] 
 l - comprimento inicial da peça [m] 
Deformação 
Lei de Hooke 
 É importante observar que a carga se distribui por toda 
área da secção transversal da peça. 
Deformação 
Lei de Hooke 
 
• lf: comprimento final da peça [m] 
• L:comprimento inicial da peça [m] 
• Δl: alongamento [m] 
Deformação 
 A Lei de Hooke, portanto, em 
toda a sua amplitude, abrange a 
deformação longitudinal ou 
superficial (ε) e a deformação 
transversal (εt). 
 
 
Deformação 
DEFORMAÇÃO SUPERFICIAL (ε) 
Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de 
comprimento (u.c) de uma peça submetida à ação de carga 
axial. Sendo definida através das relações: 
Deformação 
DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL (εt ) 
Determina-se através do produto entre a 
deformação unitária (ε) e o Coeficiente de 
Poisson (ν) 
Deformação 
DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL (εt ) 
Onde: 
• εt : deformação transversal (adimensional) 
• σ: tensão normal atuante (Pa) 
• E: módulo de elasticidade do material (Pa) 
• ε: deformação longitudinal (adimensional) 
• ν : coeficiente de Poisson (adimensional) 
• Δl: alongamento (m) 
• I: comprimento inicial (m) 
Deformação 
• Coeficiente de Poisson 
– O coeficiente de Poisson mede a deformação 
transversal, em relação à direção longitudinal de 
aplicação da carga, de um material homogêneo e 
isotrópico. 
 ν = - 
ε𝑥
ε𝑧
 = - 
ε𝑦
ε𝑧
 
ν = Coeficiente de Poisson 
ε𝑥
 = Deformação na direção x (transveral) 
ε𝑦 = Deformação na direção y (transveral) 
ε𝑧 = Deformação na direção z (logitudinal) 
Deformação 
• No caso mais geral da Lei de Hooke, considera-se a 
deformação logitudinal ou superficial e transversal, 
onde: 
 ε = 
𝜎
𝐸
 => εt =-ν ε = - 
ν σ
𝐸
 
 ε𝑥 = 
1
𝐸
[σx -ν (σy+ σz)] 
 
 ε𝑦 = 
1
𝐸
[σy -ν (σz+ σx)] 
 
 ε𝑧 = 
1
𝐸
[σz -ν (σx+ σy)] 
 
Deformação 
• A deformação volumétrica é dada pela relação 
entre o módulo de Young (E), o módulo 
volumétrico (K) e o coeficiente de Poisson (ν ). 
 E = 3K (1-2ν) 
 Onde K = -V 
∂σ
∂𝑉
 
K = Módulo volumétrico (Pa) 
V = Volume (m3) 
σ = Tensão (Pa) 
∂σ
∂𝑉
 = Derivada parcial da tensão em relação ao volume. 
• EXEMPLO 
Deformação 
A barra circular representada na figura é de aço, possui d=20 mm e 
comprimento l =0,8m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial 
de 7,2 kN. Pede-se determinar para a barra: 
a) Tensão normal atuante (σ) 
b) O alongamento (Δl) 
c) A deformação longitudinal(ε) 
d) A deformação transversal (εt) 
Deformação 
SOLUÇÃO 
A barra circular representada na figura é de aço, possui d=20 mm e comprimento 
l =0,8m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 7,2 kN. Pede-se 
determinar para a barra: 
a) Tensão normal atuante (σ) 
Deformação 
b) O alongamento (Δl) 
Deformação 
c) A deformação longitudinal ou superficial (ε) 
d) A deformação transversal (εt) 
Deformação 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
• Força Normal Exercida Pelo Peso Próprio 
 
 
• Onde: 
• ϒ = peso específico (N/m3) 
• S = área (m2) 
• L = comprimento (m) 
 
 
 
FN = ϒ . S . L 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
• Alongamento devido ao acréscimo de 
temperatura 
 
 
• Onde: 
• ΔL = acréscimo de comprimento (m) 
• L = comprimento (m) 
• α = alongamento específico por temperatura (0C -1) 
• Δt = acréscimo de temperatura (0C) 
ΔL = L . α . Δt 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
• Exercício 1 
A barra de aço da figura abaixo tem seção 
transversal de área S=10 cm2 e está solicitadapelas fôrças axiais indicadas. Determinar o 
alongamento da barra, sabendo-se que E = 2100 
t/cm2. 
100 kN 90 kN 
100 kN 100 kN 
30 kN 20 kN 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
• Exercício 2 
A figura ao lado mostra um dispositivo utilizado para a 
fixação da tampa de um reservatório de fluido, sob 
pressão. Ele consiste numa barra que comprime a 
tampa de 2,5 mm de espessura contra as saliências, de 
900 mm de altura, soldadas na face externa do 
reservatório. A barra de fixação é construída com o 
comprimento AA igual a 900 mm e a ajustagem é feita 
por meio de aquecimento da barra (mas não das 
saliências nem da tampa). Sabendo-se que o material é 
aço, com α = 11,7 x 10-6/0C, que a seção mínima da 
barra é 3750 mm2, que a área de contato das partes 
maiores da barra, com a tampa do tanque, é 3125 mm2 
e que o módulo de elasticidade é 207 GPa, pergunta-
se: 
1. Qual a pressão exercida sobre a tampa? 
2. Qual o acréscimo mínimo da temperatura que 
deve ser imposto à barra para a sua ajustagem? 
 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
• Exercício 3 
Determinar o alongamento da 
barra prismática da figura ao 
lado, produzido pela ação 
exclusiva do seu peso próprio. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
• Exercício 4 
Uma barra de aço de 6,7 mm de diâmetro é 
utilizada para levantar cargas. Se levantarmos 
150m dessa barra, vericalmente, com uma carga 
de 1400N presa na extremidade, que 
alongamento ela sofrerá? 
Sabe-se que o peso específico do aço é 78kN/m3 
e o módulo de elasticidade E = 210 GPa. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
• Exercício 5 
Um arame de alumínio de 30m de comprimento 
é submetido a uma tensão de tração de 70MPa. 
Determinar o alongameno do arame. 
De quantos graus seria necessário elevar a 
temperatura do arame para obter o mesmo 
alongamento? 
Adotar E = 70 GPa e α = 23. 10-6 / 0C