LIVRO-_Mecnica_Tcnica_e_Resistncia_dos_Materiais_Aplicada__Engenharia

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MECÂNICA TÉCNICA E RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS APLICADA À ENGENHARIA 
 
EDITORES: 
 
Diego Eduardo Costa Coelho 
David Cardoso Dourado 
Ellem Waleska Nascimento da Fonseca Contado 
 
SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO 1- SISTEMAS DE UNIDADES .......................................................................................... 1 
1.1 Sistema internacional de Unidades .................................................................................... 1 
1.1.1 Unidades de base ................................................................................................................ 1 
1.1.2 Unidades suplementares .................................................................................................... 1 
1.1.3 Unidades derivadas do Sistema internacional de Unidades (SI) .......................................... 1 
1.1.4 Prefixos Sistema internacional de Unidades (SI) .................................................................. 2 
1.1.5 Relações Métricas Lineares .................................................................................................. 2 
1.1.6 Relações Métricas do Quadrado ........................................................................................... 3 
1.2 EXERCÍCIOS ......................................................................................................................... 4 
CAPÍTULO 2- VÍNCULOS ESTRUTURAIS.......................................................................................... 7 
2.1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................... 7 
2.1.1 Vínculo simples ou móvel ..................................................................................................... 7 
2.1.2 Vínculo duplo ou fixo ........................................................................................................... 7 
2.1.3 Engastamento ...................................................................................................................... 7 
2.2 ESTRUTURA ............................................................................................................................. 8 
2.2.1 Estruturas Hipoestáticas ...................................................................................................... 8 
2.2.2 Estruturas Isostáticas ........................................................................................................... 8 
2.2.3 Estruturas Hiperestáticas ..................................................................................................... 8 
2.3 TRABALHO TEÓRICO ................................................................................................................ 9 
CAPÍTULO 3- EQUILÍBRIO DE FORÇAS E MOMENTOS ................................................................. 10 
3.1 Resultante de forças .............................................................................................................. 10 
3.2 Resultante dos momentos .................................................................................................... 10 
3.3 Equações fundamentais da estática ...................................................................................... 10 
3.4 Força axial ou normal f .......................................................................................................... 10 
3.5 Tração e compressão ............................................................................................................ 10 
3.6 Ligação ou nó ........................................................................................................................ 11 
3.7 Compressão em relação tração e ao nó ................................................................................ 11 
3.8 Composição de forças ........................................................................................................... 11 
3.9 Decomposição de força em componentes ortogonais ......................................................... 12 
3.10 Conhecidos Fx e Fy, determinar α e β ................................................................................. 12 
 
 
3.11 Determinação analítica da resultante de duas forças que formam entre si ângulo e α ..... 12 
3.12 Determinação analítica da direção da resultante ............................................................... 13 
3.13 EXERCÍCIOS PRELIMINARES ................................................................................................. 14 
3.14 Método das projeções ........................................................................................................ 15 
3.15 Método do polígono de forças ............................................................................................ 17 
3.16 Momento de uma força ...................................................................................................... 17 
3.17 EXERCÍCIOS .......................................................................................................................... 20 
3.2 LISTA DE EXERCICIOS- EQUILÍBRIO DE FORÇAS E MOMENTOS ........................................ 23 
CAPÍTULO 4 – CARGA DISTRIBUIDA ............................................................................................ 25 
4.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 25 
4.1.1 Exemplos de cargas distribuídas ........................................................................................ 25 
4.2 LINHA DA AÇÃO DA RESULTANTE ......................................................................................... 26 
4.3 EXERCICIOS ............................................................................................................................ 27 
4.4 LISTA DE EXERCÍCIOS - CARGA DISTRIBUIDA ......................................................................... 31 
CAPÍTULO 5 - TRAÇÃO E COMPRESSÃO ...................................................................................... 32 
5.1 REVISÃO DO CAPÍTULO 3 ...................................................................................................... 32 
5.1.1 Força normal ou axial ......................................................................................................... 33 
5.1.2 Tração e compressão ......................................................................................................... 33 
5.2 TENSÃO NORMAL ( ) ............................................................................................................ 33 
5.3 LEI DE HOOKE ........................................................................................................................ 34 
5.4 MATERIAIS DUCTEIS E FRÁGEIS ............................................................................................. 36 
5.4.1 Material Dúctil .................................................................................................................... 36 
5.4.2 Material frágil ..................................................................................................................... 37 
5.5 ESTRICÇÃO ............................................................................................................................. 37 
5.6 COEFICIENTE DE SEGURANÇA K ............................................................................................ 37 
5.6.1 Carga estática ..................................................................................................................... 38 
5.6.2 Carga intermitente ............................................................................................................. 38 
5.6.3 Carga alternada .................................................................................................................. 38 
5.7 TENSÃO ADMISSÍVEL .............................................................................................................39 
5.8 PESO PRÓPRIO ....................................................................................................................... 39 
5.9 AÇO E SUA CLASSIFICAÇÃO ................................................................................................... 39 
5.10 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS .......................................................................................... 40 
5.11 DIMENSIONAMENTO DE CORRENTES ................................................................................. 41 
 
 
5.12 EXERCICIOS .......................................................................................................................... 42 
5.13 LISTA DE EXERCÍCIOS - TRAÇÃO E COMPRESSÃO ................................................................ 48 
CAPÍTULO 6 - SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS ................................................... 51 
6.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 51 
6.2 TENSÃO TÉRMICA .................................................................................................................. 51 
6.3 EXERCICIOS ............................................................................................................................ 52 
6.4- LISTA DE EXERCÍCIOS - SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS (HIPERESTÁTICOS)57 
CAPÍTULO 7 – CISALHAMENTO ................................................................................................... 59 
7.1 DEFINIÇÃO ............................................................................................................................. 59 
7.2 FORÇA CONSTANTE Q ........................................................................................................... 59 
7.3 TENSAO DE CISALHAMENTO ................................................................................................. 59 
7.4 DEFORMAÇÃO DO CISALHAMENTO ...................................................................................... 60 
7.5 TENSÃO NORMAL (σ) E TENSAO CISALHANTE (τ) ................................................................. 60 
7.6 PRESSÃO DE CONTATO .......................................................................................................... 60 
7.6.1. Pressão de contato (esmagamento) ................................................................................. 60 
7.7 DISTRIBUIÇÃO ABNT- NB14 ................................................................................................... 61 
7.8 TENSÃO ADMISSÍVEL E PRESSÃO DE CONTATO ABNT NB14 – MATERIAL AÇO ABNT 1020 . 61 
7.9 EXERCÍCIOS ............................................................................................................................ 62 
7.10 LISTA DE EXERCÍCIOS – CISALHAMENTO .............................................................. 63 
CAPÍTULO 8 – CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DAS SUPERFÍCIES PLANAS ............................. 65 
8.1 MOMENTO ESTÁTICO ............................................................................................................ 65 
8.1.1 Momento estático de um elemento de superfície ............................................................ 65 
8.1.2 Momento estático de uma superfície plana ...................................................................... 65 
8.1.3 Centro de gravidade de uma superfície plana ................................................................... 65 
8.1.4 Tabela do centro de gravidade de superfície planas ......................................................... 66 
8.2 DETERMINAR AS COORDENADAS DO CG DO TRAPÉZIO ....................................................... 67 
8.3 MOMENTO DE INÉRCIA J (MOMENTO DE 2ª ORDEM) ......................................................... 68 
8.3.1 Importância do momento de inércia ................................................................................. 68 
8.3.2 Translação de eixos (Teorema de Steiner) ......................................................................... 69 
8.4 RAIO DE GIRAÇÃO (i) ............................................................................................................. 69 
8.5 Módulo de resistência (W) .................................................................................................... 70 
8.6 EXERCÍCIOS ............................................................................................................................ 71 
8.7 LISTA DE EXERCÍCIOS - CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DAS SUPERFÍCIES PLANAS .......... 73 
 
 
CAPÍTULO 9 – FORÇA CONSTANTE (Q) E MOMENTO FLETOR (M) .............................................. 74 
9.1 FORÇA CONSTANTE (Q) ......................................................................................................... 74 
9.1.1 Vigas Horizontais ................................................................................................................ 74 
9.1.2 Vigas Verticais .................................................................................................................... 74 
9.1.3 Momento fletor (M) ........................................................................................................... 74 
9.2 FORÇA CONTANTE (Q) ........................................................................................................... 75 
9.3 MOMENTO FLETOR (M) ........................................................................................................ 75 
9.5 LISTA DE EXERCÍCIOS - FORÇA CONSTANTE (Q) E MOMENTO FLETOR (M) ......................... 79 
CAPÍTULO 10 – FLEXÃO ............................................................................................................... 81 
10.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 81 
10.2 FLEXÃO PURA ...................................................................................................................... 81 
10.3 FLEXÃO SIMPLES .................................................................................................................. 81 
10.4 TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO ............................................................................................. 81 
10.5 DIMENSIONAMENTO NA FLEXÃO ....................................................................................... 82 
10.6 EXERCÍCIOS .......................................................................................................................... 83 
CAPÍTULO 11 – TORÇÃO .............................................................................................................. 88 
11.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 88 
11.2 MOMENTO TORÇOR OU TORQUE ....................................................................................... 88 
11.3 POTÊNCIA (P) ....................................................................................................................... 88 
11.4 TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO ( ) ..................................................................... 89 
11.5 DISTORÇÃO (γ)..................................................................................................................... 90 
11.6 ÂNGULO DE TORÇÃO ( ) ..................................................................................................... 90 
11.7 DIMENSIONAMENTO DE EIXOS- ÁRVORES ......................................................................... 90 
11.8 EXERCICIOS .......................................................................................................................... 92 
11.9 LISTA DE EXERCICIOS - TORÇÃO .......................................................................................... 97 
CAPÍTULO 12 - FLAMBAGEM .......................................................................................................99 
12.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 99 
12.2 CARGA CRÍTICA .................................................................................................................... 99 
12.2.1 Carga critica de Euler ........................................................................................................ 99 
12.3 COMPRIMENTO LIVRE DE FLAMBAGEM ............................................................................. 99 
12.4 ÍNDICE DE ESBELTEZ (λ) ..................................................................................................... 100 
12.6 FLAMBAGEM NAS BARRAS NO CAMPO DAS DEFORMAÇÕES .......................................... 101 
12.7 NORMAS ............................................................................................................................ 101 
 
 
12.8 EXERCÍCIOS ........................................................................................................................ 101 
12.9 LISTA DE EXERCICIOS - FLAMBAGEM ................................................................................ 105 
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................ 107 
 
 
ELABORADO POR: 
Prof. Ms. Diego Eduardo Costa Coelho 
Dr. David Cardoso Dourado 
Dra. Ellem Walesca 
 
 
 
DEDICATÓRIA 
 
Agradecemos em especial as nossas famílias, assim como, a todos os colegas 
que contribuíram para produzir essa obra. 
Ao CEFET MG - NEPOMUCENO pelo apoio de excelentes profissionais e 
alunos (Curso de Mecatrônica). 
Destacamos também ao grupo educacional UNIS-MG VARGINHA pela 
oportunidade e apoio na elaboração e na publicação do material. 
À Universidade Federal de Lavras (UFLA) por proporcionar todo o 
conhecimento e formação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
CAPÍTULO 1- SISTEMAS DE UNIDADES 
 
1.1 Sistema internacional de Unidades 
 
1.1.1 Unidades de base 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo S 
Corrente elétrica ampere A 
Temperatura termodinâmica kelvin K 
Quantidade de matéria mol mol 
Intensidade luminosa candela col 
 
1.1.2 Unidades suplementares 
Grandeza Unidade Símbolo 
Ângulo plano radiano rad 
Ângulo sólido esterradiano Sr 
 
1.1.3 Unidades derivadas do Sistema internacional de Unidades (SI) 
Grandeza Unidades Símbolos 
Área metro quadrado m² 
Volume metro cúbico m³ 
Velocidade metro por segundo m/s 
Aceleração metro por segundo ao quadrado m/s² 
Nºde onda metro recíproco 
 
Densidade quilograma por metro cúbico kg/m3 
Volume especifico metro cúbico por kilograma m³/kg 
Concentração mol por metro cubico mol/m³ 
 
2 
 
1.1.4 Prefixos Sistema internacional de Unidades (SI) 
Nome Símbolo Fator de Multiplicação 
Exa E 1000.000.0000.000.000.000 
Peta P 1000.000.000.000.000 
Tera T 1000.000.000.000 
Giga G 1000.000.000 
Mega M 1000.000 
Quilo K 1000 
Hertes h 100 
Delta da 10 
Deli d 0,1 
Centi C 0,01 
Mili m 0,001 
Micro M 0,000001 
Nano n 0,000000001 
Pico p 0,000000000001 
Femto f 0,000000000000001 
Atto a 0,0000000000000000001 
 
1.1.5 Relações Métricas Lineares 
m = 10 dcm 
m = cm 
m=3,28 pé 
milha terrestre=1609 m 
ano luz=9,46 x m 
 
m = mm 
m = 39,37 pol 
milha marítima=1852 m 
Jarda91,44 cm 
Hava=1,83 m 
1pol2,54 cm 
 
 x10x10x10÷10 ÷10 ÷10 
 mmcm d m da h km 
 ÷10÷10 ÷10 x10 x10x10 
 
3 
 
 
1.1.6 Relações Métricas do Quadrado 
A= 1 m² 
1 m²= (10d)² = 10²d2 
1m²= (10² cm)² = 104 cm² 
1 m²= (10³ mm)² = 106 mm² 
1 m² p/ pol² 
1pol = 2,54 cm = 0,0254 m 
(1m)²= pol2 =1,55 x 10³ pol² 
 
1.1.7 Relações Métricas do Cubo 
V=a³ 
1m³= (10 d)³ = 10³ d³ 
m³=(10² cm )³ = 106 cm³ 
m³=(10³ mm)³ = 109 mm³ 
m³ p/ pol ³ 
1pol= 2,54 cm = 25,4 mm= 0,0254 m 
1pol= 0,0254 m 
(1m)³= (39,37 pol)³= 6,1023x 104 pol³ 
 
1.1.8 Notação Científica 
1 < x < 10 9500= 9,5x 10³ 
 0,245= 2,45 x 10-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
1.2 EXERCÍCIOS 
1) Transformar as unidades mm, cm, d, m, da, h, km: 
 
a) 10 cm³ p/ m³ 
 
 
b) 1 km² p/ m² 
 
 
c) 1 d³ p/ m³ 
 
 
d) 2pol p/ cm 
 --- 2 pol = (2,54 x 2) cm = 5,08 cm 
 
2) No dimensionamento de circuitos automáticos e em outras aplicações na engenharia, é 
utilizada a unidade de pressão bar= 105 (pascal). Expressar em bar: 
 
a) gf/ 
 
bar = 
 
b) kgf/ 
 
bar = 
 
c) kgf/ 
 
bar = 
 
 
d) lb/ (psi) 
 
5 
 
1 bar = 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
1.3 LISTA DE EXERCICIOS – SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 
 
1) Transformar das unidades: 
a) para 
b) para 
c) para 
d) para 
e) para 
f) m para ano luz 
g) para L 
h) para 
i) para 
j) para 
k) para 
 
2) Realizar as seguintes conversões: 
 
a) 28 bar para kgf/ 
b) 120 bar para kgf/ 
c) 89 bar para lb/ (psi) 
d) 0,12 bar para psi 
e) 
3) As respectivas transformações valem aproximadamente: 
I) 35 bar p/ (kgf/ cm²) 
II) 70 bar p/ (lb/ pol² (psi)) 
 
a) 30,58; 1200,15 
b) 20,9; 1280,33 
c) 20,9; 1325,12 
d) 35,69; 1015,24 
e) 35,69; 1025,47 
Lembrando que: 
bar=105 N/m² 
Kgf= 9,80665 N 
lb= 0,4536 kgf 
pol=2,54 cm 
Obs: Colocar as respostas (exercícios 1 e 2) em notação científica quando o número for muito 
grande ou muito pequeno. 
Lembrando que: 
bar = N/ 
kgf = 9,80665 N 
Lb = 4,4536 kgf 
Pol = 2,54 cm 
7 
 
CAPÍTULO 2- VÍNCULOS ESTRUTURAIS 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
Denomina-se vínculos ou apoios os elementos de construção que impedem os movimentos de 
uma estrutura. 
Podemos classificar em 3 tipos. 
2.1.1 Vínculo simples ou móvel 
Impede o movimento de translação na direção normal do plano. 
 
 
 
2.1.2 Vínculo duplo ou fixo 
Impede o movimento de translação em duas direções (normal e paralela). 
 
 
2.1.3 Engastamento 
Impede a rotação e translação através de um contramomento bloqueando a ação do momento. 
 
Rx- impede o movimento de translação na direção x 
RY- impede o movimento de translação na direção y 
M-impede a rotação 
8 
 
2.2 ESTRUTURA 
É o conjunto de elementos de construção, composto com a finalidade de receber e transmitir 
esforços. 
São classificadas através de sua estaticidade, em 3 tipos. 
 
2.2.1 Estruturas Hipoestáticas 
São instáveis, sendo bem pouco utilizado no nosso curso o n de equações da estaica ser superior 
ao numero de incógnitas; 
 
2.2.2 Estruturas Isostáticas 
O número de reações a serem determinadas coincide com o número de equações da estática. 
 
2.2.3 Estruturas Hiperestáticas 
As equações da estática são insuficientes para determinar as reações nos apoios. 
Devemos suplementar as equações da estática com as equações do deslocamento, estudadas em 
Resistência dos Materiais. 
 
9 
 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
2.3 TRABALHO TEÓRICO 
Elaborar um trabalho teórico, sobre o termo “Vínculos Estruturais” 
 O que são Vínculos Estruturais? 
Quais os tipos de Vínculos Estruturais (Explicar cada um deles) 
 
 O que são Estruturas? 
Quais os tipos de estruturas (Citar, explicar e exemplificar cada uma delas com as suas 
devidas aplicações). 
 
 
 
 
 
10 
 
CAPÍTULO 3- EQUILÍBRIO DE FORÇAS E MOMENTOS 
 
Para que um determinado corpo esteja em equilíbrio, deverá satisfazer as condições dos itens 
3.1 e 3.2. 
 
3.1 Resultante de forças 
A resultante do sistema de força será nula. 
 
3.2 Resultante dos momentos 
A resultante dos momentos em relação a um ponto qualquer será nula. 
 
3.3 Equações fundamentais da estática 
Baseados no itens 3.1 e 3.2, concluímos que, 
 
3.4 Força axial ou normal f 
Carga que atua perpendicular a secção transversal da peça. 
 
 
 
 
 
 
 
3.5 Traçãoe compressão 
Tração na peça 
 
 
Esforço dirigido para o exterior da peça 
 
 
Compressão na peça 
 
Esforço dirigido para o interior da peça. 
 
11 
 
3.6 Ligação ou nó 
Ponto de interligação dos elementos de construção. 
 
3.7 Compressão em relação tração e ao nó 
Peça tracionada 
tração na barra tração no nó 
 
 
 
 
Peça comprimida 
compressão na barra compressão no nó 
 
 
 
3.8 Composição de forças 
Consiste na resultante do sistema 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
12 
 
3.9 Decomposição de força em componentes ortogonais 
 
 
 
 
 
 
 
3.10 Conhecidos Fx e Fy, determinar α e β 
 
 , ; 
 
3.11 Determinação analítica da resultante de duas forças que formam entre si ângulo e α 
Pelo 
 
Pelo 
 
Portanto 
2) 
No mesmo 
3) 
Substituir 2 em 1 
 
 
 
 
13 
 
3.12 Determinação analítica da direção da resultante 
 tem-se: 
 
No tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
3.13 EXERCÍCIOS PRELIMINARES 
 
1) Determinar a resultante F dos sistemas de forças a seguir: 
 50N 80N 120N 
 
 
 
2) As componentes de uma carga F são respectivamente: 
 
Determinar: 
a) A resultante F. 
b) O ângulo que F forma com a horizontal. 
c) O ângulo que F forma com a vertical. 
 
 
a) F 
 F = 150 N 
 
b) 
 α = 37° 
 
c) 
 β = 53° 
 β = 90° - α = 90° - 37° = 53° 
 
 
15 
 
3) As cargas F1= 200 N e F2= 600N formam entre si um ângulo α=60º. Determinar a resultante 
das cargas (F) e o ângulo (y) que formam com a horizontal. 
 
 
 
 
 
Dedução: 
Ângulo que F forma com F2 (γ) 
 
 
 
 
 
3.14 Método das projeções 
O estudo do equilíbrio neste método, consiste em decompor as componentes das forças 
coplanares atuantes no sistema X e Y. 
Exemplo: 
Menor número de incógnitas. Começamos pelo nó D (mais fácil). 
 
 
 
 
 
 
 
F3 
1000 kgf 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 → (I) 
 
 
 
 → (II) 
 
Substituindo: 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
3.15 Método do polígono de forças 
Para que um sistema de forças concorrentes atuantes em um plano esteja em equilíbrio, é 
condição essencial que o polígono de forças esteja fechado. Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.16 Momento de uma força 
É definido como o produto entre a intensidade de uma carga aplicada e a respectiva distancia em 
relação ao ponto. 
Utilizado para determinar as reações nos apoios 
 
18 
 
Exemplos: 
Determinar as reações nos apoios, conforme mostram as figuras a seguir: 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
3.17 EXERCÍCIOS 
 
1) O suporte vertical ABC desliza livremente sobre o eixo AB, porém é mantido na posição de 
figura através de um colar preso no eixo. Desprezando o atrito, determinar as reações em A e 
B, quando estiver sendo aplicada no ponto C do suporte , uma carga de 5KN. 
 
 
 
- × 24 + (5 × 30) = 0 
 
- × 0,24 = - 5 × 0,3 
 
 
 
 
 
 
+ = 0 
 
= = 6,25KN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
2) A figura a seguir, representa uma junta rebitada, composta por rebites de diâmetros iguais. 
Determinar as forças atuantes nos rebites. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como as distâncias dos rebites são iguais 
 = = = 
 
 - × 200 + (3000 × 600) = 0 
 
 
 
 - + = 0 
 = = 9000N 
 
 
 
 
 
 
22 
 
3) Determinar a intensidade da força F, para que atue no parafuso o torque de 40N.m. A 
distância A (centro do parafuso ao ponto de aplicações da carga F) será determinada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Um alicate e utilizado para rosquear um tubo de d= 20 mm a uma luva como mostra a figura. 
Determinar a intensidade da força F exercida pelo alicate no tubo, quando a força de aperto 
aplicada por 40N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
3.2 LISTA DE EXERCICIOS- EQUILÍBRIO DE FORÇAS E MOMENTOS 
 
1) Determinar as reações nos apoios da viga solicitada por carga inclinada: 
 
2) Uma carga de 1400 kgf esta suspensa conforme mostra a figura ao lado. 
Determinar as forças normais atuantes nas barras 1,2 e 3. Utilizar o método das projeções. 
 
 
 
 
 
 
 
3) O suporte vertical ABC desliza livremente sobre o eixo AB, porém é mantido na posição da 
figura através de um colar preso no eixo. Desprezando o atrito, determinar as reações em A e B, 
quando estiver sendo aplicada no ponto C do suporte, uma carga de 8 KN. 
 
 
 
 
 
 
24 
 
4) A figura a seguir, representa uma junta rebitada, composta por rebites de diâmetros iguais. 
Determinar as forças atuantes nos rebites. 
 
 
 
 
 
 
 
5) Determinar a intensidade da força F, para que atue no parafuso o torque de 55Nm. A 
distância a (centro do parafuso ao ponto de aplicação da carga F) será determinada por: 
 
 
 
 
 
6) Um alicate é utilizado para rosquear um tubo de d= 26 mm a uma luva como mostra a figura. 
Determinar a intensidade da força F exercida pelo alicate no tubo, quando a força de aperto 
aplicada por 65 N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
CAPÍTULO 4 – CARGA DISTRIBUIDA 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
Nos capítulos anteriores, estudamos somente a ação de cargas concentradas (em determinado 
ponto). Agora, estudaremos cargas distribuídas ao longo de um trecho. 
 
4.1.1 Exemplos de cargas distribuídas 
a) O peso próprio de uma viga 
 
 
 
 
b) o peso de um caixa d´água atuando sobre a viga 
 
 
 
 
 
 
c) O peso de uma laje em um viga 
 
 
 
 
 
 
Citamos ainda: barragens, comportas, tanques, hélices etc. 
 
 
26 
 
4.2 LINHA DA AÇÃO DA RESULTANTE 
A resultante Q atuara sempre no centro de gravidade. 
Momento (0) 
 
 
Q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
4.3 EXERCICIOS 
1) 
 
 
 (48×3) +(12×7) −6RB = 0 
 RB = (48×3) + (12×7) / 6 
 RB = 38KN 
 
 RA−48−12+RB = 0 
 RA= 48+12−38 
 RA= 22KN 
 
2) Determinar a reação no apoio A e a força normal na barra 1, na viga carregada conforme a 
figura dada . 
Qual o ângulo α que RA forma com a horizontal? 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RAV−20+F1V−2= 0 
 RAV= 20−9+2 
 RAV= 13KN 
 
 
 
 F1V= F1sen53° 
 F1V= 11,25×sen53° 
 F1V=9KN 
 
 RAH−F1H=0 
 RAH= F1A= 6,75KN 
 
29 
 
 
 RA≅ 14,65KN 
 
3) Determinar as reações nos apoios A e B da construção representada na figura a seguir. Qual 
o ângulo α que RA forma com a horizontal? 
 
 
 
 
 
 RB= 1690N 
 
 RAV−2400−400sen37°−1200+RB= 0 
 RAV= 2400+240+1200−1690 
 RAV= 2150N 
 
 −RAH+400cos37°= 0 
 RAH= 320N 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
4.4 LISTA DE EXERCÍCIOS - CARGA DISTRIBUIDA 
 
1) Determinar a relação no apoio A (KN) e a força normal na barra 1 (KN), na viga carregada 
conforme afigura dada. Qual o ângulo (α) que R A forma com horizontal? 
 
2) Determinar as relações nos apoios A e B (KN), da construção representada na figura a seguir. 
Qual o ângulo (α) que R A forma com horizontal? 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
CAPÍTULO 5 - TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
 
5.1 REVISÃO DO CAPÍTULO 3 
 
 
 
•Resultante das forças 
•Força axial ou normal 
•Tração e compressão 
•Ligação ou nó 
•Composição das forças 
•Decomposição das forças 
 
 
 
 
 
 
•Determinar α e β através das (tangentes) 
•Resultante da decomposição das forças 
 
 
 
 
 
 
 Regra do paralelogramo 
33 
 
5.1.1 Força normal ou axial 
Força que atua perpendicularmente(normal) sobre a área da seção transversal da peça. 
 
 
 
 
5.1.2 Tração e compressão 
O esforço de tração apresenta-se quando há uma carga atuando para o sentido exterioro da peça 
(puxada). 
 
 
 
 
 
O esforço de compressão atua-se quando a carga esta dirigida para o interior da peça 
(empurrada) 
 
 
 
 
5.2 TENSÃO NORMAL ( ) 
É a relação entre a intensidade da carga e a área da seção transversal da peça. 
 
 -- -- Tensão normal 
F -- Força normal ou axial (N) 
A -- Área da seção transversal da peça (m2) 
 
 
34 
 
5.3 LEI DE HOOKE 
Cientista inglês Robert Hooke (1678). Materiais sobre a ação de carga normal sofre variações na 
sua dimensão linear. 
 
 
-- Alongamento da peça (m) 
-- Tensão normal( ) 
F - Carga normal aplicada (N) 
A --Área da secção transversal (m²) 
E-- Modulo de elasticidade do material (Pa) 
l -- Comprimento inicial da peça (m) 
 
Alongamento tração na peça 
Alongamento compressão na peça 
 
 Tração no nó (nó puxado) Compressão no nó (nó empurrado) 
 
 
 Peça tracionada: Peça comprimida: 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Onde: 
 --Comprimento final da peça (m) 
--Comprimento inicial da peça (m) 
 --Alongamento (m) 
A Lei de Hooke abrange a deformação longitudinal ( ) e a deformação transversal ( 
 
Deformação longitudinal ( 
Deformação que ocorre numa unidade de comprimento (U.C) submetida à ação de uma carga 
axial. 
 
 
 
 
 
 
 
Deformação transversal ( 
A deformação transversal é oposta a deformação longitudinal,pois de acordo que aumenta o 
comprimento, diminui a espessura. Exceto materiais anti borracha (auxéticos). 
Onde: 
( -- Deformação transversal (admensional) 
-- Tensão normal atuante ( ) 
E-- Modulo de elasticidade ( ) 
--Deformação longitudinal (admensional) 
v-- Coeficiente de Poisson (admensional) 
-- Alongamento (m) 
l-- Comprimento inicial (m) 
 
36 
 
5.4 MATERIAIS DUCTEIS E FRÁGEIS 
5.4.1 Material Dúctil 
É classificado como dúctil, quando submetido a ensaio de tração, apresentando deformação 
plástica, procedida por uma deformação elástica, para o rompimento. 
Ex: Aço, cobre, alumínio, latão, bronze, níquel e etc... 
Diagrama Tensão Deformação do aço ABNT 1020. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto O- Início de ensaio- carga nula 
Ponto A- Limite de proporcionalidade 
Ponto B- Limite superior de escoamento 
Ponto C- Limite inferior de escoamento 
Ponto D- Final de escoamento- Início da recuperação do material 
Ponto E- Limite máximo de resistência 
Ponto F- Limite de ruptura do material 
 
 
 
37 
 
5.4.2 Material frágil 
Quando submetido ao ensaio de tração não apresenta deformação plástica, apresentando 
deformação elástica e rompimento. 
Ex: Concreto, vidro, cerâmica, porcelana, gesso, cristal, acrílico, etc.. 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto O - Início de ensaio- carga nula 
Ponto A - Limite máximo de resistência- ponto de ruptura do material. 
 
5.5 ESTRICÇÃO 
A medida que submetemos carga normal, alonga-se o comprimento longitudinal e diminui o 
comprimento transversal. 
 
 
 
 
 
5.6 COEFICIENTE DE SEGURANÇA K 
É utilizado no dimensionamento dos elementos de construção, visando o equilíbrio entre a 
qualidade o custo. 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
5.6.1 Carga estática 
A carga é aplicada na peça e permanece constante. 
Ex: Um parafuso prendendo uma luminária. Uma corrente suportando um lustre. 
 
 
 
 
 
 
 
5.6.2 Carga intermitente 
A carga é aplicada gradativamente na peça, indo do início ao máximo e retornando ao estado 
inicial. 
Ex: Dente de uma engrenagem. 
 
 
 
 
 
 
5.6.3 Carga alternada 
A carga varia do máximo positivo ao máximo negativo (pior situação para a peça). 
Ex: eixos, molas, amortecedores. 
 
 
 
 
 
39 
 
5.7 TENSÃO ADMISSÍVEL 
É a ideal de trabalho para o material nas circunstâncias apresentadas (Trabalha na região 
elástica). 
Podendo estar na região plástica (redução do peso). 
Ex: aviões, foguetes, mísseis. 
Materiais dúcteis 
Materiais frágeis 
 
5.8 PESO PRÓPRIO 
É determinado pelo peso do material e o volume da peça. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pp-- Peso próprio do elemento (N) 
γ-- Peso específico do material (N/m³) 
A-- Área da secção transversal (m²) 
l-- Comprimento da peça (m) 
 
5.9 AÇO E SUA CLASSIFICAÇÃO 
Teor de carbono ≤ 2% 
Aço extra doce < 0,15% C 
Doce 0,15% a 0,3% C 
Meio doce 0,3% a 0,4% C 
40 
 
Meio duro 0,4% a 0,6% C 
Duro 0,6% a 0,7% C 
Extra duro > 0,7% C 
 
5.10 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS 
Peça de secção transversal qualquer 
 
Área mínima 
A min: área mínima da secção transversal (m²) 
F-- carga axial aplicada (N) 
 -- Tensão admissível do material (Pa) 
 
Peça de secção transversal circular 
 
Diâmetro da peça 
 
 
 
D-- Diâmetro da peça (m) 
F-- Carga axial aplicada (N) 
π-- Constante trigonométrica 3,1415 
 -- Tensão admissível material (Pa) 
 
 
 
41 
 
5.11 DIMENSIONAMENTO DE CORRENTES 
A carga axial aplicada se divide em 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
5.12 EXERCICIOS 
 
1) A barra circular representada na figura é de aço, possui d=15 mm e comprimento I=0,7 m. 
Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 6 KN. 
Pede-se determinar para a barra: 
 
a) Tensão normal atuante 
b) O alongamento 
c) A deformação longitudinal 
d) A deformação transversal 
 
E(aço)= 210 Gpa (modulo de elasticidade do aço) 
V aço= 0,3 (coeficiente de Poisson) 
 
 
a)→ Tensão normal atuante 
 
 
 
 
 σ ≅ 33,95MPa 
 
b)→ O alongamento 
 
 
 
 
 
 ∆l= 0,000113m = 113 μm 
 
 
 
43 
 
c)→ A deformação longitudinal 
 
 
 
 
 
 
 
d)→ A deformação transversal 
 
 εT= −V×ε εT= −0,3×0,00016 
 
 εT = −0,0000485 = −48,5μ 
 
2) Uma barra circular possui d =32 mm e o seu comprimento I=1,6 m. Ao ser tracionada por 
uma carga axial de 4kN, apresenta um alongamento de 114 x 10-6m. Qual o material da 
barra? 
 
E (ferro )= 210 Pa 
E (aluminio) = 70 Pa 
E( bronze) = 112 Pa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
 
 
 
3) Determinar o diâmetro da barra da construção representada na figura. O material da barra é o 
ABNT 1010L com (Tensão admissível e =220 Mpa e o coeficiente de segurança indicado 
para o caso é K=2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F1= 23,98 KN 
 
 
 
 
 
 
 
 D ≅ 17mm 
45 
 
4) O lustre da figura pesa 150 N, estará preso ao teto através do ponto A. por uma corrente de 
aço. Determinar o diâmetro do arame da corrente, para que suporte com segurança K=5, o 
peso do lustre. O material do arame é o ABNT 1010L com (tensão de escoamento = 220 
Mpa). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D= 0,0021m D= 2,1mm 
 
 
5) A barra da figura é de aço, possui A1= 300 mm2 (área da secção transversal). E o seu 
comprimento e I=500 mm. Determinar para a barra: 
 
a) Carga axial atuante 
b) Tensão normal atuante 
c) O alongamento 
d) A deformação longitudinal 
e) A deformação transversal 
 E aço = 210 Gpa v aço = 0,3 
46 
 
 
 
a) 25×2+6×1,5−F1×8=0 
 
F1= 7,38KN 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 ∆l=58μm 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
47 
 
 
 
 
 
 
6) Uma barra de alumínio possui secção transversal quadrada de 50 mm de lado e, o seu 
comprimento é de 0,9 m. A carga axial aplicada na barra é de 40 KN. Determinar a tensão 
normal atuante na barra e o seu alongamento. E alum = 0,7 x 105MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
5.13 LISTADE EXERCÍCIOS - TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
 
1) A barra circular representada na figura é de aço, possui d=20 mm e comprimento l=0,8m. 
Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 10 KN. Pede-se determinar para a barra: 
 
a) Tensão normal atuante 
b) O alongamento 
c) A deformação longitudinal 
d) A deformação transversal 
E (aço) = 210 Gpa (modulo de elasticidade do aço) 
V (aço) = 0,3 (coeficiente de Poisson) 
 
 
 
2) Uma barra circular possui d =35 mm e o seu comprimento I=1,9 m. Ao ser tracionada por 
uma carga axial de 5kN, apresenta um alongamento de 130 x 10-6m. Qual o material da barra? 
 
E (aço) = 210 GPa 
E (aluminio) = 70 GPa 
E (branze) = 112 GPa 
 
3) Determinar o diâmetro da barra da construção representada na figura. O material da barra é o 
ABNT 1010L com (Tensão de escoamento =220 Mpa e o coeficiente de segurança indicado 
para o caso é K=3. 
49 
 
 
4) O lustre da figura pesa 200 N, estará preso ao teto através do ponto A. por uma corrente de 
aço. Determinar o diâmetro do arame da corrente, para que suporte com segurança K=4, o peso 
do lustre. O material do arame é o ABNT 1010L com (tensão de escoamento = 220 Mpa). 
 
 
5) A barra da figura é de aço, possui A1= 400 mm2 (área da secção transversal). E o seu 
comprimento e l=450 mm. Determinar para a barra: 
 
a) Carga axial atuante 
b) Tensão normal atuante 
c) O alongamento 
d) A deformação longitudinal 
e) A deformação transversal 
 
50 
 
 E aço = 210 Gpa v aço = 0,3 
 
 
6) Uma barra de alumínio possui secção transversal quadrada de 50 mm de lado e, o seu 
comprimento é de 0,9 m. A carga axial aplicada na barra é de 40 KN. Determinar a tensão 
normal atuante na barra e o seu alongamento. E alum = 0,7 x 105MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
CAPÍTULO 6 - SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS 
(HIPERESTÁTICOS) 
 
6.1 INTRODUÇÃO 
São aqueles cuja solução exige que as equações da estática sejam complementares pelas 
equações do deslocamento 
 
 
 
l --Comprimento inicial (m) 
 --coeficiente de dilatação linear do material 
 --variação da temperatura 
 
 
 
 
 
6.2 TENSÃO TÉRMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão térmica atuante 
 
F--força axial térmica (N) 
G-- Tensão normal térmica (Pa) 
--Coeficiente de dilatação linear do material ( ) 
--Variação de temperatura ( 
 
52 
 
 
6.3 EXERCICIOS 
 
1) A figura dada representa uma viga I de aço com comprimento I=4 m e área de seção 
transversal A=2800 mm² engastadas nas paredes A e B, livre de tensões a uma temperatura 
de 20°C. Determinar a força térmica e a tensão térmica, originada na viga, quando a 
temperatura subir para 42°C. 
E (aço) 2,1 x 105 MPa (módulo de elasticidade do aço) 
 aço= 1,2 x 10-5 ºC-1(coeficiente de dilatação linear do material) 
 
 
 
 
 
 
 (aço) = 2,1 x 105 Mpa 
 (aço) = 1,2 x 10-5 ºC-1 
F = A.E .α.t 
F = 2800 x 10-6 2,1 x 1011 . 1,2 x 10-5. (42-20) = 155232 N 
σ = E .α.t = 2,1 x 1011 . 1,2 x 10-5. (42-20) =55,44 Mpa 
 
2) Uma barra circular de alumínio possui comprimento I = 0,8m a temperatura de 20°C. 
Determine a dilatação e o comprimento final da barra quando a temperatura atingir 40°C. 
 alumínio= 2,4 x 10-5 ºC-1 (coeficiente de dilatação linear do material) 
 
l = lo . α.t 
l = 0,8 x 2,4 x 10-5 . (40 – 20) 
l =38,4 x 10-5 m = 0,000384m ou 3,84x10-4m 
Lf = lo + l 
Lf = (0,8 + 0,000384) m 
Lf = 0,800384 m 
53 
 
3) O conjunto representado na figura é constituído por uma secção transversal, A= 3600 mm² e 
comprimento de 600 mm e uma secção transversal, A2= 8000 mm² e comprimento de 300 
mm. Determinar as tensões normais atuantes nas secções transversais das partes 1 e 2 da 
peça, quando houver uma variação de temperatura de 20°C. O material da peça é aço. 
 
E (aço) = 2,1 x 10 Mpa (módulo de elasticidade do aço) 
 aço= 1,2 x 10-5 ºC-1 (coeficiente de dilatação linear do material) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E aço = 2,1 x 105 Mpa 
 (aço) = 1,2 x 10-5 ºC-1 
 
l1. α.t - 
2 l2. α.t - 
l2. α.t + 
l2. α.t - 
 
 
F = 120960 N 
54 
 
 = Mpa 
 = Mpa 
 
4) A figura dada representa uma viga I de aço com comprimento 5 m e área de secção 
transversal 4000 mm². A viga encontra - se engastada na parede A e apoiada junto a parede 
B, com uma folga de 1 mm desta, a uma temperatura de 14°C. Determinar a tensão atuante 
na viga quando a temperatura subir para 42°C. 
 
E (aço) 2,1 x 105MPa (módulo de elasticidade do aço) 
α aço = 1,2 x 10-5 ºC-1 (coeficiente de dilatação linear do material) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l = l0 x  x t 
l = 5 x 1,2 x 10-5 x (40 – 12) 
l = 1,68 x 10-3m = 1,68 mm 
(folga de 1mm) 
l* = 1,68 -1 = 0,68mm 
 
 = E x  x t = 2,1 x 1011 x 1,2 x 10-5 x 11,33 
 = 28,55 MPa 
55 
 
5) Um tubo de aço com Daço=100 mm envolve um tubo de aço com Daço=80 mm e um tubo de 
cobre dcu=80mm envolve um tubo também de cobre com dcu=60mm, ambos com o mesmo 
comprimento. O conjunto sofre uma carga de 30 KN aplicada no centro das chapas de aço da 
figura. 
Eaço = 210 GPa; 
Ecu= 112 Gpa 
 
Determinar as tensões normais no tubo de Cu, e no tubo de aço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F aço + F cu = 24 KN 
l aço = l cu 
 F cu = 
 
A aço = 
A cu = 
F cu = F aço F cu = 0,415 F aço 
F aço + F cu = 24 
F aço + 0,415 F aço = 24 
56 
 
F aço = 17 KN 
F cu = 7 KN 
 aço = 
 cu = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
6.4- LISTA DE EXERCÍCIOS - SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS 
(HIPERESTÁTICOS) 
 
1) A figura dada representa uma viga I de aço com comprimento l=5 m e área de seção 
transversal A=3000 mm² engastadas nas paredes A e B, livre de tensões a uma temperatura de 
20°C. Determinar a força térmica e a tensão térmica, originada na viga, quando a temperatura 
subir para 42°C. 
 E (aço) 2,1 x 10 MPa (módulo de elasticidade do aço) 
 aço= 1,2 x 10-5 ºC-1(coeficiente de dilatação linear do material) 
 
 
 
 
 
 
 
2) Uma barra circular de alumínio possui comprimento I = 0,5m a temperatura de 20°C. 
Determine a dilatação e o comprimento final da barra quando a temperatura atingir 35°C. 
 alumínio= 2,4 x 10-5 ºC-1 (coeficiente de dilatação linear do material). 
 
3) O conjunto representado na figura é constituído por uma secção transversal, A= 3800 mm² e 
comprimento de 600 mm e uma secção transversal, A2= 7600 mm² e comprimento de 300 mm. 
Determinar as tensões normais atuantes nas secções transversais das partes 1 e 2 da peça, 
quando houver uma variação de temperatura de 20°C. O material da peça é aço. 
 
E (aço) = 2,1 x 10 Mpa (módulo de elasticidade do aço) 
 aço= 1,2 x 10-5 ºC-1 (coeficiente de dilatação linear do material) 
 
58 
 
4) A figura dada representa uma viga I de aço com comprimento 7,5 m e área de secção 
transversal 5000 mm². A viga encontra - se engastada na parede A e apoiada junto a parede B, 
com uma folga de 1,5 mm desta, a uma temperatura de 14°C. Determinar a tensão atuante na 
viga quando a temperatura subir para 42°C. 
 
E (aço) 2,1 x 105MPa (módulo de elasticidade do aço) 
α aço = 1,2 x 10-5 ºC-1 (coeficiente de dilatação linear do material) 
 
 
 
5) Um tubo de aço com Daço= 120 mm envolve um tubo de aço com Daço= 100 mm e um tubo de 
cobre dcu= 90mm envolve um tubo também de cobre com dcu= 80mm, ambos com o mesmo 
comprimento. O conjunto sofre uma carga de 30 KN aplicada no centro das chapas de aço da 
figura. 
 
 
Eaço = 210 GPa; 
Ecu= 112 Gpa 
 
Determinar as tensões normais no tubo de Cu, e no tubo de aço. 
 
59 
 
CAPÍTULO 7 – CISALHAMENTO 
 
7.1 DEFINIÇÃO 
Um elemento de construção submete-se a esforço de cisalhamento, quando sofre a ação de uma 
força constante. 
A força cortante da origem a um momento fletor, que por ser de baixíssima intensidade será 
desprezado nesse Capítulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.2 FORÇACONSTANTE Q 
 
Carga que atua tangencialmente sobre a área de secção transversal da peça. 
 
 
 
 
 
 
7.3 TENSAO DE CISALHAMENTO 
É a relação entre a carga constante e a área da secção transversal da peça. 
 
τ --Tensão de cisalhamento (Pa 
Q-- Carga constante (N) 
A-- Área da secção transversal (N) 
n-- Número de elementos submetidos ao cisalhamento 
60 
 
7.4 DEFORMAÇÃO DO CISALHAMENTO 
 
 
 
γ --Distorção [rad] 
τ --Tensão de cisalhamento atuante [Pa] 
G-- Módulo de elasticidade transversal do material [Pa] 
 
7.5 TENSÃO NORMAL (σ) E TENSAO CISALHANTE (τ) 
Tensão normal – Atua perpendicularmente na secção transversal da peça 
Tensão cisalhante- Atua tangencialmente na secção transversal da peça 
 
7.6 PRESSÃO DE CONTATO 
Q – tendo a cisalhar AA 
Cria-se um esforço de compressão entre o elemento e a parede (AB ou AC), podendo ocasionar 
um esmagamento do elemento ou da parede do furo. 
 
 
 
 
 
 
7.6.1. Pressão de contato (esmagamento) 
 
 
 
Mais de um elemento 
 
 
61 
 
σd --Pressão de contato (Pa) 
Q-- Carga cortante aplicada na junta (N) 
n-- N° de elementos 
d--diâmetro elementos (m) 
t-- espessura da chapa (m) 
 
7.7 DISTRIBUIÇÃO ABNT- NB14 
Distâncias mínimas estabelecidas pela norma e que deverão ser observadas no projeto de juntas. 
 
 
 
 
Obs: Para bordas laminadas, permite-se reduzir as distâncias. 
d + 6 mm para rebites com d< 26mm 
d+ 10 mm para rebites com d > 26mm 
 
7.8 TENSÃO ADMISSÍVEL E PRESSÃO DE CONTATO ABNT NB14 – MATERIAL 
AÇO ABNT 1020 
Dados catalogados (tabelados) 
Rebites 
Parafusos 
Pinos 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
7.9 EXERCÍCIOS 
1) Determinar a tensão de cisalhamento que atua no plano A da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) O conjunto representado na figura é formado por: 
1- Parafuso sextavado M12. 
2- Garfo com haste de espessura 6 mm 
3- Arruela de pressão 
4- Chapa de aço ABNT 1020 espessura 8mm. 
5- Porca M12 
 
 Não haja rosca no parafuso, nas regiões de cisalhamento e esmagamento. 
 Q=6 KN 
 
a) Tensão de cisalhamento atuante parafuso tende a cisalhar nas secções AA e BB. 
 = 26.5 Mpa

b) A pressão de contato na chapa intermediaria 
 σdi = 
 
c) A pressão de contato nas hastes do garfo 
σdh = 
 
63 
 
 
7.10 LISTA DE EXERCÍCIOS – CISALHAMENTO 
 
1) Determinar a tensão de cisalhamento que atua no plano A da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
2) O conjunto representado na figura é formado por: 
1-Parafuso sextavado M14 
2- Garfo com haste de espessura 8 mm 
3-Arruela de pressão 
4-Chapa de aço ABNT 1020 espessura 9 mm 
5-Porca M14 
 
Supor que não haja rosca no parafuso, nas regiões de cisalhamento e esmagamento. A carga Q 
que atuará no conjunto é de 8 KN. Determinar? 
a) A tensão de cisalhamento atuante 
b) A pressão de contato na chapa intermediaria 
c) A pressão de contato nas hastes do garfo 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
3) Projetar a junta rebitada para que suporte uma carga de 200 KN aplicada conforme a figura. 
A junta devera contar com 4 rebites, Tensão de cisalhamento = 105 Mpa; 
pressão de contato = 225 Mpa, tch=9 mm (espessura da chapa) 
 
a) Determinar o diâmetro (Cisalhamento nos rebites) 
b) Determinar o diâmetro (Pressão de contato / esmagamento) 
c) Distribuição (Desenhar a distribuição com o seu respectivo diâmetro) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
CAPÍTULO 8 – CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DAS SUPERFÍCIES 
PLANAS 
 
8.1 MOMENTO ESTÁTICO 
 
8.1.1 Momento estático de um elemento de superfície 
É o produto entre a área do elemento e a distância que o separa do eixo de referência. 
 
 
 
 
 
 
 
8.1.2 Momento estático de uma superfície plana 
É a integral da área dos momentos estáticos dos elementos de superfície que forma a superfície 
total. 
 
 
 
 
 
 
 
8.1.3 Centro de gravidade de uma superfície plana 
É um ponto localizado na própria figura, ou fora desta, no qual se concentra a superfície. 
 
 
 
 
 
66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.1.4 Tabela do centro de gravidade de superfície planas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g 
 
 
 
 
 
 
XG= b/2 
YG= h/2 
XG= b/3 
YG= h/3 
67 
 
8.2 DETERMINAR AS COORDENADAS DO CG DO TRAPÉZIO 
 
 
 
 
 
 
 
A1= a² A2= (a²/2) 
X1= (a/2) X2= a+(a/3) = (4a/3) 
Y1= (a/2) Y2= (a/3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.3 MOMENTO DE INÉRCIA J (MOMENTO DE 2ª ORDEM) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.3.1 Importância do momento de inércia 
Importante no dimensionamento de elementos de construção. 
 MI Resistência da secção transversal da peça 
 
 
 
69 
 
8.3.2 Translação de eixos (Teorema de Steiner) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ju= jx + a².A 
 
 
 
 
jV= jy + b².A 
 
 
 
8.4 RAIO DE GIRAÇÃO (i) 
 
 jx = A ix2 jy = A iy2 
 
 
 
 
 
 
70 
 
8.5 Módulo de resistência (W) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
 
8.6 EXERCÍCIOS 
1) Determinar o raio de giração módulo de resistência relativos aos eixos baricêntricos x e y dos 
perfis representados. 
 
 Jx = Jy = 
 Ix = iy = 
 Wx = wy = 
Utilizar a = 1m 
b = 0,8m 
 
 
 Jx = Jy = = m4 
 
Ix = iy = = = 0,36968 m 
 
 
 
2) Determinar as coordenadas do centro de gravidade do perfil representado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
CG – relação a origem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
 
8.7 LISTA DE EXERCÍCIOS - CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DAS 
SUPERFÍCIES PLANAS 
 
 
1) Determinar as coordenadas do centro de gravidade do trapézio representado na figura a 
seguir. 
 a=0,8 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determinar as coordenadas do centro de gravidade de cantoneira de abas desiguais 
representada na figura a seguir. 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
CAPÍTULO 9 – FORÇA CONSTANTE (Q) E MOMENTO FLETOR (M) 
 
9.1 FORÇA CONSTANTE (Q) 
Será positiva quando provocar na peça um momento fletor positivo. 
 
+ 
 
 
9.1.1 Vigas Horizontais 
Olhar a esquerda da secção transversal, com a orientação de baixo para cima. Q +. 
 
9.1.2 Vigas Verticais 
Q+, olhar a esquerda da secção transversal, com orientação da esquerda para direita. 
 
9.1.3 Momento fletor (M) 
•Momento positivo 
São quando as forças cortantes tracionam as fibras inferiores e comprimem as fibras superiores. 
 
 
 
 
 
 
•Momento negativo 
São quando as forças cortantes comprimem as fibras inferiores e tracionam as fibras superiores. 
 
 
 
 
 
 
Convenção: 
75 
 
 
Convenciona como positivo, o momento no sentido horário. Olhar sempre a esquerda da secção 
transversal da peça. 
 
9.2 FORÇA CONTANTE (Q) 
Obtém-se a força constante através das resultantes das forças atuantes a esquerda da secção 
transversal da peça. 
 
Secção AA Q =Ra 
Secção BB Q= Ra - p1 
Secção CC Q= Ra - P1 - P2 
 
 
 
9.3 MOMENTO FLETOR (M) 
O momento fletor atuante obtém-se através da resultante dos momentos atuantes a esquerda da 
secção transversal da peça. 
 
Secção AA M= RA.x 
Secção BB M= RA.x - P1 . (x-a) 
Secção CC M= RA.x - P1 . (x-a) – P2. [x-(a+b)] 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 1 – Carga distribuída 
 
76 
 
1) Calcular as reações de apoio 
2) Calcular constante Q e momento fletor M 
3) Diagramas da constante e momento fletor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) RA= RB= 
2) 0 < X < l 
 
 Q= RA – g.X 
 
 X=0 Q=RA 
 X= l Q= RA – g.X 
 
 Q= - g.l = - = - RB 
 (Q=0 / tem se o ponto máximo da curva do momento) 
 Q=0  RA – g.X  RA= g.X =X=  Q=0  M é máximo 
 M= RA.X – g. X. 
77 
 
 X=0 M=0 X=l 
 M= 
 X= 
 
 M= 
 
Exemplo 2 – Carga concentrada 
 
1) Reações de apoio 
2) Q e M 
3) Diagonais Q e M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Reação de apoio 
 MA= 0 
 16.1 + 24.3 – RB.4=0 
 RB= 88/4 = 22 KN 
 FV=0 
78 
 
 RA – 16 – 24 + 22 = 0 
 RA= 18 KN 
 
2) Q e M 
 0<X<1 
 Q= RA= 18 KN 
 M= RA.X 
 X=0 M=0 
 X=1 M= 18 KN.m 
 1<X<3 
 Q= RA – 16 
 Q=2 KN 
 M= RA.X – 16.(X−1) 
 X=3 M= 18.3 – 16.(2) 
 M= 54 – 32 
 M= 22 KN.m 
 3<X<4 
 Q= RA – 16 – 24 Q= − 22 KN 
 M= RA.X – 16. (X−1) – 24. (X−3) para x=4 
 M= 18.4 – 16.3 – 24.1 
 M= 72 – 48 – 24 
 M= 0 
 
 
 
 
 
79 
 
 
9.5 LISTA DE EXERCÍCIOS - FORÇA CONSTANTE (Q) E MOMENTO FLETOR (M) 
 
1) Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga biapoiada 
solicitada pelas cargas concentradas representadas. Considerar q= 30 KN.m-1 e l=0,8m 
 
 
 
 
2) Determinar as expressar de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga biapoiada 
solicitada pelas cargas concentradas representadas na figura. 
 
 
 
80 
 
3) Dimensionar a viga de madeira que deverá suportar o carregamento representado na figura e 
construir os respectivos diagramas. Utilizar σ adm (madeira) = 10 Mpa e h≈3b. 
 
 
 
4) Dimensionar um eixo para que suporte com segurança K= 2 o carregamento representado e 
construir os respectivo diagramas. o material a ser utilizado é o ABNT 1020 com σe = 280 
Mpa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
 
CAPÍTULO 10 – FLEXÃO 
 
10.1 INTRODUÇÃO 
Configura-se flexão quando a peça sofre ação de uma peça constante e essa origina um 
momento fletor. 
 
10.2 FLEXÃO PURA 
Apresenta somente momento fletor e a constante é nula. 
 
10.3 FLEXÃO SIMPLES 
Peça submetida a força constante e momento fletor. 
 
 
 
 
 
CD-- Flexão pura 
AC e DB-- Flexão simples 
 
10.4 TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO 
 
 
 
 Onde: 
 Tensões de tração 
 Tensões de compressão 
 
 
 
 
 
 
 
82 
 
10.5 DIMENSIONAMENTO NA FLEXÃO 
 
 
 
 
 
 
 Tensão atuante na peça 
 = (Direção X) 
 = (Direção Y) 
 e Tensão normal atuante nas fibras mais afastadas (Pa) 
 Tensão admissível (Pa) 
M Momento fletor (N.m) 
 e Módulo de resistência da secção 
 e Distância máxima entre a linha neutra e a extremidade da secção (m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
 
 
10.6 EXERCÍCIOS 
1) Determinar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 =10Mpa e h 3b. 
Como as cargas são simétricas, conclui-se que RA = RB = 1750 N 
 
a) Expressão de Q e M 
 Secção 
0 < x < 1 1 < x < 2 
 
Q = -1000 N Q = RA-1000 = 750N 
M = -1000.x M = -1000.x + RA 
x = 0 , M = 0 x = 2 , M = -250 N 
x = 1 , M = -1000 N.m Como o carregamento é simétrico 
 
2 < x < 3 3 < x < 4 
 
x = 3 Q = -1000 + RA -1500 + RB Q = 1000 N 
Q = -1000 + RA - 1500 M = -1000.x + RA.(x-1) -1500.(x-2) + RB.(x-3) 
Q = -750 N M = -4000 +5250 -3000 +1750 = 0 
 má.n 
84 
 
M = -1000.x + RA. (x-1) - 1500 (x-2) 
M = -3000 +3500 -1500 = -1000 N.m 
 
 
b) Dimensionamento da viga 
 
 
 
 . 
 b3 = b = 
 b = = 
h = 3.b = 3 . 40 = 120 mm 
A viga a ser utilizada será de 60x120 (mm) que é a padronizada mais próxima do valor 
obtido. 
2) Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga biapoiada 
representada pelas cargas concentradas, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
K = 2 
h = 3b 
85 
 
Como as cargas são simétricas aos apoios, conclui-se que: 
RA = RB = 1750 N 
 
a) Expressões de Q e M 
M = RA . x 
 
0 < x < 1 1 < x < 2 
Q = RA = 1750 N Q = RA -1000 
M = RA.x Q = 1750 -1000 = 750 N 
x = 0 , M = 0 M = RA.x -1000. (x-1) 
x = 1 , M = 1750 N.m M = 3500 -1000 = 2500 N. m 
 
2 < x < 3 3 < x < 4 
Q = RA -1000 -1500 Q = RA -1000 -1500 -1000 
Q = -750 N Q = 1750 -3500 = -1750 N 
M = RA. (x) -1000. (x-1) -1500. (x-2) M = RA. (x) -1000. (x-1) -1500. (x-2) -1000. (x-3) 
x = 3 x = 4 
M = 5250 -2000 -1500 M = 7000 -3000 -3000 -1000 = 0 
M = 1750 N.m 
 
Dimensionamento do eixo 
 
 = 
 d = 
86 
 
 
LISTA DE EXERCICIOS- FLEXÃO 
 
 
1) Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga em balanço 
solicitada pela carga distribuída representada na figura. 
 
Considerar: 
q = 30KN. m-1 
l = 0,8 m 
 
 
 
 
 
 
2) Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos digramas na viga biapoiada 
solicitada pelas cargas concentradas representadas na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Dimensionar a viga de madeira que deverá suportar o carregamento na figura e construir os 
respectivos diagramas. Utilizar =10Mpae h 3b. 
 
 
 
 
 
 
 
87 
 
4) Dimensionar o eixo para que suporte com segurança K=2 o carregamento representado e 
construir os respectivos diagramas. O material a ser utilizado é o ABNT 1020 com = 
280 Mpa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
88 
 
CAPÍTULO 11 – TORÇÃO 
 
11.1 INTRODUÇÃO 
Uma peça submete-se a um esforço de torção, quando atua um torque em uma extremidade e 
um contratorque na outra extremidade. 
 
 
 
 
 
 
11.2 MOMENTO TORÇOR OU TORQUE 
 
 
 
MT- Momento torçor ou torque [N.m] 
F- Carga aplicada (N) 
S- Distância entre o ponto de aplicação da carga e o pólo [m] 
 
Para as transmissões mecânicas construídas por polias, engrenagens, rodas de atrito, correntes e 
etc... o torque é determinado por: 
 
 
MT- Torque (N.m) 
FT -Força tangencial [N] 
- raio da peça [m] 
 
11.3 POTÊNCIA (P) 
 
P = como 
 P = V = logo: 
 
MT=2F.S 
MT=FT.r 
P = F . V 
89 
 
Nos movimentos circulares: 
P = FT . Vp 
N . = 
Onde: 
P- Potência (W) 
FT- Força tangencial (N) 
Vp- Velocidade Periférica (m/s) 
 
1 CV ≈ 735,5 W Mais utilizado 
1 HP ≈ 745,6 W Não usa-se, unidade ultrapassada. 
Vp = w.r , logo 
 
Mas, MT = FT . r , logo: 
Porém, w = 2.π.f , logo: f = 
 
 
 
 
11.4 TENSÃO DE CISALHAMENTO NA TORÇÃO ( ) 
 
 =p = 0 , 
 p = r , (máximo) p Ponto estudado (Vai do centro a periferia) 
 logo: 
Onde: 
máx- Tensão máxima de cisalhamento na torção (Pa) 
MT- Torque [N.m] 
Jp- Momento polar da inércia (m4) 
- Raio da secção transversal (m) 
P = FT . w . r 
P = MT . W 
P = MT . 2 .π .f 
 P = 
 
Onde: 
r = Raio da peça (m) 
p = Potência (W) 
MT = Torque (N.m) 
n = Rotação (rpm) 
f = Frequência (hz) 
w = Velocidade angular 
 
 
90 
 
Wp- Módulo de resistência polar da secção transversal (m³) 
 
11.5 DISTORÇÃO (γ) 
Deformação de cisalhamento 
 
 
γ -- Distorção (rad) 
 --Tensão atuante (Pa) 
G-- Módulo de elasticidade transversal do materiais (Pa) 
 
11.6 ÂNGULO DE TORÇÃO ( ) 
 
 
 
 
θ --Ângulo de torção ( radianos) 
MT-- torque ( N.m) 
l-- Comprimento da peça (m) 
G-- Módulo de elasticidade transversal de material (Pa) 
 
11.7 DIMENSIONAMENTO DE EIXOS- ÁRVORES 
Eixo- Quando funciona parado, suportando cargas. 
Eixo - árvore- Quando girar, com o elemento de transmissão. 
Para dimensionar uma árvore: 
 
 
 (eixo maciço) , , , 
como , logo: 
 
 
 
 
d ≈ 1,72 
d = 1,72 
d = 0,932 
91 
 
 
 
 
w = 2πf , logo: d = 1,72 
 
 , d ≈ 0,932 
 
Movimento circular 
Definições importantes 
Velocidade angular (w) Velocidade periférica (Vp) Frequência (f) 
 
 
Onde: 
w- Velocidade angular (rad/s) 
f- Frequência (hz) 
n - Rotação (rpm) 
Vp- Velocidade periférica (m/s) 
 
Dimensionamento de árvores vazadas 
 
 
 
 
 --Tensão admissível do material (Pa) 
MT--Torque (N.m) 
Wp-- Módulo de resistência polar da secção circular vazada 
 
 
 
 
 
 
 
d ≈ 3,65 
92 
 
 
11.8 EXERCICIOS 
1) Uma árvore de aço possui d=30 mm, gira com uma velocidade angular W= 20 π rad/s, 
movida por uma força tangencial FT= 18 KN. 
 Determinar para o movimento da árvore: 
 
a) Rotação (n) 
b) Frequência (f) 
c) Velocidade periférica (Vp) 
d) Potencia (P) 
e) Torque (MT) 
 
 
a) w = 2πf , 
 = 
 
b) = = 
 
c) 
 
d) P = P = 18. . 0,94 = 
 
e) 
 
 
 
 
 
600 rpm 
10 hz 
VP = 0,94 m/s 
16 920 W 
 
93 
 
2) Dimensionar a árvore movida de aço, para que transmita com segurança uma potência, de 
7355 W (~ 10 cv), girando com uma rotação de 800 rpm. O material a ser utilizado é o 
ABNT 1040L, com t=50 Mpa (tensão admissível de cisalhamento na torção). 
 
 
 (eixo maciço) w = 2πf 
 
 d = 0,021 m 21 mm 
 
 
3) O eixo árvore representado na figura, possui diâmetro d=40 mm, e comprimento l=0,9m 
gira com uma velocidade angular W =20 π rad/s movido por um torque MT=200 Nm. 
Determinar o movimento da árvore: 
 
a) Força tangencial 
 
 = 10000 N 
 
b) Velocidade periférica 
 
 
 
c) Potência 
 P = 200 N. m . = 12560 W 12600 W 
 
 
 
94 
 
d) Tensão máxima atuante 
 (eixo maciço) 
 
 
4) Determinar a distorção (y) e o ângulo de torção ( ). Relacionado ao exercício anterior 
 
 
τ = 15,9. 
 Dados do exercício 3 
d = 40 mm 
 
 
a ) Distorção (γ) 
 
 
b) Ângulo de torção (θ) 
 
 
 
 
 
5) Um eixo árvore de secção transversal constante com diâmetro igual a 50 mm, transmite uma 
potência de 60 KW, a uma frequência de 30 Hz. Pede-se determinar no eixo. 
a) A velocidade angular 
b) A rotação 
 
 
95 
 
c) O torque atuante 
d) A tensão máxima atuante 
Solução: 
 
a) w = 2πf 
 w = 2.π.30 = 60 π rad/s 
 
b) n = 60.f n= 60.30 n= 1800 rpm 
 
c) = 
 
d) (eixo maciço) 
 
 
6) Dimensionar o eixo-árvore vazado com relação entre diâmetros igual a 0,6, para transmitir 
uma potência de 20 Kw, girando com uma velocidade angular W= 4 π rad/s. 
O material do eixo é ABNT 1045 e a tensão admissível indicada para o caso é 50 MPa. 
 
a) Torque atuante no eixo 
 
 
 
 
b) Dimensionamento do eixo 
 
 = 
 d = 0,6 D 
 = = 
d = 34 mm 
96 
 
50. . 2,73. = 25464 
 
D = 0,057 m 
 
 
7) Figura dada, representa a chave para movimentar as castanhas da placa do eixo árvore do 
torno. A carga máxima que deve ser aplicada em cada extremidade é F=120 N. 
Dimensionar a extremidade da secção quadrada de lado A da chave. O material a ser 
utilizado é o ABNT 1045 e a sua tensão de escoamento é 400 MPa. Como a chave estará 
submetida a variação brusca de tensão, recomenda-se a utilização do coeficiente de 
segurança K = 8. 
 
WP = 0.23 a ³ 
 
 
 
 
 
 
 
 = a = a = 
 
 
 
a = 13,6 mm 
D = 57 mm 
97 
 
 
11.9 LISTA DE EXERCICIOS - TORÇÃO 
 
1) Uma árvore de aço possui d= 35 mm, gira com uma velocidade angular W=25π rad/s, 
movida por uma força tangencial FT=18 KN. Determinar para o movimento da árvore: 
 
a) Rotação (n) 
b) Frequência (f) 
c) Velocidade periférica( VP) 
d) Potencia (P) 
 
2) Dimensionar a árvore maciça de aço, para que transmita com segurança uma potência de 
8600 W, girando com uma rotação de 900 rpm. O material a ser utilizado é o ABNT 1040L, 
com T= 40 Mpa (Tensão admissível de cisalhamento na torção) 
Wp= (π d³)/16 Eixo maciço (Módulo polar de resistência) 
 
3) Um eixo árvore possui diâmetro d =35 mm e comprimento I= 0,7 m, gira com velocidade 
angular w=30πrad/s movido por um torque MT=160 N.m. 
 Determinar para o movimento da árvore 
 
a) Força tangencial (Ft) 
b) Velocidade periférica (VP) 
c) Potencia (P) 
d) A tensão máxima atuante (TMax) 
Wp= (π d³)/16 Eixo maciço (Módulo polar de resistência) 
 
4) Determinar a distorção (y) e o ângulo de torção ( ). Considerar os dados do exercício 
anterior. 
 
Gaço= 80 Gpa 
Jp= (π d4)/ 32(Momento polar de inércia) 
 
5) Um eixo árvore se secção transversal constante, com diâmetro igual a 60 mm, transmite uma 
potência de 70 KWa uma frequência de 40 Hz. 
 
a) A velocidade angular (w) 
b) A rotação (n) 
c) O torque atuante (Mt) 
98 
 
d) A tensão maxima atuante (TMax) 
Wp= (π d ³)/ 16 Eixo maciço (Módulo polar de resistência) 
 
6) Dimensionar o eixo arvore vazado com relação entre diâmetros igual a 0,7, para que 
transmita um potencia de 30 KW, girando com uma velocidade angular w=6πrad/s. 
O material do eixo é o ABNT 1045 e a tensão amissível indicada para o caso é 40 Mpa. 
Wp= (π (D4 - d4)) / 16 Eixo vazado (Módulo polar de resistência) 
Determinar: 
a) O torque atuante no eixo 
b) O dimensionamento do eixo 
 
7) Dimensionar a extremidade da secção quadrada de lado a da chave, sabendo que a carga 
máxima que deve ser aplicada em cada extremidade é F=140 N. 
 O material a ser utilizado é o ABNT 1045 e a sua tensão de escoamento é 500 Mpa. Como 
a chave estará submetida à variação brusca de tensão, recomenda-se a utilização do 
coeficiente de segurança K=7. Considerar a distância S=130mm. 
 
Wp=0,23. a³ (Modulo polar de resistência) 
 
 
Obs: Todas as fórmulas encontram-se nos exercícios resolvidos. 
 
 
 
99 
 
CAPÍTULO 12 - FLAMBAGEM 
 
12.1 INTRODUÇÃO 
Ao sofrer a ação de uma carga axial de compressão, a peça pode perder a sua estabilidade, sem 
que o material tenha atingido o seu limite de escoamento. 
 
12.2 CARGA CRÍTICA 
É o encurvamento do eixo longitudinal devido a perda da estabilidadeprovocada pela carga 
axial. 
 
 
 
 
 
12.2.1 Carga critica de Euler 
 
 
Onde: 
Pcr--Carga critica (N) 
E-- Módulo de elasticidade do material (Pa) 
J-- Momento de inércia da secção transversal (m4) 
Lf-- Comprimento livre de flambagem (m) 
µ --Constante trigonométrica 3,1415 
 
12.3 COMPRIMENTO LIVRE DE FLAMBAGEM 
Engastada e livre lf = 2l 
Biarticulada lf = l 
Articulada e engastada lf = 0,7 l 
Engastada lf = 0,5 l 
 
 
100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.4 ÍNDICE DE ESBELTEZ (λ) 
 
 
Onde: 
 --Índice de esbeltez (admensional) 
 --Comprimento de flambagem (m) 
 --Raio de giração mínimo (m) 
 
12.5 TENSÃO CRITICA(σcr) 
Deverá ser sempre menor ou igual a tensão de proporcionalidade do material. Região elástica: 
 
Onde: 
σcr --Tensão crítica (Pa) 
 --Constante – 3,1418 
E-- Módulo de elasticidade do material ( Pa) 
λ-- Índice de Esbeltez - (admensional) 
 
 
 
 
101 
 
12.6 FLAMBAGEM NAS BARRAS NO CAMPO DAS DEFORMAÇÕES 
 
Elastoplásticas 
Quando ultrapassa a tensão de proporcionalidade do material, a fórmula de Euler perde a sua 
validade. Portanto segue-se fórmulas. 
 
12.7 NORMAS 
ABNT NB14 (Aço) 
ABNT NB11 (madeira) 
NB1 (Concreto) 
 
12.8 EXERCÍCIOS 
 
1) Determinar λ para o aço de baixo carbono, visando ao domínio da fórmula de Euler. 
P= 190 MPa; Eaço= 210 GPa 
Para determinar o domínio. 
 
 
 
Conclui –se que para o aço de baixo carbono, a fórmula de Euler é válida para λ >105. 
 
2) Determinar o índice de Esbeltez (λ), visando ao domínio da equação de Euler para os 
seguintes materiais: 
 
a) Fofo 
 
 
 
Utiliza-se a Fórmula de Euler para fofo quando o λ > 80. 
b) Duralumínio 
102 
 
 
 
 
Utiliza-se a Fórmula de Euler para o Duralumínio quando o índice de esbeltez λ >59. 
 
c) Pinho 
 
 
 
Utiliza-se a Fórmula de Euler para o pinho quando o índice de esbeltez λ >100. 
 
3) A figura dada representa uma barra de aço ABNT 1020 que possui d=50 mm. Determinar o 
comprimento mínimo, para que possa ser aplicada a equação de Euler. 
λ > 105 (aço doce) 
λ = Peça duplamente engastada 
 Lf = 0,5 l 
 imin = 
 
 
 
 
4) Duas barras de mesmo comprimento e material serão submetidas à ação de uma carga axial P 
de compressão. Uma das barras possui secção transversal circular com diâmetro a e a outra 
possui secção transversal quadrada de lado a. Verificar qual das barras é a mais resistente, sob o 
regime de Euler. 
103 
 
As barras possuem o mesmo tipo de fixação nas extremidades. 
Como as cargas são da mesma intensidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A barra de secção transversal quadrada é mais resistente 
 
5) Uma barra articulada circular de material ABNT 1020, possui comprimento l=1,2m e 
diâmetro= 34 mm. 
Determinar a carga axial de compressão máxima que poderá ser aplicada na barra, admitindo-se 
um coeficiente de segurança K= 2 Eaço= 210 GPa. 
lF = l = 1,2 m 
a) Índice de Esbeltez 
imin = 
 
Como λ >105, logo está no domínio de Euler. 
b) Carga crítica 
 
104 
 
 
 
6) Uma biela, de material ABNT 1025, possui secção circular, encontra-se articulada nas 
extremidades, e submetida à carga axial de compressão de 20 KN, sendo o seu comprimento 
l=0,8 m. Determinar o diâmetro da biela, admitindo-se coeficiente de segurança K=4. 
 
 
 
 
 
E = 210 GPa 
 
Pcr = 4x20 = 80 KN 
 
 
 
 
 
 
 
Como λ >105, logo está no domínio de Euler. 
 
 
105 
 
 
12.9 LISTA DE EXERCICIOS - FLAMBAGEM 
 
1) A figura dada representa uma barra de aço ABNT 1020 que possui d=40 mm. Determinar o 
comprimento mínimo, para que possa ser aplicada a equação de Euler. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Duas barras de mesmo comprimento e material serão submetidas a ação de uma carga axial P 
de compressão. Uma das barras possui secção transversal circular com diâmetro (d) e a outra 
possui secção quadrada de lado (d). Verificar qual das barras é a mais resistente, sob o 
regime de Euller. 
As barras possuem o mesmo tipo de fixação nas extremidades. 
 
 
 
 
3) Uma barra biarticulada de material ABNT 1020, possui comprimento L=1,5 m e diâmetro= 
44mm. Determinar a carga axial de compressão máxima que poderá ser aplicada na barra, 
admitindo-se um coeficiente de segurança K=2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
106 
 
4) Uma biela de material ABNT 1025, possui secção circular, encontra-se articulada nas 
extremidades, é submetida à carga axial de compressão de 30 KN, sendo o seu comprimento 
l=0,9 m. Determinar o diâmetro da biela, admitindo-se coeficiente de segurança K=4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Todas as fórmulas encontram-se nos exercícios resolvidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
107 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
1) BEER, F. P., JOHNSTON Jr. R. Resistência dos materiais. 3ed. São Paulo, Makron Books, 
1996. 
2) BEER, F. P., JOHNSTON Jr., R. Mecânica vetorial para engenheiros - estática. 5ed. São 
Paulo, Makron Books, 2004. 
3) BORESI, A. P., SCHMIDT, R. J. Estática. São Paulo, Thomson, 2003. 
4) FUSCO, P. B. Construções de concreto solicitações tangenciais: introdução – combinação 
de ações – força cortante – conceitos básicos. São Paulo: EPUSP/PEF, 1981. 
5) GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. São Paulo, Thomson, 2003. 
6) HIBBELLER, R. C. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro, LTC, 1997. 
7) LANGENDONCK, T. Resistência dos materiais: tensões. Rio de Janeiro: Científica, 1956. 
8) MELCONIAN, S. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 13ed. São Paulo, Érica, 
2002. 
9) NASH W. A. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1971. 
10) TIMOSHENKO, S. P., GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 1989. v. 1.