RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Aula 6 - Barras carregadas axialmente

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
PARA ENGENHARIA CARTOGRÁFICA E 
DE AGRIMENSURA
AULA 6: BARRAS CARREGADAS AXIALMENTE - DEFORMAÇÕES, DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO, 
LEI DE HOOKE, MÓDULO DE ELASTICIDADE, TENSÃO ADMISSÍVEL, COEFICIENTE DE POISSON
Universidade Federal do Piauí - UFPI
Centro de Tecnologia - CT
Departamento de Estruturas - DE
Professora: Eunice Silva Santos
➢ Um outro aspecto importante da análise e projeto de estruturas relaciona-
se com as deformações produzidas pelas cargas aplicadas a uma estrutura.
➢ A análise das deformações é importante para se evitar deformações 
grandes o suficiente que possam impedir a estrutura de atender à 
finalidade para a qual ela foi destinada, mas essa análise também pode 
nos ajudar na determinação das tensões.
➢ Análise das Deformações:
✓ Vamos considerar uma barra BC, de comprimento L e com seção 
transversal uniforme de área A, que está suspensa em B. Se aplicarmos 
uma força P à extremidade C, a barra tem um alongamento (𝜹).
✓ E definimos deformação específica normal (𝜺) em uma barra sob 
carregamento axial como a deformação por unidade de comprimento da 
barra.
𝜀 =
𝛿
𝐿
onde 𝐿 é comprimento inicial da barra.
DEFORMAÇÕES
➢ Construindo o gráfico da tensão 𝜎 = Τ𝑃 𝐴 em função da deformação específica 
𝜀 = Τ𝛿 𝐿, obtemos uma curva característica das propriedades do material que 
não depende das dimensões do corpo de prova utilizado e sim do material que 
constitui o corpo. Essa curva é chamada de diagrama tensão-deformação.
➢ Por meio desse diagrama podemos determinar algumas propriedades 
importantes do material, como seu módulo de elasticidade, e se o material é 
dúctil ou frágil, tensões e deformações limites.
➢ Para obter o diagrama tensão-deformação de um material, geralmente se 
executa um ensaio de tração em um corpo de prova do material. 
✓ A área da seção transversal da parte central cilíndrica do corpo de prova foi 
determinada com precisão e foram feitas duas marcas de referência naquela 
parte a uma distância 𝑳𝟎 uma da outra. A distância 𝐿0 é conhecida como 
comprimento de referência do corpo de prova.
✓ O corpo de prova é então colocado em uma máquina de teste, utilizada para 
aplicar uma carga centrada 𝑷. À medida que a carga P aumenta, a distância 𝑳
entre as duas marcas de referência também aumenta.
✓ A distância 𝐿 é medida com um extensômetro, e o alongamento δ = 𝐿 − 𝐿0 é 
registrado para cada valor de 𝑃.
TENSÕES e DEFORMAÇÕES
Diagrama Tensão-Deformação
➢ É possível distinguir algumas características comuns entre os diagramas tensão-
deformação de vários grupos de materiais e, assim, dividir os materiais em duas categorias 
principais com base nessas características, ou seja, materiais dúcteis e materiais frágeis.
➢ Os materiais dúcteis, como o aço estrutural e as ligas de muitos outros metais, são 
caracterizados por sua capacidade de escoar na temperatura ambiente.
✓ À medida que o corpo de prova é submetido a uma carga crescente, seu comprimento 
aumenta linearmente a uma taxa muito baixa, inicialmente. Assim, a parte inicial do 
diagrama tensão-deformação é uma linha reta com inclinação bastante acentuada. No 
entanto, após alcançar um valor crítico de tensão 𝜎𝐸 , o corpo de prova sofre uma 
grande deformação com aumento relativamente pequeno da carga aplicada.
✓ A tensão 𝝈𝑬, na qual o escoamento é iniciado, é chamada de resistência ao 
escoamento do material, a tensão 𝝈𝑳 correspondente à carga máxima aplicada ao 
corpo de prova é conhecida como limite de resistência, e a tensão 𝝈𝑹, 
correspondente à ruptura, é chamada de resistência à ruptura.
TENSÕES e DEFORMAÇÕES
Diagrama Tensão-Deformação
➢ Comportamento elástico
✓ A tensão é proporcional à deformação.
✓ O material é linearmente elástico.
➢ Escoamento
✓ Um pequeno aumento na tensão acima do limite de 
elasticidade resultará no colapso do material e fará com que 
ele se deforme permanentemente.
➢ Endurecimento por deformação
✓ Quando o escoamento tiver terminado, pode-se aplicar uma 
carga adicional ao corpo de prova, o que resulta em uma curva 
que cresce continuamente, mas torna-se mais achatada até 
atingir uma tensão máxima denominada limite de resistência.
➢ Estricção
➢ Diagrama tensão-deformação real
TENSÕES e DEFORMAÇÕES
Diagrama Tensão-Deformação
➢ Estricção
✓ No limite de resistência, a área da seção transversal começa a 
diminuir em uma região localizada do corpo de prova.
✓ O corpo de prova quebra quando atinge a tensão de ruptura.
➢ Diagrama tensão-deformação real
✓ Os valores da tensão e da deformação calculados por essas 
medições são denominados tensão real e deformação real.
✓ Use este diagrama já que a maioria dos projetos de engenharia é 
feito dentro da faixa elástica.
✓ O comportamento da tensão-deformação de materiais dúcteis e 
frágeis
✓ Materiais dúcteis: Material que possa ser submetido a grandes 
deformações antes de sofrer ruptura é denominado material 
dúctil.
✓ Materiais frágeis: Materiais que exibem pouco ou nenhum 
escoamento antes da falha são denominados materiais frágeis.
TENSÕES e DEFORMAÇÕES
Diagrama Tensão-Deformação
➢ Materiais frágeis, que incluem ferro fundido, vidro e pedra.
✓ São caracterizados pelo fato de que a ruptura ocorre sem nenhuma mudança prévia notável na taxa de alongamento. 
✓ Para os materiais frágeis, não há diferença entre o limite de resistência e a resistência à ruptura. 
✓ A deformação no instante da ruptura é muito menor para materiais frágeis que para materiais dúcteis.
TENSÕES e DEFORMAÇÕES
Diagrama Tensão-Deformação
➢ Em geral, as estruturas em engenharia são projetadas para sofrer deformações relativamente 
pequenas, que envolvem somente a parte linear do correspondente diagrama tensão-
deformação. Para essa parte inicial do diagrama, a tensão σ é diretamente proporcional à 
deformação específica ε:
𝝈 = 𝑬 ∙ 𝜺
➢ Essa relação é conhecida como lei de Hooke, onde:
✓ o coeficiente 𝑬 é chamado de módulo de elasticidade do material envolvido, ou também 
módulo de Young,
✓ a deformação específica 𝜺 é uma quantidade adimensional, 
✓ o módulo 𝐸 é expresso nas mesmas unidades da tensão. 
➢ O maior valor da tensão para o qual a lei de Hooke pode ser utilizada para determinado material 
é conhecido como o limite de proporcionalidade daquele material. No caso dos materiais dúcteis 
que possuem um ponto de escoamento bem definido, o limite de proporcionalidade quase 
coincide com o ponto de escoamento.
➢ Comportamentos Elástico e Plástico.
TENSÕES e DEFORMAÇÕES
Lei de Hooke e o Módulo de Elasticidade
➢ Carga admissível e tensão admissível e o Coeficiente de Segurança
✓ A carga máxima que um elemento estrutural ou um membro de máquina poderá suportar sob condições normais de utilização é 
consideravelmente menor que o valor da carga-limite, essa carga menor é conhecida como carga admissível e, às vezes, como carga de 
trabalho ou carga de projeto.
✓ Somente uma fração do limite da capacidade de carga do elemento é utilizada quando aplicada à carga admissível. A parte restante da 
capacidade de carga do elemento é mantida na reserva para garantir seu desempenho com segurança. 
✓ A relação entre a carga-limite e a carga admissível é utilizada para definir o coeficiente de segurança:
𝐶. 𝑆.=
carga − limite
carga − admissível
𝐶. 𝑆. =
tensão − limite
tensão − admissível
Método das Tensões Admissíveis
TENSÕES e DEFORMAÇÕES
Tensão Admissível
➢ Considerando a barra homogênea BC de comprimento L e seção transversal uniforme de 
área A submetida a uma força axial centrada P. Se a tensão axial resultante 𝜎 = 𝑃/𝐴 não 
ultrapassar o limite de proporcionalidade do material, podemos aplicar a lei de Hooke
𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀
onde:
σ =
P
A
e 𝜀 =
𝛿
𝐿
P
A
= 𝐸 ∙
𝛿
𝐿
𝜹 =
𝑷 ∙ 𝑳
𝑬 ∙ 𝑨
✓ A equação só pode ser utilizada se a barra for homogênea (E constante), se tiver 
uma seção transversal uniforme de área A e se tiver a força aplicada em suas 
extremidades.
TENSÕES e DEFORMAÇÕES
Deformações sob carregamento axial
➢Revisando:
✓ Quando uma barra delgada homogênea é carregada axialmente por uma carga 𝑃, a tensão 
(𝜎 = Τ𝑃 𝐴) e a deformação específica (𝜀𝑥) resultantes satisfazem a lei de Hooke (𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀), 
desde que o limite de elasticidade do material não seja excedido.
✓ As tensões normais nas faces, respectivamente, perpendiculares aos eixos 𝑦 e 𝑧 são iguais a 
zero: 𝜎𝑦 = 𝜎𝑧 = 0. No entanto, as deformações específicas correspondentes 𝜀𝑦 e 𝜀𝑧 não são 
iguais a zero.
➢ Coeficiente de Poisson
✓ Em todos os materiais de engenharia, a deformação produzida por uma força axial de tração 
𝑷 na direção da força é acompanhada por uma contração em qualquer direção transversal.
✓ Para materiais homogêneos e isotrópicos, o coeficiente de Poisson é o parâmetro do material 
que relaciona as deformações específicas transversal (lateral) e longitudinal (axial).
TENSÕES e DEFORMAÇÕES
Deformações sob carregamento axial
𝝂 = −
𝜺𝑻
𝜺𝑳
𝝂 = −
𝜺𝒚
𝜺𝒙
= −
𝜺𝒛
𝜺𝒙
➢ Coeficiente de Poisson
✓ Para barras carregadas axialmente que satisfazem a Lei de Hooke (𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀), considerando o coeficiente de Poisson do material que a 
constitui, as deformações especificas nas direções x (axial), y e z (transversais) podem ser escritas da seguinte forma:
➢ Lei de Hooke Generalizada
✓ Em elementos estruturais submetidos a cargas que atuam nas direções dos três eixos coordenados e produzem tensões normais 𝝈𝒙, 𝝈𝒚 e 𝝈𝒛
que são todas diferentes de zero, conhecido como carregamento multiaxial, as relações entre tensões e deformações são escritas assim:
TENSÕES e DEFORMAÇÕES
Deformações sob carregamento axial
𝜺𝒚 = 𝜺𝒛 = −𝝂𝜺𝒙𝜺𝒙 =
𝝈𝒙
𝑬
𝜺𝒚 = 𝜺𝒛 = −
𝝂 ⋅ 𝝈𝒙
𝑬
𝜺𝒙 =
𝝈𝒙
𝑬
− 𝝂
𝝈𝒚
𝑬
− 𝝂
𝝈𝒛
𝑬
𝜺𝒚 =
𝝈𝒚
𝑬
− 𝝂
𝝈𝒙
𝑬
− 𝝂
𝝈𝒛
𝑬
𝜺𝒛 =
𝝈𝒛
𝑬
− 𝝂
𝝈𝒙
𝑬
− 𝝂
𝝈𝒚
𝑬
𝜺𝒙 =
𝟏
𝑬
𝝈𝒙 − 𝝂 𝝈𝒚 + 𝝈𝒛
𝜺𝒚 =
𝟏
𝑬
𝝈𝒚 − 𝝂 𝝈𝒙 + 𝝈𝒛
𝜺𝒛 =
𝟏
𝑬
𝝈𝒛 − 𝝂 𝝈𝒙 + 𝝈𝒚
𝝈𝒙 = 𝝀
𝜺𝒙
𝝂
+
𝟏
𝟏 − 𝝂
𝜺𝒚 + 𝜺𝒛
𝝈𝒚 = 𝝀
𝜺𝒚
𝝂
+
𝟏
𝟏 − 𝝂
𝜺𝒙 + 𝜺𝒛
𝝈𝒛 = 𝝀
𝜺𝒛
𝝂
+
𝟏
𝟏 − 𝝂
𝜺𝒙 + 𝜺𝒚
∴ 𝝀 =
𝑬 ∙ 𝝂
𝟏 + 𝝂 𝟏 − 𝟐𝝂
➢ Exemplo
✓ O bloco de aço mostrado na figura abaixo está submetido a uma pressão uniforme em todas as suas faces. Sabendo que a variação no
comprimento da aresta AB é 0,03 mm, determine (a) a variação no comprimento das outras arestas e (b) a pressão p aplicada às faces do 
bloco. Suponha 𝐸 = 200 GPa e 𝜈 = 0,29.
TENSÕES e DEFORMAÇÕES
Deformações sob carregamento axial
➢ Dilatação volumétrica
✓ Avaliando o efeito das tensões normais no volume de um elemento de material isotrópico. Em seu estado livre de tensões, ele está na forma 
de um cubo de volume unitário, e sob as tensões 𝜎𝑥, 𝜎𝑦 e 𝜎𝑧, ele se deforma transformando-se em um paralelepípedo retangular de volume:
𝜐 = 1 + 𝜀𝑥 1 + 𝜀𝑦 1 + 𝜀𝑧
𝝊 = 𝟏 + 𝜺𝒙 + 𝜺𝒚 + 𝜺𝒛
✓ Designando por 𝑒 a variação do volume de nosso elemento:
𝑒 = 𝜈 − 1 = 1 + 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 − 1
ⅇ = 𝜺𝒙 + 𝜺𝒚 + 𝜺𝒛
✓ Como o elemento tinha originalmente um volume unitário, a quantidade ⅇ representa a variação em volume por unidade de volume. Ela é 
conhecida como dilatação volumétrica específica do material. Escrevendo em termos de tensão:
𝑒 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧
𝐸
−
2𝜈 ∙ 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧
𝐸
ⅇ =
𝟏 − 𝟐𝝂
𝑬
∙ 𝝈𝒙 + 𝝈𝒚 + 𝝈𝒛
TENSÕES e DEFORMAÇÕES
Deformações sob carregamento axial
➢ Módulo de Compressibilidade Volumétrica
✓ Um caso de interesse especial é aquele de um corpo sujeito a uma pressão hidrostática uniforme p. Cada uma das componentes de
tensão é então igual a −𝑝, a equação de dilatação volumétrica específica fica:
ⅇ = −
𝟑 𝟏 − 𝟐𝝂
𝑬
𝒑
Chamando o módulo de compressibilidade volumétrica do material de temos:
ⅇ = −
𝒑
𝒌
TENSÕES e DEFORMAÇÕES
Deformações sob carregamento axial
𝒌 =
𝑬
𝟑 𝟏 − 𝟐𝝂
,
➢ Deformação de cisalhamento
✓ Na situação de estado de tensão mais geral representada na figura ao lado, além das tensões normais 𝜎𝑥, 𝜎𝑦
e 𝜎𝑧, estarão presentes as tensões de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦, 𝜏𝑦𝑧 e 𝜏𝑧x.
✓ As tensões de cisalhamento tenderão a deformar um elemento em forma de cubo do material 
transformando-o em um paralelepípedo oblíquo.
✓ Dois dos ângulos formados pelas quatro faces sob tensão são reduzidos de 
𝜋
2
para 
𝜋
2
− 𝛾𝑥𝑦 , enquanto os 
outros dois são aumentados de 
𝜋
2
para 
𝜋
2
+ 𝛾𝑥𝑦. 
✓ O pequeno ângulo 𝜸𝒙𝒚 (expresso em radianos) define a deformação de cisalhamento correspondente às 
direções x e y. Lei de Hooke para tensão e deformação de cisalhamento:
𝝉𝒙𝒚 = 𝑮 ∙ 𝜸𝒙𝒚
𝝉𝒚𝒛 = 𝑮 ∙ 𝜸𝒚𝒛
𝝉𝒛𝒙 = 𝑮 ∙ 𝜸𝒛𝒙
TENSÕES e DEFORMAÇÕES
Deformações de cisalhamento
𝑮 =
𝑬
𝟐 𝟏 + 𝝂