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Mecanica1 UVA Aula 2 2015 1

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Profº Orlando Sodré Gomes 
M
e
c
â
n
ic
a
 
1
 
Aula 2 
2015.1 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
ROTAÇÃO 
A rotação de um corpo rígido 
animado em torno de um eixo fixo 
pode ser definida pelo movimento 
de uma PLACA REPRESENTATIVA em 
um plano de referência 
perpendicular ao eixo de rotação. 
ROTAÇÃO DE PLACA REPRESENTATIVA 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
ROTAÇÃO 
Substituindo: 
ROTAÇÃO DE PLACA REPRESENTATIVA 
Em: 
Decompondo a nas direções 
TANGENCIAL e NORMAL, teremos: 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
ROTAÇÃO 
1. MOVIMENTO DE ROTAÇÃO UNIFORME 
Este caso se caracteriza por uma aceleração NULA. Assim, a velocidade 
angular é constante, e a coordenada angular é dada pela expressão: 
MOVIMENTOS DE ROTAÇÃO 
2. MOVIMENTO DE ROTAÇÃO UNIFORMEMENTE ACELERADO 
Neste caso a aceleração angular é constante. 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
ROTAÇÃO 
O peso B está ligado a uma polia dupla por 
um dos dois cabos inextensíveis mostrados na 
figura ao lado. O movimento da polia é 
controlado pelo cabo C, que tem uma 
aceleração constante de 0,229 m/s² e uma 
velocidade inicial de 0,305 m/s, ambas para a 
direita. 
1º EXERCÍCIO DE ROTAÇÃO 
Determine: 
a) O número de revoluções executadas pela polia em 2 s. 
b) A velocidade e a variação da posição do peso B depois de 2 s. 
c) A aceleração do ponto D na periferia da polia interna, no instante 
inicial. 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
a) Movimento da Polia - Uma vez que o cabo é 
inextensível (o cabo não escorrega sobre a polia), a 
velocidade do ponto D é igual à velocidade do 
ponto C e a componente tangencial da 
aceleração D é igual à aceleração de C. 
Observando que a distância de D ao centro da polia é de 7,62 cm: 
30,5 cm/s 
7,62 cm 
4,00 rad/s 
7,62 cm 
22,9 cm/s² 
3,00 rad/s² 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
Usando as equações do MOVIMENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO, 
obtemos, para t = 2s, 
a) O número de revoluções executadas pela polia em 2 s. 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
b) Movimento da carga B - Usando as 
seguintes relações entre movimento 
linear e angular, com r = 12,7 cm: 
 = (10 rad/s) . (0,127 m) 
 = (14 rad) . (0,127 m) 
b) A velocidade do peso B depois de 2 s. 
b) A variação da posição do peso B depois de 2 s. 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
c) Aceleração do ponto D em t = 0 – O 
componente tangencial de aceleração é: 
Como, em t = 0, 4,00 rad/s , o compo - 
nente normal da aceleração é: 
(4 rad/s)² . (0,0762 m) 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
O módulo, a direção e o sentido da 
aceleração total podem ser obtidos da 
figura ao lado e da trigonometria: 
1,22 m/s² 
0,229 m/s² 
= 5,3275 
ø = arc tg 5,3275 ø = 79,4° 
ø = 
1,22 m/s² 
0,9829 
c) A aceleração do ponto D na periferia da polia interna, no instante inicial. 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
Quando um motor elétrico é ligado, ele alcança sua 
velocidade nominal de 3.300 rpm em 6s, e quando é 
desligado, o motor livre atinge o repouso em 80s. 
Admitindo um movimento uniformemente acelerado. 
ROTAÇÃO 
2º EXERCÍCIO DE ROTAÇÃO 
Determine: 
a) O número de revoluções que o motor executa para alcançar sua 
velocidade nominal 
b) O número de revoluções que o motor executa para atingir o repouso. 
3300 rev 
1 min 
3300 rev 
60 s 
55 rev 
s 
1 rev = 2π rad 
55 . 2π rad 
s 
110 π rad/s 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
Usando as equações do MOVIMENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO, 
obtemos, para t = 6s, 
a) O número de revoluções que o motor executa 
para alcançar sua velocidade nominal 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
Quando 
b) O número de revoluções que o motor executa para atingir o repouso. 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
Um dispositivo simples de acionamento por 
atrito consiste em dois discos A e B. 
Inicialmente, o disco A tem uma velocidade 
angular de 500 rpm e o disco B encontra-se 
em repouso. Sabe-se que o disco A chegará 
livremente ao repouso em 60 s. Entretanto, 
em vez de esperar até que ambos os discos 
estejam em repouso para pô-los em contato, 
uma aceleração angular constante de 2,5 
rad/s² é aplicada ao disco B no sentido 
horário. 
ROTAÇÃO 
3º EXERCÍCIO DE ROTAÇÃO 
Determine: 
a) Em que instante os discos podem ser postos em contato para não haver 
deslizamento. 
b) A velocidade angular de cada disco quando o contato é estabelecido. 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
Disco A 
Disco A chegará livremente ao repouso em 60 s 
60 s 
- 52.36 rad/s 
= 
Disco B 
No instante t 0 + 2,5 rad/s².t 
500 rev 
1 min 
1 rev = 2π rad 
8,33 rev 
s 
500 rev 
60 s 
8,33 . 2π rad 
s 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
Disco A 
a) Em que instante os discos podem ser postos em contato para não haver 
deslizamento. 
3 in 3 x 25,4 mm 76,2 mm 80 mm 
b) A velocidade angular de cada disco quando o contato é estabelecido. 
43,1 rad/s 
2π rad 
6,863 x 60 
0 + 2,5(10,61) 
26,53 rad/s 
2π rad 
4,225 x 60 
rB = 5 in = 5 x 25,4 mm = 127 mm = 130 mm 
(130 mm) (2,5t) 325t 
394,813t 10,61 s 
(10,61) 
43,1 412 rpm 
(10,61) 
26,53 rad/s 254 rpm 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
MOVIMENTO PLANO GERAL 
Movimento Plano Geral é um movimento plano que não é uma TRANSLAÇÃO nem 
uma ROTAÇÃO. Todavia, um MOVIMENTO PLANO GERAL pode ser sempre considerado 
como a soma de uma translação e de uma rotação. 
Uma roda que rola sobre uma pista reta, durante um certo intervalo de tempo, dois 
pontos A e B, se moverão de A1 até A2 e de B1 até B2 respectivamente. O mesmo 
resultado poderia ser obtido por meio de uma translação que levaria A e B para A2 e 
B’1 (com a linha AB permanecendo na vertical), seguida de uma rotação em torno de 
A para trazer B até B2. Embora o movimento original de rolamento difira da 
combinação de translação e rotação quando esses movimentos são considerados 
em sucessão, o movimento original pode ser duplicado exatamente por uma 
combinação de TRANSLAÇÃO e ROTAÇÃO simultâneas. 
1º EXEMPLO 
Movimento Plano Translação com A = Rotação com A + 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
MOVIMENTO PLANO GERAL 
Uma barra roda cujas as extremidades deslizam ao longo de uma pista horizontal e de 
uma vertical, respectivamente. 
Esse movimento pode ser substituído por uma TRANSLAÇÃO em uma direção horizontal 
e uma ROTAÇÃO em torno de A. 
2º EXEMPLO 
Ou por uma TRANSLAÇÃO em uma direção vertical e uma ROTAÇÃO em torno de B. 
Movimento Plano = Translação com A Rotação em torno de A + 
Movimento Plano = Translação com A Rotação em torno de A + 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
MOVIMENTO PLANO GERAL 
VELOCIDADE ABSOLUTA E VELOCIDADE RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO 
A VELOCIDADE ABSOLUTA VB de uma partícula B da placa é obtida a 
partir da fórmula da velocidade relativa, descrita a seguir: 
A velocidade VA corresponde à translação da placa junto com A, 
enquanto a velocidade relativa VA/B está associada à rotação da placa em 
torno de A e é medida em relação aos eixos centrados em A , de orientação 
fixa. Representado por rB/A o vetor de posição de B relativo a A e por ωk a 
velocidade angular da placa em relação aos eixos de orientaçãox’ e y”. 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
MOVIMENTO PLANO GERAL 
VELOCIDADE ABSOLUTA E VELOCIDADE RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO 
Movimento Plano = Translação com A Rotação em torno de A + 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
MOVIMENTO PLANO GERAL 
VELOCIDADE ABSOLUTA E VELOCIDADE RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO 
Examinaremos novamente a barra deslizante AB. Considerando que a 
velocidade VA da extremidade A é conhecida, nos propomos encontrar a 
velocidade VB da extremidade B e a velocidade angular ω da barra em 
termos da velocidade VA, do comprimento l e do ângulo ɵ. 
Movimento Plano = Translação com A Rotação em torno de A + 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
MOVIMENTO PLANO GERAL 
VELOCIDADE ABSOLUTA E VELOCIDADE RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO 
O mesmo resultado pode ser obtido usando-se B como ponto de 
referência. 
Rotação em torno de A + Translação com A = Movimento Plano 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
MOVIMENTO PLANO GERAL 
ACELERAÇÃO ABSOLUTA E ACELERAÇÃO RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO 
A ACELERAÇÃO ABSOLUTA aB de uma partícula B da placa é obtida a 
partir da fórmula da aceleração relativa, descrita a seguir: 
A aceleração aA corresponde à translação da placa junto com A, 
enquanto a aceleração relativa aB/A está associada à rotação da placa em 
torno de A e é medida em relação aos eixos centrados em A , de orientação 
fixa. 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
MOVIMENTO PLANO GERAL 
ACELERAÇÃO ABSOLUTA E ACELERAÇÃO RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO 
A ACELERAÇÃO RELATIVA aB/A pode ser decomposta em dois 
componentes, um Componente Tangencial (aB/A)t perpendicular à linha AB e um 
Componente Normal (aB/A)n orientado para A. 
Representado por rB/A o vetor de posição de B relativo a A e, 
respectivamente, por ωK e αK a velocidade angular e a aceleração angular 
da placa em relação aos eixos de orientação fixa, temos: 
Rotação em torno de A + Translação com A = Movimento Plano 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
MOVIMENTO PLANO GERAL 
ACELERAÇÃO ABSOLUTA E ACELERAÇÃO RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO 
Examinaremos novamente a barra deslizante AB. Considerando que a 
velocidade e a aceleração VA e aA da extremidade A são conhecidas, nos 
propomos determinar a aceleração aB da extremidade B e a aceleração 
angular α da barra. Escolhendo A como um ponto de referência, 
estabelecemos que o movimento dado é equivalente a uma TRANSLAÇÃO 
junto com A e a uma ROTAÇÃO em torno de A. 
A ACELERAÇÃO ABSOLUTA de B 
deve ser igual à soma: 
Onde, (aB/A)n tem a intensidade lω² 
e é orientada para A, enquanto 
(aB/A)t tem intensidade lα e é 
perpendicular a AB. 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
MOVIMENTO PLANO GERAL 
ACELERAÇÃO ABSOLUTA E ACELERAÇÃO RELATIVA NO MOVIMENTO PLANO 
Rotação em torno de A + Translação com A = Movimento Plano 
No caso do polígono (a), escrevemos: 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
O centro da engrenagem dupla 
mostrada na figura rola sobre a 
cremalheira inferior fixa, sendo a 
velocidade de seu centro A de 1,2 
m/s para a direita e uma aceleração 
de 3 m/s² para a direita. 
MOVIMENTO PLANO GERAL 
1º EXERCÍCIO DE MOVIMENTO PLANO GERAL 
Determine: 
a) A velocidade angular da engrenagem. 
b) As velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem. 
c) A aceleração angular da engrenagem. 
d) A aceleração dos pontos B, C e D da engrenagem. 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
a) A velocidade angular da engrenagem. 
Uma vez que a engrenagem rola sobre a cremalheira inferior, seu centro A 
desloca-se por meio de uma distância igual ao perímetro da circunferência 
externa 2πr1 a cada revolução completa da engrenagem. 
1 rev = 2π rad 
Quando A desloca-se para a direita xA > 0 
A engrenagem gira no sentindo horário ɵ < 0 
Diferenciando em relação ao tempo t e substituindo os valores conhecidos: 
VA = 1,2 m/s r1 = 150 mm = 0,150 m 
Onde k é um vetor unitário que aponta para fora do papel. 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
b) As velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem. 
O movimento de rolamento é decomposto em dois movimentos 
componentes: Uma TRANSLAÇÃO junto com o centro A e uma ROTAÇÃO 
em torno do centro A. Na translação, todos os pontos da engrenagem 
deslocam-se com a mesma velocidade VA. 
Na rotação, cada ponto P da engrenagem desloca-se em torno de A com 
uma VELOCIDADE RELATIVA: 
Rotação + Translação = Movimento de Rolamento 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
b) A velocidade da cremalheira superior R. 
A velocidade da cremalheira superior é igual à velocidade do ponto B: 
b) A velocidade do ponto D da engrenagem. 
VD² = (1,2 m/s)² + (1,2 m/s)² 
APLICANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
d) A aceleração dos pontos B, C e D da engrenagem. 
c) A aceleração angular da engrenagem. , , 
Rotação + Translação = Movimento de Rolamento 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
d) A aceleração do ponto B da engrenagem. 
Somando vetorialmente as acelerações correspondentes à translação e à 
rotação, obtemos: 
= (3 m/s²)i – (20 rad/s²)k x (0,100 m)j – (64 rad/s²) . (0,100 m)j 
= (3 m/s²)i + (2 m/s²)i – (6,4 m/s²)j = (5 m/s²)i – (6,4 m/s²)j 
aB² = (5 m/s²)²i + (6,4 m/s²)²j aB² = 25 (m/s²)²i + 40,96 (m/s²)²j 
6,4 m/s² 
5 m/s² 
= 1,28 
ø = arc tg 1,28 = 52° 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
d) A aceleração do pontos C da engrenagem. 
Somando vetorialmente as acelerações correspondentes à translação e à 
rotação, obtemos: 
= (3 m/s²)i – (3 m/s²)i – (64 rad/s²) . (– 0,150 m)j 
= (3 m/s²)i – (3 m/s²)i + (9,6 m/s²)j 
De 
UNIDADE 1 – CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 
d) A aceleração do pontos D da engrenagem. 
Somando vetorialmente as acelerações correspondentes à translação e à 
rotação, obtemos: 
= (3 m/s²)i – (20 rad/s²)k x (– 0,150 m)i – (64 rad/s²) . (– 0,150 m)i 
aD² = (12,6 m/s²)²i + (3 m/s²)²j 
= (3 m/s²)i + (3 m/s²)j + (9,6 m/s²)i 
aD² = 158,76 (m/s²)²i + 9 (m/s²)²j 
3 m/s² 
12,6 m/s² 
= 0,238 
ø = arc tg 0,238 = 13,4° 
 Introdução à Engenharia. Florianópolis: UFSC, 2000. 
Referências Bibliográficas 
•BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para 
Engenheiros: Estática. 3ª. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 
1980. 
• BEER, F. P., JOHNSTON, E. R e CORNWELL, P. J. Mecânica 
Vetorial para Engenheiros: Dinâmica. 9ª. ed. Porto 
Alegre: McGraw-Hill, 2012.

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