Apostilas Calculo II

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Disciplina: CÁLCULO II 
Professor(a): Bruna Dias de Carvalho 
 
 
 CURSO – MATEMÁTICA – NOTURNO 
 
PROFESSORA: Bruna Dias de Carvalho DISCIPLINA: Cálculo II 
 
 
Integrais Múltiplas – parte 1 
 
 Motivação: Encontrar o volume acima do plano xy e abaixo do gráfico da função 
; onde . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aproximação: 
 
; ; ; 
. 
 
; 
; 
; 
. 
 
 O volume de pode ser aproximado por . 
 Temos ainda onde 1 é a área do quadrado da base, ou seja, aproximamos 
o volume pela soma . 
 Aumentando o número de divisões do domínio devemos obter uma melhor aproximação do 
volume do sólido . 
 
 
 
 
 
ENG PROD TURMA: EPN3 DATA: 2014 
EXCELÊNCIA UNIVERSITÁRIA 
NA FORMAÇÃO DE PROFISSIONAIS 
COMPROMETIDOS 
COM A VIDA 
E A TRANSFORMAÇÃO SOCIAL. 
ALUNO: 
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Regiões do Plano 
 
 Região do tipo I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Região do tipo II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Todas as regiões do plano com as quais trabalharemos podem ser decompostas em um 
número finito de regiões do tipo I e/ou tipo II. 
 
 
 
 
 
 
 
 Dada uma região , desta forma, estará contida em um retângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dividiremos em retângulos menores. 
 Sejam os retângulos contidos em . 
 Além disto, tomemos para cada um ponto . 
 Seja a área de cada retângulo. 
 A soma é denominada uma soma de Riemann da partição de e 
da função . 
 Seja a partição de . 
 Definimos a norma de como o comprimento da maior diagonal dos . 
 Definimos a integral da função , definida na região , como: 
 
 
 
se esse limite existir e não depender da escolha dos pontos . 
 
Notação: 
 
Uma função é dita integrável sobre a região R se existe 
Propriedades da Integral 
 
1. 
 
 
2. 
 
 
3. 
 
4. Se para todo então 
 
 
Integrais Interadas 
 
 
 uma função contínua em 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Integral parcial de em relação a : 
 
 
Fixe e integre em relação a . 
 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sendo contínua em então é contínua em . Logo, é integrável em 
. 
Assim, 
 
 
Notação: 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 De forma análoga definimos: 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região do tipo I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região do tipo II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
Teorema 
 
a. Se (região do tipo I), com e funções 
contínuas em e é contínua em , então: 
 
 
 
b. Se (região do tipo II), com e funções 
contínuas em e é contínua em , então: 
 
 
 
 
 
 
Obs. 
  área abaixo do gráfico de  área abaixo da curva . 
 
  volume abaixo do gráfico de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1. Calcule , onde é a região do plano limitado pelos gráficos de 
e . 
 
2. Seja a região limitada pelos gráficos de ; e . Supondo 
contínua em , expresse por meio de integrais interadas. 
 
3. Calcule .